1.प्रायिकता का गुणन नियम (Multiplication Theorem on Probability):

Multiplication Theorem on Probability

प्रायिकता का गुणन नियम (Multiplication Theorem on Probability):माना एक प्रतिदर्श समष्टि S की दो घटनाएँ A तथा B हैं।तब समुच्चय A \cap B घटनाओं A तथा B के युगपत घटित होने को प्रदर्शित करता है।घटना A \cap B को AB से निरूपित किया जाता है।
हम जानते हैं कि घटना A की सप्रतिबन्ध प्रायिकता

P\left(\frac{A}{B}\right)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}, P(B) \neq 0 \\ \Rightarrow P(A \cap B)=P(B) \cdot P\left(\frac{A}{B}\right) \cdots(1)
पुनः P(\frac{B}{A})=\frac{P(B \cap A)}{P(A)}, P(A) \neq 0 \\ \Rightarrow P\left(\frac{B}{A}\right)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}[ \because A \cap B=B \cap A]
अतः P(A \cap B)=P(A) \cdot P\left(\frac{B}{A}\right) \cdots(2)
समीकरण (1) व (2) से:

P(A \cap B)=P(A) \cdot P\left(\frac{B}{A}\right)=P(B) \cdot P\left(\frac{A}{B}\right)
[जहाँ P(A) \neq 0, P(B) \neq 0]
यही प्रायिकता का गुणन नियम कहलाता है।
टिप्पणी:माना A,B व C किसी प्रतिदर्श समष्टि की घटनाएँ हैं तो:

P(A \cap B \cap C)=P(A) \cdot P\left(\frac{B}{A}\right) \cdot P\left(\frac{C}{A \cap B}\right) \\ \Rightarrow P(A \cap B \cap C)=P(A) P\left(\frac{B}{A}\right) P\left(\frac{C}{A B}\right)
अर्थात् प्रायिकता के गुणन नियम का विस्तार तीन या तीन से अधिक घटनाओं के लिए भी किया जा सकता है।
(2.)स्वतन्त्र घटनाएँ (Independent Events):
यदि A तथा B दो घटनाएँ इस प्रकार की हों कि किसी एक घटना का घटित होना दूसरी घटना के घटित होने पर कोई प्रभाव नहीं डालती हो तो वे घटनाएँ स्वतन्त्र घटनाएँ कहलाती हैं।दो घटनाओं A तथा B को स्वतन्त्र घटनाएँ कहते हैं
यदि P\left(\frac{A}{B}\right)=P(A) जबकि P(B) \neq 0
तथा P\left(\frac{B}{A}\right)=P(B) जबकि P(A) \neq 0
प्रायिकता के गुणन नियम से:

P(A \cap B)=P(A) \cdot P\left(\frac{B}{A}\right)
यदि A तथा B स्वतन्त्र घटनाएँ हों तो:

P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)
टिप्पणी:तीन घटनाएँ A,B व C स्वतन्त्र घटनाएँ कहलाती हैं यदि और केवल यदि

P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B) \\ P(B \cap C)=P(B) \cdot P(C) \\ P(A \cap C)=P(A) \cdot P(C)
व P(A \cap B \cap C)=P(A) \cdot P(B)\cdot P(C)
यदि उपर्युक्त में से कम से कम एक भी शर्त सत्य नहीं होती है तो दी गई घटनाओं को स्वतन्त्र नहीं कहा जा सकता है।
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2.प्रायिकता का गुणन नियम के उदाहरण (Multiplication Theorem on Probability Examples):

Example:1.यदि दो घटनाएँ A तथा B इस प्रकार से हैं कि P(A)=\frac{1}{4}, P(B)=\frac{1}{2} तथा P(A \cap B)=\frac{1}{8} तो P(\bar{A} \cap \bar{B}) ज्ञात कीजिए।
Solution:P(A)\cdot P(B)=\left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{8} \\ P(A \cap B)=\frac{1}{8}
अतः P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)
फलतः A व B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं तो \bar{A} व \bar{B} भी स्वतन्त्र घटनाएँ होंगी।

P(\bar{A}) =1-P(A) \\ =1-\frac{1}{4} \\ \Rightarrow P(\bar{A}) =\frac{3}{4} \\ P(\bar{B})=1-P(B) \\ =1-\frac{1}{2} \\ \Rightarrow P(\bar{B})=\frac{1}{2} \\ P(\bar{A} \cap \bar{B}) =P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}) \\ =\left(\frac{3}{4}\right)\left(\frac{1}{2}\right) \\ \Rightarrow P(\bar{A} \cap \bar{B})=\frac{3}{8}
Example:2.यदि P(A)=0.4,P(B)=p व P(A \cup B)=0.6 तथा A व B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं तो p का मान ज्ञात कीजिए।
Solution:A व B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं अतः

P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B) \\ \Rightarrow P(A \cap B)=0.4 P \\ P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) \\ \Rightarrow 0.6=0.4+p-0.4 p \\ \Rightarrow 0.6-0.4=0.6 p \\ \Rightarrow p=\frac{0.2}{0.6} \\ \Rightarrow p=\frac{1}{3}
Example:3.यदि A व B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं तथा P(A)=0.3 व P(B)=0.4 तब ज्ञात कीजिए।

(i) P(A \cap B) (ii) P(A \cup B) (iii) P\left(\frac{A}{B}\right) (iv) P\left(\frac{B}{A}\right)
Solution:(i)A व B  स्वतन्त्र घटनाएँ हैं अतः

P(A \cap B) =P(A) \cdot P(B) \\ =(0.3)(0.4) \\ \Rightarrow P(A \cap B) =0.12 \\ \text { (ii) } P(A \cup B) =P(A)+P(B)-P(A \cap B) \\ =0.3+0.4-0.12 \\ =0.7-0.12 \\ \Rightarrow P(A \cup B)=0.58 \\ \text { (iii) } P\left(\frac{A}{B}\right)=P(A) \\ \Rightarrow P\left(\frac{A}{B}\right)=0.3 \\ \text { (iv) } P\left(\frac{B}{A}\right)=P(B) \\ \Rightarrow P\left(\frac{B}{A}\right)=0.4
Example:4.यदि A और B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं जहाँ P(A)=0.3,P(B)=0.6 तब ज्ञात कीजिए।

\text { (i) } P(A \cap B) \text { (ii) } P(A \cap \bar{B}) \\ \text { (iii) } P(A \cup B) \text { (iv) } P(\bar{A} \cap \bar{B})
Solution:A तथा B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं अतः \bar{A} व \bar{B} भी स्वतन्त्र घटनाएँ होगी।

P(\bar{A})=1-P(A) \\ \Rightarrow P(\bar{A})=1-0.3=0.7 \\ P(\bar{B})=1-P(B) \\ P(\bar{B})=1-0.6 \\ \Rightarrow P(\bar{B})=0.4 \\ \text { (1.) } P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B) \\ =(0.3)(0.6) \\ \Rightarrow P(A \cap B)=0.18 \\ \text { (2.) } P(A \cap \bar{B})=P(A) \cdot P(\bar{B}) \\ =(0.3)(0.4)\\ P(A \cap \bar{B})=0.12 \\ \text { (3.) } P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) \\ =0.3+0.6-0.18 \\ =0.9-0.18 \\ \Rightarrow P(A \cup B)=0.72 \\ \text { (4.) } P(\bar{A} \cap \bar{B})=P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}) \\ =(0.7)(0.4) \\ =0.28 \\ =P(\bar{A} \cap \bar{B})=0.28
Example:5.एक थैले में 5 सफेद,7 लाल और 8 काली गेंदें हैं।यदि चार गेंदों को एक-एक बिना प्रतिस्थापन के निकाला जाए तो सभी गेंदों के सफेद होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution:5 सफेद,7 लाल और 8 काली गेंदें हैं।
कुल गेंदों की संख्या=5+7+8=20
जिनमें 3 गेंदें निकालनी हैं।
कुल निःश्शेष स्थितियाँ=^{20}c_{3}
सफेद गेंदों की संख्या=5
इनमें से 3 गेंदें निकालनी हैं=^{5}c_{3}
तीन गेंदो के सफेद होने की प्रायिकता=\frac{^{5}c_{3}}{^{20}c_{3}} \\=\frac{\frac{5 !}{2 ! \times 3 !}}{\frac{20 !}{17 ! \times 3 !}} \\ =\frac{5 !}{2 ! \times 3 !} \times \frac{17 ! \times 3 !}{20 !} \\ =\frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} \times \frac{17 !}{20 \times 19 \times 18 \times 17 !} \\ =\frac{5 \times 4 \times 3}{20 \times 19 \times 18} \\=\frac{1}{114}
Example:6.एक पासे को तीन बार उछाला जाये तो कम से कम एक बार विषम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution:एक पासे पर सम संख्या 2,4,6 तीन तरीकों से आ सकती है।
एक पासे को उछालने पर प्रतिदर्श परिणाम={1,,2,3,4,5,6}
सम संख्या आने की प्रायिकता =\frac{3}{6}=\frac{1}{2}
एक पासे पर सम संख्या आने की प्रायिकता=\frac{1}{2}
तीनों पासों पर सम संख्या आने की प्रायिकता=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}
अतः तीनों पासों को उछालने पर कम से कम एक विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}

Multiplication Theorem on Probability

Example:7.52 पत्तों की गड्डी में से यादृच्छया बिना प्रतिस्थापित किए दो पत्ते निकाले गए हैं।इन दोनों पत्तो के काले रंग का होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution:ताश की गड्डी में कुल पत्ते=52
काले रंग के पत्तों की संख्या=26
एक काला पत्ता खींचने की प्रायिकता P(A)=\frac{26}{52}=\frac{1}{2}
एक पत्ता खींचने के बाद ताश की गड्डी में 51 पत्ते शेष बचते हैं, जिनमें 25 काले पत्ते हैं।
दूसरा काला पत्ता खींचने की प्रायिकता=\frac{25}{51}
बिना प्रतिस्थापन किए दो काले पत्ते खींचने की प्रायिकता=\frac{1}{2} \times \frac{25}{51}=\frac{25}{102}
Example:8.एक छात्रावास में 60% विद्यार्थी हिन्दी का,40% अंग्रेजी का और 20% दोनों अखबार पढ़ते हैं।एक छात्रा को यादृच्छया चुना जाता है
(1)प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह न तो हिन्दी और न ही अँग्रेजी का अखबार पढ़ती है।
(2.)यदि वह हिन्दी का अखबार पढ़ती है तो उसके अंग्रेजी का अखबार पढ़ने वाली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(3)यदि वह अंग्रेजी का अखबार पढ़ती है तो उसके हिन्दी का अखबार भी पढ़नेवाली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution:(1)माना छात्रावास में छात्रा के हिन्दी और अंग्रेजी का अखबार पढ़ने की घटनाएँ क्रमशः H और E है।

P(H)=60 \%=\frac{60}{100}=0.6 \\ P(E)=40 \% =\frac{400}{100}=0.4
तथा P(H \cap E)=20 \%  \\ \Rightarrow P(H \cap E)=0.2
छात्रा के कम से कम एक अखबार पढ़ने की प्रायिकता=P(H \cup E) \\ P(H \cup E) =P(H)+P(E)-P(H \cap E) \\ =0.6+0.4-0.2 \\ =1-0.2 \\ =0.8
अतः छात्रा के न तो हिन्दी और न ही अंग्रेजी का अखबार पढ़ने की प्रायिकता=1-P(H \cup E) \\ =1-0.8 \\ =0.2 \\ =\frac{2}{10}=\frac{1}{5}
(2)यदि वह हिन्दी का अखबार पढ़ती है तो उसके अंग्रेजी का अखबार भी पढ़नेवाली होने की प्रायिकता

=P\left(\frac{E}{H}\right)=\frac{P(E \cap H)}{P(H)} \\ \Rightarrow P(E)=\frac{0.2}{0.6} \\ \Rightarrow P\left(\frac{E}{H}\right)=\frac{1}{3}
(3)यदि वह अंग्रेजी का अखबार पढ़ती है तो उसके हिन्दी का अखबार पढ़नेवाली होने की प्रायिकता

P\left(\frac{H}{E}\right)=\frac{P(H \cap E)}{P(E)} \\ \Rightarrow P\left(\frac{H}{E}\right)=\frac{0.2}{0.4} \\ \Rightarrow P\left(\frac{H}{E}\right)=\frac{1}{2}
Example:9.A किसी पुस्तक की 90% समस्याओं को तथा B उसी पुस्तक की 70% समस्याओं को हल कर सकता है।पुस्तक से यादृच्छया चयनित किसी समस्या को उनमें से कम से कम एक के द्वारा हल किए जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution:P(A)=0.9,P(B)=0.7
कम से कम एक के द्वारा हल किए जाने की प्रायिकता
=P(A \bar{B})+P(\bar{A} B)+P(A B) \\ P(A)=0.9, P(\bar{A})=1-0.9=0.1 \\ P(B)=0.7, P(\bar{B})=1-0.7=0.3
अभीष्ट प्रायिकता

=P(A) P(\bar{B})+P(\bar{A}) P(B)+P(A) P(B) \\ = 0.9 \times 0.3+0.1 \times 0.7+0.9 \times 0.7 \\ = 0.27+0.07+0.63 \\ = 0.97
Example:10.तीन विद्यार्थियों को गणित की एक समस्या को हल करने के लिए दिया गया।इन विद्यार्थियों के द्वारा समस्या को हल करने की प्रायिकता क्रमशः \frac{1}{2},\frac{1}{3} व \frac{1}{4} है।समस्या के हल हो जाने की प्रायिकता क्या है?
Solution:तीनों द्वारा गणित की समस्या को हल करना स्वतन्त्र घटना हैं।अतः गणित की समस्या एक द्वारा, दोनों द्वारा अथवा तीनों द्वारा हल करने पर हल हो जाएगी।
माना P(A)=\frac{1}{2}, P(B)=\frac{1}{3}, P(C) =\frac{1}{4}\\ P(\bar{A})=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\\ P(\bar{B})=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\\ P(\bar{c})=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}
अतः कम से कम एक के द्वारा गणित की समस्या को हल करने की प्रायिकता

=1-P(\bar{A} \bar{B} \bar{C}) \\ =1-P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}) \cdot P(\bar{C}) \\ =1-\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \\ =1-\frac{1}{4} \\=\frac{3}{4}
Example:11.एक थैले में 5 सफेद तथा 3 काली गेंदें हैं।थैले में से 4 गेंदें उत्तरोतर बिना प्रतिस्थापन के निकाली जाती हैं।इन गेंदों के एकान्तरत: विभिन्न रंगों के होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution:थैले में से बिना प्रतिस्थापन के एकान्तरत: विभिन्न रंगों की गेंदें निकालने के दो तरीके हो सकते हैं।दोनों तरीके अपवर्जी हैं अतः अभीष्ट प्रायिकता
=P(पहली सफेद,दूसरी काली, तीसरी सफेद,चौथी काली)+P(पहली काली,दूसरी सफेद,तीसरी काली,चौथी सफेद)

=\frac{5}{8} \times \frac{3}{7} \times \frac{4}{6} \times \frac{2}{5}+\frac{3}{8} \times \frac{5}{7} \times \frac{2}{6} \times \frac{4}{5} \\ =\frac{1}{14}+\frac{1}{14}=\frac{1}{7}
Example:12.एक विशेष समस्या को A और B द्वारा स्वतन्त्र रूप से हल करने की प्रायिकताएँ क्रमशः \frac{1}{2}  और \frac{1}{3}  हैं।यदि दोनों स्वतन्त्र रूप से हल करने का प्रयास करते हैं तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि
(i)समस्या हल हो जाती है
(ii)उनमें से तथ्यतः कोई एक समस्या हल कर लेता है।
Solution:A द्वारा समस्या हल करने की प्रायिकता P(A)=\frac{1}{2} 
A द्वारा समस्या के हल न होने की प्रायिकता P(\bar{A})=1-P(A)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}
B द्वारा समस्या के हल करने की प्रायिकता P(B)=\frac{1}{3} 
B द्वारा समस्या के हल न होने की प्रायिकता P( \bar{B} )=1-P(B)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}
(i)समस्या हल नहीं होने की प्रायिकता P(\bar{A} \bar{B})=P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B})=\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}=\frac{1}{3}
समस्या हल होने की प्रायिकता =1-P(\bar{A} \bar{B})=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}
(ii)A और B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं अतः A \bar{B} व भी स्वतन्त्र घटनाएँ हैं।
उनमें तथ्यतः कोई एक समस्या को हल कर लेता है, की प्रायिकता=P(A \bar{B})+P(\bar{A} B)=P(A) \cdot P( \bar{B})+P(\bar{A}) \cdot P(B) \\ = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{2+1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा प्रायिकता का गुणन नियम (Multiplication Theorem on Probability) को समझ सकते हैं।

3.प्रायिकता का गुणन नियम की समस्याएँ (Multiplication Theorem on Probability Problems):

Multiplication Theorem on Probability

(1.)घटनाएँ A तथा B इस प्रकार की हैं कि P(A)=\frac{1}{2}, P(B)=\frac{7}{12} तथा P(A-नहीं या B-नहीं) =\frac{1}{4} तब क्या A व B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं?
(2.)एक न्याय्य सिक्के और एक अनभिनत पासे को उछाला जाता गया है माना A घटना 'सिक्के पर चित प्रकट होना' तथा B घटना 'पासे पर अंक 3 प्रकट होना' को निरूपित करते हैं।निरीक्षण कीजिए कि घटनाएँ स्वतन्त्र हैं या नहीं।
(3.)घटनाएँ A तथा B इस प्रकार की हैं कि P(A)=\frac{1}{2},P(A \cup B)=\frac{3}{5} तथा P(B)=r तब r ज्ञात कीजिए यदि
(i)ये घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हैं।
(ii)ये घटनाएँ स्वतन्त्र हैं।
उत्तर (Answers):(i)A तथा B स्वतन्त्र घटनाएँ नहीं हैं।
(ii)A तथा B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं।

(3) \text { (i) } r=\frac{1}{10} \text { (ii) } r=\frac{1}{5}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर प्रायिकता का गुणन नियम (Multiplication Theorem on Probability) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.प्रायिकता का गुणन नियम (Multiplication Theorem on Probability) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः

प्रायिकता का गुणन नियम (Multiplication Theorem on Probability):माना एक प्रतिदर्श समष्टि S की
दो घटनाएँ A तथा B हैं।तब समुच्चय A \cap B घटनाओं A तथा B के युगपत
घटित होने को प्रदर्शित करता है।घटना A \cap B को AB से निरूपित किया जाता है।