1.ग्रुप के किसी अवयव की कोटि (Order of an Element of a Group)-

• ग्रुप के किसी अवयव की कोटि (Order of an Element of a Group),ग्रुप (G,*) का कोई अवयव a है तो छोटे से छोटा धनात्मक पूर्णांक n है जिसका अस्तित्व इस प्रकार हो कि { a }^{ n }=e तो n को अवयव a की कोटि कहते हैं तथा इसे o(a)=n से व्यक्त करते हैं।यदि इस प्रकार के पूर्णांक का अस्तित्व नहीं हो तो अवयव a अनन्त कोटि का कहलाता है।
• टिप्पणी:- अवयव की कोटि की परिभाषा में छोटे से छोटा पूर्णांक अवयव की कोटि होती है अतः स्पष्ट है कि यदि कोई a\in G के लिए n पूर्णांक (धनात्मक) ऐसा हो कि { a }^{ n }=e
  तो O(a)\le n
• यदि समूह को गुणात्मक रूप से देखा जाता है, तो समूह के अवयव का क्रम,जिसे कभी-कभी a की अवधि लम्बाई (period length) या अवधि (period) भी कहा जाता है, सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक m होता है जिससे am = e, जहाँ e समूह के तत्समक अवयव को दर्शाता है,और m कोटि है अवयव a की।
• उदाहरणार्थ-हम जानते हैं कि \{ 1,\omega ,{ \omega }^{ 2 }\} ,गुणा द्विचर संक्रिया के लिए ग्रुप है जहां { \omega }^{ 3 }=1
  O(1)=1 चूंकि { 1 }^{ 1}=1
  O(\omega )=3 चूंकि { \omega }^{ 3 }=1
  O({ \omega }^{ 2 })=3 चूंकि { ({ \omega }^{ 2 }) }^{ 3 }=1
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2.ग्रुप के किसी अवयव की कोटि पर आधारित प्रमेय (Theorems Based on the Order of an Element of a Group)-

(1)प्रमेय (Theorem) 1: यदि a\in (G,\ast ),o(a)=n तथा m एक अऋणात्मक पूर्णांक है तो { a }^{ m }=e यदि और केवल यदि m,n का गुणन हो अर्थात् m=nq,q\in N
(If a\in (G,\ast ) ,o(a)=n and m is a non negative integer then { a }^{ m }=e if m is a multiple of n i.e. m=nq,q\in N)
अथवा
यदि किसी ग्रुप के एक अवयव a की कोटि n हो तो दर्शाइए कि { a }^{ m }=e होगा यदि और केवल यदि m,n का गुणज है।
(If order of an element a of a group is n,then show that { a }^{ m }=e if m is a multiple of n.)
उपपत्ति (Proof): प्रतिबन्ध की आवश्यकता-मान लो

{ a }^{ m }=e
दिया हुआ है o(a)=n, इसलिए m\ge n
यदि m=n,{ a }^{ m }={ a }^{ n }=e
अब यदि m>n तो q,r ऐसे पूर्णांक संख्याएं विद्यमान होंगे कि
m=nq+r,0\le r<n\\ \therefore e={ a }^{ m }={ a }^{ nq+r }\\ ={ ({ a }^{ n }) }^{ q }\ast { a }^{ r }[\because { a }^{ n }=e]\\ ={ a }^{ r }\quad 0\le r<n

क्योंकि O(a)=n,\therefore { a }^{ n }=e जहां n छोटे से छोटा धनात्मक पूर्णांक है,
\therefore { a }^{ n }=e,0\le r<n\Rightarrow r=0\\ \Rightarrow m=nq अर्थात् m,n का गुणज है।
प्रतिबन्ध की पर्याप्तता- यदि m=nq (जहां q एक पूर्णांक है),तब
m=nq\Rightarrow { a }^{ m }={ a }^{ nq }\\ \Rightarrow { a }^{ m }={ ({ a }^{ n }) }^{ q }[\because O(a)=n]\\ \Rightarrow { a }^{ m }={ e }^{ q }\\ \Rightarrow { a }^{ m }=e
अतः { e }^{ m }=e\Leftrightarrow m,n का गुणज है।
(2)प्रमेय (Theorem) 2: किसी परिमित ग्रुप (समूह) के प्रत्येक अवयव की कोटि परिमित होती है तथा यह या तो ग्रुप के कोटि के बराबर होती है या इससे कम।
(The order of every element of a finite group is finite and less than or equal to the order of the group.)
उपपत्ति (Proof): माना कि (G,\ast ) एक परिमित ग्रुप है जिसका पूर्णांक x है।माना a\in G तथा a,{ a }^{ 2 },{ a }^{ 3 },....,{ a }^{ n }(a की घातों वाले अवयव) पर विचार कीजिए।
{ a }^{ 0 }=e,a,{ a }^{ 2 },{ a }^{ 3 },....,{ a }^{ n } प्रत्येक G का अवयव है तथा G में केवल n अवयव है।
 परन्तु इनकी संख्या (n+1) है इसलिए उपर्युक्त सारे अवयव भिन्न नहीं हो सकते अतः दो अवयव { a }^{ r } तथा { a }^{ s } इस प्रकार हैं कि
{ a }^{ r }={ a }^{ s } परन्तु { a }^{ r }\in G\Rightarrow { ({ a }^{ r }) }^{ -1 }={ a }^{ -r }\in G
अब { a }^{ r }={ a }^{ s },r<s\\ \Rightarrow { a }^{ r }\ast { ({ a }^{ r }) }^{ -1 }={ a }^{ s }\ast { ({ a }^{ s }) }^{ -1 }[\because { a }^{ r }\in G\Rightarrow { ({ a }^{ r }) }^{ -1 }\in G;{ ({ a }^{ r }) }^{ -1 }={ a }^{ -r }]\\ \Rightarrow e={ a }^{ s }\ast { a }^{ -r }\\ \Rightarrow e={ a }^{ s-r } जहां s-r\neq 0
\Rightarrow { a }^{ k }=e जहां 0<s-r\le n तथा माना s-r=k एक धनात्मक पूर्णांक है

\Rightarrow O(a)\le k\le n
अतः o(a) परिमित है यदि o(G) परिमित है।
साथ ही O(a)\le O(G) अर्थात् ग्रुप o(a) के ग्रुपांक से कम या बराबर है।
(3)प्रमेय (Theorem) 3: ग्रुप में किसी अवयव की कोटि सदैव उसके प्रतिलोम की कोटि के समान होती है अर्थात् O(a)=O({ a }^{ -1 }).
(The order of an element of a group is always equal to the inverse i.e. O(a)=O({ a }^{ -1 }))
उपपत्ति (Proof): माना G एक ग्रुप है तथा a ,G का कोई भी अवयव है।
a\in G\Rightarrow { a }^{ -1 }\in G माना O(a)=m,O({ a }^{ -1 })=n [अवयव की कोटि की परिभाषा से]
{ a }^{ m }=e,{ ({ a }^{ -1 }) }^{ n }=e जहां m तथा n क्रमशः छोटे से छोटे पूर्णांक है
{ a }^{ m }=e\Rightarrow { ({ a }^{ m }) }^{ -1 }={ e }^{ -1 }\\ \Rightarrow { ({ a }^{ m }) }^{ -1 }=e[\because { e }^{ -1 }=e]\\ \Rightarrow { a }^{ -m }=e[जहां { ({ e }^{ m }) }^{ -1 }={ a }^{ -m }={ ({ a }^{ -1 }) }^{ m }]

\Rightarrow { ({ a }^{ -1 }) }^{ m }=e\\ \Rightarrow O({ a }^{ -1 })\le m\\ \Rightarrow n\le m
पुनः { ({ a }^{ -1 }) }^{ n }=e\Rightarrow { a }^{ -n }={ e }\\ \Rightarrow { ({ a }^{ n }) }^{ -1 }=e\\ \Rightarrow [{ ({ a }^{ n }) }^{ -1 }]={ e }^{ -1 }\\ \Rightarrow { a }^{ n }=e[\because { ({ a }^{ -1 }) }^{ -1 }=a]\\ \Rightarrow O({ a })\le n\\ \Rightarrow m\le n
अतः\Rightarrow n\le m;m\le n\Rightarrow m=n
फलत:O(a)=O({ a }^{ -1 })
साथ ही यदि o(a) अनन्त है तो O({ a }^{ -1 }) परिमित नहीं हो सकता क्योंकि यदि O({ a }^{ -1 })=n परिमित है तो

{ { (a }^{ -1 }) }^{ n }=e\Rightarrow { a }^{ -n }=e\\ \Rightarrow { ({ a }^{ n }) }^{ -1 }=e\\ \Rightarrow { [{ ({ a }^{ n }) }^{ -1 }] }^{ -1 }={ e }^{ -1 }\\ \Rightarrow { a }^{ n }=e\\ \Rightarrow O(a)\le n\\ \Rightarrow O(a) परिमित है।
परन्तु o(a) अनन्त है इसलिए का परिमित होना असम्भव है।
(4)प्रमेय (Theorem) 4 : ग्रुप के किसी अवयव a के पूर्णांक घात की कोटि a की कोटि से अधिक नहीं होती।
(The order of any integral power of an element of a group can never exceed the order of the element.)
उपपत्ति (Proof):माना कि ग्रुप G का स्वेच्छ (arbitrary) अवयव a है तथा k कोई भी धनात्मक या ऋणात्मक पूर्णांक है तो हमें सिद्ध करना है कि

O({ a }^{ k })\le O(a)
यदि o(a) अनन्त तो परिणाम सुस्पष्ट (obvious) है।
इसलिए यह माना कि o(a)=n परिमित है तब

O(a)=n\\ O(a)=n\Rightarrow { a }^{ n }=e\\ \Rightarrow { ({ a }^{ n }) }^{ k }={ e }^{ k }\\ \Rightarrow { a }^{ nk }=e
[ \because { ({ a }^{ n }) }^{ k }={ a }^{ nk } तथा { e }^{ k }=e]

\Rightarrow { ({ a }^{ k }) }^{ n }={ e }\\ \Rightarrow O({ a }^{ k })\le n=O(a)
अतः O({ a }^{ k })\le O(a)
(5)प्रमेय (Theorem) 5:ग्रुप C के अवयव a की कोटि यदि o(a) से प्रदर्शित हो तो सिद्ध कीजिए कि O(xa{ x }^{ -1 })=O(a),\forall x\in G
(If o(a) denotes the order of a in G,then show that O(xa{ x }^{ -1 })=O(a),\forall x\in G )
उपपत्ति (Proof): माना कि अवयव a की कोटि n है अर्थात् n वह छोटी से छोटी धनात्मक पूर्णांक है कि { a }^{ n }=e,G का तत्समक अवयव है।
सर्वप्रथम हम गणितीय आगमन सिद्धान्त से { (xa{ x }^{ -1 }) }^{ n }=x{ a }^{ n }{ x }^{ -1 } सिद्ध करेंगे।
अब { (xa{ x }^{ -1 }) }^{ n }=x{ a }^{ n }{ x }^{ -1 }\\ { (xa{ x }^{ -1 }) }^{ 2 }=(xa{ x }^{ -1 })(xa{ x }^{ -1 })\\ =xa({ x }^{ -1 }x)a{ x }^{ -1 }\\ =(xa)e(a{ x }^{ -1 })\\ =x(ae)a{ x }^{ -1 }\\ =x(aa){ x }^{ -1 }\\ =x{ a }^{ 2 }{ x }^{ -1 }
पुनः मान लें कि { (xa{ x }^{ -1 }) }^{ m }=x{ a }^{ m }{ x }^{ -1 } तब

{ (xa{ x }^{ -1 }) }^{ m+1 }={ (xa{ x }^{ -1 }) }^{ m }{ (xa{ x }^{ -1 }) }\\ =x{ a }^{ m }{ x }^{ -1 }{ (xa{ x }^{ -1 }) }\\ =x{ a }^{ m }(x{ x }^{ -1 })a{ x }^{ -1 }\\ =x{ a }^{ m }(ea){ x }^{ -1 }\\ =x({ a }^{ m }a){ x }^{ -1 }\\ =x{ a }^{ m+1 }{ x }^{ -1 }
अतः { (xa{ x }^{ -1 }) }^{ n }=x{ a }^{ n }{ x }^{ -1 },\forall n\in N
अब माना कि O(a)=n तथा O(xa{ x }^{ -1 })=m तब

{ (xa{ x }^{ -1 }) }^{ m }=x{ a }^{ n }{ x }^{ -1 }=xe{ x }^{ -1 }=x{ x }^{ -1 }=e\\ \Rightarrow O(xa{ x }^{ -1 })\le n  या m\le n.....(1)
पुनः O(xa{ x }^{ -1 })=m\Rightarrow { (xa{ x }^{ -1 }) }^{ m }=e\\ \Rightarrow x{ a }^{ m }{ x }^{ -1 }=e\\ \Rightarrow { x }^{ -1 }(x{ a }^{ m }{ x }^{ -1 })x={ x }^{ -1 }ex\\ \Rightarrow ({ x }^{ -1 }x)({ a }^{ m })({ x }^{ -1 }x)=e\\ \Rightarrow e{ a }^{ m }e=e\\ \Rightarrow { a }^{ m }=e\\ \Rightarrow O(a)\le m\\ n\le m.....(2)
(1) तथा (2) से- n=m
या o(a)=o(xa{ x }^{ -1 })
उपप्रमेय (Corollary): यदि a तथा b किसी समूह G के अवयव हों तो o(ab)=o(ba)
(If a and b are the elements of G then o(ab)=o(ba)
उपपत्ति (Proof):b(ab){ b }^{ -1 }=(ba)(b{ b }^{ -1 })\\ =(ba)e\\ =ba
चूंकि उपर्युक्त प्रमेय से
o(ab) तथा o(b(ab){ b }^{ -1 }) समान है
अतः o(ab) तथा o(ba) समान है।
(6)प्रमेय (Theorem) 6: प्रत्येक ग्रुप में तत्समक अवयव की कोटि 1 होती है ‌
(The order of the identity of every group is 1 and it is the only element of order 1.)
उपपत्ति (Proof): माना कि G एक ग्रुप है तथा e इसका तत्समक अवयव है।
अब चूंकि { e }^{ 1 }=e\Rightarrow o(e)=1
क्योंकि 1 छोटे से छोटा धनात्मक पूर्णांक है।
पुनः यदि a\in G,a\neq e तथा o(a)=1

{ a }^{ 1 }=e\\ \Rightarrow a=e
अतः e ही G का केवल एक अवयव है जिसकी कोटि 1 है।

3.ग्रुप के किसी अवयव की कोटि पर आधारित उदाहरण (Examples Based of Order of an Element of a Group)-

Example-1. यदि एक परिमित ग्रुप के अवयव a,b तथा ab हों तथा o(a)=o(b)=o(ab)=2 हो तो सिद्ध कीजिए कि ab=ba.
(If the element a,b and ab of a finite group are each of order 2 , Prove that ab=ba.)
Solution- o(a)=o(b)=o(ab)=2
o(a)=2,o(b)=2,o(ab)=2
हम जानते हैं कि a तथा ba{ b }^{ -1 } की कोटि समान होती है

o(a)=2,o(ba{ b }^{ -1 })=2\\ \Rightarrow a=ba{ b }^{ -1 }\\ \Rightarrow ab=(ba{ b }^{ -1 })b\\ \Rightarrow ab=(ba)({ b }^{ -1 }b)\\ \Rightarrow ab=(ba)e\\ \Rightarrow ab=ba

उपर्युक्त उदाहरण तथा प्रमेय के आधार पर ग्रुप के किसी अवयव की कोटि (Order of an Element of a Group) को समझ सकते हैं।
निम्न ग्रुपों के प्रत्येक अवयव की कोटि ज्ञात कीजिए।
(Find the order of each element of the following groups.)
Example-2. <{e,p,q,r,s,t},*> जहां * निम्न संक्रिया सारणी से परिभाषित है (where * is defined by the following operation table)
Solution-

[table id=1 /]

e\ast e=e\\ O(e)=1\\ p\ast p=q\\ \Rightarrow p\ast p\ast p=(p\ast p)\ast p=q\ast p=e\\ \Rightarrow O(p)=3\\ q\ast q=p\\ \Rightarrow q\ast q\ast q=(q\ast q)\ast q=p\ast q=e\\ \Rightarrow O(q)=3\\ r\ast r=e\\ \Rightarrow O(r)=2\\ s\ast s=e\\ \Rightarrow O(s)=2\\ t\ast t=e\\ \Rightarrow O(t)=2\\ O(r)=O(s)=O(t)=2,O(p)=O(q)=3,O(r)=O(e)=1

उपर्युक्त उदाहरण तथा प्रमेय के आधार पर ग्रुप के किसी अवयव की कोटि (Order of an Element of a Group) को समझ सकते हैं।
Example-3.[(0,1,2,3,4),{ + }_{ 5 }]
Solution- 0 तत्समक अवयव है।
O(0)=1\\ 1{ + }_{ 5 }1=2\\ \Rightarrow 1{ + }_{ 5 }1{ + }_{ 5 }1=(1{ + }_{ 5 }1){ + }_{ 5 }1=2{ + }_{ 5 }1=3\\ \Rightarrow 1{ + }_{ 5 }1{ + }_{ 5 }1{ + }_{ 5 }1=(1{ + }_{ 5 }1{ + }_{ 5 }1){ + }_{ 5 }1=3{ + }_{ 5 }1=4\\ \Rightarrow 1{ + }_{ 5 }1{ + }_{ 5 }1{ + }_{ 5 }1{ + }_{ 5 }1=(1{ + }_{ 5 }1{ + }_{ 5 }1{ + }_{ 5 }1){ + }_{ 5 }1=4{ + }_{ 5 }1=0\\ O(1)=5\\ 2{ + }_{ 5 }2=4\\ \Rightarrow 2{ + }_{ 5 }2{ + }_{ 5 }2=(2{ + }_{ 5 }2){ + }_{ 5 }2\\ =4{ + }_{ 5 }2=1\\ \Rightarrow 2{ + }_{ 5 }2{ + }_{ 5 }2{ + }_{ 5 }2=(2{ + }_{ 5 }2{ + }_{ 5 }2){ + }_{ 5 }2\\ =1{ + }_{ 5 }2=3\\ \Rightarrow 2{ + }_{ 5 }2{ + }_{ 5 }2{ + }_{ 5 }2{ + }_{ 5 }2=(2{ + }_{ 5 }2{ + }_{ 5 }2{ + }_{ 5 }2){ + }_{ 5 }2\\ =3{ + }_{ 5 }2=0\\ \Rightarrow O(2)=0\\ 3{ + }_{ 5 }3=1\\ \Rightarrow 3{ + }_{ 5 }3{ + }_{ 5 }3=(3{ + }_{ 5 }3){ + }_{ 5 }3=1{ + }_{ 5 }3=4\\ \Rightarrow 3{ + }_{ 5 }3{ + }_{ 5 }3{ + }_{ 5 }3=(3{ + }_{ 5 }3{ + }_{ 5 }3){ + }_{ 5 }3=4{ + }_{ 5 }3=2\\ \Rightarrow 3{ + }_{ 5 }3{ + }_{ 5 }3{ + }_{ 5 }3{ + }_{ 5 }3=(3{ + }_{ 5 }3{ + }_{ 5 }3{ + }_{ 5 }3){ + }_{ 5 }3=2{ + }_{ 5 }3=0\\ \Rightarrow O(3)=0\\ 4{ + }_{ 5 }4=3\\ \Rightarrow 4{ + }_{ 5 }4{ + }_{ 5 }4=3{ + }_{ 5 }4=2\\ \Rightarrow 4{ + }_{ 5 }4{ + }_{ 5 }4{ + }_{ 5 }4=(4{ + }_{ 5 }4{ + }_{ 5 }4){ + }_{ 5 }4=2{ + }_{ 5 }4=1\\ \Rightarrow 4{ + }_{ 5 }4{ + }_{ 5 }4{ + }_{ 5 }4{ + }_{ 5 }4=(4{ + }_{ 5 }4{ + }_{ 5 }4{ + }_{ 5 }4){ + }_{ 5 }4=1{ + }_{ 5 }4=0\\ \Rightarrow O(4)=0\\ O(0)=1,O(1)=5,O(2)=5,O(3)=5,O(4)=5
Example-4. यदि किसी समूह G में,{ a }^{ 5 }=e तथा ab{ a }^{ -1 }={ b }^{ 2 },\forall a,b\in G तो b की कोटि ज्ञात कीजिए।
(If in a group G,{ a }^{ 5 }=e and ab{ a }^{ -1 }={ b }^{ 2 },\forall a,b\in G then find the order of b.)

Solution-{ b }^{ 2 }=ab{ a }^{ -1 }\\ \Rightarrow { b }^{ 4 }={ b }^{ 2 }.{ b }^{ 2 }\\ =(ab{ a }^{ -1 })(ab{ a }^{ -1 })\\ =(ab)({ a }^{ -1 }a)(b{ a }^{ -1 })\\ =(ab)(e)(b{ a }^{ -1 })\\ =(ab)(b{ a }^{ -1 })\\ =a{ b }^{ 2 }{ a }^{ -1 }\\ =a(ab{ a }^{ -1 }){ a }^{ -1 }={ a }^{ 2 }b{ a }^{ -2 }\\ \Rightarrow { b }^{ 8 }={ b }^{ 4 }.{ b }^{ 4 }\\ =({ a }^{ 2 }b{ a }^{ -2 })({ a }^{ 2 }b{ a }^{ -2 })\\ =({ a }^{ 2 }b)({ a }^{ -2 }{ a }^{ 2 })(b{ a }^{ -2 })\\ =({ a }^{ 2 }b)(e)(b{ a }^{ -2 })\\ ={ a }^{ 2 }{ b }^{ 2 }{ a }^{ -2 }\\ ={ a }^{ 2 }(ab{ a }^{ -1 }){ a }^{ -2 }\\ ={ a }^{ 3 }{ b }{ a }^{ -3 }\\ \Rightarrow { b }^{ 16 }={ b }^{ 8 }.{ b }^{ 8 }\\ =({ a }^{ 3 }{ b }{ a }^{ -3 })({ a }^{ 3 }{ b }{ a }^{ -3 })\\ =({ a }^{ 3 }b)({ a }^{ -3 }{ a }^{ 3 })({ b }{ a }^{ -3 })\\ =({ a }^{ 3 }b)e({ b }{ a }^{ -3 })\\ =({ a }^{ 3 }b)({ b }{ a }^{ -3 })\\ ={ a }^{ 3 }{ b }^{ 2 }{ a }^{ -3 }\\ ={ a }^{ 3 }(a{ b }{ a }^{ -1 }){ a }^{ -3 }\\ ={ a }^{ 4 }{ b }{ a }^{ -4 }\\ \Rightarrow { b }^{ 32 }={ b }^{ 16 }.{ b }^{ 16 }\\ =({ a }^{ 4 }{ b }{ a }^{ -4 })({ a }^{ 4 }{ b }{ a }^{ -4 })\\ =({ a }^{ 4 }{ b })({ a }^{ -4 }{ a }^{ 4 })({ b }{ a }^{ -4 })\\ =({ a }^{ 4 }{ b })e({ b }{ a }^{ -4 })\\ =({ a }^{ 4 }{ b }^{ 2 }{ a }^{ -4 })\\ ={ a }^{ 4 }(a{ b }{ a }^{ -1 }){ a }^{ -4 }\\ ={ a }^{ 5 }{ b }{ a }^{ -5 }\\ =ebe[\because { a }^{ 5 }=e]\\ =b\\ \Rightarrow ({ b }^{ 32 })({ b }^{ -1 })=b{ b }^{ -1 }\\ \Rightarrow { b }^{ 31 }=e\\ o(b)=31

उपर्युक्त उदाहरण तथा प्रमेय के आधार पर ग्रुप के किसी अवयव की कोटि (Order of an Element of a Group) को समझ सकते हैं।
Example-5. सिद्ध कीजिए कि यदि (G,\ast ) एक आबेली ग्रुप है तो \forall a,b\in G तथा पूर्णांक n के लिए { (a\ast b) }^{ n }={ a }^{ n }\ast { b }^{ n }
(Prove that if (G,\ast ) is an abelian group,then for all \forall a,b\in G and integer n.{ (a\ast b) }^{ n }={ a }^{ n }\ast { b }^{ n })
Solution- स्थिति (i) जब n>0; यदि n=1 तो { (a\ast b) }^{ 1 }={ a }^{ 1 }\ast { b }^{ 1 } जो कि सुस्पष्ट (obevious) है।
माना n=k के लिए { (a\ast b) }^{ k }={ a }^{ k }\ast { b }^{ k } सत्य है तो n=k+1 के लिए
{ (a\ast b) }^{ k+1 }={ (a\ast b) }^{ k }\ast { (a\ast b) }\\ ={ a }^{ k }\ast ({ b }^{ k }\ast a)\ast b\\ ={ a }^{ k }\ast (a\ast { b }^{ k })\ast b [ G एक आबेली है]

=({ a }^{ k }\ast a)\ast ({ b }^{ k }\ast b)\\ ={ a }^{ k+1 }\ast { b }^{ k+1 }
अतः गणितीय आगमन सिद्धान्त से

{ (a\ast b) }^{ n }={ a }^{ n }\ast { b }^{ n }\forall n\in N
स्थिति (ii) जब n<0 तब माना n=-m है जबकि m एक धनात्मक पूर्णांक है अर्थात् m>0
{ (a\ast b) }^{ n }={ (a\ast b) }^{ -m }\\ ={ [{ (a\ast b) }^{ m }] }^{ -1 }\\ ={ ({ a }^{ m }\ast { b }^{ m }) }^{ -1 }[स्थिति (i) से]
={ ({ b }^{ m }) }^{ -1 }\ast { ({ a }^{ m }) }^{ -1 }\\ ={ b }^{ -m }\ast { a }^{ -m }\\ ={ a }^{ -m }\ast { b }^{ -m }[G आबेली ग्रुप है]

={ a }^{ n }\ast { b }^{ n }
स्थिति (iii) जब n=0,तब

{ (a\ast b) }^{ n }={ (a\ast b) }^{ 0 }=e
साथ ही { a }^{ 0 }\ast { b }^{ 0 }=e\ast e=e
अतः { (a\ast b) }^{ 0 }={ a }^{ 0 }\ast { b }^{ 0 }

उपर्युक्त उदाहरण तथा प्रमेय के आधार पर ग्रुप के किसी अवयव की कोटि (Order of an Element of a Group) को समझ सकते हैं।
Example-6.यदि a\neq e ग्रुप G में केवल एक ही अवयव कोटि 2 का है तो सिद्ध कीजिए कि ax=xa\forall x\in G
(If a\neq e is the only element of order 2 in a group G then show that ax=xa\forall x\in G)
Solution- हम जानते हैं कि ग्रुप G के किसी अवयव a तथा { x }^{ -1 }ax\forall x\in G की कोटि समान है।परन्तु o(a)=2, इसलिए

O({ x }^{ -1 }ax)=2
साथ ही यह भी दिया हुआ है कि केवल a ही G का ऐसा अवयव है जिसकी कोटि 2 है।

\therefore O(a)=2,O({ x }^{ -1 }ax)=2\Rightarrow a={ x }^{ -1 }ax\\ \Rightarrow xa=x({ x }^{ -1 }ax)\\ \Rightarrow xa=(x{ x }^{ -1 })(ax)\\ \Rightarrow xa=(ea)x\\ \Rightarrow xa=ax\\ \therefore O(a)=2\Rightarrow xa=ax\forall x\in G

• उपर्युक्त उदाहरणों तथा प्रमेय के आधार पर ग्रुप के किसी अवयव की कोटि (Order of an Element of a Group) को समझ सकते हैं।

4.ग्रुप के किसी अवयव की कोटि पर आधारित समस्याएं (Problems Based on Order of an Element of a Group)-

निम्न ग्रुपों के प्रत्येक अवयव की कोटि ज्ञात कीजिए।
(Find the order of each element of the following groups.)

(1)[(1,-1,i,-i),x]

(2)[\{ { 0,1,2,3 }\} ,{ + }_{ 4 }]
(3.) यदि ग्रुप G में ba={ a }^{ m }{ b }^{ n } है तो सिद्ध कीजिए कि { a }^{ m }{ b }^{ n-2 },{ a }^{ m-2 }{ b }^{ n },a{ b }^{ -1 } अवयवों की कोटि समान है  जहां a,b\in G और m,n\in z
(If in a group G,ba={ a }^{ m }{ b }^{ n } Prove that the elements { a }^{ m }{ b }^{ n-2 },{ a }^{ m-2 }{ b }^{ n },a{ b }^{ -1 } are of the same order where a,b\in G and m,n\in z.)
(4.) यदि किसी ग्रुप G के अवयव a की कोटि n है,तो सिद्ध कीजिए कि की कोटि भी n होगी यदि p तथा n सापेक्षिक अभाज्य है।
(If the order of an element a of a group G is n ,then show the order of is also n provided p and n are relatively prime.)
उत्तर (Answer):
(1.) o(1)=1,o(i)=o(i)=,o(-1)=2
(2.) o(0)=1,o(1)=o(2)=o(3)=5

• उपर्युक्त सवालों को हल करने पर ग्रुप के किसी अवयव की कोटि (Order of an Element of a Group) को ठीक से समझ सकते हैं।

5.आप समूह में प्रत्येक अवयव की कोटि कैसे ज्ञात करते हैं? (How do you find the order of each element in a group?)-

• एक समूह G की कोटि को ord(G) या | G | द्वारा निरूपित किया जाता है, और एक अवयव का क्रम ord (a) या | a | से निरूपित किया जाता है।एक अवयव की कोटि उसके चक्रीय उपसमूह ⟨a⟩ = {ak for k an integer} के क्रम के बराबर है, उपसमूह a द्वारा व्युत्पन्न।इस प्रकार, |a| = |⟨a⟩|

6.सेट की कोटि क्या है? (What is the order of a set?)-

• परिमित सेट के लिए कोटि (या कार्डिनैलिटी) अवयवों की संख्या है।उदाहरण: {10, 20, 30, 40} में की कोटि 4 है।अनंत सेटों के लिए, हम कह सकते हैं कि यह कोटि अनंत है।अजीब तरह से पर्याप्त, हम सेटों के साथ कह सकते हैं कि कुछ अनन्त दूसरों की तुलना में बड़े हैं,लेकिन यह सेटों में अधिक उन्नत विषय है।

7.z12 का क्रम क्या है? (What is the order of z12?)-

Element Order
0 1
1 12
2 6
3 4
4 3
5 12
6 2
7 12
8 3
9 4
10 6
11 12
समूह Z12 में, अवयवों 1, 5, 7, 11 की कोटि 12 हैं।अवयवों 2, 10 की कोटि 6 हैं।तत्वों 3, 9 की कोटि 4 है।

8.एक गुणक समूह का क्रम क्या है? (What is the order of a multiplicative group?)-

• एक परिमित समूह का क्रम समूह H में अवयवों की संख्या है।गुणन समूह में,H=<{ z }_{ n }∗, x>; जब किसी अवयव का क्रम ϕ(n) के समान होता है, तो उस अवयव को समूह को मूल (primitive root) कहा जाता है।

9.एक समूह में एक अवयव की कोटि (Order of element in additive group),zn में एक अवयव की कोटि (Order of an element in zn)-

• किसी समूह के अव्यवस्था की संख्या (परिमित या अनंत) को इसका क्रम कहा जाता है।समूह G में एक अवयव g का क्रम सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक n है जो कि gn = e (योगात्मक अंकन में ng = 0) है। यदि ऐसा कोई पूर्णांक मौजूद नहीं है, तो हम कहते हैं कि g अनंत क्रम का है।G के क्रम को निरूपित किया जाता है | g |

10.एक चक्रीय समूह में एक अवयव की कोटि (Order of an element in a cyclic group),चक्रीय समूह का की कोटि (Order of cyclic group)-

• G की कोटि में ⟨g⟩ के अवयवों की संख्या है;अर्थात्, एक अवयव की कोटि उसके चक्रीय उपसमूह के कोटि के बराबर है।एक चक्रीय समूह एक समूह है जो अपने चक्रीय उपसमूहों में से एक के बराबर है: कुछ अवयव g के लिए G = ⟨g⟩, जिसे जनरेटर कहा जाता है।

11.एक समूह में तत्समक अवयव की कोटि (Order of identity element in a group)-

प्रत्येक ग्रुप में तत्समक अवयव की कोटि 1 होती है ।

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