1.दो चरों वाले फलनों के निम्निष्ठ (Minima of Functions of Two Variables),दो चरों वाले फलनों के उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ (Maxima and Minima of Functions of Two Variables):

Minima of Functions of Two Variables

दो चरों वाले फलनों के निम्निष्ठ (Minima of Functions of Two Variables) और उच्चिष्ठ के लिए इसकी थ्योरी पिछले आर्टिकल में दी गई है।इस आर्टिकल में निम्निष्ठ और उच्चिष्ठ का अध्ययन कुछ उदाहरणों के द्वारा करेंगे।
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2.दो चरों वाले फलनों के निम्निष्ठ के साधित उदाहरण (Minima of Functions of Two Variables Solved Examples):

Example:1.\triangle ABC में उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ ज्ञात कीजिएः
(In a find maxima and minima of)

u=\sin A \sin B \sin C
Solution: u=\sin A \sin B \sin C \\ \triangle ABC में
\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ} \\ \Rightarrow \angle C=180-(\angle A+\angle B) \\ \Rightarrow \sin C=\sin [180-(A+B)] \\ \Rightarrow \sin C=\sin (A+B) \\ u=\sin A \sin B \sin (A+B)
A व B के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने परः

\frac{\partial u}{\partial A}=\cos A \sin B \sin (A+B)+\sin A \sin B \cos (A+B) \\ \frac{\partial u}{\partial B}=\sin A \cos B \sin (A+B)+\sin A \sin B \cos (A+B) \cdots(2) \\ r=\frac{\partial^2 u}{\partial A^2}=-\sin A \sin B \sin (A+B)+\cos A \sin B \cos (A+B)+\cos A \sin B+\cos (A+B)-\sin A \sin B \sin (A+B) \\ =-2 \sin A \sin B \sin (A+B)+2 \cos A \sin B \cos (A+B) \\ \Rightarrow r=\frac{\partial^2 u}{\partial A^2}=-2 \sin A \sin B \sin (A+B)+ 2 \cos A \sin B \cos (A+B) \cdots(3) \\ S=\frac{\partial^2 u}{\partial A \partial B}=\cos A \cos B \sin (A+B)+ \sin A \cos B \cos (A+B)+\cos A \sin B \cos (A+B)-\sin A \sin B \sin (A+B) \\ =\sin (A+B)(\cos A \cos B-\sin A \sin B) +\cos (A+B)(\sin A \cos B+\cos A \sin B) \\ =\sin (A+B) \cos (A+B)+\cos (A+B) \sin (A+B) \\ S=\frac{\partial^{2}u}{\partial A \partial B}=2 \sin (A+B) \cos (A+B) \cdots(4) \\ t= \frac{ \partial^2 u}{\partial B^2}=-\sin A \sin B \sin (A+B) + \sin A \cos B \cos (A+B)+\sin A \cos B \cos (A+B)-\sin A \sin B \sin (A+B) \\=-2 \sin A \sin B \sin (A+B)+2 \sin A \cos B \cos (A+B) \\ \Rightarrow t=\frac{\partial^2 u}{\partial B}=-2 \sin A \sin B \sin (A+B)+2 \sin A \cos B \cos (A+B) \cdots(5) \\ \frac{\partial u}{\partial A}=\frac{\partial u}{\partial B}=0  से 

(6) में से (7) घटाने परः

\cos A \sin B \sin (A+B)-\sin A \cos B \sin (A+B)=0 \\ \Rightarrow \sin (A+B)(\cos A \sin B-\sin A \cos B)=0 \\ \Rightarrow \sin (A+B) \sin (A-B)=0 \\ \Rightarrow \sin (A-B)=0 \\ \Rightarrow \sin (A-B)=\sin 0 \\ \Rightarrow A-B=0 \\ \Rightarrow A=B
(6) में रखने परः
\cos A \sin A \sin 2 A+\sin A \sin A \cos 2 A=0 \\ \sin A[ \cos A \sin 2 A+\sin A \cos 2 A]=0 \\ \Rightarrow \sin A \sin 3 A=0 \\ \Rightarrow \sin A=0 \Rightarrow A=0 असम्भव है।

\sin 3 A=0 \\ 3 \sin A-4 \sin ^3 A=0 \\ \sin A \left(3-4 \sin ^2 A\right)=0 \\ \Rightarrow 3-4 \sin ^2 A=0 \Rightarrow \sin A=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \Rightarrow \sin A=\sin \frac{\pi}{3} \Rightarrow A=\frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow A=B=\frac{\pi}{3}
(3),(4),(5) में रखने परः

r=\frac{\partial^2 u}{\partial A^2}= -2 \sin \frac{\pi}{3} \sin \frac{\pi}{3} \sin \frac{2\pi}{3} +2 \cos \frac{\pi}{3} \sin \frac{\pi}{3} \cos \frac{2 \pi}{3} \\ =-2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}+2 \times \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \left(-\frac{1}{2}\right) \\ = -\frac{3 \sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4} \\ r=-\sqrt{3} \\ S=\frac{\partial^2 u}{\partial A \partial B}=2 \sin \frac{2 \pi}{3} \cos \frac{2 \pi}{3} \\ =2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ t=\frac{\partial^2 u}{\partial B^2}=-2 \sin \frac{\pi}{3} \sin \frac{\pi}{3} \sin \frac{2 \pi}{3} +2 \sin \frac{\pi}{3} \cos \frac{\pi}{3} \cos \frac{2 \pi}{3} \\ =-2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}+2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{2} \times\left(-\frac{1}{2}\right) \\ =\frac{-3 \sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4} \\ \Rightarrow t=-\sqrt{3} \\ r t-s^2=(-\sqrt{3})(-\sqrt{3})-\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \\ =3-\frac{3}{4} \\ r t-s^2=\frac{9}{4}>0 \\ r=-\sqrt{3}<0
अतः फलन उच्चिष्ठ है।
उच्चिष्ठ मानः

u =\sin A \sin B \sin C=\sin A \sin B \sin (A+B) \\ =\sin \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) \sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right) \\ =\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \Rightarrow u =\frac{3 \sqrt{3}}{8}
Example:2.यह प्रदर्शित कीजिए कि u=x^4 y^3(1-x-y) बिन्दु x=\frac{1}{2}, y=\frac{3}{8} पर उच्चिष्ठ है।
(Show that u=x^4 y^3(1-x-y) is maximum at the point x=\frac{1}{2}, y=\frac{3}{8})
Solution: u=x^4 y^3(1-x-y)
x व y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने परः

\frac{\partial u}{\partial x}=4 x^3 y^3(1-x-y)+x^4 y^3(-1) \\ \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial x}=4 x^3 y^3-5 x^4 y^3-4 x^3 y^4 \cdots(1)\\ \frac{\partial u}{\partial y}=3 x^4 y^2(1-x-y)+x^4 y^3(-1) \\ \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial y}=3 x^4 y^2-3 x^5 y^2-4 x^4 y^3 \cdots(2)
पुनः x व y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने परः

r \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=12 x^2 y^3-20 x^3 y^3-12 x^2 y^4 \cdots(3) \\ s= \frac{ \partial^2 y}{\partial x \partial y}=12 x^3 y^2-15 x^4 y^2-16 x^3 y^3 \cdots(4)\\ t=\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=6 x^4 y-6 x^5 y-12 x^4 y^2 \cdots(5) \\ \frac{\partial u}{\partial x} =\frac{\partial u}{\partial y}=0 सेः x=\frac{1}{2}, y=\frac{3}{8}
(3),(4),(5) में रखने परः

r=12\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{3}{8}\right)^3-20 \times\left(\frac{1}{2}\right)^3 \times \left(\frac{3}{8}\right)^3-12 \times\left(\frac{1}{2}\right)^{2} \times\left(\frac{3}{8}\right)^{4} \\ =12 \times \frac{1}{4} \times \frac{27}{512}-20 \times \frac{1}{8} \times \frac{27}{512}-12 \times \frac{1}{4} \times \frac{81}{4096} \\ =\frac{324}{2048}-\frac{540}{4096}-\frac{972}{4096} \\=\frac{648-540-972}{4096}=-\frac{864}{4096} \\ \Rightarrow r =-\frac{27}{128} \\ s =12 \times\left(\frac{1}{2}\right)^3 \times \left(\frac{3}{8}\right)^2-15\left(\frac{1}{2}\right)^4\left(\frac{3}{8}\right)^2-16\left(\frac{1}{2}\right)^3 \left(\frac{3}{8}\right)^3 \\ =12 \times \frac{1}{8} \times \frac{9}{64}-15 \times \frac{1}{16} \times \frac{9}{64}-16 \times \frac{1}{8} \times \frac{27}{512} \\ =\frac{27}{128}-\frac{135}{1024}-\frac{27}{256} \\ =\frac{216-135-108}{1024} \\ \Rightarrow s =\frac{13}{1024} \\ t =6 \times\left(\frac{1}{2}\right)^4 \left(\frac{3}{8}\right)-6\left(\frac{1}{2}\right)^5\left(\frac{3}{8}\right)-12\left(\frac{1}{2}\right)^4 \left(\frac{3}{8}\right)^2 \\ =6 \times \frac{1}{16} \times \frac{3}{8}-6 \times \frac{1}{32} \times \frac{3}{8}-12 \times \frac{1}{16} \times \frac{9}{64} \\ =\frac{9}{64}-\frac{9}{128}-\frac{27}{256} \\ \Rightarrow t =\frac{4-18-27}{256}=-\frac{41}{256} \\ rt-s^2 =\left(\frac{-27}{128}\right)\left(\frac{-41}{256}\right)-\left(\frac{13}{1024}\right)^2 \\ =\frac{1107}{32768}-\frac{169}{1048576}=\frac{35424-169}{1048576} \\ \Rightarrow rt-s^2=\frac{35255}{1048576}>0 \\ r=-\frac{27}{128}<0
अतः फलन उच्चिष्ठ है।

Minima of Functions of Two Variables

Example:3.उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जहाँ u=\left(x^2+y^2\right) e^{6 x+2 y} का मान उच्चतम तथा निम्नतम है।
(Find the value of u=\left(x^2+y^2\right) e^{6 x+2 y} is maximum and minimum.)
Solution: u=\left(x^2+y^2\right) e^{6 x+2 y}
x,y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने परः

\frac{\partial u}{\partial x}=2 x e^{6 x+2 y}+6\left(x^2+y^2\right) e^{6 x+2 y} \\ \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial x}=e^{6 x+2 y}\left(2 x+6 x^2+6 y^2\right) \cdots(1) \\ \frac{\partial u}{\partial y}=2 y e^{6 x+2 y}+2\left(x^2+y^2\right) e^{6 x+2 y} \\ \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial y}=e^{6 x+2 y}\left(2 y+2 x^2+2 y^2\right) \cdots(2)
पुनः x और y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने परः
\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=2 e^{6 x+2 y}+12 x e^{6 x+2 y}+12 x e^{6 x+2 y}+36\left( x^2+y^2\right) e^{6 x+2 y} \\ \Rightarrow r=\frac{z^2 y}{\partial x^2} e^{6 x+2 y}\left(36 x^2+36 y^2+24 x+2\right) \cdots(3) \\ s=\frac{\partial^2 u}{\partial x y}=6 e^{6 x+2 y}\left(2 y+2 x^2+2 y^2\right)+e^{6 x+2 y} 4x \\ \Rightarrow s=\frac{\partial^2 y}{\partial x \partial y}=e^{6 x+2 y}\left(12 x^2+12 y^2+12 y+4 x\right) \cdots(4) \\ t=\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}= e^{6 x+2 y}\left(2 y+2 x^2+2 y^2\right)+ e^{6 x+2 y} (4x^{2}+4y^{2}+8y+2) \cdots(5) \\ \frac{\partial x}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial y}=0 सेः

e^{6 x+2 y}\left(2 x+6 x^2+6 y^2\right)=0 \Rightarrow x+3 x^2+3 y^2=0 \cdots(6) \\ e^{6 x+2 y}\left(2 y+2 x^2+2 y^2\right)=0 \Rightarrow y+x^2+y^2=0 \cdots(7)
समीकरण (7) को 3 से गुणा करके (6) में से घटाने परः

x समीकरण (6) में रखने परः

3 y+3(3 y)^2+3 y^2=0 \\ \Rightarrow 3 y+27 y^2+3 y^2=0 \\ \Rightarrow 3 y(1+10 y)=0 \\ y=0 \quad \Rightarrow x=y=0
x=y=0 समीकरण (3),(4),(5) में रखने परः
r=2,s=0,t=2

\Rightarrow r t-s^2=2 \times 2-0=4>0 \\ r=2>0
अतः फलन x=y=0 पर निम्निष्ठ है।
Example:4.यदि u=2(x-y)^2-x^4-y^4 के संदिग्ध स्थितियाँ छोड़कर उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ मान के लिए जाँच कीजिए।
(Investigate the maximum and minimum of u=2(x-y)^2-x^4-y^4 leaving aside doubtful case that may arise.)
Solution:u=2(x-y)^2-x^4-y^4
x तथा y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने परः

u=2x^2-4xy+2y^{2}-x^4-y^4 \\ \frac{\partial u}{\partial x}=4 x-4 y-4 x^2-4 x y+2 y^2-x^4-y^4 \cdots(1) \\ \frac{\partial u}{\partial y}=-4 x+4 y-4 y^3 \ldots(2)
पुनः x तथा y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने परः

r=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=4-12 x^2 \ldots(3) \\ s=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2 y}=-4 \cdots(4) \\ t=\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=4-12 y^2 \cdots(5) \\ \frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}=0 सेः

4 x-4 y-4 x^3=0 \Rightarrow x-y-x^3=0 \cdots(6) \\ -4 x+4 y-4 y^3=0 \Rightarrow-x+y-y^3=0 \cdots(7)
(6) सेः y=x-x^{3} समीकरण (7) में रखने परः

-x+\left(x-x^3\right)-\left(x-x^3\right)^3=0 \\ \Rightarrow -x^3\left(x^3-3 x^5+3 x^{7}-x^{9}\right)=0 \\ \Rightarrow x^6-3 x^7-x^6-3 x^5+2 x^3=0 \\ \Rightarrow x^9-3 x^7+3 x^5-2 x^3=0 \\ \Rightarrow x^3\left(x^6-3 x^4+3 x-2\right)=0 \\ x=0, x^6-3 x^4+3 x-2=0 \\ \Rightarrow (x^2-1)^{3} -1=0 \\ \Rightarrow \left(x^2-1\right)^3=1 \\ \Rightarrow x^2-1=1 \Rightarrow x^2=2 \Rightarrow x=\pm \sqrt{2}
जब x=0 तो y=0
जब x=\sqrt{2} तो y=x-x^3=\sqrt{2}-2 \sqrt{2}=-\sqrt{2}

जब x=-\sqrt{2} तो y=\sqrt{2}-(-\sqrt{2})^3 \\ y=-\sqrt{2}+2 \sqrt{2}=\sqrt{2}
अतः बिन्दु (0,0),(\sqrt{2},-\sqrt{2}),(-\sqrt{2}, \sqrt{2})
(0,0) पर r=4,s=-4,t=4
अतः संदिग्ध स्थिति है।
x=\sqrt{2}, y=-\sqrt{2} पर

r=4-12(\sqrt{2})^2=-20, s=-4 \\ t=4-12(-\sqrt{2})^2=-20 \\ r t-s^2=(-20)(-20)-(-4)^2=400-16 \\ \Rightarrow r t-s^2=384>0
r=-20<0 अतः उच्चिष्ठ है।

x=-\sqrt{2}, y=\sqrt{2} पर

r=4-12(-\sqrt{2})^2=4-24=-20, s=-4 \\ t=4-12(\sqrt{2})^2=4-24=-20 \\ r t-s^2=(-20)(-20)-(-4)^2=400-16=384>0
अतः उच्चिष्ठ है।
फलतः x=\pm \sqrt{2} ,y=\mp \sqrt{2} पर फलन उच्चिष्ठ है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा दो चरों वाले फलनों के निम्निष्ठ (Minima of Functions of Two Variables),दो चरों वाले फलनों के उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ (Maxima and Minima of Functions of Two Variables) को समझ सकते हैं।

3.दो चरों वाले फलनों के निम्निष्ठ के सवाल (Minima of Functions of Two Variables Questions):

Minima of Functions of Two Variables

(1.)सिद्ध करो कि u=x y+\frac{a^3}{x}+\frac{a^3}{y} का निम्नतम मान 3a^{2} है।
(Show that minimum value of u=x y+\frac{a^3}{x}+\frac{a^3}{y} is 3a^{2}.)
(2.)फलन u=x^2+y^2+\left(\frac{a}{x}\right )+\left(\frac{a}{y}\right) के उन बिन्दुओं को ज्ञात करो जहाँ उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ है
(Discuss the maxima and minima of the function)

u=x^2+y^2+\left(\frac{a}{x}\right )+\left(\frac{a}{y}\right)
उत्तर (Answer):(2.) x=y=\left(\frac{a}{2}\right)^{\frac{1}{3}} पर निम्निष्ठ है।
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर दो चरों वाले फलनों के निम्निष्ठ (Minima of Functions of Two Variables),दो चरों वाले फलनों के उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ (Maxima and Minima of Functions of Two Variables) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.दो चरों वाले फलनों के निम्निष्ठ (Frequently Asked Questions Related to Minima of Functions of Two Variables),दो चरों वाले फलनों के उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ (Maxima and Minima of Functions of Two Variables) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः

दो चरों वाले फलनों के निम्निष्ठ (Minima of Functions of Two Variables) और उच्चिष्ठ के लिए
इसकी थ्योरी पिछले आर्टिकल में दी गई है।इस आर्टिकल में निम्निष्ठ और उच्चिष्ठ का