1.अभिलम्ब और स्पर्श रेखाएँ कक्षा 12 (Normals and Tangents Class 12),अवकलन गणित में स्पर्श रेखाएँ और अभिलम्ब (Tangent and Normal in Differential Calculus):

Normals and Tangents Class 12

अभिलम्ब और स्पर्श रेखाएँ कक्षा 12 (Normals and Tangents Class 12) के इस आर्टिकल में अवकलन के प्रयोग से किसी वक्र के दिए हुए बिन्दु पर स्पर्शरेखा और अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात करना सीखेंगे।

आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके । यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए । आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:-Tangents and Normals Class 12

2.अभिलम्ब और स्पर्श रेखाएँ कक्षा 12 के साधित उदाहरण (Normals and Tangents Class 12 Examples):

Example:1.दिए वक्रों पर निर्दिष्ट बिन्दुओं पर स्पर्शरेखा और अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिएः
Example:1(i). y=x^{3} के (1,1) पर
Solution: y=x^{3}
x के सापेक्ष अवकलन करने परः

\frac{d y}{d x}=3 x^{2} \\ \Rightarrow \left(\frac{d y}{d x}\right)_{(1,1)}=3(1)^{2} \\ \Rightarrow \left(\frac{d y}{d x}\right)_{(1,1)}=3
स्पर्शरेखा का समीकरणः

y-y_0=\left(\frac{d y}{d x}\right)_{\left(x_{0},y_{0}\right)}\left(x-x_0\right) \\ y-1=3(x-1) \\ \Rightarrow y-1=3 x-3 \\ \Rightarrow y=3 x-2
अभिलम्ब का समीकरणः

\left(y-y_0\right)\left(\frac{d y}{d x}\right)_{\left(x_0, y_0\right)}+\left(x-x_0\right)=0 \\ \Rightarrow (y-1)(3)+(x-1)=0 \\ \Rightarrow 3 y-3+x-1=0 \\ \Rightarrow x+3 y-4=0, y=3 x-2
Example:1(ii). y=x^2 के (0,0) पर
Solution: y=x^2
x के सापेक्ष अवकलन करने परः

\frac{d y}{d x}=2 x \\ \left(\frac{d y}{d x}\right)_{(0, 0)}=2(0)=0
स्पर्शरेखा का समीकरणः

y-y_0=\left(\frac{d y}{d x}\right)_{\left(x_0, y_0\right)}\left(x-x_0\right) \\ \Rightarrow y-0=0(x-0) \\ \Rightarrow y=0
अभिलम्ब का समीकरणः

\left(x-y_0\right)\left(\frac{d y}{d x}\right)_{\left(x_0, y_0\right)}+\left(x-x_0\right)=0 \\ \Rightarrow(y-0)(0)+(x-0)=0 \\ \Rightarrow x=0, y=0
स्पर्शरेखा:y=0,अभिलम्बःx=0
Example:1(iii). x=\cos t, y=\sin t  के t=\frac{\pi}{4} पर
Solution: x=\cos t, y=\sin t
t के सापेक्ष अवकलन करने परः

\frac{d x}{d t}=-\sin t \\ \frac{d y}{d t}=\cos t \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{\cos t}{-\sin t} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\cot t \\ \Rightarrow \left(\frac{d y}{d x}\right)_{(x=\frac{\pi}{4})}=-\cot \frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(x=\frac{\pi}{4})}=-1
स्पर्शरेखा का समीकरणः

y-y_0=\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(x=\frac{\pi}{4})} \left(x-x_0\right)\\ \Rightarrow y-\sin t=(-1)(x-\cos t)\\ \Rightarrow y=\sin \frac{\pi}{4}=(-1)(x-\cos \frac{\pi}{4})\\ \Rightarrow y-\frac{1}{\sqrt{2}}=-x+\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \Rightarrow x+y=\frac{2}{\sqrt{2}} \Rightarrow x+y=\sqrt{2}
अभिलम्ब का समीकरणः

\left(y-y_0\right)\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(x=\frac{\pi}{4})}+\left(x-x_0\right)=0 \\ \Rightarrow (y-\sin t)(-1)+(x-\cos t)=0 \\ \Rightarrow (y-\sin \frac{\pi}{4})(-1)+(x-\cos \frac{\pi}{4})=0 \\ \Rightarrow \left(y-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)(-1)+\left(x-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=0 \\ \Rightarrow -y+\frac{1}{\sqrt{2}}+x-\frac{1}{\sqrt{2}}=0 \\ \Rightarrow x=y
स्पर्शरेखाः x+y=\sqrt{2}, अभिलम्बःx=y
Example:2.वक्र y=x^2-2 x+7 की स्पर्शरेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो
Example:2(a).रेखा 2x-y+9=0 के समान्तर है।
Solution: y=x^2-2 x+7 \ldots(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने परः
\frac{d y}{d x}=2 x-2 \ldots(2) \\ 2 x-y+9=0 \\ y=2 x+9 \\ m=\frac{d y}{d x}=2 \ldots(3)
(2) व (3) सेः
2x-2=2 [समान्तर रेखाओं की प्रवणता समान होती है]

\Rightarrow 2 x=4 \\ \Rightarrow x=2
x का मान समीकरण (1) में रखने परः

y=(2)^2-2 \times 2+7=4-4+7 \\ \Rightarrow y =7
(2,7) पर स्पर्शरेखा की समीकरणः

y-y_0=\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(2,7)} (x-x_{0}) \\ \Rightarrow y-7=2(x-2) \\ \Rightarrow y-7=2 x-4 \\ \Rightarrow 2 x-y=-7+4 \\ \Rightarrow 2 x-y=-3
Example:2(b).रेखा 5y-15x=13 पर लम्ब है।
Solution: y=x^2-2 x+7 \ldots(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने परः

\frac{d y}{d x}=2 x-2 \\ m_1=\frac{d y}{d x}=2 x-2 \ldots(2) \\ 5 y-15 x=13 \\ \Rightarrow 5 y=15 x+13 \\ \Rightarrow y=\frac{15 x}{5}+\frac{13}{5} \\ \Rightarrow y=3 x+\frac{13}{5} \\ m_2=3 \ldots(3)
स्पर्शरेखा दी हुई रेखा पर लम्ब है अतः

m_1 m_2=-1 \\ (2 x-2) 3=-1 \\ \Rightarrow 6 x-6+1=6 \\ \Rightarrow 6 x=5 \\ \Rightarrow x=\frac{5}{6}
x का मान समीकरण (1) में रखने परः

y =\left(\frac{5}{6}\right)^2-2 \times \frac{5}{6}+7 \\ =\frac{25}{36}-\frac{10}{6}+\frac{7}{1} \\ =\frac{25-60+252}{36} \\ y =\frac{217}{36} \\ \left(\frac{5}{6}, \frac{217}{36}\right) पर स्पर्शरेखा का समीकरणः

y-y_0=\left(\frac{d y}{d x}\right)_{\left(\frac{5}{6}, \frac{217}{36}\right)}\left(x-x_0\right) \\ y-\frac{217}{36}=\left ( -\frac{1}{3} \right )\left ( x-\frac{5}{6} \right ) \\ \frac{36 y-217}{36}=\frac{-6 x+5}{18} \\ \Rightarrow 36 y-217=-12 x+10 \\ \Rightarrow 12 x+36 y-227=0
Example:3.सिद्ध कीजिए कि वक्र y=7 x^3+11 के उन बिन्दुओं पर स्पर्श रेखाएँ समान्तर हैं जहाँ x=2 तथा x=-2 है।
Solution: y=7 x^3+11
x के सापेक्ष अवकलन करने परः

\frac{d y}{d x}=21 x^2 \\ m_1=\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(x=2)}=21(2)^2=84 \\ m_2=\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(x=-2)}=21(-2)^2=84 \\ m_1=m_2
अतः x=2 तथा x=-2 पर स्पर्श रेखाएँ समान्तर हैं।
Example:4.वक्र y=x^3 पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्शरेखा की प्रवणता बिन्दु के y-निर्देशांक के बराबर है।
Solution: y=x^3 \ldots(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने परः

\frac{d y}{d x}=3 x^2
प्रश्नानुसारः

y=x^3=3 x^2 \\ \Rightarrow x^{3}-3 x^2=0 \\ \Rightarrow x^2(x-3)=0 \\ \Rightarrow x=a^{3}\\ \Rightarrow x=0,3
जब x=0 तो y=x^3=0
जब x=3 तो y=3^2=27
(0,0),(3,27)
Example:5.वक्र y=4 x^3-2 x^5 पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ मूलबिन्दु से होकर जाती हैं।
Solution: y=4 x^3-2 x^5 \ldots(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने परः

\frac{dy}{dx}=12x^{4}-10x^{4} \cdots(2)
माना स्पर्श बिन्दु \left(x_0, y_0\right) हैः
अतः \left(x_0, y_0\right),(0,0) से गुजरने वाली स्पर्शरेखा की प्रवणताः

\left(\frac{d y}{d x}\right)_{\left(x_0, y_0\right)}=\frac{y_0-0}{x_0-0} \\ \Rightarrow \left(\frac{d y}{d y_0}\right)_{\left(x_0, y_0\right)}=\frac{y_0}{x_0} \ldots(3)
(2) सेः \left(\frac{d y}{d x}\right)_{\left(x_0, y_0\right)}=12 x_0^2-10 x_0^{4} \ldots(4)
(3) व (4) सेः 

\frac{y_0}{x_0}=12 x_0^2-10 x_0^4 \\ y_0=12 x_0^{3}-10 x_0^5 \ldots(5)
वक्र पर है अतः (1) सेः

y_0=4 x_0^3-2 x_0^5 \ldots(6)
(5) व (6) सेः

12 x_0^3-10 x_0^5=4 x_0^3-2 x_0^5 \\ \Rightarrow 8 x_0^3-8 x_0^5=0 \\ \Rightarrow 8 x_0^3\left(1-x_0^2\right)=0 \\ \Rightarrow 2 x_0=0, \pm 1
जब x_0=0 तो (6) से y_0=0
जब x_0=1 तो (6) सेः y_0=4(1)^3-2(1)^5=2
जब x_0=-1 तो (6) सेः y_0=4(-1)^3-2(-1)^5=-4+2=-2
अतः बिन्दुओं के निर्देशांक (0,0),(1,2),(-1,-2)
Example:6.वक्र x^2+y^2-2 x-3=0 के उन बिन्दुओं पर स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जहाँ पर ये x-अक्ष के समान्तर हैं।
Solution: x^2+y^2-2 x-3=0 \ldots(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने परः

2 x+2 y\left(\frac{d y}{d x}\right)-2=0
x-अक्ष के समान्तर प्रवणता

\frac{dy}{dx}=0 \\ 2x+2y(0)-2=0 \Rightarrow x=1
x का मान (1) में रखने परः

(1)^2+y^2-2 \times 1-3=0 \\ y^2-5+1=0 \\ y^2=4 \\ \Rightarrow y=\pm \sqrt{4} \\ \Rightarrow y=\pm 2
स्पर्श बिन्दु के निर्देशांक (1,2),(1,-2)
(1,2) पर स्पर्शरेखा का समीकरणः

\left(y-y_0\right) =\left(\frac{d y}{d x}\right)_{\left(x-x_0\right)} \\ y-2 =0(x-1) \\ \Rightarrow y =2
(1,-2) पर स्पर्शरेखा का समीकरणः

y-y_0=\left(\frac{d y}{d x}\right)_{\left(x-x_0\right)} \\ y+2=0(x-1) \\ \Rightarrow y=-2 ,y=2
Example:7.वक्र a y^2=x^3 के बिन्दु \left(a m^2, a m^3\right) पर अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution: a y^2=x^3
x के सापेक्ष अवकलन करने परः

2 a y \frac{d y}{d x}=3 x^2\\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{3 x^2}{2 a y}\\ \Rightarrow\left(\frac{d y}{d x}\right)_{\left(a m^2, a m^3\right)}=\frac{3\left(a m^2\right)^2}{2 a\left(a m^3\right)}\\=\frac{3 a^2 m^4}{2 a^2 m^3} \\ \Rightarrow \left(\frac{d y}{d x}\right)_{\left(a m^2, a m^3\right)}=\frac{3}{2} m
अभिलम्ब का समीकरणः

Normals and Tangents Class 12

Example:8.वक्र y=x^{3}+2x+6 के उन अभिलम्बों के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा x+14y+4=0 के समान्तर है।
Solution: y=x^{3}+2x+6 \ldots(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने परः

\frac{d y}{d x}=3 x^2+2
अभिलम्ब की प्रवणताः

m=-\frac{1}{\frac{d y}{d x}}=-\frac{1}{3 x^2+2} \ldots(2) \\ x+14 y+4=0 \\ 14 y=-x-4 \\ y=-\frac{x}{14}-\frac{4}{14} \ldots(3)
रेखा (3) की प्रवणताः m=-\frac{1}{14}
समान्तर रेखाओं की प्रवणता समान होती है अतः

-\frac{1}{3 x^2+2}=-\frac{1}{14} \\ \Rightarrow 3 x^2+2=14 \\ \Rightarrow 3 x^2=12 \\ \Rightarrow x^2=4 \\ \Rightarrow x=\pm 2
जब x=2 तो (1) सेः

y=(2)^3+2 \times 2+6=8+4+6=18
जब x=-2 तो (1) सेः

(2,18)(-2,-6)
(2,18) पर अभिलम्ब की समीकरणः

y-y_0=-\frac{1}{\left(\frac{d y}{dx }\right)_{\left(x_0, y_0\right)}}\left ( x-x_{0}\right ) \\ \Rightarrow y-18=-\frac{1}{14}(x-2) \\ \Rightarrow 14 y-252=-x+2 \\ \Rightarrow x+14 y-252-2=0 \\ \Rightarrow x+14 y-254=0
(-2,-8) पर अभिलम्ब की समीकरणः

y+6=-\frac{1}{14}(x+2) \\ 14y+84=-x-2 \\ \Rightarrow x+14y+86=0 \\ \Rightarrow x+14y-254=0,x+14y+86=0
Example:9.परवलय y^{2}=4ax के बिन्दु \left(a t^2, 2 a t\right) पर स्पर्शरेखा और अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution: y^{2}=4ax
x के सापेक्ष अवकलन करने परः

2 y \frac{d y}{d x}=4a \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{4 a}{2 y} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{2 a}{y} \\ \Rightarrow \left(\frac{d y}{d x}\right)_{\left(a t^2, 2 a t\right)}=\frac{2 a}{2 a t}=\frac{1}{t}
अभिलम्ब की समीकरणः

\left(y-y_0\right)\left(\frac{d y}{d x}\right)_{\left(a t^{2}, 2 a t\right)}+\left(x-x_0\right)=0 \\ \Rightarrow (y-2 a t)\left(\frac{1}{t}\right)+\left(x-a t^2\right)=0 \\ \Rightarrow y-2 a t+t x-a t^3=0 \\ \Rightarrow t x+y-2 a t-a t^3=0
स्पर्शरेखा की समीकरणः

y-y_0=\left(\frac{d y}{d x}\right)_{\left(x_0, y_0\right)}\left(x-x_0\right) \\ y-2 a t=\frac{1}{t}\left(x-a t^2\right) \\ t y-2 a t^2=x-a t^2 \\ \Rightarrow t y=x+a t^2, \quad y=-t x+2 a t+a t^3
Example:10.सिद्ध कीजिए कि वक्र x=y^{2} और xy=k एक दूसरे को समकोण पर काटती है, यदि 8 k^2=1 है।
Solution: x=y^2 \ldots(1) \\ x y=k \ldots(2)
(1) व (2) का प्रतिच्छेद बिन्दुः

y^2-y=k \Rightarrow y^3=k \Rightarrow y=k^{\frac{1}{3}}
y का मान (1) में रखने परः

x=k^{\frac{2}{3}}
अतः प्रतिच्छेद बिन्दु \left(k^{\frac{2}{3}}, k^{\frac{1}{3}}\right)
(1) व (2) का x के सापेक्ष अवकलन करने परः

2 y \frac{d y}{d x}=1 \\ \frac{d y}{d x}=\frac{1}{2 y} \\ m_1=\left(\frac{d y}{d x}\right)_{\left(k^{\frac{2}{3}}, k^{\frac{1}{3}}\right)}=\frac{1}{2 k^{\frac{1}{3}}} \\ 1 \cdot y+x \frac{d y}{d x}=0 \\ \frac{d y}{d x}=-\frac{y}{x} \\ m_2=\left(\frac{d y}{d x}\right)_{\left(k^{\frac{2}{3}}, k^{\frac{1}{3}}\right)}=-\frac{k^{\frac{1}{3}}}{k^{\frac{2}{3}}}=-\frac{1}{k^{\frac{1}{3}}}
समकोणीयता का प्रतिबन्धः

m_1 m_2=-1 \\ \Rightarrow \left(\frac{1}{2 k^{\frac{1}{3}}}\right)\left(-\frac{1}{k^{\frac{1}{3}}}\right)=-1 \\ \Rightarrow 2 k^{\frac{2}{3}}=1 \\ \Rightarrow \left(2 k^{\frac{2}{3}}\right)^3=1^3 \\ \Rightarrow 8 k^2=1
Example:11.अतिपरवलय \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 के बिन्दु \left(x_0, y_0\right) पर स्पर्शरेखा तथा अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1
x के सापेक्ष अवकलन करने परः

\frac{2 x}{a^2}-\frac{2 y}{b^2} \cdot \frac{d y}{d x}=0 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{2 x}{a^2} \times-\frac{b^2}{2 y} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{b^2 x}{a^2 y} \\ \left(\frac{d y}{d x}\right)_{\left( x_0, y_0 \right)}=\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}
स्पर्शरेखा की समीकरणः

y-y_0=\left ( \frac{d y}{dx} \right )_{\left(x_0, y_0\right)}\left(x-x_0\right)\\ y-y_0=\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}\left(x-x_0\right) \\ \Rightarrow a^2 y_0 y-a^2 y_0^2=b^2 x_{0} x-b^2 x_0^2 \\ \Rightarrow b^2 x_0 x-a^2 y_0 y=b^2 x_0^2-a^2 y_0^2 \\ a^2 b^2 से भाग देने परः

\Rightarrow \frac{x_0 x}{a^2}-\frac{y_0 y}{b^2}=\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2} \\ \Rightarrow \frac{x_0 x}{a^2}-\frac{y_0 y}{b^2}=1 \\ \left[\because\left(x_0, y_0\right) \text{ वक्र पर है अतः } \frac{x_{0}^2}{a^2} -\frac{y_0^2}{b^2}=1\right]
Example:12.वक्र y=\sqrt{3 x-2} की उन स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा 4x-2y+5=0 के समान्तर है।
Solution: y=\sqrt{3 x-2} \ldots(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने परः

\frac{d y}{d x}=\frac{1}{2 \sqrt{3 x-2}} \cdot 3=\frac{3}{2 \sqrt{3 x-2}} \\ 4 x-2 y+5=0 \\ \Rightarrow y=2 x+\frac{5}{2} \\ \frac{d y}{d x}=2
समान्तर रेखाओं की प्रवणता समान होती है अतः

\frac{3}{2 \sqrt{3 x-2}}=2 \\ \Rightarrow 16(3 x-2)=9 \\ \Rightarrow 48 x-32=9 \\ \Rightarrow 48 x=41 \\ \Rightarrow x=\frac{41}{48}
x का मान समीकरण (1) में रखने परः

y=\sqrt{3 \times \frac{41}{48}-2} =\sqrt{\frac{123-96}{48}} \\ \Rightarrow y=\sqrt{\frac{27}{48}}= \sqrt{\frac{9}{16}} \\ \Rightarrow y=\pm \frac{3}{4} \\ \Rightarrow\left(\frac{41}{48}, \pm \frac{3}{4}\right)
स्पर्शरेखा का समीकरणः

y-y_0=\left(\frac{d y}{d x}\right)_{\left(x_0, y_0\right)}\left(x-x_0\right) \\ \Rightarrow y-\frac{3}{4}=2\left(x-\frac{41}{48}\right) \\ \Rightarrow \frac{4 y-3}{4}=\frac{1}{24}(48 x-41) \\ \Rightarrow 24 y-18=48 x-41 \\ \Rightarrow 48 x-24 y=41-18 \\ \Rightarrow 48 x-24 y=23 \\ y+\frac{3}{4}=2\left(x-\frac{41}{48}\right) \\ \Rightarrow \frac{4 y+3}{4}=\frac{1}{24}(48 x-41) \\ \Rightarrow 24 y+18=48 x-41 \\ \Rightarrow 48 x-24 y=41+18 \\ \Rightarrow 48 x-24 y=59 \\ \Rightarrow 48 x-24 y=23,48 x-24 y=59
Example:13.वक्र y=2 x^2+3 \sin x के x=0 पर अभिलम्ब की प्रवणता हैः

(A) 3 (B) \frac{1}{3} (C)-3 (D)-\frac{1}{3}
Solution:\frac{d y}{d x}=4 x+3 \cos x\\ \left(\frac{d y}{d x}\right)_{(x=0)}=4 \times 0+3 \cos 0=3 \times 1=3
अभिलम्ब की प्रवणता=-\frac{1}{\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(x=0)}}=-\frac{1}{3}
उत्तरः(D)
Example:14.किस बिन्दु पर y=x+1 वक्र y^{2}=2x की स्पर्श रेखा है?
(A) (1,2) (B) (2,1) (C) (1,-2) (D) (-1,2) है।
Solution: y^2=4 x \Rightarrow 2 y \frac{d y}{d x}=4 \\ \frac{d y}{d x}=\frac{2}{y}
y=x+1 से \frac{d y}{d x}=1 \\ \frac{2}{y}=1 \Rightarrow y=2
तथा  y^2=4 x सेः x=1
अतः A(1,2) पर स्पर्शरेखा है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अभिलम्ब और स्पर्श रेखाएँ कक्षा 12 (Normals and Tangents Class 12),अवकलन गणित में स्पर्श रेखाएँ और अभिलम्ब (Tangent and Normal in Differential Calculus) को समझ सकते हैं।

3.अभिलम्ब और स्पर्श रेखाएँ कक्षा 12 के सवाल (Normals and Tangents Class 12 Questions):

Normals and Tangents Class 12

(1.)सिद्ध कीजिए कि x के प्रत्येक मान के लिए वक्र \left(\frac{x}{a}\right)^n+\left(\frac{y}{b}\right)^n=2 सरल रेखा \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=2 को बिन्दु (a,b) पर स्पर्श करती है।
(2.)वक्र \sqrt{\frac{x}{a}}+\sqrt{\frac{y}{b}}=1 के किसी बिन्दु पर स्पर्शरेखा x तथा y-अक्ष से क्रमशः p तथा q अन्तःखण्ड काटती है तो सिद्ध कीजिएः \frac{p}{a}+\frac{q}{b}=1
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अभिलम्ब और स्पर्श रेखाएँ कक्षा 12 (Normals and Tangents Class 12),अवकलन गणित में स्पर्श रेखाएँ और अभिलम्ब (Tangent and Normal in Differential Calculus) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:-Decreasing and Increasing Functions 

4.अभिलम्ब और स्पर्श रेखाएँ कक्षा 12 (Normals and Tangents Class 12),अवकलन गणित में स्पर्श रेखाएँ और अभिलम्ब (Tangent and Normal in Differential Calculus) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः

अभिलम्ब और स्पर्श रेखाएँ कक्षा 12 (Normals and Tangents Class 12) के इस आर्टिकल
में अवकलन के प्रयोग से किसी वक्र के दिए हुए बिन्दु पर स्पर्शरेखा और अभिलम्ब का