Operation on Matrices Class 12
1.आव्यूहों पर संक्रियाएँ कक्षा 12 (Operation on Matrices Class 12),कक्षा 12 में आव्यूहों पर संक्रियाएँ (Operation on Matrices in Class 12):
आव्यूहों पर संक्रियाएँ कक्षा 12 (Operation on Matrices Class 12) के इस आर्टिकल में आव्यूहों का योग,किसी आव्यूह का एक अदिश से गुणा,आव्यूहों का व्यवकलन तथा गुणा के बारे मे अध्ययन करेंगे।
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2.आव्यूहों पर संक्रियाएँ कक्षा 12 के साधित उदाहरण (Operation on Matrices Class 12 Solved Examples):
Example:1.मान लीजिए A=\left[\begin{array}{ll}2 & 4 \\ 3 & 2\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\ -2 & 5\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{cc}-2 & 5 \\ 3 & 4\end{array}\right] तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिएः
Example:1(i).A+B
Solution: A+B=\left[\begin{array}{ll}2 & 4 \\ 3 & 2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\ -2 & 5\end{array}\right] \\=\left[\begin{array}{ll}2+1 & 4+3 \\ 3-2 & 2+5\end{array}\right] \\ \Rightarrow A+B=\left[\begin{array}{ll}3 & 7 \\ 1 & 7\end{array}\right]
Example:1(ii).A-B
Solution: A-B=\left[\begin{array}{ll}2 & 4 \\ 3 & 2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\ -2 & 5\end{array}\right] \\=\left[\begin{array}{ll}2-1 & 4-3 \\ 3+2 & 2-5\end{array}\right] \\ \Rightarrow A-B=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 5 & -3\end{array}\right]
Example:1(iii).3A-C
Solution: 3A-C=3 \left[\begin{array}{ll}2 & 4 \\ 3 & 2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}-2 & 5 \\3 & 4\end{array}\right] \\=\left[\begin{array}{cc}6 & 12 \\ 9 & 6 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc} -2 & 5 \\3 & 4\end{array}\right] \\ \Rightarrow 3 A-C=\left[\begin{array}{ll}6+2 & 12-5 \\9-3 & 6-4 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{ll} 8 & 7 \\ 6 & 2 \end{array}\right]
Example:1(iv).AB
Solution: A B =\left[\begin{array}{ll}2 & 4 \\3 & 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\-2 & 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 2 \times 1+4 \times-2 & 2 \times 3+4 \times 5 \\3 \times 1+2 \times-2 & 3 \times 3+2 \times 5\end{array}\right] \\ \Rightarrow A B=\left[\begin{array}{cc}-6 & 26 \\-1 & 19\end{array}\right]
Example:1(v).BA
Solution: BA=\left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\-2 & 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2 & 4 \\3 & 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 \times 2+3 \times 3 & 1 \times 4+3 \times 2 \\-2 \times 2+5 \times 3 & -2 \times 4+5 \times 2\end{array}\right] \\ BA=\left[\begin{array}{ll}11 & 10 \\11 & 2 \end{array}\right]
Example:2.निम्नलिखित को परिकलित कीजिएः
Example:2(i). \left[\begin{array}{cc}a & b \\ -b & a\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll}a & b \\ b & a\end{array}\right]
Solution: \left[\begin{array}{cc}a & b \\ -b & a\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll}a & b \\ b & a\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}a+a & b+b \\-b+b & a+a\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}2 a & 2 b \\0 & 2 a\end{array}\right]
Example:2(ii). \left[\begin{array}{ll}a^2+b^2 & b^2+c^2 \\ a^2+c^2 & a^2+b^2 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}2 a b & 2 b c \\ -2 a c & -2 a b\end{array}\right]
Solution: \left[\begin{array}{ll}a^2+b^2 & b^2+c^2 \\ a^2+c^2 & a^2+b^2\end{array}\right] +\left[\begin{array}{cc}2 a b & 2 b c \\ -2 a c & -2 a b\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ll}a^2+b^2+2 a b & b^2+c^2+2 b c \\a^2+c^2-2 a c & a^2+b^2-2 a b\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ll} (a+b)^2 & \left(b+c\right)^2 \\(a-c)^2 & (a-b)^2\end{array}\right]
Example:2(iii). \left[\begin{array}{ccc}-1 & 4 & -6 \\ 8 & 5 & 16 \\ 2 & 8 & 5\end{array}\right] +\left[\begin{array}{ccc}12 & 7 & 6 \\ 8 & 0 & 5 \\ 3 & 2 & 4\end{array}\right]
Solution: \left[\begin{array}{ccc}-1 & 4 & -6 \\ 8 & 5 & 16 \\ 2 & 8 & 5\end{array}\right] +\left[\begin{array}{ccc}12 & 7 & 6 \\ 8 & 0 & 5 \\ 3 & 2 & 4\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc}-1+12 & 4+7 & -6+6 \\ 8+8 & 5+0 & 16+5 \\ 2+3 & 8+2 & 5+4\end{array}\right] \\= \left[\begin{array}{ccc}11 & 11 & 0 \\ 16 & 5 & 21 \\ 5 & 10 & 9\end{array}\right]
Example:2(iv). \left[\begin{array}{ll}\cos ^2 x & \sin ^2 x \\ \sin ^2 x & \cos ^2 x\end{array}\right] +\left[\begin{array}{cc}\sin ^2 x & \cos ^2 x \\ \cos ^2 x & \sin ^2 x\end{array}\right]
Solution: \left[\begin{array}{cc}\cos ^2 x & \sin ^2 x \\ \sin ^2 x & \cos ^2 x\end{array}\right] +\left[\begin{array}{cc}\sin ^2 x & \cos ^2 x \\ \cos ^2 x & \sin ^2 x\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ll}\cos ^2 x+\sin ^2 x & \sin ^2 x+\cos ^2 x \\ \sin ^2 x+\cos ^2 x & \cos ^2 x+\sin ^2 x\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right]
Example:3.निदर्शित गुणनफल परिकलित कीजिएः
Example:3(i). \left[\begin{array}{ll}a & b \\ -b & a\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}a & -b \\ b & a\end{array}\right]
Solution: \left[\begin{array}{cc}a & b \\ -b & a\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}a & -b \\ b & a \end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}a \times a+b \times b & a \times-b+b \times a \\-b \times a+a \times b & -b \times b+a \times a\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{cc}a^2+b^2 & 0 \\0 & a^2+b^2\end{array}\right]
Example:3(ii). \left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}2 & 3 & 4 \end{array}\right]
Solution: \left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}2 & 3 & 4\end{array}\right] =\left[\begin{array}{lll}1 \times 2 & 1 \times 3 & 1 \times 4 \\2 \times 2 & 2 \times 3 & 2 \times 4 \\3 \times 2 & 3 \times 3 & 3 \times 4 \end{array}\right] \\=\left[\begin{array}{lll}2 & 3 & 4 \\4 & 6 & 8 \\6 & 9 & 12\end{array}\right]
Example:3(iii). \left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\ 2 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1\end{array}\right]
Solution: \left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\ 2 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{lll}1 \times 1-2 \times 2 & 1 \times 2-2 \times 3 & 1 \times 3-2 \times 1 \\ 2 \times 1+3 \times 2 & 2 \times 2+3 \times 3 & 2 \times 3+3 \times 1\end{array}\right] \\=\left[\begin{array}{rrr}-3 & -4 & 1 \\ 8 & 13 & 9\end{array}\right]
Example:3(iv). \left[\begin{array}{lll}2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 6\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}1 & -3 & 5 \\ 0 & 2 & 4 \\ 3 & 0 & 5\end{array}\right]
Solution: \left[\begin{array}{lll}2 & 3 & 4 \\3 & 4 & 5 \\4 & 5 & 6\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1 & -3 & 5 \\0 & 2 & 4 \\3 & 0 & 5\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{lll}2 \times 1+3 \times 0+4 \times 3 & 2 \times-3+3 \times 2+4 \times 0 & 2 \times 5+3 \times 4+4 \times 5 \\ 3 \times 1+4 \times 0+5 \times 3 & 3 \times-3+4 \times 2+5 \times 0 & 3 \times 5+4 \times 4+5 \times 5 \\4 \times 1+5 \times 0+6 \times 3 & 4 \times-3+5 \times 2+6 \times 0 & 4 \times 5+5 \times 4+6 \times 5\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc}2+0+12 & -6+6+0 & 10+12+20 \\ 3+0+15 & -9+8+0 & 15+16+25 \\ 4+0+18 & -12+10+0 & 20+20+30\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc}4 & 0 & 42 \\ 18 & -1 & 56 \\ 22 & -2 & 70\end{array}\right]
Example:3(v). \left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 3 & 2 \\ -1 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & 1\end{array}\right]
Solution: \left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\3 & 2 \\-1 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\-1 & 2 & 1\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc}2 \times 1+1 \times-1 & 2 \times 0+1 \times 2 & 2 \times 1+1 \times 1 \\3 \times 1+2 \times-1 & 3 \times 0+2 \times 2 & 3 \times 1+2 \times 1 \\-1 \times 1+1 \times-1 & -1 \times 0+1 \times 2 & -1 \times 1+1 \times 1\end{array}\right] \\
=\left[\begin{array}{ccc}2-1 & 0+2 & 2+1 \\3-2 & 0+4 & 3+2 \\-1-1 & 0+2 & -1+1\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 5 \\-2 & 2 & 0\end{array}\right]
Example:3(vi). \left[\begin{array}{ccc}3 & -1 & 3 \\ -1 & 0 & 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2 & -3 \\ 1 & 0 \\ 3 & 1\end{array}\right]
Solution: \left[\begin{array}{ccc}3 & -1 & 3 \\-1 & 0 & 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2 & -3 \\1 & 0 \\3 & 1\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{cc}3 \times 2-1 \times 1+3 \times 3 & 3 \times-3-1 \times 0+3 \times 1 \\-1 \times 2+0 \times 1+2 \times 3 & -1 \times-3+0 \times 0+2 \times 1\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{cc}6-1+9 & -9+0+3 \\-2+0+6 & 3+0+2\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}14 & -6 \\4 & 5\end{array}\right]
Example:4.यदि A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -3 \\ 5 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ccc}3 & -1 & 2 \\ 4 & 2 & 5 \\ 2 & 0 & 3\end{array}\right] तथा C=\left[\begin{array}{ccc}4 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 2 \\ 1 & -2 & 3\end{array}\right] तो A+B तथा B-C परिकलित कीजिए।साथ ही सत्यापित कीजिए कि A+(B-C)=(A+B)-C
Solution: A+B=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -3 \\ 5 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right] +\left[\begin{array}{ccc}3 & -1 & 2 \\ 4 & 2 & 5 \\ 2 & 0 & 3\end{array}\right] \\ \Rightarrow A+B=\left[\begin{array}{ccc}1+3 & 2-1 & -3+2 \\ 5+4 & 0+2 & 2+5 \\ 1+2 & -1+0 & 1+3 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}4 & 1 & -1 \\ 9 & 2 & 7 \\ 3 & -1 & 4\end{array}\right] \\ B-C=\left[\begin{array}{ccc}3 & -1 & 2 \\ 4 & 2 & 5 \\ 2 & 0 & 3\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}4 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 2 \\ 1 & -2 & 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}3-4 & -1-1 & 2-2 \\ 4-0 & 2-3 & 5-2 \\ 2-1 & 0+2 & 3-3\end{array}\right] \\ \Rightarrow B-C=\left[\begin{array}{ccc}-1 & -2 & 0 \\ 4 & -1 & 3 \\ 1 & +2 & 0\end{array}\right] \\ \text{L.H.S.} \\ A+(B-C) =\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -3 \\ 5 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}-1 &-2 & 0 \\ 4 & -1 & 3 \\ 1 & +2 & 0\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc}1-1 & 2-2 & -3+0 \\ 5+4 & 0-1 & 2+3 \\ 1+1 & -1+2 & 1+0\end{array}\right] \\ \Rightarrow A+(B-C)=\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & -3 \\ 9 & -1 & 5 \\ 2 & 1 & 1\end{array}\right] \cdots(1) \\ \text{R.H.S} (A+B)-C=\left[\begin{array}{ccc}4 & 1 & -1 \\ 9 & 2 & 7 \\ 3 & -1 & 4\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}4 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 2 \\ 1 & -2 & 3\end{array}\right] \\ = \left[\begin{array}{ccc}4-4 & 1-1 & -1-2 \\ 9-0 & 2-3 & 7-2 \\ 3-1 & -1+2 & 4-3\end{array}\right] \\ \Rightarrow(A+B)-C=\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & -3 \\ 9 & -1 & 5 \\ 2 & 1 & 1\end{array}\right] \cdots(2)
(1) व (2) सेः
A+(B-C)=(A+B)-C
Example:5.यदि A=\left[\begin{array}{lll}\frac{2}{3} & 1 & \frac{5}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{4}{3} \\ \frac{7}{3} & 2 & \frac{2}{3}\end{array}\right] तथा B=\left[\begin{array}{lll}\frac{2}{5} & \frac{3}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & \frac{2}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{7}{5} & \frac{6}{5} & \frac{2}{5}\end{array}\right] तो 3A-5B परिकलित कीजिए।
Solution: 3 A-5 B=3\left[\begin{array}{ccc}\frac{2}{3} & 1 & \frac{5}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{4}{3} \\ \frac{7}{3} & 2 & \frac{2}{3}\end{array}\right]-5\left[\begin{array}{ccc}\frac{2}{5} & \frac{3}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & \frac{2}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{7}{5} & \frac{6}{5} & \frac{2}{5}\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{lll}2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 4 \\ 7 & 6 & 2\end{array}\right] - \left[\begin{array}{lll}2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 4 \\ 7 & 6 & 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}2-2 & 3-3 & 5-5 \\ 1-1 & 2-2 & 4-4 \\ 7-7 & 6-6 & 2-2\end{array}\right] \\ \Rightarrow 3 A-5 B=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]
Example:6.सरल कीजिए, \cos \theta\left[\begin{array}{c}\cos \theta \sin \theta \\ -\sin \theta \cos \theta\end{array}\right]+\sin \theta \left[\begin{array}{cc}\sin \theta & -\cos \theta \\ \cos \theta & \sin \theta\end{array}\right]
Solution: \cos \theta\left[\begin{array}{c}\cos \theta \sin \theta \\ -\sin \theta \cos \theta\end{array}\right] +\sin \theta \left[\begin{array}{cc}\sin \theta & -\cos \theta \\ \cos \theta & \sin \theta\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{c}\cos ^2 \theta & \cos \theta \sin \theta \\-\cos \theta \sin \theta &\cos ^2 \theta\end{array}\right]+\left[\begin{array}{l}\sin ^2 \theta &-\sin \theta \cos \theta \\ \sin \theta \cos \theta & \sin ^2 \theta\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{cc}\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta & \cos \theta \sin \theta-\sin \theta \cos \theta \\ -\cos \theta \sin \theta+\sin \theta \cos \theta & \cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]
Example:7.X तथा Y ज्ञात कीजिए यदि
Example:7(i). x+Y=\left[\begin{array}{ll}7 & 0 \\ 2 & 5\end{array}\right] तथा X-Y=\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 0 & 3\end{array}\right]
Solution: X+Y=\left[\begin{array}{ll}7 & 0 \\ 2 & 5\end{array}\right] \cdots(1)\\ X-Y=\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 0 & 3\end{array}\right] \cdots(2)
(1) व (2) को जोड़ने परः
2X=\left[\begin{array}{ll}7 & 0 \\ 2 & 5\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 0 & 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}7+3 & 0+0 \\ 2+0 & 5+3\end{array}\right] \\ \Rightarrow X=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ll}10 & 0 \\ 2 & 8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}5 & 0 \\ 1 & 4\end{array}\right]
(1) में से (2) घटाने परः
2 Y=\left[\begin{array}{ll}7 & 0 \\ 2 & 5\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 0 & 3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}7-3 & 0-0 \\ 2-0 & 5-3\end{array}\right] \\ \Rightarrow Y=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ll}4 & 0 \\ 2 & 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right]
Example:7(ii). 2 X+3 Y=\left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 4 & 0\end{array}\right] तथा 3 X+2 Y=\left[\begin{array}{cc}2 & -2 \\ -1 & 5\end{array}\right]
Solution: 2 X+3 Y=\left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 4 & 0\end{array}\right] \cdots(1) \\ 3 X+2 Y=\left[\begin{array}{cc}2 & -2 \\ -1 & 5\end{array}\right] \cdots(2)
समीकरण (1) को 2 से तथा समीकरण (2) को 3 से गुणा करने परः
4 X+6 Y=\left[\begin{array}{ll}4 & 6 \\ 8 & 0\end{array}\right] \ldots(3) \\ 9 X+6 Y=\left[\begin{array}{cc}6 & -6 \\ -3 & 15\end{array}\right] \cdots(4)
(4) में से (3) घटाने परः
5X=\left[\begin{array}{cc}6 & -6 \\ -3 & 15\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ll}4 & 6 \\ 8 & 0 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}6-4 & -6-6 \\ -3-8 & 15-0\end{array}\right] \\ X=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{cc}2 & -12 \\ -11 & 15\end{array}\right] \Rightarrow X=\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{5} & -\frac{12}{5} \\ \frac{-11}{5} & 3\end{array}\right]
X का मान समीकरण (1) में रखने परः
2\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{5} & -\frac{12}{5} \\ -\frac{11}{5} & 3\end{array}\right]+3Y = \left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 4 & 0\end{array}\right] \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} & -\frac{24}{5} \\ -\frac{12}{5} & 6\end{array}\right]+3 Y=\left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 4 & 0\end{array}\right] \\ \Rightarrow 3 Y=\left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 4 & 0\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} & -\frac{24}{5} \\ \frac{22}{5} & 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}2-\frac{4}{5} & 3+\frac{24}{5} \\ 4+\frac{22}{5} & 0-6\end{array}\right] \\ \Rightarrow Y=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{ll}\frac{6}{5} & \frac{39}{5} \\ \frac{42}{5} & -2\end{array}\right] \Rightarrow Y=\left[\begin{array}{ll}\frac{2}{5} & \frac{13}{5} \\ \frac{14}{5} & -2\end{array}\right]
Example:8.X तथा Y ज्ञात कीजिए यदि Y=\left[\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 1 & 4\end{array}\right] तथा 2X+Y=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ -3 & 2\end{array}\right]
Solution: Y=\left[\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 1 & 4\end{array}\right] \cdots(1) \\ 2 X+Y=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\-3 & 2\end{array}\right] \cdots(2)
समीकरण (2) में से (1) घटाने परः
2X=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\-3 & 2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ll}3 & 2 \\1 & 4 \end{array}\right] \\ \Rightarrow X=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}1-3 & 0-2 \\-3-1 & 2-4 \end{array}\right] \\ =\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}-2 & -2 \\-4 & -2\end{array}\right] \\ \Rightarrow X =\left[\begin{array}{ll}-1 & -1 \\-2 & -1\end{array}\right]
Example:9.x तथा y ज्ञात कीजिए यदि 2\left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 0 & x\end{array}\right] +\left[\begin{array}{ll}y & 0 \\ 1 & 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}5 & 6 \\ 1 & 8\end{array}\right]
Solution: 2\left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 0 & x\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll}y & 0 \\ 1 & 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}5 & 6 \\ 1 & 8\end{array}\right] \\ \Rightarrow\left[\begin{array}{ll}2 & 6 \\ 0 & 2 x\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll}y & 0 \\ 1 & 2\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ll}5 & 6 \\ 1 & 8\end{array}\right] \\ \Rightarrow\left[\begin{array}{cc}2+y & 6 \\ 1 & 2 x+2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}5 & 6 \\ 1 & 8\end{array}\right]
समान आव्यूहों के संगत अवयवों की तुलना करने परः
2+y=5 \Rightarrow y=5-2=3 \\ 2 x+2=8 \Rightarrow 2 x=8-2=6 \Rightarrow x=3 \\ x=3, y=3
Example:10.प्रदत्त समीकरण को x,y,z तथा t के लिए हल कीजिए यदिः
2\left[\begin{array}{ll}x & z \\y & 1\end{array}\right]+3\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\0 & 2\end{array}\right]=3\left[\begin{array}{ll} 3 & 5 \\4 & 6\end{array}\right]
Solution: 2\left[\begin{array}{ll}x & z \\ y & t\end{array}\right]+3\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 0 & 2\end{array}\right]=3\left[\begin{array}{ll}3 & 5 \\ 4 & 6\end{array}\right] \\ \Rightarrow\left[\begin{array}{ll}2 x & 2 z \\2 y & 2 t\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}3 & -3 \\0 & 6\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ll}9 & 15 \\12 & 18\end{array}\right] \\ \Rightarrow\left[\begin{array}{cc}2 x+3 & 2 z-3 \\ 2 y & 2 t+6 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 9 & 15 \\ 12 & 18\end{array}\right]
समान आव्यूहों के संगत अवयवों की तुलना करने परः
2 x+3=9 \Rightarrow 2 x=9-3=6 \Rightarrow x=2 \\ 2 y=12 \Rightarrow y=6 \\ 2 z-3=15 \Rightarrow 2 z=15+3=18 \Rightarrow z=9 \\ 2 t+6=18 \Rightarrow 2 t=18-6=12 \Rightarrow t=6 \\ x=2, y=6, z=9, t=6
Example:11.यदि x\left[\frac{2}{3}\right]+y\left[\begin{array}{c}-1 \\ 1\end{array}\right] =\left[\begin{array}{c}10 \\ 5\end{array}\right] है तो x तथा y के मान ज्ञात कीजिए।
Solution: x\left[\frac{2}{3}\right]+y\left[\begin{array}{c}-1 \\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}10 \\ 5\end{array}\right] \\ \Rightarrow\left[\begin{array}{l}2 x \\ 3 x\end{array}\right]+ \left[\begin{array}{c}-y \\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}10 \\ 5\end{array}\right] \\ \Rightarrow\left[\begin{array}{c}2 x-y \\ 3 x+y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}10 \\ 5\end{array}\right]
दोनों समान आव्यूहों के संगत अवयवों की तुलना करने परः
2 x-y=10 \cdots(1) \\ 3 x+y=5 \cdots(2)
(1) व (2) को जोड़ने परः
5 x=15 \Rightarrow x=\frac{15}{5}=3
x का मान समीकरण (2) में रखने परः
3 \times 3+y=5 \Rightarrow y=5-9=-4
y=5-9=-4
x=3,y=-4
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा आव्यूहों पर संक्रियाएँ कक्षा 12 (Operation on Matrices Class 12),कक्षा 12 में आव्यूहों पर संक्रियाएँ (Operation on Matrices in Class 12) को समझ सकते हैं।
Example:12.यदि 3\left[\begin{array}{ll}x & y \\ z & w\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}x & 6 \\ -1 & 2 w\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll}4 & x+y \\ z+w & 3\end{array}\right] है तो x,y, z तथा w के मानों को ज्ञात कीजिए।
Solution: 3\left[\begin{array}{ll}x & y \\ z & w\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}x & 6 \\ -1 & 2 w\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll}4 & x+y \\ z+w & 3\end{array}\right] \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{ll}3 x & 3 y \\ 3 z & 3 w\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}x+4 & 6+x+y \\ -1+z+w & 2 w+3\end{array}\right]
समान आव्यूहों के संगत अवयवों की तुलना करने परः
3 x=x+4 \Rightarrow 2 x=4 \Rightarrow x=2 \\ 3 y=6+x+y \Rightarrow 3 y=6+2+y \Rightarrow 2 y=8 \Rightarrow y=4 \\ 3 w=2 w+3 \Rightarrow w=3 \\ 3 z=-1+z+w \Rightarrow 2 z=-1+3 \Rightarrow 2 z=2 \Rightarrow z=1 \\ x=2, y=4, z=1, w=3
Example:13.यदि F(x)=\left[\begin{array}{ccc}\cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] है तो सिद्ध कीजिए कि F(x).F(y)=F(x+y)
Solution: F(x)=\left[\begin{array}{ccc}\cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \\ F(y)=\left[\begin{array}{ccc}\cos y & -\sin y & 0 \\\sin y & \cos y & 0 \\0 & 0 & 1 \end{array}\right] \\ F(x) \cdot F(y)=\left[\begin{array}{ccc}\cos x & -\sin x & 0 \\\sin x & \cos x & 0 \\0 & 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc} \cos y & -\sin y & 0 \\\sin y & \cos y & 0 \\0 & 0 \end{array}\right] \\=\left[\begin{array}{ccc}\cos x \cos y-\sin x \sin y & -\cos x \sin y-\sin x \cos y & 0 \\ \sin x \cos y+\cos x \sin y & -\sin x \sin y+\cos x \cos y & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc}\cos (x+y) & -\sin (x+y) & 0 \\ \sin (x+y) & \cos (x+y) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \\ =F(x+y) \\ \Rightarrow F(x) \cdot F(y)=F(x+y)
Example:14.दर्शाइए कि
Example:14(i). \left[\begin{array}{cc}5 & -1 \\ 6 & 7\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 3 & 4\end{array}\right] \neq\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 3 & 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}5 & -1 \\ 6 & 7\end{array}\right]
Solution: \left[\begin{array}{cc}5 & -1 \\ 6 & 7\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}\right] \neq\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 3 & 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}5 & -1 \\ 6 & 7\end{array}\right] \\ \text { L.H.S }\left[\begin{array}{cc}5 & -1 \\6 & 7\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\3 & 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 5 \times 2-1 \times 3 & 5 \times 1-1 \times 4 \\6 \times 2+7 \times 3 & 6 \times 1+7 \times 4\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{cc}10-3 & 5-4 \\12+21 & 6+28\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}7 & 1 \\33 & 34\end{array}\right] \cdots(1) \\ \text{R.H.S.} \left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 3 & 4\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}5 & -1 \\ 6 & 7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}2 \times 5+1 \times 6 & 2 \times-1+1 \times 7 \\ 3 \times 5+4 \times 6 & 3 \times-1+4 \times 7\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ll}10+6 & -2+7 \\15+24 & -3+28\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}16 & 5 \\39 & 25\end{array}\right] \cdots(2)
(1) व (2) सेः
\left[\begin{array}{cc}5 & -1 \\6 & 7\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\3 & 4\end{array}\right] \neq\left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\3 & 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}5 & -1 \\6 & 7 \end{array}\right]
Example:14(ii). \left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 4\end{array}\right]\neq \left[\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]
Solution: \left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 4\end{array}\right]\neq \left[\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right] \\ \text{L.H.S.} \left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 4\end{array}\right]= \left[\begin{array}{lll}1 \times -1+2 \times 0+3 \times 2 & 1 \times 1+2 \times -1+3 \times 3 & 1 \times 0+2 \times 1+3 \times 4 \\ 0 \times -1+1 \times 0+0 \times 2 & 0 \times 1+1 \times-1+0 \times 3 & 0 \times 0+1 \times 1+0 \times 4 \\ 1 \times-1+4 \times 0+0 \times 2 & 1 \times 1+1 \times-1+0 \times 3 & 1 \times 0+1 \times 1+0 \times 4\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc}-1+6 & 1-2+9 & 2+12 \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}5 & 8 & 14 \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right] \cdots(1) \\ \text{R.H.S.}\left[\begin{array}{lll}-1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right] =\left[\begin{array}{lll}-1 \times 1+1 \times 0+6 \times 1 & -1 \times 2+ 1 \times 1+0 \times 1 & -1 \times 3+1 \times 2+0 \times 0 \\ 0 \times 1-1 \times 0+1 \times 1 & 0 \times 2-1 \times 1+1 \times1 & 0 \times 3-1 \times 0+1 \times 0 \\ 2 \times 1+3 \times 0+4 \times 1 & 2 \times 2 \times+3 \times 1+4 \times 1 & 2 \times 3+3 \times 0+4 \times 0\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc}-1 & -2+1 & -3 \\1 & 9 & 0 \\2+4 & 4+3+4 &6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-1 & -1 & -3 \\1 & 0 & 0 \\ 6 & 11 & 6\end{array}\right] \cdots(2)
(1) व (2) सेः
\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\0 & 1 & 0 \\1 & 1 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 0 \\0 & -1 & 1 \\2 & 3 & 4 \end{array}\right] \neq\left[\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 0 \\0 & -1 & 1 \\2 & 3 & 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\0 & 1 & 0 \\1 & 1 & 0\end{array}\right]
Example:15.यदि A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 0\end{array}\right] है तो A^2-5 A+6 I का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: A=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 6\end{array}\right] \\ A^2 =\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & 1 \\2 & 1 & 3 \\1 & -1 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & 1 \\2 & 1 & 3 \\1 & -1 & 0\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc}2 \times 2+0 \times 2+1 \times 1 & 2 \times 0+0 \times 1+1 \times-1 & 2 \times 1+0 \times 3+1 \times 0 \\2 \times 2+1 \times 2+3 \times 1 & 2 \times 0+1 \times 1+3 \times-1 & 2 \times 1+1 \times 3+3 \times 0 \\ 1 \times 2-1 \times 2+0 \times 1 & 1 \times 0-1 \times 1+3 \times-1 & 1 \times 1-1 \times 3+0 \times 0\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc}4+1 & -1 & 2 \\ 4+2+3 & 1-3 & 2+3 \\ 2-2 & -1 & -1-3\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc}5 & -1 & 2 \\ 9 & -2 & 5 \\ 0 & -1 & -2\end{array}\right] \\ A^2-5 A+6 I= \left[\begin{array}{lll}5 & -1 & 2 \\ 9 & -2 & 5 \\ 0 & -1 & -2\end{array}\right]-5\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 0\end{array}\right]+6\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc}5 & -1 & 2 \\ 9 & -2 & 5 \\ 0 & -1 & -2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}10 & 0 & 5 \\ 10 & 5 & 15 \\ 5 & -5 & 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{lll}6 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 6\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc}5-10+6 & -1-0+0 & 2-5+0 \\ 9-10+0 & -2-5+6 & 5-15+0 \\ 0-5+0 & -1+5+0 & -2+0+6\end{array}\right] \\ \Rightarrow A^2-5 A+6 I=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & -3 \\ -1 & -1 & -10 \\ -5 & 4 & 4\end{array}\right]
Example:16.यदि A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3\end{array}\right] है तो सिद्ध कीजिए कि A^3-6 A^2+7 A+2 I=0
Solution: A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 2\end{array}\right] \\ A^2=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{lll}1 \times 1+0 \times 0+2 \times 2 & 1 \times 0+0 \times 2+2 \times 0 & 1 \times 2 +0 \times 1+2 \times 3 \\ 0 \times 1+2 \times 0+1 \times 2 & 0 \times 0+2 \times 2+1 \times 0 & 0 \times 2+ 2 \times 1+1 \times 3 \\ 2 \times 1+0 \times 0+3 \times 2 & 2 \times 0+0 \times 2+3 \times 0 & 2 \times 2+ 0 \times 1+3 \times 3\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc}1+4 & 0 & 2+6 \\ 2 & 4 & 2+3 \\ 2+6 & 0 & 4+9\end{array}\right] \\ A^2=\left[\begin{array}{lll}5 & 0 & 8 \\ 2 & 4 & 5 \\ 8 & 0 & 13\end{array}\right] \\ A^3=A^2 \cdot A=\left[\begin{array}{lll}5 & 0 & 8 \\ 2 & 4 & 5 \\ 8 & 0 & 13\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{lll}5 \times 1+0 \times 0+8 \times 2 & 5 \times 0+0 \times 2+8 \times 0 & 5 \times 2+0 \times 1+8 \times 3 \\ 2 \times 1+4 \times 0+5 \times 2 & 2 \times 0+4 \times 2+5 \times 0 & 2 \times 2+4 \times 1+5 \times 3 \\ 8 \times 1+0 \times 0+3 \times 2 & 8 \times 0+0 \times 2+13 \times 0 & 8 \times 2+ 0 \times 1+13 \times 3\end{array}\right] \\=\left[\begin{array}{ccc}5+16 & 0 & 10+24 \\2+10 & 8 & 4+4+15 \\8+26 & 0 & 16+39 \end{array} \right] =\left[\begin{array}{ccc} 21 & 0 & 34 \\12 & 8 & 23 \\34 & 0 & 55\end{array}\right] \\ A^3-6 A^2+7 A+2 I =\left[\begin{array}{lll}21 & 0 & 4 \\ 12 & 8 & 23 \\ 34 & 0 & 55\end{array} \right] -6\left[\begin{array}{lll}5 & 0 & 8 \\ 2 & 4 & 5 \\ 8 & 0 & 13\end{array}\right]+7\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3\end{array}\right] +2\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{lll}21 & 08 & 34 \\ 12 & 8 & 23 \\ 34 & 0 & 55\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}30 & 0 & 48 \\ 12 & 24 & 30 \\ 48 & 0 & 78\end{array}\right] +\left[\begin{array}{ccc}7 & 0 & 14 \\ 0 & 14 & 7 \\ 14 & 0 & 21\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{lll}21-30+7+2 & 0-0+0+0 & 34-48+14+0 \\ 12-12+0+0 & 8-24+14+2 & 23-30+7+0 \\ 34-48+14+0 & 8-0+0+0 & 55-78+21+2\end{array}\right] \\ \\=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right] \\ A^3-6 A^2+7 A+2 I=0
Example:17.यदि A=\left[\begin{array}{ll}3 & -2 \\ 4 & -2\end{array}\right] तथा I=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] एवं A^2=K A-2 I हो तो k ज्ञात कीजिए।
Solution: A=\left[\begin{array}{ll}3 & -2 \\ 4 & -2\end{array}\right] \\ A^2=\left[\begin{array}{ll}3 & -2 \\4 & -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}3-2 \\4-2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}3 \times 3-2 \times 4 & 3 \times-2+2 \times-2 \\4 \times 3-2 \times 4 & 4 \times -2-2 \times-2\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{cc}9-8 & -6+4 \\12-8 &-8+4\end{array}\right] \\ A^2=\left[\begin{array}{ll}1 & -2\\ 4 &-4 \end{array}\right] \\ A^2=k A-2 I \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 4 &-4\end{array}\right] =k\left[\begin{array}{ll}3 & -2 \\ 4 & -2\end{array}\right]-2\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \\ \Rightarrow k\left[\begin{array}{ll}3 & -2 \\ 4 & -2\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}1- & -2 \\ 4 & -4\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right] \\=\left[\begin{array}{ll}1+2 &-2+0 \\ 4+0 & -4+2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}3 & -2 \\ 4 & -2\end{array}\right] \\ \Rightarrow K\left[\begin{array}{ll}3 & -2 \\ 4 & -2\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ll}3 & -2 \\ 4 & -2\end{array}\right]
तुलना करने परःk=1
Example:18.यदि A=\left[\begin{array}{cc}0 & -\tan \frac{\alpha}{2} \\ \tan \frac{\alpha}{2} & 0\end{array}\right] तथा I कोटि 2 का एक तत्समक आव्यूह है तो सिद्ध कीजिए कि
I+A=(I-A)\left[\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha\end{array}\right]
Solution: I+A=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0 & -\tan \frac{\alpha}{2} \\ \tan \frac{\alpha}{2} & 0\end{array}\right] \\ \Rightarrow I+A=\left[\begin{array}{lc}1 & -\tan \frac{\alpha}{2} \\ \tan \frac{\alpha}{2} & 1 \end{array}\right] \cdots(1)\\ \text{R.H.S } (I-A) \left[\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha\end{array}\right]=\left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}0 & -\tan \frac{\alpha}{2} \\ \tan \frac{\alpha}{2} & 0\end{array}\right]\right\}\left[\begin{array}{ll}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{cc}1 & \tan \frac{\alpha}{2} \\-\tan \frac{\alpha}{2} & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{cc}\cos \alpha+\sin \alpha \tan \frac{\alpha}{2} & -\sin \alpha+\cos \alpha \tan \frac{\alpha}{2} \\-\cos \alpha \tan \frac{\alpha}{2}+\sin \alpha & \sin \alpha \tan \frac{\alpha}{2}+\cos \alpha\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{cc}\cos ^2 \frac{\alpha}{2}-\sin ^2 \frac{\alpha}{2} +2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}& -2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}+\cos \alpha \cdot \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} \\ -\cos \alpha \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}+2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} & 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \cdot \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} + \cos ^2 \frac{\alpha}{2}- \sin ^2 \frac{\alpha}{2} \end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{ll}\cos ^2 \frac{\alpha}{2}-\sin ^2 \frac{\alpha}{2}+2 \sin ^2 \frac{\alpha}{2} & \sin \frac{\alpha}{2}\left(-2 \cos \frac{\alpha}{2}+\frac{\cos \alpha}{\cos \frac{\alpha}{2}}\right) \\ \sin \frac{\alpha}{2} \left(-\frac{\cos \alpha}{\cos \frac{\alpha}{2}}+2 \cos \frac{\alpha}{2}\right) & 2 \sin ^2 \frac{ \alpha}{2}+\cos ^2 \frac{\alpha}{2}-\sin ^2 \frac{ \alpha}{2}\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ll}1 & \tan \frac{\alpha}{2}\left(-\cos ^2 \frac{\alpha}{2}-\sin ^2 \frac{\alpha}{2}\right) \\ \tan \frac{\alpha}{2}\left(\sin ^2 \frac{\alpha}{2} +\cos ^2 \frac{\alpha}{2} \right) & 1\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{cc}1 & -\tan \frac{\alpha}{2} \left(\sin ^2 \frac{\alpha}{2}+\cos ^2 \frac{\alpha}{2}\right) \\ \tan \frac{\alpha}{2} & 1\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{cc}1 & -\tan \frac{\alpha}{2} \\ \tan \frac{\alpha}{2} & 1\end{array}\right] \\ (I-A)\left[\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}1 & -\tan \frac{\alpha}{2} \\ \tan \frac{\alpha}{2} & 1\end{array}\right] \cdots(2)
अतः (1) व (2) सेः
I+A=(I-A)\left[\begin{array}{ll}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right]
Example:19.किसी व्यापार संघ के पास 30,000 रुपयों का कोष है जिसे दो भिन्न-भिन्न प्रकार के बांडों में निवेशित करना है।प्रथम बांड पर 5% वार्षिक तथा द्वितीय बांड पर 7% वार्षिक ब्याज प्राप्त होता है।आव्यूह गुणन के प्रयोग द्वारा यह निर्धारित कीजिए कि 30,000 रुपयों के कोष को दो प्रकार के बांडों में निवेश करने के लिए किस प्रकार बाँटें जिससे व्यापार संघ को प्राप्त कुल वार्षिक ब्याज
(a)Rs. 1800 (b)Rs. 2000 हो
Solution:माना प्रथम प्रकार के बांडों पर निवेशित राशि=x
द्वितीय प्रकार के बांडों पर निवेशित राशि=30000-x
द्वितीय प्रकार के बांडों में निवेशित राशि=30000-x
\left[\begin{array}{ll}x & 30000-x\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}5 \% \\ 7 \%\end{array}\right] =[1800] \\ \Rightarrow x \times 5 \%+(30000-x) \times 7 \%=[1800] \\ \Rightarrow \left[\frac{5 x}{100}+\frac{210000-7 x}{100}\right]=[1800] \\ \Rightarrow-2 x+210000=1800 \times 100 \\ \Rightarrow-2 x=180000-210000 \\ -2x=-30000 \\ \Rightarrow x=15000
द्वितीय प्रकार के बांडों में निवेशित राशि=30000-15000=15000
(b) [x \quad 30000-x]=\left[\begin{array}{c}5 \% \\ 7 \%\end{array}\right]=[2000] \\ \Rightarrow [x \times 5 \%+(3000-x) \times 7 \%]=[2000] \\ \Rightarrow \frac{5 x}{100}+\frac{(30000-x) 7}{100}=2000 \\ \Rightarrow 5 x+210000-1 x=200000 \\ \Rightarrow -2 x=200000-210000 \\ \Rightarrow -2 x=-10000 \\ \Rightarrow x=5000
प्रथम प्रकार के बांडों में निवेशित राशि=5000
द्वितीय प्रकार के बांडों में निवेशित राशि=30000-x
=30000-5000=250000
Example:20.किसी स्कूल की पुस्तकों की दुकान में 10 दर्जन रसायन विज्ञान,8 दर्जन भौतिक विज्ञान तथा 10 दर्जन अर्थशास्त्र की पुस्तकें हैं।इन पुस्तकों का विक्रय मूल्य क्रमशः Rs.80,Rs.60 तथा Rs.40 प्रति पुस्तक है।आव्यूह बीजगणित के प्रयोग द्वारा ज्ञात कीजिए कि सभी पुस्तकों को बेचने से दुकान को कुल कितनी धनराशि प्राप्त होगी।
Solution:रसायन विज्ञान की पुस्तकें=10 दर्जन=10×12=120 पुस्तकें
भौतिक विज्ञान की पुस्तकें=8 दर्जन=8×12=96 पुस्तकें
अर्थशास्त्र की पुस्तकें=10 दर्जन=10×12=120 पुस्तकें
पुस्तकों की बिक्री से प्राप्त कुल राशि=\left[\begin{array}{lll}120 & 96 & 920\end{array}\right] \left[\begin{array}{l}80 \\ 60 \\ 40 \end{array}\right] \\ =[120 \times 80+96 \times 60+120 \times 40] \\ =[9600+5760+4800] \\ =\left[\begin{array}{l}20160 \end{array}\right]
पुस्तकों की बिक्री से प्राप्त कुल राशि=Rs.20160
मान लीजिए कि X,Y, Z,W तथा P क्रमशः 2×n,3×k,2×p,n×3 तथा p×k कोटियों के आव्यूह हैं।नीचे दिए गए प्रश्न संख्या 21 तथा 22 में सही उत्तर चुनिए।
Example:21.PY+WY के परिभाषित होने के लिए n,k तथा p पर क्या प्रतिबन्ध होगा?
(A)k=3,p=n (B) k स्वेच्छ है, p=2
(C)p स्वेच्छ है, k=3 (D)k=2,p=3
Solution:आव्यूह PY की कोटि=P की पंक्तियों की संख्या × Y के स्तम्भों की संख्या=p×k
तथा P के स्तम्भों की संख्या=Y की पंक्तियों की संख्या
k=3
आव्यूह WY की कोटि=W की पंक्तियों की संख्या × Y के स्तम्भों की संख्या=n×k
तथा W के स्तम्भों की संख्या=Y की पंक्तियों की संख्या
3=3
आव्यूह PY+WY में PY व WY की कोटि समान होनी चाहिए
p×k=n×k
p=n,k=3
अतः विकल्प (A) सही है।
Example:22.यदि n=p तो आव्यूह 7X-5Z की कोटि है?
(A)p×2 (B)2×n (C)n×3 (D)p×n
Solution:X की कोटि=Z की कोटि
2×n=2×p
अतः 7X-5Z की कोटि 2×n होगी।
फलतः विकल्प (B) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा आव्यूहों पर संक्रियाएँ कक्षा 12 (Operation on Matrices Class 12),कक्षा 12 में आव्यूहों पर संक्रियाएँ (Operation on Matrices in Class 12) को समझ सकते हैं।
3.आव्यूहों पर संक्रियाएँ कक्षा 12 के सवाल (Operation on Matrices Class 12 Questions):
(1.)सिद्ध कीजिए कि [x \quad y \quad z]\left[\begin{array}{lll}a & h & g \\ b & b & f \\ z & c & c\end{array}\right] \left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[a x^2+b y^2+c z^2+2 f y z+2 g z x+2 h x y\right]
(2.)यदि A=\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 2 & -1\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{cc}a & 1 \\ b & -1\end{array}\right] तथा \left( A+B\right)^{2}=A^2+B^2 हो तो a एवं b के मान ज्ञात कीजिए।
(3.)यदि A=\left[\begin{array}{cc}\cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha\end{array}\right] तो सिद्ध कीजिए कि A^n=\left[\begin{array}{cc}\cos n \alpha & \sin n \alpha \\-\sin n \alpha & \cos n \alpha\end{array}\right] जहाँ n धन पूर्णांक है।
उत्तर (Answer):(2.)a=1,b=4
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर आव्यूहों पर संक्रियाएँ कक्षा 12 (Operation on Matrices Class 12),कक्षा 12 में आव्यूहों पर संक्रियाएँ (Operation on Matrices in Class 12) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.आव्यूहों पर संक्रियाएँ कक्षा 12 (Frequently Asked Questions Related to Operation on Matrices Class 12),कक्षा 12 में आव्यूहों पर संक्रियाएँ (Operation on Matrices in Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः
प्रश्न:1.आव्यूहों का योग कैसे करते हैं?(How Do You Do Addition of Matrices?):
उत्तर:जब दो मैट्रिक्स A एवं B एक ही क्रम के हों तो वे योग के लिए सुसंगत (compatible for addition) होते हैं तथा इनका योग A+B द्वारा निरूपित करते हैं तथा इसे इनके संगत अवयवों को जोड़कर प्राप्त करते हैं।A+B का क्रम वही होता है जो क्रम A एवं B का है।
अतः यदि A=\left[a_{i j}\right]_{m \times n } तथा B=\left[b_{i j}\right]_{m \times n} हों तो
A+B=\left[a_{i j} +b_{i j}\right]_{m \times n}
प्रश्न:2.आव्यूहों के योग के क्या-क्या गुणधर्म हैं? (What are the Properties of Matrix Addition?):
उत्तर:(1.)क्रम-विनिमेय नियम (Commutative Law):
यदि A=\left[a_{i j}\right] ; B=\left[b_{i j}\right] समान कोटि m×n वाले आव्यूह हैं,तो A+B=B+A होगा।
अब A+B =\left[a_{i j}\right]+\left[b_{i j}\right]=\left[a_{i j}+b_{i j}\right] \\ =\left[b_{i j} +a_{i j}\right] [संख्याओं का योग क्रमविनिमेय होता है]
=\left(\left[b_{i j}\right]+\left[a_{i j}\right]\right)=B+A \\ A+B=B+A
(2.)साहचर्य नियम (Associative Law):समान कोटि m×n वाले किन्हीं भी तीन आव्यूहों A=[a_{ij}], B=[b_{ij}], C=[C_{ij}] के लिए (A+B)+C=A+(B+C)
(A+B)+C =\left(\left[a_{i j}\right]+\left[b_{i j}\right]\right)+\left[c_{i j}\right] \\ =\left[a_{i j}+b_{i j}\right]+\left[c_{i j}\right] \\ =\left[\left(a_{i j}+b_{i j}\right)+c_{i j} \right] \\ =\left[a_{i j}+\left(b_{i j}+c_{i j}\right)\right]
[संख्याएँ जिनका योग क्रमविनिमेय होता है]
=\left[a_{i j}\right]+\left[\left(b_{i j}+c_{i j}\right)\right] \\ =\left[a_{i j}\right]+ \left(\left[b_{i j}\right]+\left[c_{i j}\right]\right) \\ \Rightarrow(A+B)+C=A+(B+C)
(3.)योग के तत्समक का अस्तित्व (Existence of Additive Identity):मान लीजिए कि A=\left[a_{i j}\right] एक m×n आव्यूह है और O एक m×n शून्य आव्यूह है तो A+O=O+A=A होता है।दूसरे शब्दों में,आव्यूहों के योग संक्रिया का तत्समक शून्य आव्यूह O है।
(4.)योग के प्रतिलोम का अस्तित्व (The Existence of Additive Inverse):मान लीजिए कि एक A=\left[a_{i j}\right] आव्यूह है तो एक अन्य आव्यूह -A=\left[-a_{i j} \right]इस प्रकार का है कि
A+(-A)=(-A)+A=O, अतएव -A,आव्यूह A का योग के अन्तर्गत प्रतिलोम आव्यूह अथवा ऋण आव्यूह है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा आव्यूहों पर संक्रियाएँ कक्षा 12 (Operation on Matrices Class 12),कक्षा 12 में आव्यूहों पर संक्रियाएँ (Operation on Matrices in Class 12) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
प्रश्न:3.एक आव्यूह का एक अदिश से गुणन कैसे करते हैं? (How Do You Do Multiplication of a Matrix by a Scalar?):
उत्तर:यदि A कोई मैट्रिक्स है तथा k कोई अशून्य अदिश संख्या है तो मैट्रिक्स A के प्रत्येक अवयव को k से गुणा कर प्राप्त मैट्रिक्स को मैट्रिक्स A का k गुणा मैट्रिक्स कहते हैं तथा इसे kA से प्रदर्शित किया जाता है।
यदि A=\left[a_{i j}\right]_{m \times n} तो k A=\left[k a_{i j}\right]_{m \times n}
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा आव्यूहों पर संक्रियाएँ कक्षा 12 (Operation on Matrices Class 12),कक्षा 12 में आव्यूहों पर संक्रियाएँ (Operation on Matrices in Class 12) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
प्रश्न:4.एक आव्यूह के अदिश गुणन के गुणधर्म क्या हैं? (What are the Properties of Scalar Multiplication of a Matrix?):
उत्तर:यदि A=\left[a_{i j}\right] तथा B=\left[b_{i j}\right] समान कोटि m×n वाले दो आव्यूह हैं और k तथा l अदिश हैं तो
(1.)k(A+B)=kA+kB
(2.)(k+l)A=kA+lA
अब A=\left[a_{i j}\right]_{m \times n},B=\left[b_{i j}\right]_{m \times n} और k तथा l अदिश हैं तो
(1.)k(A+B)=k([a_{i j}]+[b_{i j}]) \\=k\left[a_{i j}+b_{i j}\right]=\left[k\left(a_{i j} +b_{i j}\right)\right] \\ =\left[\left(k a_{i j}\right)+(k b_{i j})\right] \\ =\left[k a_{i j} \right] +\left[k b_{i j}\right]=k\left[a_{i j}\right]+k\left[b_{i j}\right] \\ \Rightarrow k(A+B)=k A+k B \\ (2.)(k+l)A=(k+l)\left[a_{i j}\right] \\ =\left[(k+l) a_{i j}\right]=\left[K a_{i j} \right] +\left[l a_{i j}\right] \\ =k\left[a_{i j}\right] +l\left[a_{i j}\right] \\ \Rightarrow (k+l) A =k A+l A
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा आव्यूहों पर संक्रियाएँ कक्षा 12 (Operation on Matrices Class 12),कक्षा 12 में आव्यूहों पर संक्रियाएँ (Operation on Matrices in Class 12) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
प्रश्न:5.आव्यूहों का गुणन कैसे करते हैं? (How Do You Do Multiplication of Matrices?):
उत्तर:दो आव्यूहों A और B का गुणनफल परिभाषित होता है,यदि A में स्तम्भों की संख्या,B में पंक्तियों की संख्या के समान होती है।मान लीजिए A=\left[a_{i j}\right] कि एक m×n कोटि का आव्यूह है और B=\left[b_{i j}\right] एक n×p कोटि का आव्यूह है।तब आव्यूहों A तथा B का गुणनफल एक m×n कोटि का आव्यूह C होता है।आव्यूह C का (i,k) वाँ अवयव प्राप्त करने के लिए हम A की iवीं पंक्ति और B के kवें स्तम्भ को लेते हैं और फिर उनके अवयवों का क्रमानुसार गुणन करते हैं।तदोपरान्त इन सभी गुणनफलों का योगफल ज्ञात कर लेते हैं।दूसरे शब्दों में यदि,
A=\left[a_{i j}\right]_{m \times n}, B=\left[b{j k}\right]_{m \times p} है तो A की iवीं पंक्ति \left[a_{i 1} \quad a_{i 2} \quad \ldots a_{i n}\right] तथा B का kवाँ स्तम्भ \left[\begin{array}{l}b_{1 k} \\ b_{2 k} \\ \cdot \\ \cdot \\ \cdot \\ b_{n k}\end{array}\right] हैं तब c_{i k} =a_{i 1} b_{1 k}+a_{i 2} b_{2 k}+a_{i 3} b_{3 k}+ \ldots+a_{i n} b_{nk} =\overset{n}{\underset{j=1}{\sum}} a_{i j} b_{jk} आव्यूह C=\left[c_{i K}\right]_{m \times p}, A तथा B का गुणनफल है।
प्रश्न:6.आव्यूहों के गुणन के गुणधर्म क्या हैं? (What are the Properties of Multiplication of Matrices?):
उत्तर:(1.)सामान्यतया मैट्रिक्स गुणन में क्रमविनिमेय गुणधर्म का पालन नहीं होता है।
(i)यदि AB परिभाषित है तो यह आवश्यक नहीं है कि BA भी परिभाषित है।उदाहरणार्थ A का क्रम 2×2 हो तथा B का क्रम 2×3 हो तो AB सम्भव है परन्तु BA परिभाषित नहीं है क्योंकि B में 3 स्तम्भ हैं जबकि A में केवल 2 पंक्तियाँ (3 पंक्तियाँ नहीं) हैं।यदि A तथा B क्रमशः m×n तथा k×l कोटियों के आव्यूह हैं तो AB और BA दोनों ही परिभाषित हैं यदि और केवल यदि n=k तथा l=m हो।विशेष रूप से यदि A और B दोनों ही समान कोटि के वर्ग आव्यूह है तो AB और BA दोनों परिभाषित हैं।
(ii)इसका तात्पर्य यह नहीं है कि A और B आव्यूहों के उन सभी युग्मों के लिए जिनके लिए AB तथा BA परिभाषित है होगा।
(iii)ध्यान दीजिए कि समान कोटि के विकर्ण आव्यूहों का गुणन क्रमविनिमेय होता है।जैसे A की कोटि 2×2 हो तथा B की कोटि 2×2 हो तो AB=BA
(2.)साहचर्य नियम (Associative Law):किन्हीं भी तीन आव्यूहों A,B तथा C के लिए (AB)C=A(BC), जब कभी समीकरण के दोनों पक्ष परिभाषित होते हैं।
(3.)वितरण नियम (Distributive Law Over Matrix Addition):
(i)A(B+C)=AB+AC
(ii)(A+B)C=AC+BC,जब भी समीकरण के दोनों पक्ष परिभाषित होते हैं।
(4.)गुणन के तत्समक का अस्तित्व (Existence of Multiplicative Identity):प्रत्येक वर्ग आव्यूह के लिए समान कोटि के एक आव्यूह I का अस्तित्व इस प्रकार होता है कि IA=AI=A
प्रश्न:7.आव्यूह का ऋण आव्यूह से क्या तात्पर्य है? (What is Negative of a Matrix?):
उत्तर:किसी आव्यूह A का ऋण आव्यूह -A से निरूपित होता है।हम -A को -A=(-)A द्वारा परिभाषित करते हैं।
प्रश्न:8.आव्यूहों का अन्तर कैसे ज्ञात करते हैं? (How Do You Find Difference of Matrices?):
उत्तर:यदि A=\left[a_{i j}\right] तथा B=\left[b_{i j}\right] समान कोटि m×n वाले दो आव्यूह हैं तो इनका अन्तर A-B, एक आव्यूह D=d_{i j} जहाँ i तथा j के समस्त मानों के लिए d_{i j}=a_{i j}-b_{i j} है,द्वारा परिभाषित होता है।दूसरे शब्दों में D=A-B=A+(-1)B,अर्थात् A तथा आव्यूह -B का योगफल।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा आव्यूहों पर संक्रियाएँ कक्षा 12 (Operation on Matrices Class 12),कक्षा 12 में आव्यूहों पर संक्रियाएँ (Operation on Matrices in Class 12) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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आव्यूहों पर संक्रियाएँ कक्षा 12 (Operation on Matrices Class 12) के इस आर्टिकल में
आव्यूहों का योग,किसी आव्यूह का एक अदिश से गुणा,आव्यूहों का व्यवकलन
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
