1.लग्रांज विधि द्वारा निम्निष्ठ और उच्चिष्ठ (Minima and Maxima by Lagrange Method),अनिर्धाय गुणांकों की लग्रांज विधि द्वारा उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ (Maxima and Minima by Lagrange’s Method of Undetermined Multipliers):

Minima and Maxima by Lagrange Method

लग्रांज विधि द्वारा निम्निष्ठ और उच्चिष्ठ (Minima and Maxima by Lagrange Method) से तात्पर्य है कि अनिर्धाय गुणांकों की लग्रांज विधि द्वारा उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ ज्ञात करना जो कि तीन चरों (x, y, z) से सम्बन्धित है।इनमें से दो स्वतन्त्र चर तथा एक परतन्त्र चर होता है।
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2.लग्रांज विधि द्वारा निम्निष्ठ और उच्चिष्ठ के साधित उदाहरण (Minima and Maxima by Lagrange Method Solved Examples):

Example:1.यदि u=a^3 x^2+b^3 y^2+c^3 z^2,जबकि \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z},तो सिद्ध कीजिए कि u का स्तब्ध मान निम्नलिखित से प्राप्त होता हैः x=\frac{\Sigma a}{a}, y=\frac{\Sigma a}{b}, z=\frac{\Sigma a}{c}
(If u=a^3 x^2+b^3 y^2+c^3 z^2, where \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}, then prove that the stationary value of u is obtained from the following):

x=\frac{\Sigma a}{a}, y=\frac{\Sigma a}{b}, z=\frac{\Sigma a}{c}
Solution: u=a^3 x^2+b^3 y^2+c^3 z^2 \\ du=2 a^3 x d x+2 b^3 y d y+2 c^3 z d z \ldots(1)
साथ ही दिए हुए प्रतिबन्धः

\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1 \ldots(2) \\ -\frac{1}{x^2} d x-\frac{1}{y^2} d y-\frac{1}{z^2} d y=0 \\ \Rightarrow \frac{d x}{x^2}+\frac{d y}{y^2}+\frac{d y}{z^2}=0 \ldots(3)
समीकरण (3) को \lambda से गुणा करके (1) में जोड़ने परः

\left(a^3 x+\frac{\lambda}{x^2}\right) d x+\left(b^3 y+\frac{\lambda}{y^2}\right) d y+\left(c^3 z+\frac{\lambda}{z^2}\right) d z=0
लग्रांज विधि से स्तब्ध मानों के लिएः

a^3 x+\frac{\lambda}{x^2}=0 \ldots(4) \\ b^3 y+\frac{\lambda}{y^2}=0 \ldots(5) \\ c^3 z+\frac{\lambda}{z^2}=0 \ldots(6)
(4),(5) तथा (6) को क्रमशः x, y तथा z से गुणा करके जोड़ने परः

a^3 x^2+b^3 y^2+c^3 z^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right) \lambda=0 \\ \Rightarrow u+(1) \lambda=0 \\ \Rightarrow \lambda=-u
(4),(5) तथा (6) में का मान प्रतिस्थापित करने परः

a^3 x-\frac{u}{x^2}=0 \Rightarrow x^3=\frac{u}{a^3} \Rightarrow x=\frac{u^{\frac{1}{3}}}{a} \cdots(7) \\ b^3 y-\frac{u}{y^2}=0 \Rightarrow y^3=\frac{u}{b^3} \Rightarrow y=\frac{u^{\frac{1}{3}}}{b} \cdots(8) \\ c^3 z-\frac{u}{z^2}=0 \Rightarrow z^3=\frac{u}{c^3} \Rightarrow z=\frac{u^{\frac{1}{3}}}{c} \cdots(9)
अतः u=a^3 x^2+b^3 y^2+c^3 z^2 में मान रखने परः

u=a u^{\frac{2}{3}}+b u^{\frac{2}{3}}+c u^{\frac{2}{3}} \\ \Rightarrow u^{\frac{1}{3}}=a+b+c=\Sigma a
(7),(8) तथा (9) में मान रखने परः

x=\frac{\Sigma a}{a}, y=\frac{\Sigma a}{b}, z=\frac{\Sigma a}{c}
पुनः समीकरण (2) सेः

-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{z^2} \frac{\partial z}{\partial x}=0 \Rightarrow \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{z^2}{x^2} \\ -\frac{1}{y^{2}}-\frac{1}{z^2} \frac{\partial z}{\partial y}=0 \Rightarrow \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{z^2}{y^2} \\ \frac{\partial u}{\partial x}=2 a^3 x+2 c^3 z \frac{\partial z}{\partial x} \\ =2 a^3 x+2 c^3 z\left(-\frac{z^2}{x^2}\right) \\ \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial x}=2 a^3 x-2 c^3 \frac{z^3}{x^{2}} \\ \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} =2 a^3+4 c^3 \frac{z^3}{x^3}-6 c^3 \frac{z^2}{x^2} \frac{\partial z}{\partial x} \\ =2 a^3+4 c^3 \frac{z^3}{x^3}-6 c^3 \frac{z^2}{x^2}\left(-\frac{z^2}{x^2}\right) \\ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} =2 a^3+4 c^3 \frac{z^3}{x^3}+6 c^3 \frac{z^4}{x^4} \\ r=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} =2 a^3+4 c^3\left(\frac{\frac{\Sigma a}{c}}{\frac{\Sigma a}{a}}\right)^{3} +6 c^3 \left(\frac{\frac{\Sigma a}{c}}{\frac{\Sigma a}{a}}\right)^4=2 a^3+4 a^3+6 \frac{a^4}{c} \\  \Rightarrow r =6 a^3+\frac{6 a^4}{c} \\ \frac{\partial u}{\partial y} =2 b^3 y+2 c^3 z \frac{\partial z}{\partial y} \\ =2 b^3 y+2 b^3 z\left(-\frac{z^2}{y^2}\right) \\ \frac{\partial u}{\partial y} =2 b^3 y-2 c^3 \frac{z^3}{y^2} \\ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} =2 b^3-4 c^3\left(-\frac{z^3}{y^3}\right)-6 c^3 \frac{z^2}{y^2} \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right) \\ =2 b^3+4 c^3\left(\frac{z}{y}\right)^3-6 c^3 \frac{z^2}{y^2}\left(-\frac{z^2}{y^2}\right) \\ =2 b^3+4 c^3\left(\frac{z}{y}\right)^3+6 c^3\left(\frac{z}{y}\right)^4 \\ =2 b^3+4 c^3\left(\frac{\frac{\Sigma a}{c}}{\frac{\Sigma a}{b}}\right)^3+6 c^3 \left( \frac{\frac{\Sigma a}{c}}{\frac{\Sigma a}{b}}\right)^4 \\ =2 b^3+4 b^3+ \frac{6 b^4}{c} \\ \Rightarrow t=\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} =6 b^3+6 \frac{b^4}{c} \\ \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} =-6 c^3 \frac{z^2}{y^2} \frac{\partial z}{\partial x} \\ =-6 c^3\left(\frac{z}{y}\right)^2\left(-\frac{z^2}{x^2} \right) \\ =+6 c^3\left(\frac{\frac{\Sigma a}{c}}{\frac{\Sigma a}{b}}\right)^2\left(\frac{\frac{\Sigma a}{c}}{\frac{\Sigma a}{a}}\right)^2  \\ S=\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\frac{6 a^2 b^2}{c} \\ r t-s^2=\left(6 a^3+\frac{6 a^4}{c}\right)\left(6 b^3+\frac{6 b^4}{c}\right)-\left(\frac{6 a^2 b^2}{c}\right)^{2} \\ =36 a^3 b^3+ \frac{36 a^3 b^4}{c}+ \frac{36 a^4 b^3}{c}+ \frac{36 a^4 b^4}{c^2}- \frac{36 a^4 b^4}{c^2} \\ \Rightarrow r t-s^2=36 a^3 b^3+ \frac{36 a^3 b^4}{c}+\frac{36 a^4 b^3}{c} \\ \Rightarrow r t-s^2=\frac{36 a^3 b^3}{c}(a+b+c)>0 [यदि abc(a+b+c)>0]
अतः फलन निम्निष्ठ है यदि a+b+c>0

r=6 a^3+\frac{6 a^4}{c}>0
Example:2.यदि u=a^2 x^2+b^2 y^2+c^2 z^2 हो तो निम्न शर्तों x^2+y^2+z^2=1 तथा lx+my+nz=0 के अनुसार u का उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
(If u=a^2 x^2+b^2 y^2+c^2 z^2, find the maximum and minimum values of u subject to the following conditions):
x^2+y^2+z^2=1 and lx+my+nz=0
Solution: u=a^2 x^2+b^2 y^2+c^2 z^2 \\ du=2 a^2 x d x+2 b^2 y d y+2 c^2 z dz \cdots(1)
साथ ही दिए हुए प्रतिबन्धः x^2+y^2+z^2=1 \cdots(2)
lx+my+nz=0   ….. (3)
2xdx+2ydy+2zdz=0 …. (4)
ldx+mdy+ndz=0  ….. (5)
समीकरण (4) को \lambda से  तथा (5) को \mu से गुणा करके (1) में जोड़ने परः

\left(a^2 x+\lambda x+l \mu\right) d x+\left(b^2 y+\lambda y+m \mu\right) d y+\left(c^2 z+\lambda z+ n \mu\right) dz=0
लग्रांज विधि से स्तब्ध मानों के लिएः

a^2 x+\lambda u+l \mu=0 \cdots(6) \\ b^2 y+\lambda y+m \mu=0 \cdots(7) \\ c^2 z+\lambda z+\eta \mu=0 \cdots(8)
(6),(7) तथा (8) को क्रमशः x,y तथा z से गुणा करके जोड़ने परः

\left(a^2 x^2+b^2 y^2+c^2 z^2\right)+\left(x^2+y^2+z^2\right) \lambda+(l x+m y+n z) \mu=0 \\ \Rightarrow u+(1) \lambda+(0) \mu=0 \Rightarrow \lambda=-u \\ \lambda का मान (6),(7) तथा (8) में प्रतिस्थापित करने परः

a^2 x-u x+l \mu=0 \Rightarrow x=\frac{l \mu}{u-a^2} \\ b^2 y-u y+m \mu=0 \Rightarrow y=\frac{m \mu}{u-b^2} \\ c^2 z-u z+n \mu=0 \Rightarrow z=\frac{n \mu}{u-c^2}
x, y, z का मान समीकरण (3) में रखने परः

\frac{l^2 \mu}{u-a^2}+\frac{m^2 \mu}{u-b^2}+\frac{n^2 \mu}{u-c^2}=0 \\ \Rightarrow \frac{l^2}{u-a^2}+\frac{m^2}{u-b^2}+\frac{n^2}{u-c^2}=0
के मूल उच्चिष्ठ तथा निम्निष्ठ मान देते हैं।
Example:3.सिद्ध कीजिए कि दिए हुए आयतन वाले सभी आयतफलों में घन न्यूनतम पृष्ठ वाला होता है।
(Prove that the out of all rectangular parallelopiped of the same volume, the cube has minimum surface.)
Solution:माना आयतफलकी की भुजाएँ x, y, z हैं।
S=2(xy+yz+zx)  …. (1)
V=xyz  ….. (2)
dS=2(y+z)dx+2(z+x)dy+2(x+y)dz=0 …(3)
dV=yzdx+xzdy+xydz=0 … (4)
समीकरण (4) को \lambda से गुणा करके (3) में जोड़ने परः

(y+z+\lambda y z)dx+(z+x+\lambda x z) d y+(x+y+\lambda x y) d z=0 \\ y+z+\lambda y z=0 \Rightarrow \frac{1}{y}+\frac{1}{z}=-\lambda \cdots(5) \\ z+x+\lambda x z=0 \Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{z}=-\lambda \cdots(6)\\ x+y+\lambda x y=0 \Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=-\lambda \cdots(7)
(5) में से (6) घटाने परः \frac{1}{y}-\frac{1}{x}=0 \Rightarrow x=y
(6) में से (7) घटाने परः \frac{1}{z}-\frac{1}{y}=0 \Rightarrow z=y
अतः x=y=z
(2)सेः xyz=v \Rightarrow x^3=v \Rightarrow x=v^{\frac{1}{3}}  
अतः x=y=z=v^{\frac{1}{3}}
पुनः (2) सेः y z+x y \frac{\partial z}{\partial x}=0 \Rightarrow \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{z}{x}
तथा x z+x y \frac{\partial z}{\partial y}=0 \Rightarrow \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{z}{y} \\ S=2 x y+2 y z+2 z x \\ \frac{\partial S}{\partial x} =2 y+2 y \frac{\partial z}{\partial x}+2 z+2 x \frac{\partial z}{\partial x} \\ =2 y+2 y\left(-\frac{z}{x}\right)+2 z+2 x\left(-\frac{z}{x}\right) \\ =2 y-\frac{2 z y}{x} \\ \\ \frac{\partial^2 S}{\partial x^2} =\frac{2 z y}{x^2}-\frac{2 y}{x} \frac{\partial z}{\partial x}\\=\frac{2 z y}{x^2}-\frac{2 y}{x}\left(-\frac{z}{x}\right) \\ =\frac{2 z y}{x^2}+\frac{2 y z}{x^2} \\ =\frac{4 y z}{x^2} \\ \Rightarrow r =\frac{\partial^2 S}{\partial x^2}=4 (x=y=z पर)

\frac{\partial S}{\partial y} =2 x+2 z+2 y \frac{\partial z}{\partial x}+2 x \frac{\partial z}{\partial x} \\ =2 x+2 z+2 y\left(-\frac{z}{y}\right)+2 x\left(-\frac{z}{y}\right) \\ =2 x-\frac{2 y z}{y} \\ \frac{\partial^2 y}{\partial y^2} =\frac{2 x z}{y^2}-\frac{2 x}{y}\left(\frac{\partial z}{x x}\right) \\ =\frac{2 x z}{y^2}-\frac{2 x}{y}\left(-\frac{z}{y}\right) \\ =\frac{2 x z}{y^2}+\frac{2 x z}{y^2} \\ =\frac{4 xz}{y^2} \\ t=\frac{\partial^2 s}{\partial y^2}=4(x=y=z पर)

\frac{\partial^2 S}{\partial x \partial y}=2-\frac{2 z}{y}-\frac{2 x}{y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right) \\ =2-\frac{2 z}{y}-\frac{2 x}{y}\left(-\frac{z}{x}\right) \\ S=\frac{\partial^2 s}{\partial x \partial y}=2 \\ rt-s^2=(4)(4)-(2)^2=12>0, r>0
x=y=z अर्थात् घन का पृष्ठ न्यूनतम होगा।
Example:4.किसी संख्या n को तीन ऐसे भागों x, y, z में विभाजित कीजिए कि ayz+bzx+cxy का मान उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ हो।इस मान को ज्ञात कीजिए, जहाँ a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं।
(Divide number n in three parts x, y, z such that the value of ayz+bzx+cxy is maximum or minimum.Determine this value, a,b, c being the sides of a triangle.)
Solution:u=ayz+bzx+cxy
तथा x+y+z=n
du=(az+cx)dy+(bz+cy)dx+(ay+bx)dz=0 … (1)
dx+dy+dz=0 …. (2)
समीकरण (2) को \lambda से गुणा करके (1) में जोड़ने परः

(a z+c y+\lambda) d x+(a z+c x+\lambda) d y+(a y+b x+\lambda) d z=0
लग्रांज विधि से स्तब्ध मानों के लिएः

b z+c y+\lambda=0 \ldots(3) \\ a z+c x+\lambda=0 \ldots(4) \\ a y+b x+\lambda=0 \ldots(5)
(3),(4) तथा (5) को क्रमशः x, y, z से गुणा करके जोड़ने परः

2(a y z+b z x+cx y)+\lambda(x+y+z)=0 \\ \Rightarrow 2 u+\lambda(x)=0 \Rightarrow \lambda=-\frac{2 u}{n}
(3),(4) तथा (5) में \lambda का मान रखने परः

0 \cdot x+c y+b z-\frac{2 u}{n}=0 \cdots(6) \\ c x+0 \cdot y+a z-\frac{2 u}{n}=0 \cdots(7) \\ b x+a y+0 \cdot z-\frac{2 u}{n}=0 \cdots(8) \\ x+y+z-n=0 \cdots(9)
समीकरण (6),(7),(8) तथा (9) से x, y, z का विलोपन करने परः

\left|\begin{array}{cccc} 0 & c & b & \frac{2 u}{n} \\ c & 0 & a & \frac{2u}{n} \\ b & a & 0 & \frac{2 u}{n} \\ 1 & 1 & 1 & n \end{array}\right|=0
यह u का उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ मान देता है।

Minima and Maxima by Lagrange Method

Example:5.त्रिभुज के अन्दर एक ऐसा बिन्दु ज्ञात कीजिए कि इसको तीनों शीर्ष बिन्दुओं से दूरियों के वर्गों का योग निम्नतम हो।
(Find a point within a triangle such that the sum of the squares of the distances from the angular points may be minimum.)
Solution:माना त्रिभुज के शीर्ष \left(x_1, y_1\right),\left(x_2, y_2\right) \text { तथा }\left(x_3, y_3\right) हैं।
u=\left(x-x_1\right)^2+\left(x-x_2\right)^2+\left(x-x_3\right)^2+\left(y-y_1\right)^2 +\left(y-y_2 \right)^2+\left(y-y_3\right)^2 \\ \frac{\partial u}{\partial x}= 2\left(x-x_1\right)+2\left(x-x_2\right)+2\left(x-x_3\right) \\ \frac{\partial u}{\partial y}=2\left(y-y_1\right)+2\left(y-y_2\right)+2\left(y-y_3\right) \\ \frac{\partial u}{\partial x}=0=\frac{\partial u}{\partial y} सेः

2\left(x-x_1\right)+2\left(x-x_2\right)+2\left(x-x_3\right)=0 \Rightarrow x=\frac{x_1+x_2+x_3}{3} \\ 2\left(y-y_1\right)+2\left(y-y_2\right)+2\left(y-y_3\right)=0 \Rightarrow y=\frac{y_1+y_2+y_3}{3} \\ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=2+2+2 \Rightarrow z=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=6 \\ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=2+2+2 \Rightarrow t=\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=6 \\ \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=0 \Rightarrow S=\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=0 \\ rt-s^2=(6)(6)-0=36>0
अतः u निम्निष्ठ होगा यदि बिन्दु \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right) केन्द्रक होगा।
Example:6.सिद्ध कीजिए कि एक गोले के अन्तर्गत अधिकतम आयतन वाला आयताकार ठोस एक घन होता है।
(Prove that a rectangular solid of maximum volume within sphere is a cube.)
Solution:माना आयताकार ठोस की भुजाएँ x, y और z हैं।
V=xyz …. (1)
S=2(xy+yz+zx) …. (2)
dV=yzdx+xzdy+xydz …. (3)
dS=2(y+z)dx+2(z+x)dy+2(x+y)dz=0 … (4)
समीकरण (4) को \lambda से गुणा करके (3) में जोड़ने परः

[y z+\lambda(y+z)] d x+[x z+\lambda(z+x)]dy+[x y+\lambda(x+y)]dz=0
लग्रांज विधि से स्तब्ध मानों के लिएः

yz+\lambda(y+z)=0 \Rightarrow \frac{1}{y}+\frac{1}{z}=-\frac{1}{\lambda} \cdots(5) \\ xz+ \lambda(z+x)=0 \Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=-\frac{1}{\lambda} \cdots(6) \\ xy+\lambda(x+y)=0 \Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=-\frac{1}{\lambda} \cdots(7)
(5) में से (6) घटाने परः

\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=0 \Rightarrow x=y
(6) में से (7) घटाने परः

\frac{1}{z}-\frac{1}{y}=0 \Rightarrow z=y
अतः x=y=z
(2) सेः 2(x y+y z+z x)=S \Rightarrow 6 x^2=S \\ x=y=z=\left(\frac{S}{6}\right)^{\frac{1}{2}}
पुनः (2) सेः 2 y+2 y \frac{\partial z}{\partial x}+2 z+2 x \frac{\partial z}{\partial x}=0 \\ \Rightarrow \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{z+y}{x+y} \\ 2x+2 z+2 y \frac{\partial z}{\partial y}+2 x \frac{\partial z}{\partial y}=0 \\ \Rightarrow \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{(x+z)}{x+y} \\ \frac{\partial V}{\partial x}=y z+x y \frac{\partial z}{\partial x} \\ =y z+x y\left(-\frac{z+y}{x+y}\right) \\ =y z-\left(\frac{x y z+x y^2}{x+y}\right) \\ \frac{\partial^2 V}{\partial x^2}=y \frac{ \partial z}{\partial x}-\left [ \frac{(x+y)\left[y z+x y \frac{\partial z}{\partial x}+y^{2}\right]-\left(x y z+x y^2\right)}{(x+y)^{2}}\right ] \\ r=\frac{\partial^2 V}{\partial x^2}=y\left(-\frac{z+y}{x+y}\right)-\frac{(x+y)\left[y z+x y \left(-\frac{z+y}{x+y}\right)+y^{2}\right]-\left(x y z+x y^2\right)}{(x+y)^{2}} \\ \Rightarrow r=\frac{\partial^2 V}{\partial x^2}=-\left(\frac{S}{6}\right)^{\frac{1}{2}} (x=y=z पर)

\frac{\partial V}{\partial y} =x z+x y \frac{\partial z}{\partial y} \\ =x z+x y\left[-\frac{(x+z)}{x+y}\right] \\ =x z-\frac{\left(x^2 y+x y z\right)}{x+y} \\ \frac{\partial^2 V}{\partial y^2}=x \frac{\partial z}{\partial y}-\frac{\left[(x+y)\left(x^2+x z+x y \frac{\partial z}{\partial y}\right)-\left(x^2 y+x y z\right) (1)\right]}{(x+y)^{2}} \\ =x\left(-\frac{x+z}{x+y}\right)- \frac{\left[(x+y)\left[x^2+x z+x y\left(-\frac{x+z}{x+y}\right)\right]-\left(x^2 y+x y z\right)\right]}{(x+y)^2} \\ t=\frac{\partial^2 V}{\partial y^2}=\left(\frac{S}{6}\right)^{\frac{1}{2}} (x=y=z पर)

\frac{\partial^2 V}{\partial x \partial y}=x \frac{\partial z}{\partial x}+ z-\frac{\left[(x+y)\left(2 x y+y z+x y \frac{\partial z}{\partial x}\right)-\left(x^2 y+x y z\right) (1)\right]}{(x+y)^{2}} \\ =x\left(-\frac{z+y}{x+y}\right)+z-\frac{\left[(x+y)\left(2 x y+y z+x y \left(-\frac{z+y}{x+y}\right)\right)-\left(x^2 y+x y z\right) \right]}{(x+y)^{2}}
x=y=z रखने परः

=x(-1)+x-\frac{( 2 x ) \left[2 x^2+x^2+x^2(-1)-\left(x^3+x^3\right)\right]}{(2 x)^2} \\ =-\frac{4 x^3-2 x^3}{4 x^2} \\ =-\frac{2 x^3}{4 x^2} \\ S=\frac{\partial^2 V}{\partial x y}=-\frac{x}{2} \\ S=\frac{\partial^2 V}{\partial x \partial y}=-\frac{1}{2}\left(\frac{S}{6}\right)^{\frac{1}{2}} \\ r t-s^2 =-\left(\frac{S}{6}\right)^{\frac{1}{2}}\left[-\left(\frac{S}{6}\right)^{\frac{1}{2}}\right]-\left[\left(-\frac{1}{2}\right) \left(\frac{S}{6}\right)^{\frac{1}{2}} \right]^2 \\ =\frac{S}{6}-\frac{1}{4} \times \frac{S}{6} \\ =\frac{S}{6}-\frac{S}{24} \\ =\frac{3}{24} S \\ \Rightarrow r t-s^2 =\frac{1}{8} S>0, r=-\left(\frac{S}{6}\right)^{\frac{1}{2}}<0
अतः x=y=z अर्थात् अधिकतम आयतन वाला ठोस एक घन होता है।
Example:7.सिद्ध कीजिए कि पृष्ठ \left(x^2+y^2+z^2\right)^2=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2} के समतल lx+my+nz=0 द्वारा परिच्छेद को ध्रुवान्तर रेखाओं के उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ मान निम्न समीकरण द्वारा दिए जाते हैंः
(Show that the maximum or minimum value of radius vector of the section \left(x^2+y^2+z^2\right)^2=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2} by the plane lx+my+nz=0 is given by the following equation):

\frac{a^2 l^2}{1-a^2 r^2}+\frac{b^2 m^2}{1-b^2 r^2}+\frac{c^2 n^2}{1-c^2 r^2}=0
Solution: u=x^2+y^2+z^2 \Rightarrow u=r^2 \cdots(1) \\ f_{1}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-u^2=0 \cdots(2) \\ f_2=l x+m y+n z=0 \ldots(3) \\ du=2x dx+2y d y+2 z d z=0 \cdots(4)\\ df_1=\frac{2 u}{a^2} d x+\frac{2 y}{b^2} d y+\frac{2 z}{c^2} d z=0 \left[\because du=0\right] \cdots(5) \\ d f_2=l d x+m d y+n d z=0 \cdots(6)
समीकरण (5) व (6) को \lambda_1 तथा \lambda_2 से गुणा करके समीकरण (4) में जोड़ने परः

\left(x+\frac{\lambda_1}{a^2} x+\lambda_2 l\right) d x+\left(y+\frac{\lambda_1}{b^2} y+\lambda_2 m\right) d y +\left(z+\frac{\lambda_1}{c^2}+\lambda_2 n\right) d z=0
लग्रांज विधि से स्तब्ध मानों के लिएः

x+\frac{\lambda_1}{a^2} x+\lambda_2 l=0 \ldots(7) \\ y+\frac{\lambda_1}{b^2} y+\lambda_2 m=0 \ldots(8) \\ z+\frac{\lambda_1}{c^2} z+\lambda_2 n=0 \ldots(9)
(7),(8) तथा (9) को क्रमशः x, y तथा z से गुणा करके जोड़ने परः

\left(x^2+y^2+z^2\right)+\left(\frac{x^2}{a^{2}}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{b^2}\right) \lambda_1+(l x+my+n z) \lambda_2=0 \\ \Rightarrow u+\lambda_1\left(u^2\right)+\lambda_2(0)=0 \Rightarrow \lambda_1=-\frac{1}{u} \\ \lambda_1 का मान समीकरण (7),(8) तथा (9) में रखने परः

x-\frac{1}{u a^2} x+\lambda_2 l=0 \Rightarrow x=\frac{l a^2 u \lambda_2}{1-a^2 u} \\ y-\frac{1}{u b^2} y+\lambda_2 m=0 \Rightarrow y=\frac{m b^2 u \lambda_2}{1-b^2 u} \\ z-\frac{1}{u c^2} z+\lambda_2 n=0 \Rightarrow z=\frac{n c^2 u \lambda_2}{1-c^2 u}
x, y तथा z का मान समीकरण (3) में रखने परः
\frac{l^2 a^2 u \lambda_2}{1-a^2 u}+\frac{m^2 b^{2} u \lambda_2}{1-b^2 u}+\frac{n^2 c^2 u \lambda_2}{1-c^2 u}=0 \\ \Rightarrow \frac{l^2 a^2}{1-a^2 u}+\frac{m^2 b^2}{1-b^2 u}+\frac{n^2 c^2}{1-c^2 u}=0 \\ u=r^{2} रखने परः

\Rightarrow \frac{l^2 a^2}{1-a^2 r}+\frac{m^2 b^2}{1-b^2 r}+\frac{r^2 c^2}{1-c^2 r}=0
Example:8.प्रतिबन्ध x+y+z=a के अन्तर्गत u=x^m y^n z^p के उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ ज्ञात कीजिए।
(Find the maxima and minima of u=x^m y^n z^p subject to the condition x+y+z=a)
Solution: u=x^m y^n z^p \ldots(1)
x+y+z=a …. (2)
अवकलन करने परः

\log u=m \log x+x \log y+b \log z \\ \frac{1}{u} d u=\frac{m}{x} d u+\frac{n}{y} d y+\frac{p}{z} d z=0 \cdots(3) \\ dx+dy+dz=0
समीकरण (4) को \lambda से गुणा करके (3) में जोड़ने परः

\left(\frac{m}{x}+\lambda\right) d x+\left(\frac{n}{y}+\lambda\right) d y+\left(\frac{p}{z}+\lambda\right) d z=0
लग्रांज विधि से स्तब्ध मानों के लिएः

\frac{m}{x}+\lambda=0 \cdots(5) \\ \frac{x}{y}+\lambda=0 \cdots(6) \\ \frac{p}{2}+\lambda=0 \cdots(7)
समीकरण (5),(6) तथा (7) को क्रमशः x, y तथा z से गुणा करके जोड़ने परः

(m+n+p)+(x+y+z) \lambda=0 \\ \Rightarrow(m+n+p)+a \lambda=0 \\ \Rightarrow \lambda=-\frac{m+n+p}{a} \\ \lambda का मान (5),(6) तथा (7) में रखने परः

x=\frac{m a}{m+n+p}, y=\frac{a n}{m+n+p}, z=\frac{a b}{m+n+p}
x, y, z का मान (1) में रखने परः

u=\left(\frac{a}{m+n+p}\right)^{m+n+p} m^m \cdot n^n \cdot p^p
समीकरण (2) का x, y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने परः

1+\frac{\partial z}{\partial x} =0 \Rightarrow \frac{\partial z}{\partial x}=-1,1+\frac{\partial z}{\partial y}=0 \Rightarrow \frac{\partial z}{\partial y}=-1 \\ \log u =m \log x+n \log y+p \log z \\ \frac{1}{u} \frac{\partial u}{\partial x} =\frac{m}{x}+\frac{p}{z} \frac{\partial z}{\partial x} \\ \Rightarrow \frac{1}{u} \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{m}{x}+\frac{p}{z} \cdots(1)
पुनः आंशिक अवकलन करने परः

उच्चिष्ठ तथा निम्निष्ठ

\frac{1}{u} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=-\frac{1}{a^2 m}(m+n+p)^2-\frac{1}{a^2 p}(m+n+p)^2 \\ \Rightarrow \frac{1}{u} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=-\frac{(m+n+p)^2}{a^2}\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{p}\right) \\ r=\frac{\partial^2 u}{\partial x^{2}}<0
अतः u उच्चिष्ठ है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा लग्रांज विधि द्वारा निम्निष्ठ और उच्चिष्ठ (Minima and Maxima by Lagrange Method), अनिर्धाय गुणांकों की लग्रांज विधि द्वारा उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ (Maxima and Minima by Lagrange’s Method of Undetermined Multipliers) को समझ सकते हैं।

3.लग्रांज विधि द्वारा निम्निष्ठ और उच्चिष्ठ पर आधारित सवाल (Questions Based on Minima and Maxima by Lagrange Method):

Minima and Maxima by Lagrange Method

(1.)प्रतिबन्ध \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{z}=1 के अन्तर्गत u=x^m y^n z^p के उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ ज्ञात कीजिए।
(Find the maxima and minima of u=x^m y^n z^p subject to the condition \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1)
(2.)दीर्घवृत्तज \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 के अन्तर्गत अधिकतम आयतन वाले आयतफलकी को ज्ञात कीजिए।
(Find the volume of greatest rectangular parallelopiped inscribed in the ellipsoid whose equation is \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1)
उत्तर (Answers):(1.) x=\frac{a(m+n+b)}{m}, y=\frac{b(m+n+b)}{n}, z=\frac{c(m+n+b)}{p}
minimum value of u

=\frac{a^m b^n c^p}{m^m \cdot n^n \cdot p^p}(m+n+p)^{m+n+p}
(2.)(a.) x=\frac{a}{\sqrt{3}}, y=\frac{b}{\sqrt{3}}, z=\frac{c}{\sqrt{3}}

अधिकतम आयतन=\frac{8 a b c}{3 \sqrt{3}}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर लग्रांज विधि द्वारा निम्निष्ठ और उच्चिष्ठ (Minima and Maxima by Lagrange Method),अनिर्धाय गुणांकों की लग्रांज विधि द्वारा उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ (Maxima and Minima by Lagrange’s Method of Undetermined Multipliers) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.लग्रांज विधि द्वारा निम्निष्ठ और उच्चिष्ठ (Frequently Asked Questions Related to Minima and Maxima by Lagrange Method),अनिर्धाय गुणांकों की लग्रांज विधि द्वारा उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ (Maxima and Minima by Lagrange’s Method of Undetermined Multipliers) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः

लग्रांज विधि द्वारा निम्निष्ठ और उच्चिष्ठ (Minima and Maxima by Lagrange Method) से
तात्पर्य है कि अनिर्धाय गुणांकों की लग्रांज विधि द्वारा उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ ज्ञात करना