1.बहुलक (Mode):

Mode

बहुलक (Mode):सांख्यिकी में बहुलक (या भूयिष्ठक) उस मूल्य को कहते हैं जो समंकमाला में सबसे अधिक बार आता हो अर्थात् जिसकी सबसे अधिक आवृत्ति हो।यह सर्वाधिक घनत्व की स्थिति (Position of Greatest Density) या मूल्यों का अधिक संकेन्द्रण का बिन्दु (Point of Highest Concentration of Values) कहलाता है।क्राक्सटन एवं काउडेन के अनुसार एक समंक-बंटन का बहुलक वह मूल्य है जिसके निकट श्रेणी की इकाइयाँ अधिक से अधिक केन्द्रित होती है।उसे मूल्यों का सबसे अधिक प्रतिरूपी माना जा सकता है।यदि यह कहा जाए कि एक कॉलेज में छात्रवासी विद्यार्थियों का बहुलक-व्यय (Modal Expenditure) सौ रुपए प्रतिमाह है तो इसका अर्थ यह होगा कि उन विद्यार्थियों में से अधिकांश ₹100 मासिक खर्च करते हैं।इसी प्रकार बहुलक लाभ (Modal Profit),काॅलर का बहुलक आकार (Modal Size of the Collar),बहुलक मजदूरी (Modal Wages) आदि का तात्पर्य इन घटनाओं से संबंधित अधिकतम इकाइयों के मूल्य से है। (1.)बहुलक का निर्धारण (Location of the Mode):
व्यक्तिगत श्रेणी (Individual Series):
(i)व्यक्तिगत श्रेणी को खण्डित श्रेणी (Discrete Series) में बदल कर
(ii)सतत श्रेणी (Continuous Series) में बदलाव कर
(iii)मध्यका एवं समान्तर माध्य की सहायता से बहुलक का अनुमान।
(i)खण्डित या विच्छिन्न श्रेणी में बदलना:
जब व्यक्तिगत श्रेणी के अनेक मूल्य दो या दो से अधिक बार पाए जाते हैं तो उन्हें आरोही क्रम के अनुसार रखकर उनके सामने उनकी आवृत्ति लिख दी जाती है।फिर निरीक्षण द्वारा यह देखा जाता है कि अधिकतम आवृत्ति क्या है।यह आवृत्ति का मूल्य ही बहुलक है।
(2.)सतत (अविच्छिन्न) श्रेणी में बदलना:
जब श्रेणी में कोई भी व्यक्तिगत मूल्य एक से अधिक बार न पाया जाता हो तो उसे अविच्छिन्न आवृत्ति-बंटन के रूप में बदलकर अधिकतम आवृत्ति वाला वर्गान्तर ज्ञात कर लेना चाहिए।फिर इस बहुलक-वर्ग (Modal Class) में बहुलक का मूल्य एक सूत्र के प्रयोग द्वारा निश्चित करना चाहिए।
(3.) मध्यका व समान्तर माध्य के आधार पर बहुलक-निर्धारण:
यदि व्यक्तिगत श्रेणी में मध्यका (Median or M),समांतर माध्य (Arithmetic Mean or ) तथा बहुलक अंग्राकित सूत्र द्वारा बहुलक-मूल्य का अनुमान लगाना चाहिए:

Z=3M-2 \bar{X}
खंडित श्रेणी (Discrete Series):खण्डित समंक श्रेणी में बहुलक निरीक्षण द्वारा ज्ञात हो सकता है या समूहन विधि द्वारा।
(i)निरीक्षण रीति (Inspection Method): यह तब अपनाई जाती है जब खण्डित श्रेणी की आवृत्तियाँ नियमित अर्थात् श्रेणी के आरम्भ से आवृत्तियाँ निरंतर बढ़ती रहे,अधिकतम आवृत्ति लगभग केंद्र में हो और उसके बाद से आवृत्तियाँ फिर निरंतर घटने लगे।ऐसी श्रेणी में अधिकतम आवृत्ति बिल्कुल स्पष्ट हो जाती है।निरीक्षण द्वारा उसका मूल्य ज्ञात कर लिया जाता है।यही बहुलक है।
(ii)समूह रीति (Grouping Method):जब आवृत्तियाँ अनियमित होती है और अधिकतम आवृत्ति ज्ञात करना कठिन हो जाता है तो समूहन रीति का प्रयोग किया जाता है।आवृत्तियाँ अनियमित तब मानी जाती है जब (क)वे अनियमित रूप से कभी बढ़े,कभी घटे
(ख)अधिकतम आवृत्तियाँ दो या दो से अधिक स्थानों पर हों।(ग)अधिकतम आवृत्ति केंद्र में ना होकर समूह के बिल्कुल आरम्भ या बिल्कुल अंत में हो या (घ)अधिकतम आवृत्ति के एक ओर की आवृत्तियाँ दूसरी ओर की आवृत्तियों से बहुत भिन्न हो।
अनियमित आवृत्तियों वाले खण्डित-बंटन में इस रीति द्वारा बहुलक ज्ञात करने की निम्न विधि है:
सर्वप्रथम एक सारणी बनाई जाती है जिसमें चर-मूल्यों के अतिरिक्त आवृत्ति के 6 खाने खींचे जाते हैं। इन 6 खानों में आवृत्तियों का दो-दो और तीन-तीन के समूहों में वर्गण निम्न क्रम से किया जाता है:
प्रथम कॉलम में दी हुई आवृत्तियाँ ही लिखी जाती है।द्वितीय कॉलम में दो-दो के समूह बनाए जाते हैं। तृतीय काॅलम में शुरू की आवृत्ति को छोड़कर दो-दो के समूह बन जाते हैं।चतुर्थ कॉलम में तीन-तीन आवृत्तियों के समूह बनाए जाते हैं।पांचवें काॅलम में शुरू की आवृत्ति को छोड़कर तीन-तीन आवृत्तियों के समूह बनाए जाते हैं।छठे काॅलम में पहली दो आवृत्तियों को छोड़कर तीन-तीन आवृत्तियों के समूह बनाए जाते हैं।
आवृत्तियों का इस प्रकार समूहन करने के बाद प्रत्येक काॅलम की अधिकतम आवृत्ति या आवृत्ति समूह को रेखांकित कर दिया जाता है तथा अधिकतम आवृत्तियों के चर मूल्यों पर चिन्ह लगाकर उनकी गणना कर ली जाती है।जिस मूल्य के सामने अधिकतम चिन्ह होते हैं वही बहुलक का मूल्य होता है।
(4.)अखण्डित या सतत श्रेणी (Continuous Series):
अखण्डित श्रेणी में बहुलक ज्ञात करने के लिए पहले निरीक्षण या समूहन रीति द्वारा बहुलक वर्ग निश्चित कर लिया जाता है।यदि आवृत्तियाँ नियमित है तो निरीक्षण द्वारा ही बहुलक वर्गान्तर (Modal Group) का पता चल जाता है परन्तु अनियमित आवृत्तियों वाली अविच्छिन्न श्रेणी में समूहन द्वारा विश्लेषण करके बहुलक-वर्ग निर्धारित किया जाता है तत्पश्चात् बहुलक-वर्ग की सीमाओं के अन्तर्गत बहुलक का मूल्य निर्धारित करने के लिए निम्न सूत्र का प्रयोग किया जाता है:
इस सूत्र में प्रयुक्त विभिन्न चिन्हों का अर्थ इस प्रकार है:

Z=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times i
Z संकेत का अर्थ है:बहुलक का मूल्य (Value of the Mode)
l संकेत का अर्थ है:बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (lower limit of the modal group)
i संकेत का अर्थ है:बहुलक वर्ग का विस्तार (magnitude of the modal class-interval)
f_{1} संकेत का अर्थ है:बहुलक वर्ग की आवृत्ति (frequency of the modal class)
f_{0} संकेत का अर्थ है:बहुलक-वर्ग से पहले आने वाले अर्थात् उसके कम आकार वाले वर्ग की आवृत्ति (frequency of the pre-modal class that is the class just lower than the modal class)
f_{2} संकेत का अर्थ है:बहुलक वर्ग के तुरंत बाद में आने वाले अर्थात् उससे अधिक आकार वाले वर्ग की आवृत्ति (frequency of the post-modal class that is the class just higher than the modal class)
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2.बहुलक के उदाहरण (Mode Examples):

Example:1.निम्न पदों से बहुलक ज्ञात कीजिए:
33,20,35,50,37,33,35,25,35,34 और 35
Solution:

अधिकतम आवृत्ति 4 है जिसका मूल्य 35 है।अतः बहुलक Z=35
Example:2.निम्न श्रेणी का बहुलक निकालिए:

Solution:समूहन द्वारा बहुलक-निर्धारण (Determination of Mode by Grouping)

Solution:

आवृत्ति अनियमित होने के कारण बहुलक वर्ग का निर्णय समूहन रीति से किया जाएगा।
बहुलक वर्ग का निर्धारण (Location of Modal Group):

उपर्युक्त सारणी को देखने से पता चलता है कि सबसे अधिक (4) बार वर्ग अन्तराल 35-45 आया है।अतः बहुलक वर्ग 35-45 है।
अतः f_{0}=17, \quad f_{1}=29, f_{2}=31, l=35, i=10
बहुलक z =l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times i \\ =35+\frac{29-17}{2 \times 29-17-31} \times 10 \\ =35+\frac{12}{58-48} \times 10 \\ =35+\frac{120}{70} \\ \Rightarrow z=35+12=47
Example:4.निम्नांकित भूयिष्ठक (Mode) निकालिए:

Solution:आवृत्ति अनियमित होने के कारण बहुलक वर्ग का निर्थारण समूहन रीति से किया जाएगा।
बहुलक वर्ग का निर्धारण (Location of Modal Group):

उपर्युक्त सारणी को देखने से पता चलता है कि सबसे अधिक (5) बार वर्ग अन्तराल 12-16 आया है।अतः बहुलक वर्ग 12-16 है।
अतः f_{0}=12, f_{1}=16, f_{2}=14, \quad l=12, i=4
बहुलक z=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times i \\ =\frac{12+16-12}{2 \times 16-12-14} \times 4 \\ =12+\frac{4}{32-26} \times 4 \\ =12+\frac{16}{6}=12+\frac{8}{3} \\=12+2.666 \approx 14.67

Mode

Example:5.गणित की एक परीक्षा में बैठने वाले 90 परीक्षार्थियों के बहुलक प्राप्तांक (Modal Marks) ज्ञात कीजिए:

Solution:आवृत्ति अनियमित होने के कारण बहुलक वर्ग का निर्थारण समूहन रीति से किया जाएगा।
बहुलक वर्ग का निर्धारण (Location of Modal Group):

उपर्युक्त सारणी को देखने से पता चलता है कि सबसे अधिक (5) बार वर्ग अन्तराल 30-40 आया है।अतः बहुलक वर्ग 30-40 है।
अतः f_{0}=15, f_{1}=16, f_{2}=17, \quad l_{1}=30, i=10, \Delta_{1}=f_{1}-f_{0}=16-15=1 , \Delta_{2}=f_{1}-f_{2}=16-17=-1
बहुलक z=l_{1}+ \frac{\Delta_{1}}{\Delta_{1}+\Delta_{2}} \times i \\ =30+\frac{1}{1+1} \times 10 \\ =30+\frac{10}{2} \\ \Rightarrow z=30+5=35
Example:6.निम्न सारणी में भारत इलेक्ट्रॉनिक्स लिमिटेड के 65 कर्मचारियों की साप्ताहिक मजदूरी का आवृत्ति बंटन दिया हुआ है:

बहुलक मजदूरी (Modal Wages) ज्ञात कीजिए।
Solution:उपर्युक्त सारणी में आवृत्तियाँ नियमित हैं।अतः f_{0}=10, f_{1}=16, f_{2}=14 बहुलक वर्ग=70-80,l=70,i=10
बहुलक z=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times i \\ =70+\frac{16-10}{2 \times 16-10-14} \times 10 \\=70+\frac{6}{32-24} \times 10 \\ z =70+\frac{6}{8} \times 10 \\=70+\frac{15}{2}=70+7.5=77.5
Example:7.निम्न आवृत्ति बंटन से बहुलक आय (Modal Earnings) निकालिए:

Solution:सर्वप्रथम श्रेणी समावेशी (Inclusive Form) है अतः इसको अपवर्जी श्रेणी (Exclusive Form) में परिवर्तित करते हैं।
अब चूँकि आवृत्ति अनियमित होने के कारण बहुलक वर्ग का निर्थारण समूहन रीति से किया जाएगा।
बहुलक वर्ग का निर्धारण (Location of Modal Group):

अतः बहुलक वर्ग 29.5-39.5 होगा।अतः f_{0}=14, f_{1}=16, f_{2}=14, l=29.5, i=10
बहुलक z=l+\frac{f_{1}-f_{0},}{2 f_{1}-f_{0}-t_{2}} \times i \\ =29.5+\frac{16-14}{2 \times 16-14-14} \times 10 \\ =29.5+\frac{16-14}{2 \times 16-14-14} \times 10 \\=29.5+\frac{2}{32-28} \times 10 \\ =29.5 + \frac{20}{4}=29.5+5=34.5
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा बहुलक (Mode) को समझ सकते हैं।

3.बहुलक की समस्याएं (Mode Problems):

(1.)निम्न सारणी में एक कक्षा के 50 विद्यार्थियों के भार दिए गए हैं।बहुलक भार (modal weight) ज्ञात कीजिए।

(2.)किसी कॉलेज के 230 विद्यार्थियों के कॉलर-माप निम्न विवरण में प्रस्तुत है।काॅलर का बहुलक माप (modal size of the collar) निर्धारित कीजिए।

उत्तर(Answers):(1.)50 किलो (2.)36 सेण्टीमीटर
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर बहुलक (Mode) को ठीक से समझ सकते हैं।

4.मुख्य बिन्दु (HIGHLIGHTS):

Mode

समूहन रीति (Grouping Method):
(1.)समूहन का उद्देश्य अनियमित आवृत्ति वाले बंटन में आवृत्तियों का जमाव-बिन्दु निश्चित करना होता है।
(2.)अधिकतम आवृत्ति निर्धारित करने में निकटतम आवृत्तियों का बहुत प्रभाव पड़ता है।
(3.)अनियमित श्रेणी में बहुलक अधिकतम आवृत्ति का मूल्य न होकर ऐसी आवृत्ति का मूल्य हो सकता है जिसके आसपास अधिक आवृत्तियों का जमाव हो।समूहन से सारी स्थिति स्पष्ट हो जाती है।
सूत्र का आधार (Z=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times i) : 
(4.)यह सूत्र इस मान्यता पर आधारित है कि बहुलक का मूल्य बहुलक-वर्ग के निकटवर्ती वर्गों की आवृत्तियों से प्रभावित होता है।
(5.)यदि पिछले वर्ग की आवृत्ति अगले वर्ग की आवृत्ति की अपेक्षा अधिक है तो बहुलक-मूल्य बहुलक वर्ग की निम्न सीमा के अधिक निकट होगा।
(6.) इसके विपरीत यदि अगली वर्ग-आवृत्ति अधिक है तो भूयिष्ठक ऊपरी सीमा के अधिक पास होगा।
(7.)इस सूत्र का आधार बिंदु रेखीय प्रदर्शन में आवृत्ति चित्र (histogram) से अधिक स्पष्ट हो जाता है।

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5.बहुलक (Mode) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

बहुलक (Mode):सांख्यिकी में बहुलक (या भूयिष्ठक) उस मूल्य को कहते हैं जो समंकमाला में
सबसे अधिक बार आता हो अर्थात् जिसकी सबसे अधिक आवृत्ति हो।