1.संख्यात्मक अवकलन विधि (Numerical Differentiation Method),अन्तर्वेशन के प्रयोग से संख्यात्मक अवकलन (Numerical Differentiation Using Interpolation):

Numerical Differentiation Method

संख्यात्मक अवकलन विधि (Numerical Differentiation Method) में संख्यात्मक अवकलन की समस्याओं को हल करने के लिए उचित विधि का चयन करते हैं।

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(2.)संख्यात्मक अवकलन विधि पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Numerical Differentiation Method):

Example:1.फलन के मान निम्न सारणी में दिए हुए हैं,x=1 पर अवकलज का मान ज्ञात कीजिए:
(The function is tabulated in the scheme bv below.Find the derivative at the point x=1.)

Solution:प्रश्न के आँकड़ों के अनुसार यहाँ चर समदूरस्थ (अर्थात् h=0.1,a=0.7) है तथा x=1.0 पर फलन के अवकलज का मान ज्ञात करना है।यहाँ x=1.0
सारणी के चर मानों के मध्य में है अतः इस प्रश्न को हल करने के लिए स्टर्लिंग (Stirling Interpolation Formula) का प्रयोग वांछित होगा। u=\frac{x-1.0}{0.1}=0 जब x=1.0
परिमित अन्तर सारणी (Finite Difference Table)

स्टर्लिंग अन्तर्वेशन सूत्र (Stirling Interpolation Formula) से:

y_{u}=y_{0}+u\left(\frac{\Delta y_{0}+\Delta y_{-1}}{2}\right)+\frac{u^{2}}{2 !} \Delta^{2} y_{-1}+ \frac{u\left(u^{2}-1^{2}\right)}{3 !} \cdot \frac{1}{2}\left[\Delta^{3} y_{-1}+\Delta^{3} y_{-2}\right]+ \frac{u^{2}\left(u^{2}-1^{2}\right)}{4 !} \Delta^{4} y_{-2}+ \frac{u\left(u^{2}-1^{2}\right) \left(u^{2}-2^{2} \right)}{5 !} \frac{\Delta^{5} y_{-2}+\Delta_{y-3}^{5}}{2}+\frac{u^{2} \left(u^{2}-1^{2}\right) \left(u^{2}-2^{2}\right)}{6 !} \Delta^{6} y_{-3}+\cdots(1)
(1) को u के सापेक्ष अवकलन करने पर:

y_{u^{\prime}}=\frac{\Delta y_{0}+\Delta y_{-1}}{2}+u \Delta^{2} y_{-1}+\left(\frac{3 u^{2}-1}{6}\right) \frac{1}{2}\left[\Delta^{3} y_{-1}+\Delta^{3} y_{-2}\right]+\frac{4 u^{3}-2 u}{24} \Delta^{4} y_{-2}+\left(\frac{5 u^{4}-15 u^{2}+4}{120}\right)\left(\frac{\Delta^{5} y_{-2}+\Delta^{5} y_{-3}}{2}\right)+\cdots
अब u=0 तथा सारणी से वांछित मान प्रतिस्थापित करने पर:

\left(y_{u}^{\prime}\right)_{0} =\frac{(0.049736+0.058144)}{2}-\frac{1}{6} \times \frac{1}{2}\left[-0.000496+0.003219\right] +\frac{1}{30} \times \frac{1}{2}[-0.018994+0.003802] \\=0.05394-0.000309583-0.0002532 \\ \left(y_{u}^{\prime}\right)_{0} \approx 0.0533772 \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{1}{h}\left(y_{u}^{\prime}\right)_{0}=0.533772
Example:2.निम्न सारणी द्वारा स्टर्लिंग सूत्र का प्रयोग कर फलन का x=0.6 पर प्रथम अवकलज ज्ञात कीजिए।
(Use Stirling formula to find the first derivative of the function tabulated below at the point x=0.6.)

इसकी तुलना शुद्ध मान से करिये जो कि 2.044238 है।
(Compare with the true value which is 2.044238.)
Solution:यहाँ h=0.1,a=0.4 तथा u=\frac{x-0.6}{0.4}=\frac{0.6-0.6}{0.4}=0 जब x=0.6
परिमित अन्तर सारणी (Finite Difference Table)

स्टर्लिंग अन्तर्वेशन सूत्र (Stirling Interpolation Formula) से:

y_{u}=y_{0}+u\left(\frac{\Delta y_{0}+y_{-1}}{2}\right)+\frac{u^{2}}{2 !} \Delta^{2} y_{-1}+ \frac{u\left(u^{2}-1^{2}\right)}{3 !} \frac{1}{2}\left(\Delta^{3} y_{-1}+\Delta^{3} y_{-2}\right)+ \frac{u^{2}\left(u^{2}-1^{2}\right)}{4!} \Delta^{4} y_{-2}+\cdots(1)
(1) का u के सापेक्ष अवकलन करने पर:

y_{u}^{\prime}=\left(\frac{\Delta y_{0}+y_{-1}}{2}\right)+u \Delta^{2} y_{-1}+\frac{3 u^{2}-1}{6} \cdot \frac{1}{2}\left(\Delta^{3} y_{-1}+\Delta^{3} y_{-2}\right)+\left(\frac{3 u^{2}-2 u}{24}\right) \Delta^{4} y_{-2}
अब u=0 तथा सारणी से वांछित मान प्रतिस्थापित करने पर:

\left(y^{\prime}_{u}\right)_{0}=\left(\frac{0.2832678+0.246795}{2}\right)-\frac{1}{6} \times \frac{1}{2}(0.6038358+0.003471)\\=0.2650314-0.0006089 \\ \left(y_{u}^{\prime}\right)_{0}=0.2644225 \\ \left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{1}{h}\left(\frac{d y}{d u}\right)=\left(\frac{1}{0.1}\right)(0.2644225)=2.644225
Example:3.निम्न सारणी से प्रथम दो अवकलज, फलन f(x) के x=1 पर ज्ञात कीजिए:
(Find the first two derivatives of f(x) at x=1 from the following table):

Solution:प्रश्न के आँकड़ों के अनुसार चर समदूरस्थ है तथा x=1 पर फलन के अवकलज का मान ज्ञात करना है।यहाँ x=1 चर मानों के मध्य में है अतः इस प्रश्न को हल करने के लिए बेसल सूत्र (Bessel Interpolation Formula) का प्रयोग करना वांछित होगा।1 को मूलबिन्दु लेने पर नया चर u=\frac{x-x_{0}}{h}=\frac{1-1}{1}=0 तथा \frac{du}{dx}=\frac{1}{h}=1
परिमित अन्तर सारणी (Finite Difference Table)

बेसल अन्तर्वेशन सूत्र (Bessel Interpolation Formula) से:

y_{u}= \frac{y_{0}+y_{1}}{2}+\left(u-\frac{1}{2}\right) \Delta y_{0}+\frac{u(u-1)}{2 !}\left[\frac{\Delta^{2} y_{-1}+\Delta^{2} y_{0}}{2}\right]+\frac{\left(u-\frac{1}{2}\right) u(u-1)}{3 !} \Delta^{3} y_{-1} +\frac{(u+1) u(u-1)(u-2)}{4 !}\left[\frac{\Delta^{4} y_{-1}+\Delta^{4} y_{-2}}{2}\right]+\frac{(u-\frac{1}{2})(u+1) u(u-1)}{5 !} \Delta^{5} y_{-2}+\frac{(u+2)(u+1) u(u-1) (u-2)(u-3)}{6!}\left(\frac{\Delta^{6} y_{-3}+\Delta^{6} y_{-2}}{2}\right)+\cdots(1)
दोनों पक्षों का u के सापेक्ष अवकलन कर u=0 तथा सारणी से वांछित मान प्रतिस्थापित करने पर:

Numerical Differentiation Method

Example:4.किसी मशीन में एक स्लाईडर एक स्थिर सीधे छड़ पर घूमता है।स्लाईडर की छड़ पर दूरी x सेमी भिन्न-भिन्न समय t से. पर निम्नलिखित सारणी में दी गई है।t=0.3 से. पर स्लाईडर का वेग,त्वरण ज्ञात कीजिए।
(A slider in a machine moves along a fixed straight rod.Its distance x cm along the road is given below for various values for the time t second.Find the velocity and acceleration of the slider when t=0.3 second.)

Solution:प्रश्न के आँकड़ों के अनुसार चर समदूरस्थ है तथा t=0.3 चर के मानों के मध्य में है।अतः इस प्रश्न को हल करने के लिए बेसल सूत्र (Bessel Interpolation Formula) का प्रयोग वांछित होगा।0.3 को मूलबिन्दु लेने पर नया चर u=\frac{x-x_{0}}{h}=\frac{0.3-0.3}{0.1}=0 तथा \frac{du}{dt}=\frac{1}{h}
परिमित अन्तर सारणी (Finite Difference Table)

बेसल अन्तर्वेशन सूत्र (Bessel Interpolation Formula) से:

x_{u}=\left(\frac{x_{0}+x_{1}}{2}\right)+(u-\frac{1}{2}) \Delta x_{0}+\frac{u(u-1)}{2 !}\left[\frac{\Delta^{2} x_{-1}+\Delta^{2} x_{0}}{2}\right] +(u-\frac{1}{2})\frac{u(u-1)}{3 !} \Delta^{3} x_{-1}+\frac{(x+1) x(x-1)(x-2)}{4 !}\left[\frac{\Delta^{4} x_{-1}+\Delta ^{2}x_{-2}}{2}\right] +\frac{(u-\frac{1}{2})(u+1) u(u-1)}{5 !} \times \Delta^{5} x_{-2}+\frac{(u+2)(u+1) u(u-1)(u-2)(u-3)}{6 !} \left(\frac{\Delta^{6} x_{-3}+\Delta^{6} x_{-2}}{2}\right)+ \cdots(1)
दोनों पक्षों का दो बार अवकलन कर u=0 तथा सारणी से वांछित मान प्रतिस्थापित करने पर:

x^{\prime}_{u}=\Delta x_{0}+\left(\frac{2 u-1}{2}\right)\left(\frac{\Delta^{2} x_{-1}+\Delta^{2} x_{0}}{2}\right)+\left(\frac{3 u^{2}-3 u+\frac{1}{2}}{6}\right) \Delta^{3} x_{-1}+ \left ( \frac{4 u^{3}-6 u^{2}-2 u+2}{24} \right )\left(\frac{\Delta^{4} x_{-1}+\Delta^{4} x_{-2}}{2}\right)+\frac{1}{120} \left(4 u^{3}-\frac{3}{2} u^{2}-2 u+\frac{1}{2}\right) \Delta^{5} x_{-2}+\frac{6 u^{5}-15 u^{4}-20 u^{3}+45 u^{2}+8 u+2}{720}\left(\frac{\Delta^{6} x_{-3}+\Delta^{6} x_{-2}}{2}\right) \\ x_{u}^{\prime \prime}=\left(\frac{\Delta^{2} x_{-1}+\Delta^{2} x_{0}}{2}\right)+\left(\frac{6 u-3}{6}\right) \Delta^{3} x_{-1}+\left(\frac{12 u^{2}-12 u-2}{24}\right) \left(\frac{\Delta^{4} x_{-1}+\Delta^{4} x_{-2}}{2}\right)+\frac{1}{120}\left(12 u^{2}-3 u-2\right) \Delta^{5} x_{-2}+\left(\frac{30 u^{4}-60 u^{3}-60 u+90u+8}{720}\right)\left(\frac{\Delta^{6} x_{-3}+\Delta^{6}x_{-2}}{2}\right) \\ \left(x_{u}^{\prime}\right)_{0} =0.31-\frac{1}{2}\left(\frac{-0.45-0.46}{2}\right)+\frac{1}{12}(0.01)+\frac{1}{24}(-0.01-0.01) \\ =0.31+0.2275+0.00083-0.00083 \\=0.5375 \\v=\frac{d x}{d t}=\frac{1}{h}\left(\frac{d x}{d u}\right)=\left(\frac{1}{0.1}\right)(0.5375) \\ \Rightarrow v=\frac{d x}{dt}=5.375cm /sec

\left(x_{u}^{\prime \prime}\right)_{0} =\left(-\frac{0.46-0.45}{2}\right)-\frac{1}{2} \times 0.01-\frac{1}{24} \times(-0.01-0.01)-\frac{1}{60} \times 0 \\ =-0.455-0.005+0.00083 \\ =-0.45917 \\ \Rightarrow f =\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=\frac{1}{h^{2}}\left(\frac{d^{2} x}{d u^{2}}\right)=\left(\frac{1}{0.1}\right)^{2}(-0.45917) \\ \Rightarrow f=\frac{d^{2}x}{dt^{2}} =-45.917 \mathrm{~cm} / \mathrm{sec}^{2}
Example:5.निम्नांकित युग्ल x तथा f(x) के मानों से f'(4) का मान ज्ञात कीजिए:
(Given the following pairs of values of x and f(x) ,find f'(4).)

Solution:-चर समदूरस्थ नहीं है 
परिमित अन्तर सारणी (Finite Difference Table)

न्यूटन विभाजित अन्तर सूत्र (Newton Divided Difference Formula) से:

f(x)=f\left(x_{0}\right)+\left(x-x_{0}\right)\cdot \Delta f\left(x_{0}\right)+\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) \cdot \Delta^{2} f\left(x_{0}\right)+ \left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) \left(x-x_{2}\right) \cdot \Delta^{3} f\left(x_{0}\right)+\left(x-x_{0}\right) \left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\left(x-x_{3}\right) \cdot \Delta^{4} f\left(x_{0}\right)+\cdots(1)
सूत्र (1) के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\Rightarrow f^{\prime}(x)=\Delta f\left(x_{0}\right)+\left(2 x-x_{0}-x_{1}\right) \cdot \Delta^{2} f\left(x_{0}\right) +\left[3 x^{2}-2 x\left(x_{0}+x_{1}+x_{2}\right)+x_{0} x_{1}+x_{1} x_{2}+x_{0} x_{2}\right] \Delta^{3}f \left(x_{0} \right)+[4 x^{3}-3\left(x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}\right) x^{2}+2\left(x_{1} x_{0}+x_{1} x_{3}+x_{0} x_{3}+x_{1} x_{2}+x_{0} x_{2}+x_{2} x_{3}\right) x-\left(x_{0} x_{1} x_{3}+x_{0} x_{1} x_{2}+x_{1} x_{2} x_{3}+x_{0} x_{2} x_{3}\right)] \Delta^{4}f\left(x_{0}\right)+\cdots
अब (2) में x=4, x_{0}=1, x_{1}=2, x_{2}=4, x_{3}=8,x_{4}=10 तथा सारणी से वांछित मान प्रतिस्थापित करने पर:

f^{\prime}(4)=1+(2 \times 4-1-2)(3)+[3 \times 4^{2}-2 \times 4(1+2+4)+1 \times 2+2 \times 4+1 \times 2] \times 9+[4 \times 4^{3}-3(1+2+4+8) \times 4^{2}+2(1 \times 2+ 2 \times 8+1 \times 8+2 \times 4+1 \times 4+4 \times 8) \times 4-(1 \times 2 \times 8+1 \times 2 \times 4 +2 \times 4 \times 8+1 \times 4 \times 8)](-31) \\ =1+(8-1-2) \times 3+[48-8 \times 7+2+8+2] \times 9+[256-3 \times 15 \times 16+2 \times(2+16+8+8+4+32)](4)-(16+8+64+32)(-31)\\ =1+15+4 \times 9+[256-720+140 \times 4 -120] \times-31\\ =16+36+\left(256-720+560-120\right) \times -31\\=52-24 \times-31=52+744=796\\ \Rightarrow f^{\prime}(4)=796
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा संख्यात्मक अवकलन विधि (Numerical Differentiation Method),अन्तर्वेशन के प्रयोग से संख्यात्मक अवकलन (Numerical Differentiation Using Interpolation) को समझ सकते हैं।

3.संख्यात्मक अवकलन विधि पर आधारित सवाल (Questions Based on Numerical Differentiation Method):

Numerical Differentiation Method

(1.)निम्न आँकड़ों से f'(7.5) ज्ञात कीजिए।
(Find f'(7.5) from the following data):

(2.)विभाजित अन्तर द्वारा f'(8) का मान ज्ञात कीजिए, दिया हुआ है:
(Using divided difference find the value of f'(8) given that):

उत्तर (Answers):(1)\frac{dy}{dx}=0.22249 (2.)f'(8)=0.10859
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर संख्यात्मक अवकलन विधि (Numerical Differentiation Method),अन्तर्वेशन के प्रयोग से संख्यात्मक अवकलन (Numerical Differentiation Using Interpolation) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.संख्यात्मक अवकलन विधि (Numerical Differentiation Method),अन्तर्वेशन के प्रयोग से संख्यात्मक अवकलन (Numerical Differentiation Using Interpolation) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

संख्यात्मक अवकलन विधि (Numerical Differentiation Method) में संख्यात्मक अवकलन
की समस्याओं को हल करने के लिए उचित विधि का चयन करते हैं।