1.समुच्चयों पर संक्रियायें कक्षा 11 (Operations on Sets Class 11),गणित में समुच्चयों पर संक्रियायें (Operations on Sets in Mathematics):

Operations on Sets Class 11

समुच्चयों पर संक्रियायें कक्षा 11 (Operations on Sets Class 11) में समुच्चयों पर तीन मुख्य संक्रियायें क्रमशः संघ (Union),सर्वनिष्ठ (Intersection) और अन्तर (Difference) होती हैं।इन तीन संक्रियाओं को समझने के लिए इनकी परिभाषा और गुणधर्मों को जानना आवश्यक है।
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2.समुच्चयों का सम्मिलन (Union of Sets):

मान लीजिए कि A और B कोई दो समुच्चय हैं।A और B का सम्मिलन वह समुच्चय है जिसमें A के सभी अवयवों के साथ B के सभी अवयव हों तथा उभयनिष्ठ अवयवों को केवल एक बार लिया गया हो।प्रतीक ‘\cup ‘ का प्रयोग सम्मिलन को निरूपित करने के लिए किया जाता है।प्रतिकात्मक रूप में हम A \cup B लिखते हैं और इसे “A सम्मिलन B” पढ़ते हैं।
सम्मिलन की संक्रिया के कुछ गुणधर्म (Properties of Operation of Union):
(i) A \cup B=B \cup A :क्रमनिनिमेयता (Commutativity)
(ii) (A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C) :साहचर्यता (Associativity)
(iii) A \cup \phi=A :तत्समक (Identity) (\phi संक्रिया \cup का तत्समक अवयव है)
(iv) A \cup A=A :वर्गसम (Indempotent)
(v)A \cup U=U :(U का नियम)
(vi)A \subseteq A \cup B, B \subseteq A \cup B
(vii)A \subseteq B \Leftrightarrow A \cup B=B
(viii)A \subseteq C, B \subseteq C \Rightarrow A \cup B \subseteq C
(ix)A \cup A^{\prime}=U :सार्वत्रिक समुच्चय (Universal Set)
उपपत्ति (Proof):(i) A \cup B=B \cup A
माना A तथा B समुच्चय है तथा
माना x \in A \cup B \Rightarrow x \in A या x \in B \\ \Rightarrow x \in B या x \in A \\ \Rightarrow A \in B \cup A \\ \Rightarrow A \cup B=B \cup A
(ii)(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C)
माना A,B,C तीन समुच्चय हैं तथा
x \in ( A \cup B) \cup C \Rightarrow[x \in(A \cup B)] या x \in C \\ \Rightarrow [x \in A \text { या } x \in B] या x \in C \\ \Rightarrow x \in A या x \in B या x \in C \\ \Rightarrow x \in A या [x \in B \text { या } x \in C] \\ \Rightarrow x \in A या [x \in (B \cup C)] \\ \Rightarrow x \in A \cup(B \cup C) \ldots(1)
इसी प्रकार x \in A \cup(B \cup C) \Rightarrow x \in(A \cup B)\cup C \ldots(2)
(1) व (2) से:

x \in A \cup(B \cup C) \Leftrightarrow x \in(A \cup B ) \cup C \\ \Rightarrow (A \cup  B) \cup C=A \cup(B \cup C)
(iii)A \cup \phi=A \\ x \in A \cup \phi \Rightarrow x \in A या x \in \phi \\ \Rightarrow x \in A
[\because x \notin \phi, \phi रिक्त समुच्चय है]

x \in A \cup \phi \Rightarrow x \in A \\ \Rightarrow A \cup \phi \subset A \ldots(1) \\ A \subset A \cup B
यदि B= \phi हो तो

A \subset A \cup \phi \\ \Rightarrow A \subset A \cup \phi \ldots(2)
(1) व (2) से:

A \cup \phi=A
(iv)A \cup A=A \\ B \subset A \cup B
यदि B=A हो तो:

A \subset A \cup A \ldots(1)
माना x \in A \cup A \Rightarrow x \in A या x \in A \\ \Rightarrow x \in A \\ \therefore A \cup A \subset A \ldots(2)
(1) व (2) से:

A \cup A=A
(v)U \cup A=U
हम जानते हैं कि B \subset B \cup A
यदि B=U हो तो:
U \subset U \cup A \ldots(1) \\ x \in U \cup A \Rightarrow x \in U या x \in A \\ \Rightarrow x \in U [U सार्वत्रिक समुच्चय है]

U \cup A \subset U \ldots(2)
(1) व (2) से:

\Rightarrow U \cup A=U
(vii) A \subseteq B \Leftrightarrow A \cup B=B
माना A \subseteq B तब
x \in A \cup B \Rightarrow x \in A या x \in B \\ \\ \Rightarrow x \in B या x \in B[\because A \subseteq B] \\ A \cup B \subseteq B \ldots(1)
पुनः y \in B \Rightarrow y \in A  या y \in B[\because A \subseteq B] \\ \Rightarrow y \in A \cup B \\ \therefore B \subseteq A \cup B \ldots(2)
(1) व (2) से:

A \cup B=B \quad \cdots(3)
विलोमत: (Conversely):
माना A \cup B=B तब
x \in A \Rightarrow x \in B[\because A \cup B=B] \\ A \subset B \ldots(4) \\ x \in B \Rightarrow x \in A \cup B[A \cup B=B] \\ \Rightarrow x \in A या x \in B \\ \Rightarrow x \in A या x \notin B^{\prime} \\ \Rightarrow x \in A \\ B \subset A \ldots(5) 
(4) व (5) से:

A \cup B=B \Rightarrow A \subseteq B \ldots(6)
(3) व (6) से:

A \subseteq B \Leftrightarrow A \cup B=B
(viii) A \subseteq C, B \subseteq C \Rightarrow A \cup B \subseteq C
माना A \subseteq C, B \subseteq C तब
x \in A \cup B \Rightarrow x \in A या x \in B \\ \Rightarrow x \in C  या x \in C[\because A \subseteq C, B \subseteq C ] \\ \Rightarrow x \in C \\ \therefore A \cup B \subset C \cdots(1) \\ x \in C \Rightarrow x \in A या x \in B \left [\because A \subseteq C, B \subseteq C \right ]\\ \Rightarrow x \in A \cup B \\ \Rightarrow C \subset A \cup B \ldots(2)
(1) व (2) से:

A \cup B \subseteq C
(ix) A \cup A^{\prime}=U \\ x \in A \cup A^{\prime} \Rightarrow x \in A या x \in A^{\prime} \\ \Rightarrow x \in U \left[\because A \subseteq U, A^{\prime} \subseteq U\right] \\ \Rightarrow A \cup A^{\prime} \subset U \cdots(1)\\ x \in U, \Rightarrow x \in A या x \in A^{\prime} \left [ \because A \subseteq \cup, A^{\prime}=U \right ]\\ \Rightarrow x \in A \cup A^{\prime} \\ \Rightarrow x \in A \cup A^{\prime} \cdots(2)
(1) व (2) से:

3.समुच्चयों का सर्वनिष्ठ (Intersection of Sets):

Operations on Sets Class 11

समुच्चय A और B का सर्वनिष्ठ उन सभी अवयवों का समुच्चय है जो A और B का सर्वनिष्ठ उन सभी अवयवों का समुच्चय है जो A और B दोनों में उभयनिष्ठ है।प्रतीक ‘\cap‘ का प्रयोग सर्वनिष्ठ को निरूपित करने के लिए किया जाता है।समुच्चय A और B का सर्वनिष्ठ उन सभी अवयवों का समुच्चय है जो A और B दोनों में हों।प्रतिकात्मक रूप में हम लिखते हैं कि:
A \cap B={ x: x \in A और x \in B }
सर्वनिष्ठ की संक्रिया के कुछ गुणधर्म (Properties of Operation of Intersection):
(i) A \cap B=B \cap A :(क्रमविनिमेयता)
(ii) (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C) :(साहचर्यता)
(iii) \phi \cap A=\phi, \cup \cap A=A :(तत्समक)

(iv)A \cap A=A
(v)A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C)
(vi)A \cap B \subseteq A, A \cap B \subseteq B
(vii)A \subset B \Leftrightarrow A \cap B=A
(viii)A \subset C, B \subset C \Rightarrow A \cap B \subset C
(ix)A \cap A^{\prime}=\phi
उपपत्ति (Proof):(i)A \cap B=B \cap A
माना A व B दो समुच्चय हैं:
A \cap B = { x: x \in A तथा x \in B }
={ x: x \in B  तथा x \in A }

\Rightarrow A \cap B =B \cap A
(ii) (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C) \\ x \in(A \cap B) \cap C \Rightarrow x \in A \cap B तथा  x \in C
\Rightarrow(x \in A तथा x \in B ) तथा x \in C \\ \Rightarrow x \in A तथा x \in B तथा x \in C \\ \Rightarrow x \in A तथा x \in B \cap C  \\ \Rightarrow x \in A \cap(B \cap C) \cdots(1)
इसी प्रकार हम सिद्ध कर सकते हैं कि:

 x \in A \cap(B \cap C) \Rightarrow x \in(A \cap B) \cap C \ldots(2)
(1) व (2) से:

 x \in(A \cap B) \cap C \Leftrightarrow x \in(A \cap B) \cap C \\ \Rightarrow(A \cap B) \cap C=(A \cap B) \cap C
(iii) \phi \cap A=\phi, \quad U \cap A=A \\ x \in A \Rightarrow x \notin \phi \\ x \in A, x \notin \phi \Rightarrow \phi \cap A=\phi
इसी प्रकार

 x \in A \Rightarrow x \in \cup \quad[\because A \subseteq U] \\ x \in A, x \in U \Rightarrow U \cap A=A
(iv) A \cap A=A \\ A \cap B \subset B
यदि B=A हो तो:

 A \cap A \subset A
यदि x \in A \Rightarrow x \in A तथा x \in A \\ \Rightarrow x \in A \cap A \\ A \subset A \cap A \\ A \subset A \cap A \\ A \cap A \subset A, A \subset A \cap A \Rightarrow A=A \cap A
(v) A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C) \\ x \in A \cap(B \cup C) \Rightarrow x \in A तथा x \in B \cup C \\ \Rightarrow (x \in A तथा x \in A) तथा ( x \in B या x \in C ) 
\Rightarrow (x \in A तथा x \in B) या (x \in A तथा x \in C) \\ \Rightarrow x \in A \cap B या x \in A \cap C \\ \Rightarrow x \in(A \cap B) \cup(A \cap C) \\ A \cap(B \cup C) \subset (A \cap B) \cup(A \cap C) \ldots(1)
पुनः y \in (A \cap B) \cup(A \cap C) \\ \Rightarrow y \in A \cap B या y \in A \cap C
\Rightarrow(y \in A तथा y \in B) या (y \in A तथा y \in C)
\Rightarrow(y \in A या y \in A) तथा (y \in B या y \in C)
\Rightarrow y \in A तथा y \in B \cup C \\ \Rightarrow y \in A \cap(B \cup C) \\ \therefore(A \cap B) \cup(A \cap C) \subset A \cap(B \cup C) \ldots(2)
(1) और (2) से:

A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C)
(vii)A \subset B \Leftrightarrow A \cap B=A
माना A \subset B
तब x \in A \cap B \Rightarrow x \in A  तथा x \in B \\ \Rightarrow x \in A  तथा x \in A \left [ \because A \subset B \right ] \\ \Rightarrow x \in A \\ A \cap B \subset A \ldots(1)
पुनः y \in A \Rightarrow y \in A तथा y \in B \quad\left [ \because A \subset B \right ] \\ \Rightarrow y \in A \cap B \\ \therefore A \subset A \cap B \ldots(2)
(1) व (2) से:

A \subset B \Rightarrow A \cap B=A \cdots(3)
विलोमत (Conversely):
माना कि A \cap B=A
तब x \in A \Rightarrow x \notin A^{\prime} \Rightarrow x \in B \left [ \because A \cup B=A \right]
अतः A \subset B \\ \therefore A \cap B=A \Rightarrow A \subset B \ldots(4)
अब (3) व (4) से:

A \subset B \Leftrightarrow A \cap B=A
(viii) A \subset C, B \subset C \Rightarrow A \cap B \subset C
माना A \subset C, B \subset C
तब x \in A \cap B \Rightarrow x \in A तथा x \in B \\ \Rightarrow x \in C तथा x \in C[\because A \subset C, B \subset C] \\ \Rightarrow x \in C \\ A \cap B \subset C \\ A \subset C, B \subset C \Rightarrow A \cap B \subset C
(ix) A \cap A^{\prime}=\phi \\ x \in A \cap A^{\prime} \Rightarrow x \in A तथा x \notin A^{\prime} \\ x \in A, x \notin A^{\prime} \Rightarrow A \cap A^{\prime}=\phi
समुच्चयों का अन्तर (Difference of Sets):
समुच्चयों A और B का अन्तर उन अवयवों का समुच्चय है जो A में है किन्तु B में नहीं हैं जबकि A और B को इसी क्रम में लिया जाए।प्रतीकात्मक रूप में इसे A-B लिखते हैं और “A अन्तर B” पढ़ते हैं।
अन्तर समुच्चय के कुछ गुणधर्म (Properties Difference Set)

(i)A-A=\phi, A-\phi=A, \phi-A=\phi)
(ii) A-B \neq B-A(जबकि A \neq B )
(iii) (A-B)-C \neq A-(B-C)
(iv) (A-B) \cap B=\phi
(v)(A-B) \cup(A \cap B)=A
(Vi) (A-B) \cup(B-A)=(A \cup B)-(A \cap B)
(vii) A \subset B \Rightarrow A-B=\phi
(viii)A-B=A \cap B^{\prime}, B-A=A^{\prime} \cap B
उपपत्ति (Proof):(i) A-A=\phi \\ A-\phi=A, \quad \phi-A=\phi \\ x \in A-A \Rightarrow x \in A तथा x \not \in A \\ x \in \phi \therefore A-A \subset \phi \\ \therefore A-A=\phi परन्तु \phi \subset A-A \\ A-\phi={ x: x \in A तथा x \not \in \phi}
\Rightarrow x \in A \\ \Rightarrow A-\phi=A \\ \phi-A ={ x : x \in \phi तथा x \not \in A } 

\Rightarrow \phi-A =\phi \quad[x=\phi]
(ii) A-B \neq B-A  (  जबकि A \neq B )
A-B= { x : x \in A तथा x \notin B }
B-A= { x : x \in B तथा x \notin A }

A-B में वे अवयव है जो B में नहीं हो परन्तु A में है।
इसी प्रकार B-A में वे अवयव हैं जो B में हैं परन्तु A में नहीं है। A \neq B अतः A-B व B-A में उभयनिष्ठ अवयव नहीं है।  फलतः

(A-B) \cap(B-A)=\phi \\ \Rightarrow A-B \neq B-A
(iv)(A-B) \cap B=\phi
यदि x \in B \Rightarrow x \notin A-B(परिभाषा से)

x \in B, x \notin A-B \Rightarrow(A-B) \cap B=\phi
(v)(A-B) \cup(A \cap B)=A
माना A-B=P
(A-B) \cup(A \cap B)=P \cup(A \cap B) \\ (P \cup A) \cap(P \cup B) [बंटन गुणधर्म से]

=[(A-B) \cup A] \cap[(A-B) \cup B] \\ =[(A \cap B^{\prime}) \cup A] \cap \left[(A \cap B^{\prime}) \cup B\right] [\because A-B=A \cap B{\prime}] \\ =[(A \cup A) \cap\left(B^{\prime} \cup A\right)] \cap \left[(A \cup B) \cap\left(B^{\prime} \cup B\right)\right] \\ =[A \cap(B^{\prime} \cup A)] \cap[(A \cup B) \cap (B^{\prime} \cup B)] \\ =(A) \cap[(A \cup B) \cap U] \left[ \because A \cup B^{\prime} \subset A, B \cup B^{\prime}=U\right] \\ =A \cap(A \cup B) \\ =A \quad[\because A \subset A \cup B] \\ (A-B) \cup(A \cap B)=A
(vi)( A-B) \cup (B-A) =(A \cup B)-(A \cap B) \\ A-B=A \cap B^{\prime} तथा B-A=B \cap A^{\prime}[(viii) से]

L.H.S. (A-B) \cup(B-A) \\ =\left(A \cap B^{\prime}\right) \cup\left(B \cap A^{\prime}\right) \\ =\left[\left(A \cap B^{\prime}\right) \cup B\right] \cap\left[\left(A \cap B^{\prime}\right) \cup A^{\prime}\right] [बंटन गुणधर्म से]
=[(A \cup B) \cap(B^{\prime} \cup B)] \cap\left[(A \cup A^{\prime}) \cap\left(B^{\prime} \cup A^{\prime}\right)\right] [बंटन गुणधर्म से]

=[(A \cup B) \cap U] \cap \left[U \cap\left(B^{\prime} \cap A^{\prime}\right)\right][\because A \cup A^{\prime}=U]\\ =(A \cup B) \cap\left(A^{\prime} \cup B^{\prime}\right) [\because A \cap U=U \cap A=A] \\ =(A \cup B) \cap(A \cap B)^{\prime}\left[\because A^{\prime} \cup B^{\prime}=(A \cap B)^{\prime}\right] \\ =(A \cup B)-(A \cap B)\left[\because A \cap B^{\prime}=A-B\right] \\ \Rightarrow(A-B) \cup(B-A)=(A \cup B)-(A \cap B)
(vii)माना A \subset B तब
x \in A-B \quad \Rightarrow x \in A तथा x \notin B \\ \Rightarrow x \in B तथा x \notin B \left [ A \subset B \right ]\\ \Rightarrow x \in \phi\\ \therefore A-B \subset \phi \\ \phi \subset A-B [ \phi प्रत्येक समुच्चय का उपसमुच्चय होता है]
अतः A-B=\phi \\ A \subset B \Rightarrow A-B=\phi
(viii)A-B=A \cap B^{\prime},B -A=A^{\prime} \cap B
माना x \in A-B तब
x \in A- B \Rightarrow x \in A तथा x \notin B \\ \Rightarrow x \in A तथा x \in B^{\prime} \\ \Rightarrow x \in A \cap B^{\prime} \\ A-B \subset A \cap B^{\prime} \ldots(1)
पुनः y \in A \cap B^{\prime} तब
y \in A \cap B^{\prime} \Rightarrow y \in A तथा y \in B^{\prime} \\ \Rightarrow y \in A तथा y \notin B \\ \Rightarrow y \subset A-B \\ \therefore A \cap B^{\prime} \subset A-B \ldots(2) 
(1) व (2) से:

A-B=A \cap B^{\prime}
इसी प्रकार सिद्ध कर सकते हैं कि:

B-A=A^{\prime} \cup B
उपर्युक्त विवरण में समुच्चयों पर संक्रियायें कक्षा 11 (Operations on Sets Class 11),गणित में समुच्चयों पर संक्रियायें (Operations on Sets in Mathematics) के बारे में बताया गया है।

4.समुच्चयों पर संक्रियायें कक्षा 11 पर आधारित सवाल (Questions Based on Operations on Sets Class 11):

Operations on Sets Class 11

यदि A,B,C सार्वत्रिक समुच्चय U के उपसमुच्चय हैं तो सिद्ध करो:

(1.) (A \cup C) \cap\left(B \cap C^{\prime}\right) \subset A \cup B
(2.) (A \cap B) \subset (A \cap C) \cup(B \cap C^{\prime})

उपर्युक्त सवालों को हल करने पर समुच्चयों पर संक्रियायें कक्षा 11 (Operations on Sets Class 11),गणित में समुच्चयों पर संक्रियायें (Operations on Sets in Mathematics) को ठीक से समझ सकते हैं।

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5.समुच्चयों पर संक्रियायें कक्षा 11 (Operations on Sets Class 11),गणित में समुच्चयों पर संक्रियायें (Operations on Sets in Mathematics) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.समुच्चयों में डी-मार्गन नियम सिद्ध करो। (Prove the rule De-Margan’s Law in Sets):

उत्तर:(i)(A \cup B)^{\prime}=A^{\prime} \cap B^{\prime} \\ a \Leftrightarrow A \Leftrightarrow a \notin A^{\prime} \\ x \in(A \cup B)^{\prime} \Rightarrow x \notin A \cup B \\ \Rightarrow x \notin A तथा x \notin B \\ \Rightarrow x \in A^{\prime} तथा x \in B^{\prime} \\ \Rightarrow x \in A^{\prime} \cap B^{\prime} \\ (A \cup B)^{\prime} \subset A^{\prime} \cap B^{\prime} \ldots(1)
विलोमत (Conversely):x \in A^{\prime} \cap B^{\prime} \Rightarrow x \in A^{\prime} तथा x \in B^{\prime} \\ \Rightarrow x \notin A तथा x \notin B \\ \Rightarrow x \notin A \cup B \\ \Rightarrow x \in(A \cup B)^{\prime} \\ A^{\prime} \cap B^{\prime} \subset (A \cup B)^{\prime} \ldots(2)
(1) व (2) से:
A^{\prime} \cap B^{\prime} =(A \cup B)^{\prime}
(ii) x \in(A \cap B)^{\prime} \Rightarrow x \notin A \cap B \\ \Rightarrow x \notin A या x \notin B \\ \Rightarrow x \in A^{\prime} या x \in B^{\prime} \\ \Rightarrow x \in A^{\prime} \cup B^{\prime} \\ (A \cap B)^{\prime} \subset A^{\prime} \cup B^{\prime} \ldots(3)
विलोमत (Conversely): x \in A^{\prime} \cup B^{\prime} \Rightarrow x \in A^{\prime} या x \in B^{\prime} \\ \Rightarrow x \notin A या x \notin B \\ \Rightarrow x \notin \cap A B \\ \Rightarrow x \in(A \cap B)^{\prime} \\ \Rightarrow A^{\prime} \cup B^{\prime} \subset (A \cap B)^{\prime} \ldots(4)
(3) व (4) से:
A^{\prime} \cup B^{\prime}=(A \cap B)^{\prime}

प्रश्न:2.समुच्चयों में बंटन नियम सिद्ध करो। (Prove the law of distributive with respect to union in sets):

उत्तर: A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C) \\ x \in A \cup(B \cap C) \\ \Rightarrow x \in A या x \in B \cap C \\ \Rightarrow (x \in A या x \in A) या (x \in B तथा x \in C) \\ \Rightarrow(x \in A या x \in B) तथा (x \in A या x \in C) \\ \Rightarrow x \in A \cup B तथा x \in A \cup C \\ \Rightarrow x \in(A \cup B) \cap(A \cup C) \\ A \cup(B \cap C) \subset (A \cup B) \cap(A \cup C) \ldots(1) \\ y \in(A \cup B) \cap(A \cup C) \\ \Rightarrow y \in(A \cup B) तथा y \in A \cup C \\ \Rightarrow (y \in A या y \in B) तथा (y \in A या y \in C) \\ \Rightarrow(y \in A तथा y \in A) या (y \in B या y \in C) \\ \Rightarrow y \in A या y \in B \cap C \\ \therefore(A \cup B) \cap (A \cap C) \subset A \cup(B \cap C) \ldots(2)
(1) व (2) से:
(A \cup B) \cap(A \cup C)= A \cup (B \cap C)

प्रश्न:3.असंयुक्त समुच्चय की परिभाषा लिखो। (Write the definition of the disjoint set):

उत्तर:जब दो समुच्चयों में कोई अवयव उभयनिष्ठ नहीं हो तो वे असंयुक्त समुच्चय कहलाते हैं।अर्थात् यदि A व B असंयुक्त समुच्चय है तो
A \cap B=\phi
असंयुक्त समुच्चय A एवं B का वेन आरेख इस प्रकार होगा जिसमें A व B में कोई भी उभयनिष्ठ अवयव नहीं हों।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा समुच्चयों पर संक्रियायें कक्षा 11 (Operations on Sets Class 11),गणित में समुच्चयों पर संक्रियायें (Operations on Sets in Mathematics) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

समुच्चयों पर संक्रियायें कक्षा 11 (Operations on Sets Class 11) में समुच्चयों पर तीन मुख्य
संक्रियायें क्रमशः संघ (Union),सर्वनिष्ठ (Intersection) और अन्तर (Difference) होती हैं।