Newton Backward Interpolation Formula

Q: प्रश्न:1.न्यूटन-ग्रैगेरी का पश्चान्तर अन्तर्वेशन के लिए सूत्र लिखो। (Write the Newton-Gregory Formula for Backward Interpolation):

उत्तर: f(x)=f(a+nh)+(x-\overline{a+nh}) \frac{\nabla f(a+n h)}{h} +(x-\overline{a+nh})\left\{x-(a+\overline{n h-h)}\right\} \frac{\nabla^2 f(a+n h)}{2 ! h^2}+\cdots \cdots+\left[(x-\overline{a+nh}) \ldots \ldots (x-\overline{a+h})\right] \frac{\nabla^n f(a+n h)}{n! h^2}

Q: प्रश्न:2.न्यूटन-ग्रैगोरी का पश्च अन्तर्वेशन सूत्र का अन्य रूप लिखो। (Write Another Form of Newton-Gregory Formula for Backward Interpolation):

उत्तर:मूलबिन्दु को a+nh पर स्थानान्तरित करने पर: f(a+n h+u h)=f(a+n h)+u \nabla f(a+n h)+ \frac{u(u+1)}{2!} \nabla^2 f(a+n h)+\ldots \ldots+\frac{u(u+1) \ldots \ldots (u+n-1)}{n!} \nabla^n f(a+nh) न्यूटन-ग्रैगोरी पश्च अन्तर्वेशन सूत्र बहुधा इसी रूप में प्रयुक्त होता है।

Q: प्रश्न:3.न्यूटन-ग्रैगोरी पश्च अन्तर्वेशन सूत्र का दूसरा रूप क्या है? (What is the Second Form of Newton-Gregory Formula for Backward Interpolation?):

उत्तर: f(x)=y_0+u \nabla y_0+ \frac{u(u+1)}{1 \cdot 2} \nabla^2 y_0+ \cdots जहाँ y_0=f(a+n h) तथा u=\frac{[x-(a+nh)]}{h} उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा न्यूटन का पश्च अन्तर्वेशन सूत्र (Newton Backward Interpolation Formula),न्यूटन-ग्रैगोरी पश्च अन्तर्वेशन सूत्र (Newton-Gregory Backward Interpolation Formula) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

Mathematics Satyam July 29, 2024 Numerical Analysis No Comments

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1 1.न्यूटन का पश्च अन्तर्वेशन सूत्र (Newton Backward Interpolation Formula),न्यूटन-ग्रैगोरी पश्च अन्तर्वेशन सूत्र (Newton-Gregory Backward Interpolation Formula):

1.1 2.न्यूटन का पश्च अन्तर्वेशन सूत्र के उदाहरण (Newton Backward Interpolation Formula Examples):

1.2 3.न्यूटन का पश्च अन्तर्वेशन सूत्र (Frequently Asked Questions Related to Newton Backward Interpolation Formula),न्यूटन-ग्रैगोरी पश्च अन्तर्वेशन सूत्र (Newton-Gregory Backward Interpolation Formula) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

1.2.1 प्रश्न:1.न्यूटन-ग्रैगेरी का पश्चान्तर अन्तर्वेशन के लिए सूत्र लिखो। (Write the Newton-Gregory Formula for Backward Interpolation):

1.2.2 प्रश्न:2.न्यूटन-ग्रैगोरी का पश्च अन्तर्वेशन सूत्र का अन्य रूप लिखो। (Write Another Form of Newton-Gregory Formula for Backward Interpolation):

1.2.3 प्रश्न:3.न्यूटन-ग्रैगोरी पश्च अन्तर्वेशन सूत्र का दूसरा रूप क्या है? (What is the Second Form of Newton-Gregory Formula for Backward Interpolation?):

1.2.3.1 Newton Backward Interpolation Formula

2 न्यूटन का पश्च अन्तर्वेशन सूत्र (Newton Backward Interpolation Formula)

2.1 Newton Backward Interpolation Formula

1.न्यूटन का पश्च अन्तर्वेशन सूत्र (Newton Backward Interpolation Formula),न्यूटन-ग्रैगोरी पश्च अन्तर्वेशन सूत्र (Newton-Gregory Backward Interpolation Formula):

Newton Backward Interpolation Formula

न्यूटन का पश्च अन्तर्वेशन सूत्र (Newton Backward Interpolation Formula) के इस आर्टिकल में पश्च अन्तर्वेशन पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.न्यूटन का पश्च अन्तर्वेशन सूत्र के उदाहरण (Newton Backward Interpolation Formula Examples):

Example:3.19 मार्च को दिन की लम्बाई 12 घण्टे,18 अप्रैल को 14 घण्टे तथा 18 मई को 15 घण्टे 40 मिनट थी।अनुमानित कीजिए:
(a)3 मई को दिन की लम्बाई।
(b)19 मार्च से 18 मई तक की अवधि में दिन की माध्य लम्बाई।
(The length of the day was 12 hours on March 19th,14 hours on April 18th and 15 hours 40 minutes on May 18th.Estimate
(a)the length of day on May 3rd
(b)the mean length of the day during the period March 19th to 18th.)
Solution:(a)Calculation Table of Backward Interpolation

$\begin{array}{|cccc|} \hline \text { Date} & \text { Time } & \nabla f(x) & \nabla^2 f(x) \\ x & f(x) & & \\ 19 \text{ March} & 12 \text{ hours} & &\\ & & 2 \text{ hours} & \\ 18 \text{ April} & 14 \text{ hours} & & -20^{'} \\ & & 1 \text{ hours } 40^{'} & \\ 19 \text{ May} & 15 \text{ hours } 40^{'} & & \\ \hline \end{array}$
a+nh=18 May,a=19 March,h=30 days,x=3 May
(a+nh)+uh=3 May
$\Rightarrow$ 18 May+u(30)=3 May
$\Rightarrow$ 30u=3 May-18 May
$\Rightarrow 30u=-15 \\ \Rightarrow u=-\frac{15}{30} \Rightarrow u=-0.5$
अब न्यूटन के पश्च अन्तर्वेशन सूत्र से:

$f(a+n h+u h)=f(a+n h)+u \nabla f(a+n h)+\frac{u(u+1)}{2!} \nabla^2 f(a+n h)+\ldots \ldots$
उपर्युक्त अन्तर्वेशन सूत्र में सारणी से वांछित मान प्रतिस्थापित करने पर:

$f(3 \text { may })=15 \text { hours } 40^{'}+(-0.5)\left(1 \text { hour } 40^{\prime}\right) +\frac{(-0.5)(-0.5+1)}{2} \times\left(-20^{'}\right) \\=15 \text { hours } \left(\frac{40}{60}\right)-(0.5)\left(1 \frac{40}{60}\right) +\frac{(-0.5)(-0.5)}{2} \times \left(-\frac{20}{60}\right) \\ = 15 \frac{2}{3}-0.5 \times 1 \frac{2}{3}-\frac{1}{8} \times \frac{1}{3} \\ =\frac{47}{3}-0.5 \times \frac{5}{3}-\frac{1}{24} \\ =\frac{47}{3}- \frac{5}{6}-\frac{1}{24} \\ =\frac{376-20-1}{24} \\ =\frac{355}{24} \\ \Rightarrow f(3 \text{ may})= 14 \frac{19}{24} \text { घण्टे }$
(b)19 मार्च से 18 मई तक की अवधि में दिन की माध्य लम्बाई
= $\frac{12 \text { hours }+14 \text { hours }+15 \text { hours } 40 \text { Minutes }}{3} \\ =\frac{41 \frac{40}{60}}{3} \\= \frac{41 \frac{2}{3}}{3}=\frac{125}{9}=13 \frac{8}{9} \text { घण्टे }$

Newton Backward Interpolation Formula

Example:निम्न तालिका जल में घुले रसायन की मात्रा बताती है।22° पर घुली हुई मात्रा की गणना कीजिए।
(The following table gives the amount of a chemical dissolved in water):

$\begin{array}{|l|llllll|} \hline Temp : & 10^{\circ} & 15^{\circ} & 20^{\circ} & 25^{\circ} & 30^{\circ} & 35^{\circ} \\ Solubility: & 19.97 & 21.51 & 22.47 & 23.52 & 24.65 & 25.89 \\ \hline \end{array}$
(compute the amount dissolved at 22°.)
Solution:Calculation Table of Backward Interpolation

$\begin{array}{|lllllll|} \hline \text {Temp} & \text{solubility } & \nabla f(x) & \nabla^2 f(x) & \nabla^3 f(x) & \nabla^4 f(x) & \nabla^5 f(x) \\ (x) & f(x) & & & & & \\ \hline 10^{\circ} & 19.97 & & & & &\\ & & 1.54 & & & & \\ 15^{\circ} & 21.51 & -0.58 & & & & \\ & & 0.96 & & 0.67 & & \\ 20^{\circ} & 22.47 & & 0.09 & & -0.68 & \\ & & 1.05 & & -0.01 & & 0.72\\ 25^{\circ} & 23.15 & & 0.08 & & 0.04 & \\ & & 1.13 & & 0.03 & &\\ 30^{\circ} & 24.65 & & 0.11 & & &\\ & & 1.24 & & & & \\ 35^{\circ} & 25.89 & & & & & \\ \hline \end{array}$
a+nh=35°,a=10°,h=5°,x=22°
$(a+n h)+u h=22^{\circ} \\ \Rightarrow 35^{\circ}+5^{\circ} u=22^{\circ} \Rightarrow u=\frac{22^{\circ} -35^{\circ}}{5^{\circ}} \\ \Rightarrow u=-\frac{13}{5}=-2.6$
अब न्यूटन के पश्च अन्तर्वेशन सूत्र से:

$f(a+n h+u h)=f(a+nh)+u \nabla f(a+n h) +\frac{u(u+1)}{2!} \nabla^2 f(a+n h)+\frac{u(u+1)(u+2)}{3!} \nabla^3 f(a+nh)+\frac{u(u+1)(u+2)(u+3)}{4!} \nabla^4 f(a+nh) +\frac{u(u+1)(u+2)(u+3)(u+4)}{5 !} \nabla^5 f(a+nh) \\ f\left(22^{\circ}\right)=25.89+(-2.6)(1.24) +\frac{(-2.6)(-2.6+1)}{2} (0.11)+\frac{(-2.6)(-2.6+1)(-2.6+2)}{6} (0.03)+\frac{(-2.6)(-2.6+1)(-2.6+2)(-2.6+3)}{24}(0.04) +\frac{(-2.6)(-2.6+1)(-2.6+2)(-2.6+3)(-2.6+4)}{120} \times 0.72 \\ =25.89-3.224+0.2288+\frac{(-1.3)(-1.6)(-0.6)(0.01)+(-2.6)(-1.6)(-0.6)(0.4)}{24} \times 0.04+\frac{(-2.6)(-1.6)(-0.6)(0.4)(1.4)}{120} \times 0.72 \\ = 25.89-3.224+0.2288-0.01248-0.001664-0.00838656\\ \Rightarrow f\left(22^{\circ}\right)= 22.87226944 \\ \Rightarrow f\left(22^{\circ} \right) \approx 22.8723$
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा न्यूटन का पश्च अन्तर्वेशन सूत्र (Newton Backward Interpolation Formula),न्यूटन-ग्रैगोरी पश्च अन्तर्वेशन सूत्र (Newton-Gregory Backward Interpolation Formula) को समझ सकते हैं।

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3.न्यूटन का पश्च अन्तर्वेशन सूत्र (Frequently Asked Questions Related to Newton Backward Interpolation Formula),न्यूटन-ग्रैगोरी पश्च अन्तर्वेशन सूत्र (Newton-Gregory Backward Interpolation Formula) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.न्यूटन-ग्रैगेरी का पश्चान्तर अन्तर्वेशन के लिए सूत्र लिखो। (Write the Newton-Gregory Formula for Backward Interpolation):

उत्तर: $f(x)=f(a+nh)+(x-\overline{a+nh}) \frac{\nabla f(a+n h)}{h} +(x-\overline{a+nh})\left\{x-(a+\overline{n h-h)}\right\} \frac{\nabla^2 f(a+n h)}{2 ! h^2}+\cdots \cdots+\left[(x-\overline{a+nh}) \ldots \ldots (x-\overline{a+h})\right] \frac{\nabla^n f(a+n h)}{n! h^2}$

प्रश्न:2.न्यूटन-ग्रैगोरी का पश्च अन्तर्वेशन सूत्र का अन्य रूप लिखो। (Write Another Form of Newton-Gregory Formula for Backward Interpolation):

उत्तर:मूलबिन्दु को a+nh पर स्थानान्तरित करने पर:
$f(a+n h+u h)=f(a+n h)+u \nabla f(a+n h)+ \frac{u(u+1)}{2!} \nabla^2 f(a+n h)+\ldots \ldots+\frac{u(u+1) \ldots \ldots (u+n-1)}{n!} \nabla^n f(a+nh)$
न्यूटन-ग्रैगोरी पश्च अन्तर्वेशन सूत्र बहुधा इसी रूप में प्रयुक्त होता है।

प्रश्न:3.न्यूटन-ग्रैगोरी पश्च अन्तर्वेशन सूत्र का दूसरा रूप क्या है? (What is the Second Form of Newton-Gregory Formula for Backward Interpolation?):

उत्तर: $f(x)=y_0+u \nabla y_0+ \frac{u(u+1)}{1 \cdot 2} \nabla^2 y_0+ \cdots$
जहाँ $y_0=f(a+n h)$
तथा $u=\frac{[x-(a+nh)]}{h}$
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा न्यूटन का पश्च अन्तर्वेशन सूत्र (Newton Backward Interpolation Formula),न्यूटन-ग्रैगोरी पश्च अन्तर्वेशन सूत्र (Newton-Gregory Backward Interpolation Formula) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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