1.न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन (Newton Gregory Forward Interpolation),न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Newton Gregory Forward Interpolation Formula):

Newton Gregory Forward Interpolation

न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन (Newton Gregory Forward Interpolation):गणितीय विश्लेषण तथा निर्वचन करते समय कभी-कभी ऐसी अनेक परिस्थितियां उत्पन्न हो जाती है जब प्रस्तुत समंक श्रेणी पूर्ण नहीं होती है।उसके कुछ मूल्य अनेक कारणों से अज्ञात रह जाते हैं।समंकों से सही निष्कर्ष निकालने के लिए यह आवश्यक है कि समंकमाला में अज्ञात मूल्यों के कारण बीच-बीच में रिक्त स्थान न हो।यही नहीं कभी-कभी उपलब्ध समंकों के आधार पर भावी समंकों के पूर्वानुमान लगाने भी आवश्यक हो जाते हैं ।इस प्रकार समंकों के आधार पर श्रेणी के बीच के अज्ञात मूल्यों या भावी मूल्यों के गणितीय अनुमान लगाने के लिए अंतर्वेशन तथा बहिर्वेशन (Interpolation and Extrapolation) का प्रयोग किया जाता है।
(1.)न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Newton Gregory Forward Interpolation Formula):

f(a+h u)=P_{0}(a+h u)=f(a)+u^{(1)} \Delta f(a)+\frac{1}{2!} u^{(2)} \cdot \Delta^{2} f(a)+\frac{1}{3 !} u^{(3)} \Delta^{3} f(a) +\cdots+\frac{1}{n !} u^{(n)} \Delta^{n} f(a) 

u^{(n)}=u(u-1)(u-2) \cdots (u-n+1)

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2.न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन के उदाहरण (Newton Gregory Forward Interpolation Examples):

Example:1.न्यूटन-ग्रैगोरी का अग्रान्तर अन्तर्वेशन का प्रयोग कर निम्न सारणी से y(23) का मान ज्ञात कीजिए:
(Obtain y(23) using Newton-Gregory forward difference interpolation formula from the following table):

Solution:दिए हुए आंकड़ों से निम्न अग्रान्तर सारणी प्राप्त होती है:

a=10,h=10 तथा a+hu=x \\ \Rightarrow 10+10u=23 \\ \Rightarrow u=1.3

न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Newton Gregory Forward Interpolation Formula) से:

f(a+h u)=y_{0}+u^{(1)} \Delta y+\frac{u^{(2)}}{2 !} \Delta^{2} y+\frac{u^{(3)}} {3 !}\Delta^{3} y+\frac{u^{(4)}}{4 !} \Delta^{4} y+\frac{u^{(5)}}{5 !} \Delta^{5} y+\frac{u^{(6)}}{6 !} \Delta^{6} y+\frac{u^{(7)}}{7 !} \Delta^{7} y \cdots \\ \Rightarrow y(23)=0.9848+(1.3)(-0.0451)+\frac{(1.3)(0.3)}{2}(-0.0286)+\frac{(1.3)(0.3)(-0.7)}{6}(0.0023) +\frac{(1.3)(0.3)(-0.7)(-1.7)}{24}(0.008)+\frac{(1.3)(0.3)(-0.7)(-1.7)(-2.7)}{120}(-0.0003)+\frac{(1.3)(0.3)(-0.7)(-1.7)(-2.7)(-3.7)}{720}(0.0006)+\frac{(1.3)(0.3)(-0.7)(-1.7)(-2.7)(-3.7)(-4.7)}{5040}(-0.0015) \\ =.9848-0.05863-0.005577-0.00010465 +0.0001547+0.000003132+ 0.000003863+0.000006485 \\ \Rightarrow y(23)= .92065653 \approx 0.9207
Example:2.एक व्यापारिक प्रतिष्ठान के लिए पिछले पाँच वर्ष की बिक्री निम्न सारणी द्वारा दी गई है,वर्ष 1981 की बिक्री का आंकलन (अनुमानित) कीजिए।
(The following table gives the sales of a business concern for the last five years.Estimate the sale for the year 1981.):

Solution:दिए हुए आंकड़ों से निम्न अग्रान्तर सारणी प्राप्त होती है:

a=1976,h=2 तथा a+hu=x \\ \Rightarrow 1976+2u=1981 \\ \Rightarrow 2u=5 \\ \Rightarrow u=2.5

न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Newton Gregory Forward Interpolation Formula) से:
f(a+h u)=y_{0}+u^{(1)} \Delta y+\frac{u^{(2)}}{2 !} \Delta^{2} y+\frac{u^{(3)}}{3!}+ \Delta^{3} y+\frac{u^{(4)}}{4!} \Delta^{4} y+ \cdots \\ y(1981)=40+2.5(3)+\frac{(2.5)(1.5)(2)}{2}+\frac{(2.5)(1.5)(0.5)(-3)}{6}+ \frac{(2.5)(1.5)(0.5)(-0.5)(5)}{24}\\ = 40+7.5+3.75-0.9375-0.1953125 \\= 50.1171875 \\ \Rightarrow y(1981)\approx 50.12 हजार
Example:3.चार क्रमागत दस वर्ष आयु समूहों में मृतकों की संख्या निम्नलिखित है:
45-50 तथा 50-55 के मध्य मृतकों की संख्या ज्ञात कीजिए।
(The following are the numbers of deaths in four successive ten year age group.Find the number of deaths in 45-50 and 50-55.):

Solution:दिए हुए आंकड़ों से निम्न अग्रान्तर सारणी प्राप्त होती है:

a=35,h=10 तथा a+hu=x \\ \Rightarrow  35+10u=50 \\ \Rightarrow u=1.5
न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Newton Gregory Forward Interpolation Formula) से:

f(a+h u)=y_{0}+u^{(1)} \Delta y+\frac{u^{(2)}}{2 !} \Delta^{2} y+\frac{u^{(3)}}{3 !} \Delta^{3} y+ \cdots \\ f(50) =13229+(1.5) 18139+\frac{(1.5)(0.5)}{2} (6086)+\frac{(1.5)(0.5)(-0.5)}{6} (1185) \\ = 13229+27208.5+2282.25-74.0625 \\ \Rightarrow f(50)= 42645.6875 \approx42646
अतः 45-50 के मध्य मृतकों की संख्या=50 से कम मृतकों की संख्या-45 से कम मृतकों की संख्या
=42646-31368
=11278
अतः 50-55 के मध्य मृतकों की संख्या=55 से कम मृतकों की संख्या-50 से कम मृतकों की संख्या
=55593-42646
=12947

Newton Gregory Forward Interpolation

Example:4.निम्न आंकड़ों से उन व्यक्तियों की संख्या का आकलन कीजिए जिनकी मजदूरी 60 रु. से 70 रु. के मध्य है।
(From the following data,estimate the numbers of persons earning wages between Rs.60 and Rs.70.)

Solution:दिए हुए आंकड़ों से निम्न अग्रान्तर सारणी प्राप्त होती है:

a=40,h=20 तथा a+hu=x \\ \Rightarrow  40+20u=70 \\ \Rightarrow  20u=30 \\ \Rightarrow  u=1.5
न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Newton Gregory Forward Interpolation Formula) से:

f(a+h u) =y_{0}+u^{(1)} \Delta y+\frac{u^{(2)}}{2 !} \Delta^{2} y+\frac{u^{(3)}}{3!} \Delta^{3} y+\frac{u^{(4)}}{4 !} \Delta^{4} y+\cdots \\ f(70)= 250+1.5(120)+\frac{(1.5)(0.5)}{2} (-20)+\frac{(1.5)(0.5)(-0.5)}{6}(-10) +\frac{(1.5)(0.5)(-0.5)(-1.5)(20)}{24} \\ =250+180-7.5+0.625+0.46875 \\ \Rightarrow f(70) =423.59375 \approx 424
अतः 60 रु. से 70 रु. के मध्य मजदूरी पाने वालों की संख्या=70 रु. से कम मजदूरी पाने वालों की संख्या-60 रु. से कम मजदूरी पाने वालों की संख्या
=424-370
=54 हजार (लगभग)
Example:5.निम्न सारणी दी हुई है (The following table is given):

फलन f(x) का रूप क्या होगा? (What is the form of the function f(x)?)
Solution:दिए हुए आंकड़ों से निम्न अग्रान्तर सारणी प्राप्त होती है:

न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Newton Gregory Forward Interpolation Formula) से:

f(x)=f(0)+^{x}C_{1} \Delta f(0)+^{x}C_{2} \Delta^{2} f(0)+\cdots
उपर्युक्त सारणी से वांछित मान प्रतिस्थापित करने पर:

=3+x \times 3+\frac{x(x-1) \times 2}{2 !} \times 2 \\ =3+3 x+x^{2}-x \\ =x^{2}+2 x+3
Example:6.यदि u_{0}=0,u_{10}=15,u_{20}=50 तो u_{15} का अनुमानित मान ज्ञात कीजिए।यदि इनके अतिरिक्त u_{5}=35 भी दिया हो तो अनुमानित मान किस प्रकार संशोधित हो जाएगा?
(If u_{0}=0,u_{10}=15,u_{20}=50 estimate u_{15}.If you are given in addition u_{5}=35, how would your estimate be revised?)
Solution:दिए हुए आंकड़ों से निम्न अग्रान्तर सारणी प्राप्त होती है:

a=0,h=10 तथा a+hv=x \\ \Rightarrow  0+10u=15 \\ \Rightarrow  v=1.5
न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Newton Gregory Forward Interpolation Formula) से:

f(a+h v)=u_{0}+v^{(1)} \Delta u+\frac{v^{(2)}}{2!} \Delta^{2} u+\cdots \\ =0+1.5(15)+\frac{(1.5)(0.5)}{2} \times 20 \\ u_{15}=25.5+7.5=33
यदि u_{5}=35 दिया हुआ हो तो:

\Delta^{4} u_{x}=0=(E-1)^{4} u_{x} \\ \Rightarrow \Delta^{4} u_{x}=\left(E^{4}-4 E^{3}+6 E^{2}-4 E+1\right) u_{x}\\ \Rightarrow \Delta^{4} u_{0}=E^{4} u_{0}-u E^{3} u_{0}+6 E^{2} u_{0}-4 E u_{0}+u_{0}\\ \Rightarrow 0 =u_{4}-4 u_{3}+6 u_{2}-4 u_{1}+u_{0} \\ =50-4 u_{3}+6(15)-4(35)+0 \\ \Rightarrow 4 u_{3}=50+90-140 \\ \Rightarrow 4 u_{3}=140-140 \\ \Rightarrow u_{3}=0 \Rightarrow u_{15}=0
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन (Newton Gregory Forward Interpolation),न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Newton Gregory Forward Interpolation Formula) को समझ सकते हैं।

3.न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन की समस्याएं (Newton Gregory Forward Interpolation Problems):

(1.)निम्न सारणी में अन्तिम छह गणनाओं में एक शहर की जनसंख्या दी हुई है।अन्तर्वेशन के किसी उपयुक्त सूत्र का प्रयोग करके 1946 से 1948 के अन्तराल में जनसंख्या में वृद्धि का आकलन कीजिए:
(The following table gives the population of a town during the last six census.Estimate, using any suitable interpolation formula, the increase in the population during the period from 1946 to 1948):

(2.)निम्न सारणी में उन व्यक्तियों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनको 10 रु. से 15 रु. के मध्य मजदूरी मिलती हैः
(Find the number of men getting wages between Rs.10 and Rs.15 from the following table):

उत्तर (Answers):(1.)2.53 हजार (लगभग)
(2.)15 व्यक्ति (लगभग)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन (Newton Gregory Forward Interpolation),न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Newton Gregory Forward Interpolation Formula) को ठीक से समझ सकते हैं।

Newton Gregory Forward Interpolation

4.मुख्य बातें (HIGHLIGHTS):

(1.)अंतर्वेशन की प्रथम मूलभूत मान्यता यह है कि दिए हुए आंकड़ों को एक निश्चित कोटि के सन्निकट बहुपद द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता हो।
(2.)अंतर्वेशन की द्वितीय मूलभूत मान्यता यह है कि दिए हुए परिसर (range) में फलन या तो वर्धमान (Increasing) हो या हृासमान (Decreasing) क्रम में हो।दिए हुए अंतराल में फलन के मानों में अचानक उछाल या गिरावट न हो।
(3.)परिमित अंतर कलन के प्रयोग की विधि (Method of use of the Calculus of Finite Difference):वह विधि जिसमें परिमित अंतर का प्रयोग करते हैं।दूसरी विधियों की तुलना में अधिक लाभदायक है।इस विधि के निम्न गुण तथा दोष हैं:
(a)गुण (Merits):
(i)इस विधि में फलन के प्रकार का ज्ञात होना आवश्यक नहीं है।
(ii)आलेखी विधि (Graphical Method) की तुलना में प्राप्त अभीष्ट मान अधिक सन्निकट है अर्थात् अधिक विश्वसनीय होते हैं।
(iii)यह विधि साधारण परिकलना पर आधारित है।
(b)दोष (Demerits):
(i)दिए हुए आंकड़ों से यह निश्चित नहीं हो पाता है कि परिमित अंतर कलन विधि के लिए पर्याप्त हैं या नहीं।
(ii)परिमित अंतर कलन का प्रयोग करके अंतर्वेशन की कई विधियां प्राप्त की गई है।इनमें कौन सी विधि अतिउपयुक्त है इसका चयन करना सरल नहीं है।
(4.)अंतर्वेशी बहुपद (Interpoling Polynomial):एक बहुपद P(x) अन्तर्वेशी बहुपद कहलाता है यदि P(x) का मान या इसके किसी कोटि के अवकलज स्वतन्त्र चर के एक या ज्यादा मानों पर फलन f(x) या उसके उसी कोटि के अवकलजों के संपाती हो।

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5.न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन (Newton Gregory Forward Interpolation),न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Newton Gregory Forward Interpolation Formula) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन (Newton Gregory Forward Interpolation):गणितीय विश्लेषण
तथा निर्वचन करते समय कभी-कभी ऐसी अनेक परिस्थितियां उत्पन्न हो जाती है जब प्रस्तुत
समंक श्रेणी पूर्ण नहीं होती है