1.न्यूटन अग्रांतर अन्तर्वेशन (Newton Forward Interpolation),न्यूटन का अग्रान्तर अन्तर्वेशन सूत्र (Newton’s Forward Difference Interpolation Formula):

Newton Forward Interpolation

न्यूटन अग्रांतर अन्तर्वेशन (Newton Forward Interpolation):अन्तर्वेशन (interpolation) एक ऐसी विधि है जिनमें स्वतन्त्र चर x के किसी मध्यवर्ती (intermediate) मान के संगत f(x) का मान का आकलन करना होता है।जबकि स्वतन्त्र चर के विभिन्न मानों के संगत f(x) के मान (जिनकों प्रविष्टियां (entries) कहते हैं) दिए हुए हों।
(1.)न्यूटन का अग्रान्तर अन्तर्वेशन.सूत्र (Newton’s Forward Difference Interpolation Formula):

P_{0}(x)=f(x)=f(a)+\frac{\Delta f(a)}{h}(x-a)+\frac{\Delta^{2} f(a)}{2 ! h^{2}}(x-a)(x-a-h)+\frac{\Delta^{3} f(a)}{3 ! h^{3}}(x-a)(x-a-h)(x-a-2 h)+\ldots \cdots + \frac{\Delta^{n} f(a)}{n ! h^{n}}(x-a)(x-a-h) \cdots(x-a-\overline{n-1}h)
(2.)न्यूटन-ग्रेगोरी अग्र अन्तर्वेशन का अन्य सूत्र (Newton-Gregory Forward Difference Interpolation Formula Other Formula):
f(a+hu)=P_{0}(a+h u)=f(a)+u^{(1)} \Delta f(a)+\frac{1}{2!} u^{(2)} \Delta^{2}f(a)+\frac{1}{3 !} u^{(3)} \Delta^{3} f(a)+ \cdots+\frac{1}{n !} u^{(n)} \Delta^{n} f(a) \cdots(1) जहाँ u^{(n)}=u(u-1)(u-2) \cdots(u-n+1)
(3.)न्यूटन-ग्रेगोरी अग्रगामी अन्तर्वेशन सूत्र (Newton-Gregory Advancing Difference Formula):
(1) में h=1,a=0 तथा x (=u) के मान 0,1,2,3,…….,n होंगे और तब

P_{n}(x)=f(0)+{^x}C_{1} \cdot \Delta f(0)+{^x}C_{2} \cdot \Delta^{2} f(0)+\cdots+{^x}C_{n} \Delta^{n} f(0)
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2.न्यूटन अग्रांतर अन्तर्वेशन के उदाहरण (Newton Forward Interpolation Examples):

Example:1.दिया हुआ है (Given ) u_{0}=580, u_{1}=556, u_{2}=520 तथा u_{4}=385,u_{3} का मान ज्ञात कीजिए (Find )।
Solution:यहाँ हमें का मान ज्ञात करना है।
a=0,h=1 तथा a+hu=3
0+u=3
u=3
दिए हुए अग्रान्तर आंकड़ों की अग्रान्तर सारणी होगी:

अब न्यूटन अग्रांतर अन्तर्वेशन (Newton Forward Interpolation) सूत्र के अनुसार:

u_{x}=u_{0}+u\left(\Delta u_{0}\right)+\frac{u^{(2)}}{2 !}\left(\Delta^{2} u_{0}\right)+\frac{u^{(3)}}{3 !}\left(\Delta^{3} u_{0}\right)+ \cdots \\ u_{3}=580+3(-24)+(3)(2) \frac{(12)}{2 !}+\frac{(3)(2)(1)(-8 7)}{3 !} \\ =580-72+36-87 \\ u_{3}=457
Example:2.निम्न सारणी फलन y=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{\frac{-t^{2}}{2}} d t
के मान x=0.30,0.32,0.34,…….,0.40 के लिए देती है।x=0.316 के लिए y को ज्ञात कीजिए:
(The following table gives the values of the function

y=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{\frac{-t^{2}}{2}} d t
for x=0.30,0.32,0.34,……….,0.40, Evaluate y for x=0.316)।

Solution:दिए हुए आंकडों की निम्न अन्तर सारणी प्राप्त होती है:

a=0.30, \quad h=0.02, \quad x=a+h u \\ \Rightarrow 0.316=0.30+0.02(u) \\ \Rightarrow 0.316-0.30=0.02 u \\ \Rightarrow \frac{0.016}{0.02}=u \Rightarrow u=0.8
न्यूटन अग्रांतर अन्तर्वेशन (Newton Forward Interpolation) सूत्र:

f(a+h u)=y_{0}+u^{(1)} \Delta y+\frac{u^{(2)}}{2 !} \Delta^{2} y+\frac{u^{(3)}}{3 !} \Delta^{3} y+\frac{u^{(4)} y}{4 !}+\frac{u^{(5)}}{5!} \Delta^{5} y \\ {^y}_{0.316}=0.6179144+(0.8)(0.0076014)+\frac{(0.8)(-0.2)}{2!}(-0.0000455)+ \frac{(0.8)(-0.2)(-1.2)}{3 !}(-0.0000057)+\frac{(0.8)(-0.2)(-1.2)(-2.2)}{4 !}(0.0000031)+\frac{(0.8)(-0.2)(-1.2)(-2.2)(-3.2)}{5 !} (-0.0010032)\\ =0.6179144+0.00608112+0.00000364-0.000000182-0.000000054-0.0000113\\ {^y}_{0.316}=0.6239876

Newton Forward Interpolation

Example:3.दिया हुआ है (Given) \log 100=2, \log 101=2.0043, \log 103=2.0128, \log 104=2.0170 ,\log 102 का मान ज्ञात कीजिए (Find \log 102 )।
Solution:दिए हुए आंकड़ों से अग्रान्तर सारणी निम्न प्राप्त होती है:

A=100,h=1 तथा a+h u=x \\ \Rightarrow 100+(1) u=102 \\ \Rightarrow u=2
न्यूटन अग्रांतर अन्तर्वेशन (Newton Forward Interpolation) सूत्र:

f(a+h u)=f(x)+u^{(1)} \Delta f(x)+\frac{u^{(2)}}{2 !} \Delta^{2} f(x)+\frac{u^{(3)}}{3 !} \Delta^{3} f(x)+\cdots \\ f(102)=2+2(0.0043)+\frac{2(1)}{1}(0.0042) \\ =2+0.0086+0.0042 \\ \log 102=2.0128
Example:4.व्यास d के निम्न मान वाले वृत्तों के क्षेत्रफल A सारणी में दिए गए हैं:
(The area A of a circle of diameter d is given for the following values):

व्यास 82 और 91 वाले वृत्तों के क्षेत्रफल का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए।
(Find the approximate values the area of circle of diameter 82 and 91 respectively):
Solution:दिए हुए आंकडों से अग्रान्तर सारणी निम्न प्राप्त होती है

a=80,h=5 तथा a+h u=d \\ \Rightarrow 80+5(u)=82 \\ \Rightarrow 5 u=2 \Rightarrow u=0.4
न्यूटन अग्रांतर अन्तर्वेशन (Newton Forward Interpolation) सूत्र:

A_{d} =A_{0}+u^{(1)} \Delta A+\frac{u^{(2)}}{2 !} \Delta^{2} A+\frac{u^{(3)}}{3 !} \Delta^{3} A+\frac{u^{(4)}}{4 !} \Delta^{4} A+\cdots \\ A_{82} =5026+(0.4)(648)+\frac{(0.4)(-0.6)}{2} 40+\frac{(-0.4)(-0.6)(-1.6)}{3 !}(-2)+\frac{(0.4)(-0.6)(-1.6)(-2.6)}{4 !}(4) \\ = 5026+259.2-4.8-0.128-0.26624 \\= 5280.005 \\ A_{82}= 5280
a=80,h=5  तथा a+h u=91 \\ \Rightarrow 80+5(u)=91 \\ \Rightarrow u=\frac{11}{5}=2.2 \\ A_{91}=5026+(2.2)(648)+\frac{(2.2)(1.2)}{2}(40)+\frac{(2.2)(1.2)(0.2)}{3 !}(-2) +\frac{(2.2)(1.2)(0.2)(-0.8)}{4 !}(4)\\ =5026+1425.6+52.8-0.176-0.0704 \\ =6504.1536=6504(Appox.)
Example:5.न्यूटन के अन्तर्वेशन को प्रयोग में लेते हुए वर्ष 1905 के लिए जनसंख्या का आकलन कीजिए:
(Using Newton’s formula for interpolation, estimate the population for year 1905):

Solution:दिए हुए आंकड़ों से अग्रान्तर सारणी निम्न प्राप्त होती है:

a=1891,h=10 तथा a+h u=x \\ \Rightarrow 1891+10(u)=1905 \\ \Rightarrow 10 u=14 \Rightarrow u=1.4
न्यूटन अग्रांतर अन्तर्वेशन (Newton Forward Interpolation) सूत्र:

f(a+h u)= y_{0}+u^{(1)} \Delta y+\frac{u^{(2)}}{2 !} \Delta^{2} y+\frac{u^{(3)}}{3 !} \Delta^{3} y+\frac{u^{(4)}}{4 !} \Delta^{4} y+\cdots \\ = 98752+1.4 (33533)+\frac{(1.4)(0.4)}{2 !} (2258)+\frac{(1.4)(0.4)(-0.6)}{3!}(-10505)+\frac{(1.4)(0.4)(-0.6)(-1.6)}{4 !}(41638) \\=98752+46946.2+632.24+ 588.28+932.692 \\ =147851.4112 \\ =147851
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा न्यूटन अग्रांतर अन्तर्वेशन (Newton Forward Interpolation),न्यूटन का अग्रान्तर अन्तर्वेशन.सूत्र (Newton’s Forward Difference Interpolation Formula) को समझ सकते हैं।

3.न्यूटन अग्रांतर अन्तर्वेशन की समस्याएं (Newton Forward Interpolation Problems):

Newton Forward Interpolation

(1.)न्यूटन-ग्रेगोरी अग्रान्तर अन्तर्वेशन सूत्र का प्रयोग निम्न सारणी से y(3.62) की गणना कीजिए:
(Use Newton-Gregory forward difference interpolation formula to compute y(3.62) from the following table):

(2.)न्यूटन के अन्तर्वेशन सूत्र के प्रयोग से निम्न सारणी से 25 वर्ष की आयु पर शुद्ध अधिशुल्क ज्ञात कीजिए:
(Use Newton formula for interpolation to find the net premium at the age 25 form the table given below):

(3.)दिया हुआ है (Given)

\sin 45^{\circ}=0.7071, \sin 50^{\circ}=0.7660, \sin 55^{\circ}=0.8192 ,\sin 60^{\circ}=0.8660^{\circ}
अन्तर्वेशन विधि का प्रयोग करते हुए ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1){^y}_{3.62}=37.338 \\ (2.)f(25)=0.0162543 \\ (3)\sin 52^{\circ}=0.788
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर न्यूटन अग्रांतर अन्तर्वेशन (Newton Forward Interpolation),न्यूटन का अग्रान्तर अन्तर्वेशन.सूत्र (Newton’s Forward Difference Interpolation Formula) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.मुख्य बातें (Highlights):

(1.) अंतर्वेशन के द्वारा ज्ञात सामग्री के आधार पर मांग और उत्पादन में होने वाले भावी परिवर्तनों का सही अनुमान लगाकर व्यापार व उद्योग में सफलता प्राप्त की जा सकती है।
(2.)भावी प्रवृत्तियों के आधार पर सरकार की कर नीति,मूल्य नीति,औद्योगिक नीति आदि का निर्धारण में अंतर्वेशन का उपयोग कर सकती है।
(3.)अंतर्वेशन के अनुमान आंकड़ों के प्रचण्ड वृद्धि या अत्यधिक कमी में सही नहीं उतरते हैं।
(4.)दी हुई अवधि में डेटा के लगभग नियमित परिवर्तन अर्थात् वृद्धि या कमी की दर समान रहने पर अंतर्वेशन के अनुमान सही प्राप्त होते हैं।
(5.)दिए हुए आंकड़ों से होने वाले उतार-चढ़ाव के संबंध में जितनी अधिक जानकारी होगी अंतर्वेशन मूल्यों में उतनी अधिक वास्तविकता व विश्वसनीयता का अंश होगा।
(6.)यदि अंतर्वेशन ज्ञात करने वाले को उपलब्ध आंकड़ों पर प्रभाव डालने वाली महत्वपूर्ण घटनाओं का ज्ञान है तो वह सभी तथ्यों को ध्यान में रखते हुए अंतर्वेशन में आवश्यक संशोधन करके उन्हें शुद्ध बना सकता है।

5.न्यूटन अग्रांतर अन्तर्वेशन (Newton Forward Interpolation),न्यूटन का अग्रान्तर अन्तर्वेशन सूत्र (Newton’s Forward Difference Interpolation Formula) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

Newton Forward Interpolation

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा न्यूटन अग्रांतर अन्तर्वेशन (Newton Forward Interpolation),न्यूटन का अग्रान्तर अन्तर्वेशन.सूत्र (Newton’s Forward Difference Interpolation Formula) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।