Number System
1.संख्या पद्धति (Number System),अंकगणित में संख्या पद्धति (Number System in Arithmetic):
संख्या पद्धति (Number System) के इस आर्टिकल में संख्याओं की भाज्यता,संख्याओं के गुणनफल व घातांक को हल करके इकाई का अंक आदि ज्ञात करने के बारे में अध्ययन करेंगे।
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2.संख्या पद्धति पर आधारित उदाहरण (Illustrations Based on Number System):
Illustration:1.निम्न में से कौनसी संख्या 9 से भाज्य है?
(a) 23,50,821 (b) 28,70,052 (c) 42,13,533 (d) 64,00,080
Solution: \frac{\text { अंकों का योग }}{9}=\frac{6+4+0+0+0+8+0}{9} \\ =\frac{18}{9}=2
अतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:2.शून्य है
(a)प्राकृत संख्या (b)पूर्णांक संख्या
(c)धनात्मक संख्या (d)ऋणात्मक पूर्णांक
Solution:(b)पूर्णांक संख्या
Illustration:3.वह छोटी से छोटी संख्या क्या होगी जिससे 216 को भाग देने पर परिणाम एक पूर्ण वर्ग बन जाए?
(a)6 (b)4 (c)9 (d)3
Solution: \frac{216}{6}=36
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:4.किसी संख्या को 899 से भाग देने पर शेष 63 प्राप्त होता है।यदि उस संख्या को 29 से भाग दें,तो शेष प्राप्त होगा
(a)10 (b)5 (c)4 (d)2
Solution: \frac{899}{29}=31 तथा \frac{63}{29}=2 \frac{5}{29}
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:5.10 और 40 के बीच अभाज्य पूर्णांकों की संख्या कितनी है?
Solution:11,13,17,19,23,29,31,37=8 (आठ)
Example:6.3 से गुणा करके बनी 100 और 200 के बीच सभी प्राकृत संख्याओं का योग क्या होगा?
(a) 5000 (b) 4950 (c) 4980 (d) 4900
Solution: 102,105,108, \ldots 198 \\ a_n=a+(n-1) d \\ a_n= 102+(n-1) 3=198 \\ (n-1) 3=198-102 \\ n-1=\frac{96}{3} \\ \Rightarrow n=32+1=33 \\ S_n=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d] \\ =\frac{33}{2}[2 \times 102+(33-1) \times 3] \\ =\frac{33}{2}[204+96] \\ =\frac{33}{2} \times 300=33 \times 150 \\ =4950
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:7.संख्या 3^{101} में इकाई के स्थान पर आनेवाला अंक होगा:
(a)1 (b)9 (c)7 (d)3
Solution: 3^{101} में इकाई का अंक
=3^{4 \times 25+1} \\=\left(3^4\right)^{25} \cdot 3^1 \\ =1 \times 3=3
अतः विकल्प (d) है।
Illustration:8.श्रेणी 1+2+3+4+……+998+999+1000 का योग है।
(a) 5750 (b) 500500 (c) 550000 (d) 55000
Solution:1+2+3+4+……+998+999+1000 \\ \frac{n(n+1)}{2}=\frac{1000(1000+1)}{2} \\ =500 \times 1001=500500
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:9. (124)^{372}+(124)^{373} के योग में इकाई का अंक कौन-सा है?
(a) 5 (b) 4 (c) 2 (d) 0
Solution: (124)^{372}+(124)^{373} \\ =(124)^{372}(1+124) \\ =(124)^{4 \times 93} \times 125 \\ =(124)^{93} \times 125 \\=6 \times 5 \\ =30
इकाई का अंक=0
अतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:10.गुणनफल (2464)^{1793} \times(615)^{317} \times(131)^{491} में इकाई का अंक होगा
(a) 0 (b) 2 (c) 3 (d) 5
Solution: (2464)^{1793} \times(615)^{317} \times(131)^{491} \\ =(2464)^{4 \times 448+1} \times(615)^{4 \times 79+1} \times(131)^{4 \times 122+3} \\ =(2464^4)^{448} \times 2464 \times(615)^{4 \times 79} \times 615 \times(131^4)^{122} \times 131^3
इकाई का अंक=6×4×5×5×1×1=600
=0
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:11.भाग के प्रश्न में,भाजक भागफल का 12 गुना और शेष का 5 गुना है।यदि शेष 48 हो,तो भाज्य कितना होगा?
(a)4848 (b)676 (c)250 (d)5800
Solution:शेषफल=18
भाजक=48×5=240
भागफल=\frac{240}{12}=20
अतः संख्या (भाज्य)=240×20+48
=4848
विकल्प (a) सही है।
Illustration:12. 7^{71} \times 6^{63} \times 3^{65} के गुणनफल में इकाई का अंक कितना होगा?
(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4
Solution: 7^{71} \times 6^{63} \times 3^{65} \\ =7^{4 \times 17+3} \times 6^{4 \times 15+3} \times 3^{4 \times 16+1} \\ =\left(7^4\right)^{17} \times 7^3 \times\left(6^4\right)^{15} \times 6^3 \times\left(3^4\right)^{16} \times 3^1
इकाई का अंक=1×3×6×6×1×3=324
\Rightarrow इकाई का अंक=4
अतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:13. (122)^{173} में इकाई का अंक क्या है?
(a) 2 (b) 4 (c) 6 (d) 8
Solution: (122)^{173} \\ =(122)^{4 \times 43+1} \\ =(122)^{43} \times 122^1
इकाई का अंक=4×2=8
अतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:14. 3^{28} \times 11^{42} \times 7^{35} के गुणनफल में इकाई का अंक कितना होगा?
(a) 1 (b) 3 (c) 5 (d) 7
Solution: 3^{28} \times 11^{42} \times 7^{35} \\ =3^{4 \times 7} \times 11^{4 \times 10+2} \times 7^{4 \times 8+3} \\ =\left(3^4\right)^7 \times\left(11^4\right)^{10} \times 11^2 \times\left(7^4\right)^8 \times 7^3 \\ =\left(3^4\right)^7 \times\left(11^4\right)^{10} \times 121 \times (7^4)^8 \times 343
इकाई का अंक=1×1×1×1×3=3
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:15.विभाजन के किसी प्रश्न में भाजक भागफल का 4 गुना तथा शेषफल का 3 गुना है।यदि शेषफल 4 है,तो भाज्य है
(a) 36 (b) 40 (c) 12 (d) 30
Solution:शेषफल=4
भाजक=4×3=12
भागफल=\frac{12}{4}=3
संख्या (भाज्य)=12×3+4=36+4=40
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:16.भाजक भागफल का 25 गुना और शेषफल का 5 गुना है।यदि भागफल 16 हो,तो भाज्य है
(a) 6400 (b) 6480 (c) 400 (d) 480
Solution:भागफल=16
भाजक=16×25=400
शेषफल=\frac{400}{5}=80
संख्या (भाज्य)=400×16+80
=6480
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:17.यदि 1^3+2^3+\ldots+10^3 =3025 हो,तो 4+32+108+….+4000 बराबर है
(a)12000 (b) 12100 (c) 122000 (d) 12400
Solution: 4+32+108+\cdots+4000 \\ =4(1+8+27+\cdots+1000) \\ =4\left(1^3+2^3+3^3 +\cdots+10^3\right) \\ =4 \times 3025=12100
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:18.32575 में से क्या घटाया जाए ताकि शेषफल 9 से पूर्णतः विभाजित हो जाए?
(a)4 (b)2 (c)1 (d) 3 (e)इनमें से कोई नहीं
Solution:32575
माना x घटाएंगे
\frac{3+2+5+7+5-x}{9}=2 \\ 22-x =18 \\ \Rightarrow x =22-18 \\ \Rightarrow x=4
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:19.गुणनफल (2153)^{167} में इकाई का अंक होगा
(a)1 (b)3 (c)7 (d)9
Solution: (2153)^{167} \\ =(2153)^{4 \times 41+3}=\left(2153^4\right)^{41} \times(2153)^3
इकाई का अंक=1×7=7
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:20.किसी संख्या को 6 से विभाजित करने पर शेषफल 3 आता है।उसी संख्या के वर्ग को 6 से विभाजित करने पर शेषफल आएगा
(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3
Solution:माना भागफल=x
संख्या=6x+3
वर्ग=(6 x+3)^2=36 x^2+36 x+9 \\ =6\left(6 x^2+6 x+1\right)+3
अतः शेषफल=3
विकल्पतः
\frac{21}{6}=शेषफल=3
(21)^2=\frac{441}{6}=शेषफल=3
विकल्प (d) सही है।
Illustration:21.किसी संख्या को 192 से भाग देने पर शेषफल 54 मिलता है।उसी संख्या को 16 से भाग करने पर शेषफल मिलेगा
(a) 2 (b) 4 (c) 6 (d) 8
Solution: \frac{192}{16}=12 \\ \frac{54}{16}=शेषफल 6
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:22.दिया है 1+2+3+4+…..+10=55,तो 6+12+18+24+…..+60 का योगफल बराबर होगा
(a) 300 (b) 655 (c) 330 (d) 455
Solution:1+2+3+4+…..+10=55 (दिया है)
6+12+18+24+….+60=6(1+2+3+4+….+10)=6×55=330
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:23.(101+102+103+…..+200) का मान क्या होगा?
(a)15000 (b) 15025 (c)15050 (d)25000
Solution: 101+102+103+\cdots+200 \\ =\frac{n(n+1)}{2} \\ =\frac{200(200+1)}{2}-\frac{100(100+1)}{2} \\ =100 \times 201-50 \times 101 \\ =20100-5050 \\ =15050
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:24. (2137)^{754} में इकाई का अंक होगा
(a)1 (b)3 (c) 7 (d)9
Solution: (2137)^{754} \\ =(2137)^{4 \times 188+2} \\ =(2137^4)^{188} \times(2137)^2
इकाई का अंक=1×9=9
अतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:25.7386038 भाज्य है
(a)3 से (b)4 से (c)9 से (d)11 से
Solution:सम स्थानों के अंकों का योग=3+6+3=12
विषम स्थानों के अंकों का योग=7+8+0+8=23
दोनों में अन्तर=23-12=11
\frac{11}{11}=1
अतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:26.निम्न में से कौन-सा 11 से भाज्य है?
(a)4823718 (b)8423718 (c)8432718 (d)4832718
Solution:विषम स्थानों के अंकों का योग=4+3+7+8=22
सम स्थानों के अंकों का योग=8+2+1=11
दोनों में अन्तर=22-11=11
\frac{11}{11}=1
अतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:27.109 को भाग देने पर प्रत्येक दशा में 4 शेषफल देने वाली अभाज्य संख्याएं हैं
(a)5 और 7 (b)12 और 11 (c)3 और 7 (d)11 और 12
Solution: \frac{109}{5} =शेषफल=4
\frac{109}{7}=शेषफल=4
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:28.एक छः अंकों वाली संख्या के सम स्थानों के अंकों का योग 9 है तथा विषम स्थानों के अंकों का योग 20 है।ऐसी सभी संख्याएँ किससे विभाजित होगी?
(a)7 (b)9 (c)6 (d)11
Solution:अन्तर=20-9=11
\frac{11}{11}=1
अतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:29.निम्न में से कौनसी संख्या 15 से भाज्य है?
(a)30560 (b)29515 (c)23755 (d)17325
Solution:15 से भाज्य होने के लिए 3 व 5 की भाजकता का नियम लगेगा।
\frac{\text {17325 के अंकों का योग }}{3}=\frac{1+7+3+25}{3} \\ =\frac{18}{3}=6
अतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:30.प्रथम चार अभाज्य संख्याओं का योग है
(a)10 (b)11 (c)16 (d)17
Solution:2+3+5+7=17
अतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:31.यदि 34*68,9 से भाज्य हो,तो * का मान होगा
(a) 6 (b) 5 (c) 4 (d) 3
Solution:माना *=x \\ \frac{3+4+x+6+8}{9}=3 \\ \Rightarrow 21+x=27 \\ \Rightarrow x=27-21=6
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:32.निम्न में से कौनसी संख्या 9 से भाज्य है?
(a)3572404 (b)135792 (c)913464 (d)114345
Solution:99 की भाजकता की जाँच के लिए 9 व 11 से भाजकता की जाँच करनी होगी:
114345 \Rightarrow \frac{1+1+4+3+4+5}{9}=\frac{18}{9}=2
सम स्थानों के अंकों का योग=1+3+5=9
विषम स्थानों के अंकों का योग=1+4+4=9
दोनों में अन्तर=9-9=0
\frac{0}{9}=0
अतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:33.कोई संख्या 11 से भाज्य है,यदि उसके सम तथा विषम स्थानों के अंकों के योगफलों का अन्तर हो:
(a)3 का गुणज (b)5 का गुणज
(c)0 या 11 का गुणज (d)0 या 7 का गुणज
Solution:विकल्प (c) सही है।
Illustration:34.दिया गया है कि 1+2+3+….+10=55,तो (11+12+13+….+20) किसके बराबर है?
(a)155 (b)145 (c)75 (d)65
Solution:1 से 20 तक योग-1 से 10 तक योग
=\frac{20(20+1)}{2}-\frac{10(10+1)}{2} \\ =\frac{20 \times 21}{2}-\frac{10 \times 11}{2}=210-55=155
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:35.यदि 1^3+2^3+3^3+\ldots+10^3=3025 हो,तो 2^3+4^3+6^3 +\ldots+20^3 का मान है
(a)6050 (b)9075 (c) 12100 (d) 24200
Solution: 2^3+4^3+6^3+\cdots+20^3 =2^3\left(1^3+2^3+3^3+\cdots+10^3\right) \\ =8\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2 \\ =8 \times\left[\frac{10(10+1)}{2}\right]^2 \\ =8 \times 55^2 \\ =24200
अतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:36.342 में से कम से कम क्या घटाया जाए ताकि शेषफल 8 से पूर्णतः विभाजित हो जाए?
(a)6 (b)2 (c)7 (d)1
Solution: \frac{342}{8}=भागफल 42,शेषफल 6
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:37.जब किसी संख्या को 121 से विभाजित किया जाता है,तो शेष 25 होता है।यदि उसी संख्या को 11 से विभाजित किया जाए,तो शेष होगा
(a)25 (b)6 (c)4 (d)3
Solution: \frac{121}{11}=11,\frac{25}{11}=शेषफल 3
अतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:38.वह वृहत्तम अंक ‘x’ जिसके लिए संख्या 5×793×4 तीन (3) से विभाजित है,है
(a)9 (b)0 (c)4 (d)3
Solution: 5 \times 793 \times 4 \\ \Rightarrow \frac{5+x+7+9+3+x+4}{3}=12 \\ \Rightarrow 28+2 x=36 \\ \Rightarrow 2 x=36-28 \Rightarrow x=\frac{8}{2}=4
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:39.99548 की सबसे निकटतम संख्या क्या होगी जो 687 से पूर्णतया विभाजित हो जाए?
a)99481 (b)99615 (c)99550 (d)99540
Solution:687,3 से विभाजित है अतः वह संख्या 3 से विभाजित होनी चाहिए।इनमें 99615 व 99540 ही है।687 का इकाई का अंक 7 है अतः 7 के गुणज में 5 ही आता है 0 नहीं आता है।
अतः विकल्प (b) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा संख्या पद्धति (Number System),अंकगणित में संख्या पद्धति (Number System in Arithmetic) को समझ सकते हैं।
3.संख्याओं के गुणनफल व घातीय रूप की संख्या में इकाई का अंक ज्ञात करना (To Find the Unit’s Place Digit in the Product of Numbers and Numbers of Index Form):
(1.)संख्याओं के गुणनफल में इकाई का अंक ज्ञात करने के लिए प्रत्येक संख्या का इकाई का अंक लेते हैं।इकाई के अंकों को गुणा करते हैं।यदि गुणनफल में कोई दहाई का अंक आ जाए,तो उसका इकाई का अंक लेकर गुणा जारी रखते हैं।इस प्रकार अन्त में प्राप्त संख्या का इकाई का अंक अभीष्ट इकाई का अंक होता है।
संख्याएं घातीय रूप में हो तो:
(2.)यदि संख्या का इकाई का अंक 0,1,5,6 हो,तो उसका इकाई का अंक अपरिवर्तित रहता है।
(3.)यदि संख्या का इकाई का अंक 2 हो,तो उसकी घात को 4 से भाग देकर 2^4 के रूप में लिखते हैं तथा सरल करते हैं।
2^4 या घात के गुणज का इकाई का अंक=6
(4.)इसी प्रकार इकाई के अंक 4 तथा 8 वाली संख्याओं में इकाई का अंक ज्ञात करते हैं।
4^4 में इकाई का अंक=8^4 में इकाई का अंक=6
(5.)यदि संख्या में इकाई का अंक 3 या 7 हो,तो उपर्युक्त के अनुसार सरल करते हैं।
3^4 में इकाई का अंक=7^4 में इकाई का अंक=1
(6.)यदि संख्या में इकाई का अंक 9 है,उपर्युक्त के अनुसार सरल करते हैं।घात सम हो तो इकाई का अंक 1 होगा
(439)^{40} में इकाई का अंक=1
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4.संख्या पद्धति (Frequently Asked Questions Related to Number System),अंकगणित में संख्या पद्धति (Number System in Arithmetic) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.प्राकृत संख्याओं के योग के सूत्र लिखो। (Write the Formulae for the Sum of Natural Number):
उत्तर:(1.)प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग=\frac{n(n+1)}{2}
(2.)प्रथम n विषम प्राकृत संख्याओं का योग=n (n+1)
(3.)प्रथम n तक की सम प्राकृत संख्याओं का योग=\frac{n}{2}\left(\frac{n}{2}+1\right)
(4.)प्रथम n विषम प्राकृत संख्याओं का योग=n^2
(5.)प्रथम n प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}
(6.)प्रथम n प्राकृत संख्याओं के घनों का योग=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2
(7.) a^p \cdot b^q \cdot c^r \cdot d^s के अभाज्य गुणनखण्डों की संख्या p+q+r+s होती है जहाँ a,b,c,d अभाज्य संख्याएं हैं।
प्रश्न:2.संख्याओं की भाज्यता की जाँच कैसे करते हैं? (How Do You Check the Divisibility of Numbers?):
उत्तर:(1.) 2 से भाज्य:यदि दी गई संख्या के इकाई के स्थान पर शून्य या सम संख्या हो,तो वह संख्या 2 से भाज्य होगी।
(2.)3 से भाज्य:यदि दी गई संख्या के सभी अंकों का योग 3 से विभाजित हो जाता है,तो वह संख्या 3 से भाज्य होगी।
(3.)4 से भाज्य:यदि दी गई संख्या के इकाई व दहाई के अंकों द्वारा बनी संख्या 4 से विभाजित है,तो वह संख्या 4 से भाज्य होगी।
(4.)5 से भाज्य:यदि दी गई संख्या के इकाई के स्थान पर शून्य या 5 हो,तो वह संख्या 5 से भाज्य होगी।
(5.)6 से भाज्य:यदि दी गई संख्या 2 तथा 3 से पूर्णतः विभाजित हो जाती है,तो वह संख्या 6 से भाज्य होगी।
(6.)7 से भाज्य:यदि दी गई संख्या के अन्तिम अंक को दो गुना करके शेष अंकों से बनी संख्या में से घटाया जाए और इससे प्राप्त नई संख्या 7 से विभाजित है,तो वह संख्या 7 से भाज्य होगी।
(7.)8 से भाज्य:यदि दी गई संख्या के अन्तिम तीन अंकों द्वारा बनी संख्या 8 से विभाजित हो जाती है,तो वह संख्या 8 से भाज्य होगी।
(8.)9 से भाज्य:यदि दी गई संख्या के सभी अंकों का योग 9 से विभाजित हो जाता है,तो वह संख्या 9 से भाज्य होगी।
(9.)10 से भाज्य:यदि दी गई संख्या का इकाई का अंक शून्य हो,तो वह संख्या 10 से भाज्य होगी।
(10.)11 से भाज्य:यदि दी गई संख्या के विषम स्थानों के अंकों तथा सम स्थानों के अंकों के योग का अन्तर या तो 0 है या 11 से विभाजित हो जाता है,तो वह संख्या 11 से भाज्य होगी।
प्रश्न:3.प्राकृत तथा अन्य संस्थाओं की परिभाषा दीजिए। (Define Natural and Other Numbers):
उत्तर:(1.)प्राकृत संख्याएं N={1,2,3,4,….}
(2.)पूर्ण संख्याएं W={0,1,2,3,4,….}
(3.)पूर्णांक संख्याएं I={…-3,-2,-1,0,1,2,3,4,….}
(4.)परिमेय संख्याएं Q={\frac{p}{q} :p और q पूर्णांक हैं और q \neq 0 }
(5.)अपरिमेय संख्याएं:वे सभी जिन्हें \frac{p}{q} के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है जैसे: \sqrt{2} , \sqrt{3} , \sqrt{5}
(6.)वास्तविक संख्याएं R={वे सभी संख्याएं जो या तो परिमेय हों अथवा अपरिमेय हों,वास्तविक संख्याएं कहलाती हैं}
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा संख्या पद्धति (Number System),अंकगणित में संख्या पद्धति (Number System in Arithmetic) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
