1.विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की विधि (Method to Find Out Particular Integral),अवकल समीकरण में कुछ विशेष स्थितियों में विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की सरल विधि (Easy Method of Finding Out Particular Integral in Few Special Cases in DE):

Method to Find Out Particular Integral

विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की विधि (Method to Find Out Particular Integral) ऐसी सरल विधि है जिसके आधार पर अवकल समीकरणों के विशिष्ट समाकल आसानी से ज्ञात किए जा सकते हैं।
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2.विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की विधि के उदाहरण (Method to Find Out Particular Integral Examples):

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
Example:4. \frac{d^2 y}{d x^2}-4 \frac{d y}{d x}+4 y=e^{2 x}+\sin 2 x
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}-4 \frac{d y}{d x}+4 y=e^{2 x}+\sin 2 x
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है:

\left(D^2-4 D+4\right) y=e^{2 x}+\sin 2 x
दिए हुए समीकरण का सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m^2-4 m+4=0 \\ \Rightarrow(m-2)^2=0 \\ \Rightarrow m=2,2
अतः C.F=(C_{1}+C_{2} x) e^{2 x}
पुनः P.I=\frac{1}{(D-2)^2}\left(e^{2 x}+\sin 2 x\right) \\ =\frac{1}{(D-2)^2} e^{2 x}+\frac{1}{(D-2)^2} \sin 2 x \\ =\frac{x^2}{2 !} e^{2 x}+\frac{1}{D^2-4 D+4} \sin 2 x \\ =\frac{x^2}{2} e^{2 x}+\frac{1}{(2 i)^2-4 D+4} \sin 2 x \\ =\frac{1}{2} x^2 e^{2 x}+\frac{1}{4 i^2-4 D+4} \sin 2 x \\ =\frac{1}{2} x^2 e^{2 x}+\frac{1}{-4-4 D+4} \sin 2 x \\ =\frac{1}{2} x^2 e^{2 x}-\frac{1}{4}\left[\frac{1}{D} \sin 2 x\right] \\ =\frac{1}{2} x^2 e^{2 x}+\frac{1}{8} \cos 2 x \\ \Rightarrow \text { P.I. }=\frac{1}{2} x^2 e^{2 x}+\frac{1}{8} \cos 2 x
अतः अवकल समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y=\left(C_1+C_2 x\right) e^{2 x}+\frac{1}{2} x^2 e^{2 x}+\frac{1}{8} \cos 2 x
Example:5. \left(D^2+a^2\right) y=\cos a x
Solution: \left(D^2+a^2\right) y=\cos a x
दिए हुए समीकरण का सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m^2+a^2=0 \\ \Rightarrow m= \pm a i
अतः C.F.=C_1 \cos a x+C_2 \sin a x
पुनः  P.I.=\frac{1}{\left(D^2+a^2\right)} \cos a x \\ \Rightarrow P \cdot I \cdot=\frac{x}{2 a} \sin a x \\ \left[\because \frac{1}{D^2+a^2} \cos a x=\frac{x}{2} \int \cos a x d x=\frac{x}{2 a} \sin a x\right]
अतः अवकल समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y=C_1 \cos a x+C_2 \sin a x+\frac{x}{2 a} \sin a x
Example:6. \left(D^2-5 D+6\right) y=\sin 3 x
Solution: \left(D^2-5 D+6\right) y=\sin 3 x
दिए हुए समीकरण का सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m^2-5 m+6=0 \\ \Rightarrow m^2-3 m-2 m+6=0 \\ \Rightarrow m(m-3)-2(m-3)=0 \\ \Rightarrow (m-2)(m-3)=0 \\ \Rightarrow m=2,3
अतः C.F.=C_{1} e^{2 x}+C_2 e^x
पुनः P.I.=\frac{1}{D^2-5 D+6} \sin 3 x \\ = \frac{1}{(3 i)^2-5 D+6} \sin 3 x \\ =\frac{1}{9 i^2-5 D+6} \sin 3 x \\ =\frac{1}{-9-5 D+6} \sin 3 x \\ =\frac{1}{-5 D-3} \sin 3 x \\ =-\frac{1}{(5 D+3)} \times \frac{(5 D-3)}{(5 D-3)} \sin 3 x \\ =-\frac{(5 D-3)}{25 D^2-9} \sin 3 x \\ =-\frac{(5 D-3) \sin 3 x}{25(3 i)^2-9} \\ =-\frac{(5 \times 3 \cos 3 x-3 \sin 3 x)}{25 \times 9 i^2-9} \\ =-\frac{(15 \cos 3 x-3 \sin 3 x)}{-225-9} \\ =\frac{1}{234}(15 \cos 3 x-3 \sin 3 x) \\ \Rightarrow \text{P.I.}=\frac{1}{234}(15 \cos 3 x-3 \sin 3 x)
अतः अवकल समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y=C_{1} e^{2 x}+C_2 e^{3 x}+\frac{1}{234}(15 \cos 3 x-3 \sin 3 x)
Example:7. \left(D^2+4\right) \cdot y=e^x+\sin 2 x
Solution: \left(D^2+4\right) \cdot y=e^x+\sin 2 x
दिए हुए समीकरण का सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m^2+4=0 \\ \Rightarrow m= \pm 2 i
अतः C.F.=C_{1} \cos 2 x+C_2 \sin 2 x
पुनः P.I.=\frac{1}{\left(D^2+4\right)}\left(e^x+\sin 2 x\right) \\ =\frac{1}{D^2+4} e^x+\frac{1}{D^2+4} \sin ^2 x \\ =\frac{1}{1^2+4} e^x+\left(-\frac{x}{2 \times 2}\right) \cos 2 x \\ \Rightarrow \text{P.I.}=\frac{1}{5} e^x-\frac{x}{4} \cos 2 x \\ \left[\because \frac{1}{D^2+a^2} \sin a x=\frac{x}{2} \int \sin a x d x=-\frac{x}{2 a} \cos a x\right]
अतः अवकल समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

Method to Find Out Particular Integral

Example:8. \frac{d^2 y}{d x^2}+9 y=\cos 2 x+\sin 2 x
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}+9 y=\cos 2 x+\sin 2 x
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है:

\left(D^2+9\right) y=\cos 2 x+\sin 2 x
दिए हुए समीकरण का सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m^2+9=0 \\ \Rightarrow m= \pm 3 i
अतः C.F. =C_1^{\prime} \cos 3 x+C_2^{\prime} \sin 3 x
पुनः P.I. =\frac{1}{D^2+9}(\cos 2 x+\sin 2 x) \\=\frac{1}{D^2+9} \cos 2 x+\frac{1}{D^2+9} \sin 2 x \\=\frac{1}{(2 i)^2+9} \cos 2 x+\frac{1}{(2 i)^2+9} \sin 2 x \\=\frac{1}{4 i^2+9} \cos 2 x+\frac{1}{4 i^2+9} \sin 2 x \\ =\frac{1}{-4+9} \cos 2 x+\frac{1}{-4+9} \sin 2 x \\ =\frac{1}{5}(\cos 2 x+\sin 2 x) \\ \Rightarrow \text {P.I. }=\frac{1}{5}(\cos 2 x+\sin 2 x)
अतः अवकल समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y=C_{1}^{\prime} \cos 3 x+C_2^{\prime} \sin 3 x+\frac{1}{5}(\cos 2 x+\sin 2 x)
माना C^{\prime}=C_1 \cos C_2  तथा  C_2^{\prime}=-C_1 \sin C_2 \\ y=C_1 \cos C_2 \sin 3 x-C_1 \sin C_2 \sin 3 x +\frac{1}{5}(\cos 2 x+\sin 2 x) \\ \Rightarrow y=C_1 \cos \left(3 x+C_2 \right)+\frac{1}{5}(\cos 2 x+\sin 2 x)
Example:9. \frac{d^2 y}{d x^2}-8 \frac{d y}{d x}+9 y=40 \sin 5x
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}-8 \frac{d y}{d x}+9 y=40 \sin 5x
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है:

\left(D^2-8 D+9\right) y=40 \sin 5 x
दिए हुए समीकरण का सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m^2-8 m+9=0 \\ m=\frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2-4 \times 1 \times 9}}{2 \times 1} \\ =\frac{8 \pm \sqrt{64-36}}{2} \\ =\frac{8 \pm \sqrt{28}}{2} \\ =\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2} \\ \Rightarrow m=4 \pm \sqrt{7}
अतः C.F.=C_1^{\prime} e^{(4+\sqrt{7}) x}+C_2^{\prime} e^{(4-\sqrt{7}) x} \\ =e^{4 x} \left(C_1^{\prime} e^{\sqrt{7 x}}+C_2^{\prime} e^{-\sqrt{7 x}}\right)
माना C_{1}^{\prime}=\frac{C_{1}}{2} e^{C_2} तथा C_2^{\prime}=\frac{C_{1}}{2} e^{-C_2} \\ \Rightarrow \text{C.F.}=e^{4 x}\left(\frac{C_1}{2} e^{C_2} e^{\sqrt{7 x}}+\frac{C_1}{2} e^{-C_2} e^{-\sqrt{7 x}}\right) \\ =C_{1} e^{4 x}\left(\frac{e^{\sqrt{7 x}+C_2}+e^{-\left(C_2+\sqrt{7} x\right)}}{2}\right) \\ \Rightarrow \text{C.F.}=C_1 e^{4 x} \cosh \left(\sqrt{7} x+C_2\right) \\ \left[\because \cosh x= \frac{e^x+e^{-x}}{2} \right]
पुनः P.I. = \frac{1}{D^2-8 D+9} 40 \sin 5 x \\ =40 \frac{1}{(5 i)^2-8 D+9} \sin 5 x \\ =40 \frac{1}{25 i^2-8 D+9} \sin 5 x \\ =40 \frac{1}{-25-8 D+9} \sin 5 x \\ =40\left(\frac{1}{-8 D-16}\right) \sin 5 x \\ =40\left(\frac{1}{-8 D-16}\right) \sin 5 x \\ =-\frac{40}{8}\left(\frac{D-2}{(D+2)(D-2)}\right) \sin 5 x \\ =-5\left(\frac{D-2}{D^2-4}\right) \sin 5 x \\ =-5 \frac{(D-2) \sin 5 x}{(5 i)^2-4} \\ =-\frac{5(5 \cos 5 x-2 \sin 5 x)}{-25 i^2-4} \\ =\frac{-5(5 \cos 5 x-2 \sin 5 x)}{-25-4} \\ \Rightarrow \text { P.I. }=\frac{5}{29}(5 \cos 5 x-2 \sin 5 x) \\ \Rightarrow \text { P.I. } =\frac{25}{29} \cos 5 x-\frac{10}{29} \sin 5 x
अतः अवकल समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y=C_{1} e^{4 x} \cosh \left(\sqrt{7} x+C_2\right)+\frac{25}{29} \cos 5 x-\frac{10}{29} \sin 5x
Example:18.समीकरण का हल ज्ञात कीजिए
(Find the solution of the equation)

\frac{d^2 x}{d t^2}+2 n \cos \alpha \frac{d x}{d t}+n^2 x=a \cos n t
जो कि इस प्रकार है कि (Which is such that)
t=0,x=0 और (and) \frac{dx}{dt}=0
Solution: \frac{d^2 x}{d t^2}+2 n \cos \alpha \frac{d x}{d t}+n^2 x=a \cos n t
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है:

\left(D^2+2 n \cos \alpha D+n^2\right) x=a \cos n t
दिए हुए समीकरण का सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m^2+2 n \cos \alpha \cdot m+n^2=0 \\ \Rightarrow m=\frac{-2 n \cos \alpha \pm \sqrt{(2 n \cos \alpha)^2-4 \times 1 \times n^2}}{2 \times 1} \\ =\frac{-2 n \cos \alpha \pm \sqrt{4 n^2 \cos ^2 \alpha-4 n^2}}{2} \\ =\frac{-2 n \cos \alpha \pm \sqrt{-4 n^2\left(1-\cos ^2 \alpha\right)}}{2} \\ =\frac{-2 n \cos \alpha \pm 2 n \sqrt{-\sin ^2 \alpha}}{2} \\ =\frac{-2(n \cos \alpha \mp n i \sin \alpha)}{2} \\ \Rightarrow m =-n \cos \alpha \pm n \sin \alpha
अतः C.F.=e^{-n t \cos \alpha}\left[C_1 \cos n(\sin \alpha) t+C_2 \sin n(\sin \alpha)t\right]
पुनः P.I. =\frac{1}{D^2+2 n \cos \alpha \cdot D+n^2} a \cos n t \\ =a \frac{1}{(n i)^2+2 n \cos \alpha \cdot D+n^2} a \cos n t \\=a\left(\frac{1}{n^2 i^2+2 n \cos \alpha \cdot D+n^2}\right) \cdot \cos n t \\ =a \frac{1}{-n^2+2 n \cos \alpha \cdot D+n^2} \cos n t \\ =\frac{a}{2 n \cos \alpha}\left(\frac{1}{D} \cos n t\right) \\ \Rightarrow \text { P.I. }=\frac{a}{2 n^2 \cos \alpha} \sin n t
अतः अवकल समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

x=e^{-n t \cos \alpha}\left[C_1 \cos n(\sin \alpha) t+C_2 \sin n(\sin \alpha) t\right] +\frac{a}{2 n^2 \cos \alpha} \sin n t \cdots(1)
जब t=0 तो x=0

\theta=e^0\left(c_1 \cos 0+C_2 \sin 0\right) \Rightarrow C_1=0
(1) का t के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d x}{d t}=-n \cos \alpha e^{-n t \cos \alpha}\left[C_1 \cos n(\sin \alpha) t+C_{2} \sin n(\sin \alpha) t\right]+e^{-n t \cos \alpha}[-C_{1} n \sin \alpha \sin n (\sin \alpha) t +C_{2} \sin \alpha \cos n (\sin \alpha) t]+\frac{a}{2 n \cos \alpha} \cos n t \\ \Rightarrow \frac{d x}{d t}=0,C_{1}=0 तथा t=0 रखने पर

0=-n \cos \alpha e^0[0 \cos 0+C_{2} \sin 0]+ e^0\left[-C_{1} n \sin \alpha \sin 0+C_2 n \sin \alpha \cos 0\right] +\frac{a}{2 n \cos \alpha} \cos 0 \\ \Rightarrow C_{2} n \sin \alpha+\frac{a}{2 n \cos \alpha}=0 \Rightarrow C_{2}=-\frac{a}{2 n^2 \cos \alpha \sin \alpha}
C_{1} का C_{2} मान समीकरण (1) में रखने पर:

x=e^{-n t \cos \alpha}\left[0 \cos n(\sin \alpha)+\left(\frac{-a}{2 n^2 \cos \alpha \sin \alpha} \right)\right] \sin n(\sin \alpha) t]+\frac{a}{2 n^2 \cos \alpha} \sin n t \\ \Rightarrow x=-a e^{-n t \cos \alpha} \frac{\sin n(\sin \alpha) t}{n^2 \sin 2 \alpha}+\frac{a \sin n t}{2 n^2 \cos \alpha}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की विधि (Method to Find Out Particular Integral),अवकल समीकरण में कुछ विशेष स्थितियों में विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की सरल विधि (Easy Method of Finding Out Particular Integral in Few Special Cases in DE) को समझ सकते हैं।

3.विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की विधि की समस्याएँ (Method to Find Out Particular Integral Problems):

Method to Find Out Particular Integral

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):

(1.) \frac{d^6 y}{d x^6}+y=\sin \frac{3x}{2} \cdot \sin \frac{1}{2} x
(2.) \left(D^3-5 D^2+7 D-3\right) y=e^{2 x} \cosh x
उत्तर (Answers): (1.)y=C_1 \cos \left(x+C_2\right)+C_3 e^{\left(\frac{\sqrt{3}}{4} x\right)} \cos \left(\frac{1}{2} x+C_4\right)+C_{5 } e^{\left(-\frac{\sqrt{3}}{4} x\right)} \cos \left(\frac{1}{2} x+ C_6\right)+\frac{1}{12} x \sin x +\frac{1}{126} \cos 2 x
(2.) y=\left(C_1+C_2 x\right) e^x+C_3 e^{3 x}+\frac{1}{8} x e^{3 x}-\frac{1}{8} x^2 e^x
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की विधि (Method to Find Out Particular Integral),अवकल समीकरण में कुछ विशेष स्थितियों में विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की सरल विधि (Easy Method of Finding Out Particular Integral in Few Special Cases in DE) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की विधि (Frequently Asked Questions Related to Method to Find Out Particular Integral),अवकल समीकरण में कुछ विशेष स्थितियों में विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की सरल विधि (Easy Method of Finding Out Particular Integral in Few Special Cases in DE) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की विधि (Method of Finding Particular Integral) ऐसी सरल विधि है
जिसके आधार पर अवकल समीकरणों के विशिष्ट समाकल आसानी से ज्ञात किए जा सकते हैं।