1.अवकलन गणित में आंशिक अवकलन (Partial Differential in Calculus),डिफरेंशियल केलकुलस में आंशिक अवकलन (Partial Differential in Differential Calculus):

Partial Differential in Calculus

अवकलन गणित में आंशिक अवकलन (Partial Differential in Calculus) को दो या दो से अधिक स्वतन्त्र चरों के फलन का अवकलन ज्ञात करके समझने का प्रयास करेंगे।इस पर आधारित उदाहरण निम्नलिखित हैं:
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2.अवकलन गणित में आंशिक अवकलन के साधित उदाहरण (Partial Differential in Calculus Solved Examples):

Example1.प्रमेय \frac{\partial^2 y}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 y}{\partial y \partial x} की पुष्टि कीजिए,जबकि (Verify the theorem \frac{\partial^2 y}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 y}{\partial y \partial x} ,when)
Example:1(a). u=\log (y \sin x+x \sin y)
Solution: u=\log (y \sin x+x \sin y)
दोनों पक्षों का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:

\frac{\partial u}{\partial y} =-\frac{1}{y \sin x+x \sin y} \cdot \frac{\partial}{\partial y}(y \sin x+x \sin y) \\ \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial y} =\frac{\sin x+x \cos y}{y \sin x+x \sin y}
x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:

\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\frac{(y \sin x+x \sin y)(\cos x+\cos y)-(\sin x+x \cos y)(y \cos x+\sin y)}{(y \sin x+x \sin y)^2} \\ =\frac{ \begin{array}{c}y \sin x \cos x+x \cos x \sin y+y \sin x \cos y+\\x \sin y \cos y-y \cos x \sin x - x y \cos x \cos y\\-\sin x \sin y - x \cos y \sin y\end{array} }{(y \sin x+x \sin y)^2}\\ =\frac{x \cos x \sin y+y \sin x \cos y-x y\cos x \cos y-\sin x \sin y}{(y \sin x+x \sin y)^2} \\ = \frac{x \cos x(\sin y-y \cos y)-\sin x(\sin y-y \cos y)}{(y \sin x+x \sin y)^2} \\ \Rightarrow \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\frac{(\sin y-y \cos y)(x \cos x-\sin x)}{(y \sin x+x \sin y)^2} \cdots(1)
इसी प्रकार दिए हुए फलन का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:

\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{1}{y \sin x+x \sin y} \frac{\partial}{\partial x}(y \sin x+x \sin y) \\ =\frac{y \cos x+\sin y}{y \sin x+x \sin y}
पुनः y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:

\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}=\frac{(y \sin x+x \sin y)(\cos x+\cos y)-(y \cos x+\sin y)(\sin x+x \cos y)}{(y \sin x+x \sin y)^2} \\ =\frac{\begin{array}{c}y \sin x \cos x+x \cos x \sin y+y \sin x \cos y \\+x \sin y \cos y-y \cos x \sin x-\sin x \sin y\\-x y \cos x \cos y-x \sin y \cos y\end{array}}{(y \sin x+x \sin y)^2} \\ =\frac{x \cos x(\sin y-y \cos y)-\sin x(\sin y-y \cos y)}{(y \sin x+x \sin y)^2} \\ \Rightarrow \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}=\frac{(\sin y-y \cos y)(x \cos x-\sin x)}{(y \sin x+x \sin y)^2} \cdots(2)
(1) व (2) से:

\frac{\partial^2 y}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 y}{\partial y \partial x}
Example:1(b). u=x^y
Solution: u=x^y
लघुगणक लेने पर:

\log u=y \log x
दोनों पक्षों का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:

\frac{1}{u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y}=\log x \\ \frac{\partial u}{\partial y}=u \log x
पुनः x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:

\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} =\frac{\partial u}{\partial x} \log x+\frac{u}{x} \\ =u \frac{y}{x} \cdot \log x+\frac{u}{x} \\ =\frac{u}{x}\left[(\log x)+1\right] \\ \Rightarrow \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} =x^{y-1}[y(\log x)+1] \cdots(1)
इसी प्रकार दिए हुए फलन का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:

\frac{1}{u} \cdot \frac{d u}{\partial x}=\frac{y}{x} \\ \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial x}=u \frac{y}{x}
पुनः y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:

\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}=\frac{u}{x}+\frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{y}{x} \\ =\frac{u}{x}+u \log x \cdot \frac{y}{x} \\ =\frac{u}{x}(y \log x+1) \\ =\frac{x^y}{x}(y \log x+1) \\ \Rightarrow \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}=x^{y-1}(y \log x+1) \ldots(2)
(1) और (2) से:

\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}
Example:1(c). u=x \sin y+y+\sin x
Solution: u=x \sin y+y+\sin x
दोनों पक्षों का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:

\frac{\partial u}{\partial y}=x \cos y+1
पुनः x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:

\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\cos y \cdots(1)
इसी प्रकार दिए हुए फलन का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:

\frac{\partial u}{\partial x}=\sin y+\cos x
पुनः y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:
\frac{\partial^2 y}{\partial y \partial x}=\cos y \cdots(1)
(1) व (2) से:

\frac{\partial^2 y}{\partial x^2 y}=\frac{\partial^2 y}{\partial y^2 x}
Example:1(d). u=e^{2 m y} \cos m x
Solution: u=e^{2 m y} \cos m x
दोनों पक्षों का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:

\frac{\partial u}{\partial y}=m e^{m y} \cos m x
पुनः x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:

\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=-m^2 e^{m y} \sin m x \cdots(1)
इसी प्रकार दिए हुए फलन का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:

\frac{\partial u}{\partial x}=-m e^{m y} \sin m x
पुनः y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:

\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}=-m^2 e^{m y} \sin m x \cdots(2)
(1) और (2) से:

Partial Differential in Calculus

Example:1(e). u=\frac{1}{\sqrt{y}} e^{\frac{(x-a)^2}{4 y}}
Solution: u=\frac{1}{\sqrt{y}} e^{\frac{(x-a)^2}{4 y}}
दोनों पक्षों का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:

\frac{\partial u}{\partial y} =-\frac{1}{2 y^{\frac{3}{2}}} e^{-\frac{(x-a)^2}{4 y}}+\frac{1}{\sqrt{y}} e^{-\frac{(x-a)^2}{4 y}} \times \frac{(x-a)^2}{4 y^2} \\ \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial y} =-\frac{1}{2 y^{\frac{3}{2}}} e^{\frac{(x-a)^2}{4 y}}+\frac{(x-a)^2}{4 y^{\frac{5}{2}}} e^{-\frac{(x-a)^2}{4 y}}
पुनः x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:

\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}= -\frac{1}{2 y^{\frac{3}{2}}} e^{-\frac{(x-a)^2}{4 y^2}} \times \frac{-2(x-a)}{4 y}+\frac{2(x-a)}{4 y^{\frac{5}{2}}} e^{\frac{-(x-a)^2}{4 y}} +\frac{(x-a)^2}{4 y^{\frac{5}{2}}} e^{-\frac{(x-a)^2}{4 y}} \times \frac{-2(x-a)}{4 y}\\ =\frac{(x-a)}{4 y^{\frac{5}{2}}} e^{-\frac{(x-a)^2}{4 y}}+\frac{(x-a)}{2 y^{\frac{5}{2}}} e^{-\frac{(x-a)^2}{4y}} -\frac{(x-a)^3}{8 y^{\frac{7}{2}}} e^{-\frac{(x-a)^2}{4y}} \\ \Rightarrow \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=e^{-\frac{(x-a)^2}{4 y}}\left[\frac{x-a}{4 y^{\frac{5}{2}}}+\frac{x-a}{2 y^{\frac{5}{2}}}-\frac{(x-a)^3}{8 y^{\frac{7}{2}}}\right] \\ \Rightarrow \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=e^{-\frac{(x-a)^2}{4 y}} \left[\frac{3}{4} \frac{(x-a)}{y^{\frac{5}{2}}}-\frac{1}{8} \frac{(x-a)^{3}}{y^{\frac{7}{2}}}\right] \cdots(1)
इसी प्रकार दिए हुए फलन का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:

\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{1}{\sqrt{y}} e^{-\frac{(x-a)^2}{4 y}} \cdot \frac{-2(x-a)}{4 y} \\ \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial x} =-\frac{(x-a)}{2 y^{\frac{3}{2}}} e^{-\frac{(x-a)^2}{4 y}}
पुनः y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:

\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}=\frac{3(x-a)}{4 y^{\frac{5}{2}}} e^{-\frac{(x-a)^2}{4y}}-\frac{(x-a)}{2 y^{\frac{3}{2}}} e^{\frac{-(x-a)^2}{4 y}} \times \frac{(x-a)^2}{4 y^2} \\ \Rightarrow \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}=e^{-\frac{(x-a)^2}{4 y}}\left(\frac{3(x-a)}{4 y^{\frac{5}{2}}}-\frac{(x-a)^3}{8 y^{\frac{7}{2}}}\right) \cdots(2)
समीकरण (1) व (2) से:

\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}
Example:2.यदि (If) z(x+y)=x^2+y^2 , तो सिद्ध कीजिए कि (then prove that)

\left(\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2=4\left(1-\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y}\right)
Solution: z(x+y)=x^2+y^2 \\ \Rightarrow z=\frac{x^2+y^2}{x+y}
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:

\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{(x+y) \cdot 2 x-\left(x^2+y^2\right) \cdot 1}{(x+y)^2} \\ \Rightarrow \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{2 x^2+2 x y-x^2-y^2}{(x+y)^2} \\ \Rightarrow \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{x^2+2 x y-y^2}{(x+y)^2}
पुनः y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:

\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{(x+y) \cdot 2 y-\left(x^2+y^2\right) \cdot 1}{(x+y)^2} \\ =\frac{2 x y+2 y^2-x^2-y^2}{(x+y)^2} \\ \Rightarrow \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{y^2+2 x y-x^2}{(x+y)^2} \\ \text { L.H.S. }\left(\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2 \\ =\left[\frac{x^2+2 x y-y^2}{(x+y)^2}-\frac{y^2+2 x y-x^2}{(x+y)^2}\right]^2 \\ =\left[\frac{x^2+2 x y-y^2-y^2-2 x y+x^2}{(x+y)^2}  \right]^2 \\ =\left[\frac{2 x^2-2 y^2}{(x+y)^2}\right]_2^2 =\left(\frac{x z-2 x}{(x)}\right)^2 =4\left(\frac{x^2-y^2}{(x+y)^2}\right)^2=4\left(\frac{x-y}{x+y}\right)^2 \cdots(1) \\ \Rightarrow \left(\frac{\partial z}{\partial x} -\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2=4\left(\frac{x^2-y^2}{(x+y)^2} \right)^2=4\left(\frac{x-y}{x+y}\right)^2 \cdots(1) \\ \text { R.H.S. } 4\left(1-\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y}\right) \\ =4\left[1-\frac{x^2+2 x y-y^2}{(x+y)^2}-\frac{y^2+2 x y-x^2}{(x+y)^2}\right] \\ =4\left[\frac{(x+y)^2-x^2-2 x y+y^2-y^2-2 x y+x^2}{(x+y)^2}\right] \\ =4\left[\frac{x^2+2 x y+y^2-4 x y}{(x+y)^2}\right] \\ =4\left[\frac{x^2-2 x y+y^2}{(x+y)^2}\right] \\ =4 \left(\frac{x-y}{x+y}\right)^2 \\ \Rightarrow 4\left(1-\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y}\right)=4\left(\frac{x-y}{x+y}\right)^2 \cdots(2)
समीकरण (1) व (2) से:

\left(\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2=4\left(1-\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y}\right)
Example:3.यदि (If) u=x^2 \tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)- y^2 \tan ^{-1}\left(\frac{x}{y}\right), तो (then find the value of) \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}  का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: u=x^2 \tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)- y^2 \tan ^{-1}\left(\frac{x}{y}\right)
दोनों पक्षों का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:

\frac{\partial u}{\partial y} =x^2 \frac{1}{1+\frac{y^2}{x^2}} \cdot \frac{1}{x}-2 y \tan^{-1} \left(\frac{x}{y}\right)+\frac{y^2}{1+\frac{x^2}{y^2}} \cdot \frac{x}{y^2}\\ =\frac{x^4}{x\left(x^2 +y^2\right)}-2 y \tan^{-1} \left(\frac{x}{y}\right)+\frac{x y^2}{\left(x^2+y^2\right)} \\ \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial y} =\frac{x^3}{x^2+y^2}-2 y \tan^{-1} \left(\frac{x}{y}\right)+\frac{x y^2}{\left(x^2+y^2\right)}
पुनः x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:

\frac{\partial^2 u}{\partial x^2 y}=\frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot 3 x^2-x^3 \cdot 2 x}{\left(x^2+ y^2\right)^2}-\frac{2 y}{1+\frac{x^2}{y^2}}\left(\frac{1}{y}\right)+ \left[\frac{\left(x^2+y^2\right)-x \cdot 2 x}{\left(x^2+y^2\right)^2}\right] y^2 \\ =\frac{3 x^4+3 x^2 y^2-2 x^4}{\left(x^2+y^2\right)^2}-\frac{2 y^2}{\left(x^2+y^2\right)}+\frac{y^2\left(y^2-x^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2} \\ =\frac{x^4+3 x^2 y^2-2 x^2 y^2-2 y^4+y^4-x^2 y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2} \\ =\frac{x^4-y^4}{\left(x^2+y^2\right)^2} \\ =\frac{\left(x^2-y^2\right)\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2} \\ \Rightarrow \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}
Example:10.यदि (If) u=f\left(\frac{y}{x}\right) तो सिद्ध कीजिए कि (then prove that) x \frac{\partial u}{\partial x}+y \frac{\partial u}{\partial y}=0
Solution: u=f\left(\frac{y}{x}\right)
x के सापेक्ष दोनों पक्षों का आंशिक अवकलन करने पर:

\frac{\partial u}{\partial x}=f^{\prime}\left(\frac{y}{x}\right)\left(-\frac{y}{x^2}\right) \\ \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial x} =-\frac{y}{x^2} f^{\prime}\left(\frac{y}{x}\right) \\ x \frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{y}{x} f^{\prime}\left(\frac{y}{x}\right) \cdots(1)
पुनः y के सापेक्ष दोनों पक्षों का आंशिक अवकलन करने पर:

\frac{\partial u}{\partial y}=f^{\prime}\left(\frac{y}{x}\right) \cdot \frac{1}{x} \\ y \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{y}{x}+f^{\prime} \left(\frac{y}{x}\right) \cdots(2)
(1) व (2) को जोड़ने पर:

x \frac{\partial u}{\partial x}+y \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{-y}{x} f^{\prime}\left(\frac{y}{x}\right)+\frac{y}{x} f^{\prime}\left(\frac{y}{x}\right) \\ \Rightarrow x \frac{\partial u}{\partial x}+y \frac{\partial u}{\partial y}=0
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अवकलन गणित में आंशिक अवकलन (Partial Differential in Calculus),डिफरेंशियल केलकुलस में आंशिक अवकलन (Partial Differential in Differential Calculus) को समझ सकते हैं।

3.अवकलन गणित में आंशिक अवकलन पर आधारित सवाल (Questions Based on Partial Differential in Calculus):

Partial Differential in Calculus

(1.)यदि (If) u=\log \sqrt{(x^2+y^2+z^2)} तो सिद्ध कीजिए कि (then show that)

\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\right)=1
(2.)यदि (If) z=\frac{x^2 y^2}{x+y}, प्रदर्शित करो (show that) x \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+y \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=\frac{\partial z}{\partial x}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अवकलन गणित में आंशिक अवकलन (Partial Differential in Calculus),डिफरेंशियल केलकुलस में आंशिक अवकलन (Partial Differential in Differential Calculus) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.अवकलन गणित में आंशिक अवकलन (Frequently Asked Questions Related to Partial Differential in Calculus),डिफरेंशियल केलकुलस में आंशिक अवकलन (Partial Differential in Differential Calculus) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

अवकलन गणित में आंशिक अवकलन (Partial Differential in Calculus) को दो या दो से
अधिक स्वतन्त्र चरों के फलन का अवकलन ज्ञात करके समझने का प्रयास करेंगे।