उर्ध्वाधर प्रत्यास्थ डोरी में गति (Motion in vertical elastic string,Rectillinear motion in vertical elastic string)के बारे में इस आर्टिकल में अध्ययन करेंगे। इससे पूर्व आर्टिकल में हम सरल आवर्त गति,प्रत्यास्थ डोरियों के लिए हुक्स नियम,क्षैतिज प्रत्यास्थ डोरी में गति के बारे में पढ़ चुके हैं। एक प्राकृत लम्बाई एवं λ प्रत्यास्थ स्थिरांक की हल्की प्रत्यास्थ डोरी एक सिरे से लटकी हुई है तथा इसके दूसरे सिरे पर m द्रव्यमान का एक कण बांधा गया है,कण की गति की विवेचना करना: (A light elastic string of natural length l and modulus of elasticity λ,is hung by one end and to the other end,is tied a particle of mass m.To discuss the motion.)
माना कि AB=l प्राकृत (स्वाभाविक) लम्बाई की एक डोरी है जो कि A सिरे से लटकी है। जब एक m संहति का कण B सिरे से लटकाया जाता है,तब संतुलनावस्था में मान लो कण की स्थिति O है।माना BO=b,इसी स्थिति में मान लो डोरी में तनाव T0 है,तब
mg=T0=λlb....(1) अब कण को O से C तक खींचकर छोड़ दिया जाता है तो कण की गति C से ऊपर की ओर होगी (मान लो OC=c)।मान लो t समय पर कण की स्थिति P है और OP=x ,यदि इस स्थिति डोरी मे तनाव T हो ,तब
जो यह प्रदर्शित करता है कि कण की गति O के सापेक्ष सरल आवर्त गति है। इस सरल आवर्त गति का आवर्तकाल-
T=2π(gb)
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें ।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके ।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए ।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं। इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।
2.उर्ध्वाधर प्रत्यास्थ डोरी में गति (Motion in vertical string,Rectillinear motion in vertical elastic string) पर आधारित सवाल-
Question-1.एक भारहीन प्रत्यास्थ डोरी जिसकी स्वाभाविक लम्बाई l है,एक सिरे से लटकाई जाती है तथा दूसरे सिरे से दो विभिन्न कण जिनकी संहतिm1 तथा m2है,बांधे गए हैं।यदि इनके संगत आवर्तकाल t1 तथा t2हों तथा c1,c2 इनके लिए स्थैतिक विस्तार हों तो सिद्ध कीजिए कि
g(t12−t22)=4π2(c1−c2) (A light elastic string of natural length is l is hung by one end and to the other end tied successively paricles of masses m1 andm2.If t1 andt2 be the period andc1 and c2 the statical extensions corresponding to these two weights prove that
g(t12−t22)=4π2(c1−c2) Solution-B पर कण की स्थिति में स्थैतिक विस्तार c1 तथा तनाव T0,m1g के द्वारा संतुलित है
∴T0=m1gयाλlc1=m1g.......(1) इसी प्रकार λlc2=m2g.........(2) अब कण को नीचे की ओर खींचकर छोड़ दिया जाता है।माना t समय बाद कण की स्थिति संतुलन बिन्दु B से x है।अब डोरी में कुल विस्तार c1+x गति का समीकरण- m1dt2d2x=mg−T=m1g−lλ(c1+x)⇒m1dt2d2x=m1g−lλc1−lλx⇒m1dt2d2x=−lλx [(1) से]
⇒dt2d2x=−lm1λx=−c1gx=−μx[(1) से]
गति,सरल आवर्त गति है और μ=c1g आवर्तकाल t1=μ2πt1=2πgc1...(3) इसी प्रकार t2=2πgc2...(4) समीकरण (3) के वर्ग में (4) का वर्ग घटाने पर-
[katex]t12−t22=4π2(gc1−c2)g=t12−t224π2(c1−c2)⇒g(t12−t2)=4π2(c1−c2)[/katex] Question-2.एक प्रत्यास्थ डोरी AB जिसकी लम्बाई l है,उसका सिरा A स्थिर है तथा इसके सिरे B पर भार 41w बांधा हुआ है तब डोरी की लम्बाई 2l हो जाती है।यदि एक भार,B से बांधा जाए तथा A के तल से डाला जाए तो सिद्ध कीजिए कि (1.)सरल आवर्त गति का आयाम 43lहै। (2.)यह 2l दूरी तक गिरता है। (3.) आवर्तकाल 4gl[42+π+2sin−1(31)] है।
A light elastic AB of length is l, its fixed A and is such that a weight w is attached to B,the string will be stretched to a length 2l. If a weight 41w,be attached to B and let fall from the level of A. Prove that
(1.) The amplitude of the S.H.M. that ensues is 43l.
(2.) the distance throught which is falls is 2l.
(3.) the Periodic of oscillation is 4gl[42+π+2sin−1(31)] Solution-माना 4w=mg⇒w=4mg
जब w डोरी के बांधा जाता है तब विस्तार 2l-l=l है तब
λll=λ संतुलन में T=W
⇒λ=4mg अब 4w=mg डोरी के बांधा जाता है तथा विस्तार b हो तो
(3.)कण की गति B से नीचे सरल आवर्त गति है।OC,OB से अधिक है अतः कण गुरुत्वाकर्षण के अधीन गति करता है तब वेग v=2gl है। गुरुत्वाकर्षण के अधीन उर्ध्वाधर गति की ऊंचाई है-
2gv2=l अर्थात् कण A पर आता है और वापिस गिरता है। समय=A से C तक का समय तथा वापिस C से A तक का समय =2[Time for A to C ] =2(Time for A to B +Time for B to O +Time for O to C )
=2(t1+t2+t3)t3=41 of periodic Time
t3=41.μ2π=4πgl[(3) से]
t1 के लिए v=u+gt⇒0=u−gt⇒t1=gu⇒t1=g2gl⇒t1=g2l
t2 के लिए x=asinμt⇒t2=μ1sin−1(ax) अब x=OB=b=41l तथा आयाम 43l,μ=2lgt2=21glsin−1(43l4l)=21glsin−1(31)T=2[g2l+21glsin−1(31)+4πgl]=21gl[42+π+2sin−1(31)] Question-3.एक भारी कण विस्तरणीय डोरी द्वारा एक स्थिर बिन्दु से बंधा है जहां से उसे निर्बाध गिरने दिया जाता है।जब कण निम्नतम स्थिति में है तो डोरी की लम्बाई उसकी स्वाभाविक लम्बाई की दुगुनी होती है।सिद्ध कीजिए कि प्रत्यास्थ गुणांक कण के भार का चार गुणा है तथा वह अवधि ज्ञात कीजिए कि प्रत्यास्थ गुणांक कि जिसमें डोरी अपनी स्वाभाविक लम्बाई से खिंची रहती है। (A heavy particle is attached by an extensible string to a fixed point, from which the particle is allowed to fall freely.When the paricle is in its lowest position, the string is twice its natural length.Prove that the modulus of elasticity is four times the weight of the particle.Also find the time during which the string is extended beyond its natural length.) Solution-माना कि डोरी की स्वाभाविक लम्बाई l तथा डोरी के कण बांधने पर विस्तार b है। अतः सन्तुलन की अवस्था में
T0=mg या λlb=mg..(1) मूलबिन्दु O सन्तुलन की अवस्था है।माना कि t समय पश्चात् कण की स्थिति OP=x है।अब डोरी में विस्तार b+x तथा तनाव T=λ(lb+x)=λlb+lλx=mg+lλx [(1)से ] गति का समीकरण-
⇒dt2d2x=−bgx=−μx …(2) गति,सरल आवर्त गति है। अतः वेग व दूरी का सम्बन्ध
v2=μ(a2−x2)...(3)[BC के लिए] जब कण B पर l दूरी गिरता है तो v2=2gl x=OB=-b तथा H=bg,a=आयाम=OC=BC-BO=l-b AC=2l तथा AB=l उपर्युक्त मान समीकरण (3) में रखने पर-
2gl=(bg){(l−b)2−b2}⇒2lb=l2−2lb⇒b=41l..(4) [(1) से ] λ=blmg=4mg[(4) से ]…(5) आयाम =a=OC=l−b=l−41l=43l...(6) तथा μ=(bg)=2(lg)...(7) अब हमें डोरी की स्वाभाविक लम्बाई से विस्तार करने का समय ज्ञात करना है।यदि यह समय T है तो T=Time for B to O+Time for O to C Time for O to C=41 time of one complete oscillation =41.μ2π=2μπ=4π(gl)[(7) से] पुनः O से B तक का समय
x=asinμt⇒t=μ1sin−1(ax)
a ,का मान (6) व (7) से रखने पर तथा x=OB=b=4l[(4) से]
t=21(gl)sin−1(31) पूछा गया समय=4π(gl)+21(gl)sin−1(31)=41(gl)[π+2sin−1(31)] उपर्युक्त सवालों के हल द्वारा उर्ध्वाधर प्रत्यास्थ डोरी में गति (Motion in vertical elastic string,Rectillinear motion in vertical elastic string) को समझा जा सकता है।
प्रत्यास्थ डोरी वह होती हैं जो एक निश्चित लंबाई नहीं होती हैं (उन्हें बढ़ाया जा सकता है)।कुछ डोरी दूसरों की तुलना में अधिक खिंचाव वाले होते हैं और मापांक (या प्रत्यास्थ के मापांक) स्थिरांक होता है। इसके लिए अलग से आर्टिकल पोस्ट किया हुआ है अतः इसके बारे में जानकारी के लिए उस आर्टिकल को देखें।
4.आगे यांत्रिकी प्रत्यास्थ डोरी और स्प्रिंग्स (Further mechanics elastic strings and springs)-
यदि प्रत्यास्थ स्ट्रिंग या स्प्रिंग के अंत से जुड़ा एक द्रव्यमान विस्तार का उत्पादन कर रहा है, तो न्यूटन के तीसरे नियम द्वारा, प्रत्यास्थ स्ट्रिंग या स्प्रिंग बड़े पैमाने पर एक बल बढ़ाता है और इसके तनाव की दिशा में विपरीत होता है।
5.प्रत्यास्थ स्ट्रिंग में तनाव(Tension in elastic string)-
हूक के नियम में कहा गया है कि एक प्रत्यास्थ स्ट्रिंग (या स्प्रिंग), T में तनाव निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हुए पाया जाता है: T (तनाव)=(प्रत्यास्थ मापांक×डोरी में विस्तार)/डोरी की स्वाभाविक लम्बाई जहाँ l स्ट्रिंग की प्रत्यास्थ का मापांक है, x स्ट्रिंग का विस्तार है और l डोरी की प्राकृतिक लंबाई है।मापांक (प्रत्यास्थ का) 10 एन के साथ एक स्ट्रिंग की प्राकृतिक लंबाई 2 मी है।
About my self
I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
We use cookies on our website to give you the most relevant experience by remembering your preferences and repeat visits. By clicking “Accept”, you consent to the use of ALL the cookies.
This website uses cookies to improve your experience while you navigate through the website. Out of these, the cookies that are categorized as necessary are stored on your browser as they are essential for the working of basic functionalities of the ...
Necessary cookies are absolutely essential for the website to function properly. This category only includes cookies that ensures basic functionalities and security features of the website. These cookies do not store any personal information.
Any cookies that may not be particularly necessary for the website to function and is used specifically to collect user personal data via analytics, ads, other embedded contents are termed as non-necessary cookies. It is mandatory to procure user consent prior to running these cookies on your website.