1.न्यूटन का विभाजित अन्तर सूत्र (Newton General Interpolation Formula),असमान अन्तराल के लिए न्यूटन का विभाजित अन्तर सूत्र (Newton Divided Interpolation Formula for Unequal Intervals):

Newton General Interpolation Formula

न्यूटन विभाजित अन्तर सूत्र (Newton General Interpolation Formula) के इस आर्टिकल में असमान अन्तराल पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:- Interpolation for Unequal Intervals

2.न्यूटन विभाजित अन्तर सूत्र पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Newton General Interpolation Formula):

Example:8.x तथा y के मान निम्न अनुसार दिए हैं:
(The values of x and y are given as below):

जब x=10 हो तो y का मान विभाजित अन्तर की सहायता से ज्ञात कीजिए।
(Find the value of y with the help of divided difference formula when x=10):
Solution:Divided Difference Table

चर 5,6,9,11 के लिए न्यूटन का विभाजित अन्तर सूत्र:
y_x=y_5+(x-5) \underset{6}{\Delta} y_5+(x-5)(x-6) \underset{6,9 }{\Delta} y_5+(x-5)(x-6)(x-9) \underset{6,9,11}{\Delta} y_5
सारणी से वांछित मान रखने तथा x=10 लेने पर:
y_{10} =12+(10-5)(1)+(10-5)(10-6)\left(-\frac{1}{6}\right) +(10-5)(10-6)(10-9) \left(\frac{1}{20}\right)\\ =12+5-5 \times 4 \times \frac{1}{6}+5 \times 4 \times 1 \times \left(\frac{1}{20}\right) \\ =12+5-3.33+1 \\ y_{10}=14.67
Example:13.तृतीय विभाजित अन्तर ज्ञात कीजिए,यदि
y_1=25, y_5=40, y_7=48, y_9=85, y_{12}=165
(Find divided difference,if)
y_1=25, y_5=40, y_7=48, y_9=85, y_{12}=165
Solution:Divided Difference Table

अतः सारणी से
\underset{5,7,9}{\Delta^3} y_1=\frac{43}{96}

Newton General Interpolation Formula

Example:14.प्रदर्शित कीजिए कि f(x) के (n+1)वें विभाजित अन्तर को शून्य के बराबर कर लग्रांज सूत्र बनाया जा सकता है,यदि f(x),n घात का बहुपद है।
(Show that Lagrange’s formula can be evolved by eqating (n+1)th didived difference of f(x) to zero if f(x) is a polynomial of degree n.)
Solution:n घात के बहुपद का (n+1)वाँ विभाजित अन्तर
f\left(x_0, x_1, x_2, \ldots \ldots x_n, x_{n+1}\right)=\frac{f\left(x_0\right)}{\left(x_0-x_1\right) \left(x_0-x_2\right) \cdots\left(x_0-x_n\right)\left(x_0-x_n+1\right)} +\frac{f\left(x_1\right)}{\left(x_1-x_0\right) \left(x_1-x_2\right)\ldots \ldots\left(x_1-x_n\right)\left(x_1-x_{n+1}\right)} +\cdots \cdots \cdots +\frac{f\left(x_r\right)}{\left(x_r-x_0\right)\left(x_r-x_1\right) \ldots \ldots \left(x_r-x_n\right)\left(x_r-x_{n+1} \right)} +\cdots \cdots \cdots+\frac{f\left(x_n\right)}{\left(x_n-x_0\right)\left(x_n-x_1\right) \cdots\left(x_n-x_{n-1}\right)\left(x_n-x_{n+1}\right)}+\frac{f\left(x_{n+1}\right)}{\left(x_{n+1}-x_0\right)\left(x_{n+1}-x_1\right) \ldots \ldots \left(x_{n+1}-x_{n-1}\right)\left(x_{n+1}-x_n\right)}
प्रश्नानुसार:
f\left(x_0, x_1, x_2, \cdots x_n, x_{n+1}\right)=0 \\ \Rightarrow 0=\frac{f\left(x_0\right)}{\left(x_0-x_1\right)\left(x_0-x_2\right)\ldots \ldots \left(x_0-x_n\right)\left(x_0-x_{n+1}\right)}+\frac{f\left(x_1\right)}{\left(x_1-x_0\right)\left(x_1-x_2\right) \ldots\left(x_1-x_n\right)\left(x_1-x_{n+1}\right)} +\cdots \cdots +\frac{f\left(x_r\right)}{\left(x_r-x_0\right)\left(x_r-x_1\right) \ldots\left(x_r-x_n\right)\left(x_r-x_{n+1}\right)} +\cdots \cdots +\frac{f\left(x_n\right)}{\left(x_n-x_0\right)\left(x_n-x_1\right) \ldots \ldots \left(x_n-x_{n-1}\right) \left(x_n-x_{n+1}\right)}+\frac{f\left(x_{n+1}\right)}{\left(x_{n+1}-x_0\right)\left(x_{n+1}-x_1\right) \ldots\left(x_{n+1}-x_{n-1}\right)\left(x_{n+1}-x_n\right)} \\ \Rightarrow -\frac{f\left(x_{n+1}\right)}{\left(x_{n+1}-x_0\right)\left(x_{n+1}-x_1\right) \ldots\left(x_{n+1}-x_{n-1}\right)\left(x_{n+1}-x_n\right)} =\frac{f\left(x_0\right)}{\left(x_0-x_1\right)\left(x_0-x_2\right)\ldots \ldots \left(x_0-x_n\right)\left(x_0-x_{n+1}\right)}+\frac{f\left(x_1\right)}{\left(x_1-x_0\right)\left(x_1-x_2\right) \ldots\left(x_1-x_n\right) \left(x_1-x_{n+1}\right)}+\cdots \cdots+\frac{f\left(x_r\right)}{\left(x_r-x_0\right)\left(x_r-x_1\right) \ldots \ldots \left(x_r-x_n\right)\left(x_r-x_{n+1}\right)}+\cdots \cdots+\frac{f\left(x_n\right)}{\left(x_n-x_0\right) \left(x_n-x_1\right) \cdots\left(x_n-x_{n-1}\right)\left(x_n-x_{n+1}\right)} \\ x_{n+1}=x रखने पर:
\Rightarrow-\frac{f(x)}{\left(x-x_0\right)\left(x_0-x_1\right) \ldots\left(x-x_{n-1}\right)\left(x-x_n\right)} =\frac{f\left(x_0\right)}{\left(x_0-x_1\right)\left(x_0-x_2\right) \cdot \cdots\left(x_0-x_n\right)\left(x_0-x\right)} \frac{f\left(x_1\right)}{\left(x_1-x_0\right)\left(x_1-x_2\right) \ldots\left(x_1-x_n\right)\left(x_1-x\right)}+\cdots \cdots+\frac{f\left(x_r\right)}{\left(x_r-x_0\right)\left(x_r-x_1\right) \ldots \ldots \left(x_r-x_n\right)\left(x_r-x\right)}+\cdots \cdots+\frac{f\left(x_n\right)}{\left(x_n-x_0\right) \left(x_n-x_1\right) \cdots\left(x_n-x_{n-1}\right)\left(x_n-x\right)}\\ \Rightarrow \frac{f(x)}{\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right) \cdots\left(x-x_{n-1}\right)\left(x_n-x\right)}=\frac{f\left(x_0\right)}{\left(x_0-x_1\right)\left(x_0-x_2\right) \ldots \ldots\left(x_0-x_n\right)\left(x_0-x\right)}+\frac{f\left(x_1\right)}{\left(x_1-x_0\right)\left(x_1-x_2\right) \ldots \ldots \left(x_1-x_n\right)\left(x_1-x\right)}+\cdots \cdots+\frac{f\left(x_r\right)}{\left(x_r-x_0\right)\left(x_r-x_1\right) \ldots \ldots \left(x_r-x_n\right)\left(x_r-x\right)}+ \cdots \cdots +\frac{f\left(x_n\right)}{\left(x_n-x_0\right) \left(x_n-x_1\right) \cdots\left(x_n-x_{n-1}\right)\left(x_n-x\right)}
सभी पदों को \left(x-x_0\right)\left(x_0-x_1\right) \cdots\left(x-x_{n-1}\right)\left(x-x_n\right) से गुणा करने पर:
\Rightarrow \frac{\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right) \ldots \ldots\left(x-x_{n-1}\right)\left(x_n-x\right) f(x) }{\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right) \cdots\left(x-x_{n-1}\right)\left(x_n-x\right)}=\frac{ \left(x-x_0\right) \left(x-x_1\right) \ldots \ldots\left(x-x_{n-1}\right)\left(x_n-x\right)f\left(x_0\right) }{\left(x_0-x_1\right) \left(x_0-x_2\right) \ldots \ldots\left(x_0-x_n\right)\left(x_0-x\right)}+\frac{\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right) \ldots \ldots\left(x-x_{n-1}\right)\left(x_n-x\right) f\left(x_1\right)}{\left(x_1-x_0\right)\left(x_1-x_2\right) \ldots \ldots \left(x_1-x_n\right)\left(x_1-x\right)}+\cdots \cdots+\frac{\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right) \ldots \ldots\left(x-x_{n-1}\right)\left(x_n-x\right) f\left(x_r\right)}{\left(x_r-x_0\right)\left(x_r-x_1\right) \ldots \ldots \left(x_r-x_n\right)\left(x_r-x\right)}+ \cdots \cdots +\frac{ \left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right) \ldots \ldots\left(x-x_{n-1}\right)\left(x_n-x\right) f\left(x_n\right)}{\left(x_n-x_0\right) \left(x_n-x_1\right) \cdots\left(x_n-x_{n-1}\right)\left(x_n-x\right)} \\ \Rightarrow f(x)=\frac{\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right) \ldots \ldots\left(x-x_{n-1}\right)\left(x-x_n\right)}{\left(x_0-x_1\right)\left(x_0-x_2\right) \cdots\left(x_0-x_n\right)} f(x_0)+\frac{\left(x-x_0\right)\left(x-x_2\right) \ldots \ldots \left(x-x_n\right)}{\left(x_1-x_0\right) \left(x_1-x_2\right) \ldots \ldots \left(x_1-x_n\right)} f(x_1)+\cdots \cdots+\frac{\left(x-x_0\right) \left(x-x_1\right) \ldots \ldots \left(x_n-x_{n-1}\right)}{\left(x_n-x_0\right)\left(x_n-x_1\right) \ldots \ldots \left(x_n-x_{n-1}\right)} f(x_n)
जो कि लग्रांज सूत्र है।
Example:15.यदि प्रविष्टियाँ f(0),f(1),f(3) हैं; तथा अन्तर्वेशन सूत्र:
(If the entries are f(0),f(1) and f(3);and the interpolation formula is):
f(x)=f(3)+c_1 \underset{3}{\Delta} f(1)+c_2 \underset{3,7}{\Delta^2} f(1)+c_3 \underset{1,3,7}{\Delta^3} f(0)
है तो c_1, c_2 और c_3 ज्ञात कीजिए (find c_1,c_2 and c_3)
Solution:चर मानों 0,1,3,7 के लिए न्यूटन विभाजित अन्तर सूत्र होगा:
f(x)=f(0)+(x-0) \underset{1}{\Delta} f(0)+(x-0)(x-1) \underset{1,3}{\Delta^2} f(0)+(x-0)(x-1)(x-2) \underset{1,3,7}{\Delta^3} f(0) \\ f(x)=f(3)+c_1 \underset{3}{\Delta} f(1)+c_2 \underset{3,7}{\Delta^2} f(1)+c_3 \underset{1,3,7}{\Delta^3} f(0) \cdots(2) \\ \underset{3}{\Delta} f(1) =\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{f(3)-f(1)}{2} \cdots(3) \\ \underset{3,7}{\Delta^2} f(1) =\frac{\underset{7}{\Delta} f(3)-\underset{3}{\Delta} f(1)}{7-1}=\frac{\frac{f(7)-f(3)}{7-3}-\frac{f(3)-f(1)}{3-1}}{6} \\ =\frac{\frac{f(7)-f(3)}{4}-\frac{f(3)-f(1)}{2}}{6} \\ =\frac{f(7)-f(3)-2 f(3)+2 f(1)}{24} \\ \\ \Rightarrow \underset{3,7}{\Delta^2} f(1)=\frac{f(7)-3 f(3)-2 f(1) }{24} \ldots(4) \\ \underset{1,3,7}{\Delta^3} f(0)=\frac{\underset{3,7}{\Delta^2} f(1)-\underset{1,3}{\Delta^2} f(0)}{7-0}=\frac{\frac{\underset{7}{\Delta} f(3)-\underset{3}{\Delta} f(1)}{7-1}-\frac{\underset{3}{\Delta} f(1)-\underset{1}{\Delta} f(0)}{3-0}}{7} \\ =\frac{\frac{\frac{f(7)-f(3)}{7-3}-\frac{f(3)-f(0)}{3-1}}{6}-\frac{\frac{f(3)-f(1)}{3-1}-\frac{f(1)-f(0)}{1-0}}{3}}{7} \\ =\frac{\frac{f(7)-f(3)-2 f(3)+2 f(1)}{24}-\frac{f(3)-f(1)-2 f(1)+2 f(0)}{6}}{7} \\=\frac{f(7)-f(3)-2 f(3)+2 f(1)-4 f(3)+4 f(1)+8 f(1)-8 f(0)}{168} \\ \Rightarrow \underset{1,3,7}{\Delta^3} f(0)=\frac{f(7)-7 f(3)+14 f(1)-8 f(0)}{168} \cdots(5)
अब से \underset{1,3}{\Delta^2} f(0)=\frac{\underset{3}{\Delta} f(1)-\underset{1}{\Delta} f(0)}{3-0} =\frac{\frac{f(3)-f(1)}{3-1}-\frac{f(1)-f(0)}{1-0}}{3} \\ =\frac{f(3)-f(1)-2 f(1)+2 f(0)}{6} \\ \Rightarrow \underset{1,3}{\Delta^2} f(0) =\frac{f(3)-3 f(1)+2 f(0)}{6} \cdots(6)
(3),(4),(5) और (6) से (1) व (2) में मान रखने पर:
f(x)=f(0)+x \{ f(1)-f(0) \}+\left(x^2-x\right)\left(\frac{f(3)-3 f(1)+2f(0)}{6}\right)+\left(x^3-3 x^2+2 x\right) \left(\frac{f(7)-7 f(3)+14 f(1)-8 f(0)}{168}\right) \\ \Rightarrow f(x) =\left\{1-x+\left(\frac{x^2-x}{3}\right)-\frac{\left(x^3-3 x^2+2 x\right)}{21}\right\} f(0)+\left\{x-\frac{\left(x^2-x\right)}{2}+ \frac{\left(x^3-3 x^2+2 x\right)}{12}\right\} f(1) +\left(\frac{x^2-x}{6}-\frac{\left(x^3-3 x^2+2 x\right)}{24}\right)+(3)+ \left(\frac{x^3-3 x^2+2 x}{168}\right)f(7) \cdots(7) \\ f(x)=f(3)+c_1 \frac{(f(3)-f(1))}{2}+c_2 \left(\frac{f(7)-3 f(3)+2 f(1))}{24}\right)+c_3\left(\frac{f(7)-7 f(3)+14 f(1)-8f(0)}{168}\right) \\ \Rightarrow f(x)=-\frac{1}{21} c_3 f(0)+\left(-\frac{1}{2} c_1+\frac{1}{12} c_2+\frac{1}{12}c_3\right) f(1)+\left(1+\frac{1}{2} c_1-\frac{1}{8} c_2-\frac{1}{24} c_3\right)f(3)+\left(\frac{c_2}{24}+\frac{c_3}{168}\right) f(7) \cdots(8)
(7) व (8) में f(0),f(1),f(3),f(7) के गुणांकों की तुलना करने पर:
-\frac{1}{21} c_3=1-x+\frac{x^2-x}{3}-\frac{\left(x^3-3 x^2+2 x\right)}{21} \\ c_3=-21+21 x-7 x^2+7 x+x^3-3 x^2+2 x \\ \Rightarrow c_3=x^3-10 x^2+30 x-21 \\ \frac{c_2}{24}+\frac{c_3}{168}=\frac{x^3-3 x^2+2 x}{168} \\ \Rightarrow \frac{c_2}{24}+\frac{1}{168}\left(x^3-10 x^2+30 x-21\right)=\frac{x^3-3 x^2+2 x}{168} \\ \Rightarrow c_2=24 \times \frac{\left(x^3-3 x^2+2 x\right)}{168}-24 \times \frac{1}{168}\left(x^3-10 x^2+30 x-21\right) \\ =\frac{x^3-3 x^2+2 x-x^3+10 x^2-30 x+21}{7} \\ =\frac{7 x^2-28 x+21}{7} \\ \Rightarrow c_2=x^2-4 x+3 \\ 1+\frac{1}{2} c_1-\frac{1}{8} c_2-\frac{1}{24} c_3=\frac{x^2-x}{6}-\frac{\left(x^3-3 x^2+2 x\right)}{24} \\ \Rightarrow \frac{1}{2} c_1=\frac{4 x^2-4 x-x^3+3 x^2-2 x}{24}+\frac{1}{8} c_2+\frac{1}{24} c_3-1 \\ \Rightarrow c_1=\frac{-x^3+7 x^2-6 x}{12}+\frac{1}{4}\left(x^2-4 x+3\right)+\frac{1}{12}\left(x^3-10 x^2+30 x-21\right)-2 \\ =\frac{-x^3+7 x^2-6 x+3 x^2-12 x+9+x^3-10 x^2+30 x-21-24}{12} \\ =\frac{12 x-36}{12} \\ \Rightarrow c_1=x-3
अतः c_1=x-3, c_2=x^2-4 x+3=(x-1)(x-3), c_3=x^3-10 x^2+30 x-21=(x-1)\left(x^2-9 x+21\right)
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा न्यूटन का विभाजित अन्तर सूत्र (Newton General Interpolation Formula),असमान अन्तराल के लिए न्यूटन का विभाजित अन्तर सूत्र (Newton Divided Interpolation Formula for Unequal Intervals) को समझ सकते हैं।

3.न्यूटन विभाजित अन्तर सूत्र की समस्या (Newton General Interpolation Formula Problem):

Newton General Interpolation Formula

Q.न्यूटन विभाजित सूत्र का प्रयोग करके f(6) ज्ञात कीजिए यदि f(3)=24,f(5)=120,f(8)=504,f(9)=720 तथा f(12)=1716
(Use divided difference formula to find f(6) if f(3)=24,f(5)=120,f(8)=504,f(9)=720 and f(12)=1716)
उपर्युक्त सवाल को हल करने पर न्यूटन का विभाजित अन्तर सूत्र (Newton General Interpolation Formula),असमान अन्तराल के लिए न्यूटन का विभाजित अन्तर सूत्र (Newton Divided Interpolation Formula for Unequal Intervals) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:- Newton Backward Interpolation Formula

4.न्यूटन का विभाजित अन्तर सूत्र (Frequently Asked Questions Related to Newton General Interpolation Formula),असमान अन्तराल के लिए न्यूटन का विभाजित अन्तर सूत्र (Newton Divided Interpolation Formula for Unequal Intervals) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

न्यूटन विभाजित अन्तर सूत्र (Newton General Interpolation Formula) के इस आर्टिकल
में असमान अन्तराल पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।