Newton General Interpolation Formula
1.न्यूटन का विभाजित अन्तर सूत्र (Newton General Interpolation Formula),असमान अन्तराल के लिए न्यूटन का विभाजित अन्तर सूत्र (Newton Divided Interpolation Formula for Unequal Intervals):
न्यूटन विभाजित अन्तर सूत्र (Newton General Interpolation Formula) के इस आर्टिकल में असमान अन्तराल पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.न्यूटन विभाजित अन्तर सूत्र पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Newton General Interpolation Formula):
Example:8.x तथा y के मान निम्न अनुसार दिए हैं:
(The values of x and y are given as below):
जब x=10 हो तो y का मान विभाजित अन्तर की सहायता से ज्ञात कीजिए।
(Find the value of y with the help of divided difference formula when x=10):
Solution:Divided Difference Table
चर 5,6,9,11 के लिए न्यूटन का विभाजित अन्तर सूत्र:
y_x=y_5+(x-5) \underset{6}{\Delta} y_5+(x-5)(x-6) \underset{6,9 }{\Delta} y_5+(x-5)(x-6)(x-9) \underset{6,9,11}{\Delta} y_5
सारणी से वांछित मान रखने तथा x=10 लेने पर:
y_{10} =12+(10-5)(1)+(10-5)(10-6)\left(-\frac{1}{6}\right) +(10-5)(10-6)(10-9) \left(\frac{1}{20}\right)\\ =12+5-5 \times 4 \times \frac{1}{6}+5 \times 4 \times 1 \times \left(\frac{1}{20}\right) \\ =12+5-3.33+1 \\ y_{10}=14.67
Example:13.तृतीय विभाजित अन्तर ज्ञात कीजिए,यदि
y_1=25, y_5=40, y_7=48, y_9=85, y_{12}=165
(Find divided difference,if)
y_1=25, y_5=40, y_7=48, y_9=85, y_{12}=165
Solution:Divided Difference Table
अतः सारणी से
\underset{5,7,9}{\Delta^3} y_1=\frac{43}{96}
Example:14.प्रदर्शित कीजिए कि f(x) के (n+1)वें विभाजित अन्तर को शून्य के बराबर कर लग्रांज सूत्र बनाया जा सकता है,यदि f(x),n घात का बहुपद है।
(Show that Lagrange’s formula can be evolved by eqating (n+1)th didived difference of f(x) to zero if f(x) is a polynomial of degree n.)
Solution:n घात के बहुपद का (n+1)वाँ विभाजित अन्तर
f\left(x_0, x_1, x_2, \ldots \ldots x_n, x_{n+1}\right)=\frac{f\left(x_0\right)}{\left(x_0-x_1\right) \left(x_0-x_2\right) \cdots\left(x_0-x_n\right)\left(x_0-x_n+1\right)} +\frac{f\left(x_1\right)}{\left(x_1-x_0\right) \left(x_1-x_2\right)\ldots \ldots\left(x_1-x_n\right)\left(x_1-x_{n+1}\right)} +\cdots \cdots \cdots +\frac{f\left(x_r\right)}{\left(x_r-x_0\right)\left(x_r-x_1\right) \ldots \ldots \left(x_r-x_n\right)\left(x_r-x_{n+1} \right)} +\cdots \cdots \cdots+\frac{f\left(x_n\right)}{\left(x_n-x_0\right)\left(x_n-x_1\right) \cdots\left(x_n-x_{n-1}\right)\left(x_n-x_{n+1}\right)}+\frac{f\left(x_{n+1}\right)}{\left(x_{n+1}-x_0\right)\left(x_{n+1}-x_1\right) \ldots \ldots \left(x_{n+1}-x_{n-1}\right)\left(x_{n+1}-x_n\right)}
प्रश्नानुसार:
f\left(x_0, x_1, x_2, \cdots x_n, x_{n+1}\right)=0 \\ \Rightarrow 0=\frac{f\left(x_0\right)}{\left(x_0-x_1\right)\left(x_0-x_2\right)\ldots \ldots \left(x_0-x_n\right)\left(x_0-x_{n+1}\right)}+\frac{f\left(x_1\right)}{\left(x_1-x_0\right)\left(x_1-x_2\right) \ldots\left(x_1-x_n\right)\left(x_1-x_{n+1}\right)} +\cdots \cdots +\frac{f\left(x_r\right)}{\left(x_r-x_0\right)\left(x_r-x_1\right) \ldots\left(x_r-x_n\right)\left(x_r-x_{n+1}\right)} +\cdots \cdots +\frac{f\left(x_n\right)}{\left(x_n-x_0\right)\left(x_n-x_1\right) \ldots \ldots \left(x_n-x_{n-1}\right) \left(x_n-x_{n+1}\right)}+\frac{f\left(x_{n+1}\right)}{\left(x_{n+1}-x_0\right)\left(x_{n+1}-x_1\right) \ldots\left(x_{n+1}-x_{n-1}\right)\left(x_{n+1}-x_n\right)} \\ \Rightarrow -\frac{f\left(x_{n+1}\right)}{\left(x_{n+1}-x_0\right)\left(x_{n+1}-x_1\right) \ldots\left(x_{n+1}-x_{n-1}\right)\left(x_{n+1}-x_n\right)} =\frac{f\left(x_0\right)}{\left(x_0-x_1\right)\left(x_0-x_2\right)\ldots \ldots \left(x_0-x_n\right)\left(x_0-x_{n+1}\right)}+\frac{f\left(x_1\right)}{\left(x_1-x_0\right)\left(x_1-x_2\right) \ldots\left(x_1-x_n\right) \left(x_1-x_{n+1}\right)}+\cdots \cdots+\frac{f\left(x_r\right)}{\left(x_r-x_0\right)\left(x_r-x_1\right) \ldots \ldots \left(x_r-x_n\right)\left(x_r-x_{n+1}\right)}+\cdots \cdots+\frac{f\left(x_n\right)}{\left(x_n-x_0\right) \left(x_n-x_1\right) \cdots\left(x_n-x_{n-1}\right)\left(x_n-x_{n+1}\right)} \\ x_{n+1}=x रखने पर:
\Rightarrow-\frac{f(x)}{\left(x-x_0\right)\left(x_0-x_1\right) \ldots\left(x-x_{n-1}\right)\left(x-x_n\right)} =\frac{f\left(x_0\right)}{\left(x_0-x_1\right)\left(x_0-x_2\right) \cdot \cdots\left(x_0-x_n\right)\left(x_0-x\right)} \frac{f\left(x_1\right)}{\left(x_1-x_0\right)\left(x_1-x_2\right) \ldots\left(x_1-x_n\right)\left(x_1-x\right)}+\cdots \cdots+\frac{f\left(x_r\right)}{\left(x_r-x_0\right)\left(x_r-x_1\right) \ldots \ldots \left(x_r-x_n\right)\left(x_r-x\right)}+\cdots \cdots+\frac{f\left(x_n\right)}{\left(x_n-x_0\right) \left(x_n-x_1\right) \cdots\left(x_n-x_{n-1}\right)\left(x_n-x\right)}\\ \Rightarrow \frac{f(x)}{\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right) \cdots\left(x-x_{n-1}\right)\left(x_n-x\right)}=\frac{f\left(x_0\right)}{\left(x_0-x_1\right)\left(x_0-x_2\right) \ldots \ldots\left(x_0-x_n\right)\left(x_0-x\right)}+\frac{f\left(x_1\right)}{\left(x_1-x_0\right)\left(x_1-x_2\right) \ldots \ldots \left(x_1-x_n\right)\left(x_1-x\right)}+\cdots \cdots+\frac{f\left(x_r\right)}{\left(x_r-x_0\right)\left(x_r-x_1\right) \ldots \ldots \left(x_r-x_n\right)\left(x_r-x\right)}+ \cdots \cdots +\frac{f\left(x_n\right)}{\left(x_n-x_0\right) \left(x_n-x_1\right) \cdots\left(x_n-x_{n-1}\right)\left(x_n-x\right)}
सभी पदों को \left(x-x_0\right)\left(x_0-x_1\right) \cdots\left(x-x_{n-1}\right)\left(x-x_n\right) से गुणा करने पर:
\Rightarrow \frac{\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right) \ldots \ldots\left(x-x_{n-1}\right)\left(x_n-x\right) f(x) }{\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right) \cdots\left(x-x_{n-1}\right)\left(x_n-x\right)}=\frac{ \left(x-x_0\right) \left(x-x_1\right) \ldots \ldots\left(x-x_{n-1}\right)\left(x_n-x\right)f\left(x_0\right) }{\left(x_0-x_1\right) \left(x_0-x_2\right) \ldots \ldots\left(x_0-x_n\right)\left(x_0-x\right)}+\frac{\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right) \ldots \ldots\left(x-x_{n-1}\right)\left(x_n-x\right) f\left(x_1\right)}{\left(x_1-x_0\right)\left(x_1-x_2\right) \ldots \ldots \left(x_1-x_n\right)\left(x_1-x\right)}+\cdots \cdots+\frac{\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right) \ldots \ldots\left(x-x_{n-1}\right)\left(x_n-x\right) f\left(x_r\right)}{\left(x_r-x_0\right)\left(x_r-x_1\right) \ldots \ldots \left(x_r-x_n\right)\left(x_r-x\right)}+ \cdots \cdots +\frac{ \left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right) \ldots \ldots\left(x-x_{n-1}\right)\left(x_n-x\right) f\left(x_n\right)}{\left(x_n-x_0\right) \left(x_n-x_1\right) \cdots\left(x_n-x_{n-1}\right)\left(x_n-x\right)} \\ \Rightarrow f(x)=\frac{\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right) \ldots \ldots\left(x-x_{n-1}\right)\left(x-x_n\right)}{\left(x_0-x_1\right)\left(x_0-x_2\right) \cdots\left(x_0-x_n\right)} f(x_0)+\frac{\left(x-x_0\right)\left(x-x_2\right) \ldots \ldots \left(x-x_n\right)}{\left(x_1-x_0\right) \left(x_1-x_2\right) \ldots \ldots \left(x_1-x_n\right)} f(x_1)+\cdots \cdots+\frac{\left(x-x_0\right) \left(x-x_1\right) \ldots \ldots \left(x_n-x_{n-1}\right)}{\left(x_n-x_0\right)\left(x_n-x_1\right) \ldots \ldots \left(x_n-x_{n-1}\right)} f(x_n)
जो कि लग्रांज सूत्र है।
Example:15.यदि प्रविष्टियाँ f(0),f(1),f(3) हैं; तथा अन्तर्वेशन सूत्र:
(If the entries are f(0),f(1) and f(3);and the interpolation formula is):
f(x)=f(3)+c_1 \underset{3}{\Delta} f(1)+c_2 \underset{3,7}{\Delta^2} f(1)+c_3 \underset{1,3,7}{\Delta^3} f(0)
है तो c_1, c_2 और c_3 ज्ञात कीजिए (find c_1,c_2 and c_3)
Solution:चर मानों 0,1,3,7 के लिए न्यूटन विभाजित अन्तर सूत्र होगा:
f(x)=f(0)+(x-0) \underset{1}{\Delta} f(0)+(x-0)(x-1) \underset{1,3}{\Delta^2} f(0)+(x-0)(x-1)(x-2) \underset{1,3,7}{\Delta^3} f(0) \\ f(x)=f(3)+c_1 \underset{3}{\Delta} f(1)+c_2 \underset{3,7}{\Delta^2} f(1)+c_3 \underset{1,3,7}{\Delta^3} f(0) \cdots(2) \\ \underset{3}{\Delta} f(1) =\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{f(3)-f(1)}{2} \cdots(3) \\ \underset{3,7}{\Delta^2} f(1) =\frac{\underset{7}{\Delta} f(3)-\underset{3}{\Delta} f(1)}{7-1}=\frac{\frac{f(7)-f(3)}{7-3}-\frac{f(3)-f(1)}{3-1}}{6} \\ =\frac{\frac{f(7)-f(3)}{4}-\frac{f(3)-f(1)}{2}}{6} \\ =\frac{f(7)-f(3)-2 f(3)+2 f(1)}{24} \\ \\ \Rightarrow \underset{3,7}{\Delta^2} f(1)=\frac{f(7)-3 f(3)-2 f(1) }{24} \ldots(4) \\ \underset{1,3,7}{\Delta^3} f(0)=\frac{\underset{3,7}{\Delta^2} f(1)-\underset{1,3}{\Delta^2} f(0)}{7-0}=\frac{\frac{\underset{7}{\Delta} f(3)-\underset{3}{\Delta} f(1)}{7-1}-\frac{\underset{3}{\Delta} f(1)-\underset{1}{\Delta} f(0)}{3-0}}{7} \\ =\frac{\frac{\frac{f(7)-f(3)}{7-3}-\frac{f(3)-f(0)}{3-1}}{6}-\frac{\frac{f(3)-f(1)}{3-1}-\frac{f(1)-f(0)}{1-0}}{3}}{7} \\ =\frac{\frac{f(7)-f(3)-2 f(3)+2 f(1)}{24}-\frac{f(3)-f(1)-2 f(1)+2 f(0)}{6}}{7} \\=\frac{f(7)-f(3)-2 f(3)+2 f(1)-4 f(3)+4 f(1)+8 f(1)-8 f(0)}{168} \\ \Rightarrow \underset{1,3,7}{\Delta^3} f(0)=\frac{f(7)-7 f(3)+14 f(1)-8 f(0)}{168} \cdots(5)
अब से \underset{1,3}{\Delta^2} f(0)=\frac{\underset{3}{\Delta} f(1)-\underset{1}{\Delta} f(0)}{3-0} =\frac{\frac{f(3)-f(1)}{3-1}-\frac{f(1)-f(0)}{1-0}}{3} \\ =\frac{f(3)-f(1)-2 f(1)+2 f(0)}{6} \\ \Rightarrow \underset{1,3}{\Delta^2} f(0) =\frac{f(3)-3 f(1)+2 f(0)}{6} \cdots(6)
(3),(4),(5) और (6) से (1) व (2) में मान रखने पर:
f(x)=f(0)+x \{ f(1)-f(0) \}+\left(x^2-x\right)\left(\frac{f(3)-3 f(1)+2f(0)}{6}\right)+\left(x^3-3 x^2+2 x\right) \left(\frac{f(7)-7 f(3)+14 f(1)-8 f(0)}{168}\right) \\ \Rightarrow f(x) =\left\{1-x+\left(\frac{x^2-x}{3}\right)-\frac{\left(x^3-3 x^2+2 x\right)}{21}\right\} f(0)+\left\{x-\frac{\left(x^2-x\right)}{2}+ \frac{\left(x^3-3 x^2+2 x\right)}{12}\right\} f(1) +\left(\frac{x^2-x}{6}-\frac{\left(x^3-3 x^2+2 x\right)}{24}\right)+(3)+ \left(\frac{x^3-3 x^2+2 x}{168}\right)f(7) \cdots(7) \\ f(x)=f(3)+c_1 \frac{(f(3)-f(1))}{2}+c_2 \left(\frac{f(7)-3 f(3)+2 f(1))}{24}\right)+c_3\left(\frac{f(7)-7 f(3)+14 f(1)-8f(0)}{168}\right) \\ \Rightarrow f(x)=-\frac{1}{21} c_3 f(0)+\left(-\frac{1}{2} c_1+\frac{1}{12} c_2+\frac{1}{12}c_3\right) f(1)+\left(1+\frac{1}{2} c_1-\frac{1}{8} c_2-\frac{1}{24} c_3\right)f(3)+\left(\frac{c_2}{24}+\frac{c_3}{168}\right) f(7) \cdots(8)
(7) व (8) में f(0),f(1),f(3),f(7) के गुणांकों की तुलना करने पर:
-\frac{1}{21} c_3=1-x+\frac{x^2-x}{3}-\frac{\left(x^3-3 x^2+2 x\right)}{21} \\ c_3=-21+21 x-7 x^2+7 x+x^3-3 x^2+2 x \\ \Rightarrow c_3=x^3-10 x^2+30 x-21 \\ \frac{c_2}{24}+\frac{c_3}{168}=\frac{x^3-3 x^2+2 x}{168} \\ \Rightarrow \frac{c_2}{24}+\frac{1}{168}\left(x^3-10 x^2+30 x-21\right)=\frac{x^3-3 x^2+2 x}{168} \\ \Rightarrow c_2=24 \times \frac{\left(x^3-3 x^2+2 x\right)}{168}-24 \times \frac{1}{168}\left(x^3-10 x^2+30 x-21\right) \\ =\frac{x^3-3 x^2+2 x-x^3+10 x^2-30 x+21}{7} \\ =\frac{7 x^2-28 x+21}{7} \\ \Rightarrow c_2=x^2-4 x+3 \\ 1+\frac{1}{2} c_1-\frac{1}{8} c_2-\frac{1}{24} c_3=\frac{x^2-x}{6}-\frac{\left(x^3-3 x^2+2 x\right)}{24} \\ \Rightarrow \frac{1}{2} c_1=\frac{4 x^2-4 x-x^3+3 x^2-2 x}{24}+\frac{1}{8} c_2+\frac{1}{24} c_3-1 \\ \Rightarrow c_1=\frac{-x^3+7 x^2-6 x}{12}+\frac{1}{4}\left(x^2-4 x+3\right)+\frac{1}{12}\left(x^3-10 x^2+30 x-21\right)-2 \\ =\frac{-x^3+7 x^2-6 x+3 x^2-12 x+9+x^3-10 x^2+30 x-21-24}{12} \\ =\frac{12 x-36}{12} \\ \Rightarrow c_1=x-3
अतः c_1=x-3, c_2=x^2-4 x+3=(x-1)(x-3), c_3=x^3-10 x^2+30 x-21=(x-1)\left(x^2-9 x+21\right)
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा न्यूटन का विभाजित अन्तर सूत्र (Newton General Interpolation Formula),असमान अन्तराल के लिए न्यूटन का विभाजित अन्तर सूत्र (Newton Divided Interpolation Formula for Unequal Intervals) को समझ सकते हैं।
3.न्यूटन विभाजित अन्तर सूत्र की समस्या (Newton General Interpolation Formula Problem):
Q.न्यूटन विभाजित सूत्र का प्रयोग करके f(6) ज्ञात कीजिए यदि f(3)=24,f(5)=120,f(8)=504,f(9)=720 तथा f(12)=1716
(Use divided difference formula to find f(6) if f(3)=24,f(5)=120,f(8)=504,f(9)=720 and f(12)=1716)
उपर्युक्त सवाल को हल करने पर न्यूटन का विभाजित अन्तर सूत्र (Newton General Interpolation Formula),असमान अन्तराल के लिए न्यूटन का विभाजित अन्तर सूत्र (Newton Divided Interpolation Formula for Unequal Intervals) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.न्यूटन का विभाजित अन्तर सूत्र (Frequently Asked Questions Related to Newton General Interpolation Formula),असमान अन्तराल के लिए न्यूटन का विभाजित अन्तर सूत्र (Newton Divided Interpolation Formula for Unequal Intervals) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.फलन के लिए असमान अन्तराल के लिए nवाँ विभाजित अन्तर कैसे ज्ञात करते हैं? (How is the nth Divided Difference for Unequal Intervals for the Function to be Found?):
उत्तर:nवाँ विभाजित अन्तर (nth divided difference)
फलन f(x) के (n+1) चर x_0, x_1, x_2, \ldots \ldots x_n के लिए nवाँ विभाजित अन्तर (nth divided difference) निम्न प्रकार से विभाजित किया जाता है:
f\left(x_0, x_1, x_2 \ldots x_n\right) =\frac{f\left(x_1, x_2, \ldots \ldots, x_n\right)-f\left(x_0, x_1,\ldots \ldots, x_{n-1}\right)}{x_n-x_0} \\=\underset{ x_1, x_2 \ldots x_n}{\Delta} f\left(x_0\right)
प्रश्न:2.समान अन्तराल के लिए अग्रान्तर तथा विभाजित अन्तर में क्या सम्बन्ध है? (What is the Relation Between Forward Difference and Divided Differences for Equal Intervals?):
उत्तर: f\left(x_0, x_1\right)=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_0\right)}{x_1-x_0} =\frac{1}{h} \Delta f\left(x_0\right)
पुनः f\left(x_0, x_1, x_2\right)=\frac{f\left(x_1, x_2\right)-f\left(x_0, x_1\right)}{x_2-x_0}=\frac{\frac{1}{h} \Delta f\left(x_1\right)-\frac{1}{h} \Delta f\left(x_0\right)}{2 h} \\=\frac{1}{2!h^2} \Delta^2 f\left(x_0\right)
इसी प्रकार f\left(x_0 x_1, \ldots x_n\right)=\frac{1}{n!h^n} \Delta^n f\left(x_0\right)
प्रश्न:3.असमान अन्तराल के लिए न्यूटन का विभाजित अन्तर सूत्र लिखिए। (Write Formula for Unequal Intervals):
उत्तर: f(x)=f\left(x_0\right)+\left(x-x_0\right) \cdot \Delta f\left(x_0\right) +\left(x-x_0\right) \cdot\left(x-x_1\right) \Delta^2 f\left(x_0\right)+\cdots \cdots+ \left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right) \cdots\left(x-x_{n-1}\right) \Delta^n \cdot f\left(x_0\right)
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा न्यूटन का विभाजित अन्तर सूत्र (Newton General Interpolation Formula),असमान अन्तराल के लिए न्यूटन का विभाजित अन्तर सूत्र (Newton Divided Interpolation Formula for Unequal Intervals) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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Satyam
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