1.अवकल समीकरण में प्राचल विचरण विधि (Method of Variation of Parameter in DE),द्वितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations of Second Order):

अवकल समीकरण में प्राचल विचरण विधि (Method of Variation of Parameter in DE) विशिष्ट समाकल ज्ञात करने के लिए यह विधि सशक्त है।यह विधि उस रैखिक अवकल समीकरण का पूर्ण हल ज्ञात करने के प्रयोग में ली जाती है,जिसका सम्पूर्ण पूरक-फलन ज्ञात हो।हमने पूर्व में एक ऐसी विधि का अध्ययन किया जिसमें पूरक-फलन का केवल एक भाग होना आवश्यक था।अतः वह विधि इस विधि से ज्यादा अच्छी है क्योंकि इसमें सम्पूर्ण पूरक-फलन ज्ञात होना आवश्यक है जबकि उसमें इसका केवल एक भाग ही ज्ञात होना आवश्यक है।यह विधि उन समीकरणों का हल ज्ञात करने के प्रयोग में ली जाती है जहाँ उसका विशिष्ट समाकलन (P.I.) ज्ञात करना कठिन हो।
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2.अवकल समीकरण में प्राचल विचरण विधि के साधित उदाहरण (Method of Variation of Parameter in DE Solved Examples):

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
Example:1. $\frac{d^2 y}{d x^2}+4 y=4 \tan 2 x$
Solution: $\frac{d^2 y}{d x^2}+4 y=4 \tan 2 x \cdots(1)$ 
दिए हुए समीकरण का पूरक-फलन (C.F.) होगाः

$y=c_{1}^{\prime} \cos 2 x+c_{2}^{\prime} \sin 2 x \cdots(2)$
मान लो दिए हुए समीकरण का पूर्ण हल हैः

$y=A \cos 2 x+B \sin 2 x \cdots(3)$
जहाँ A तथा B,x के फलन हैं।

$\frac{d y}{d x}= -2 A \sin 2 x+2 B \cos 2 x+\cos 2 x \frac{d A}{d x} +\sin 2 x \frac{d B}{d x} \cdots(4)$
माना $\cos 2 x \frac{d A}{d x}+\sin 2 x \frac{d B}{d x}=0 \cdots(5)$
तब $\frac{d y}{d x}=-2 A \sin 2 x+2 B \cos 2 x$
तथा $\frac{d^2 y}{x^2}=-4 A \cos 2 x-4 B \sin 2 x-2 \sin 2 x \frac{d A}{d x}+2 \cos 2 x \frac{d B}{d x} \cdots(6)$
अब (3) से y तथा इसके अवकलजों (derivatives) के मान समीकरण (1) में रखने परः

$-4 A \cos 2 x-4 B \sin 2 x-2 \sin 2 x \frac{d A}{d x}+ 2 \cos 2 x \frac{d B}{d x}+4 A \cos 2 x+4 B \sin 2 x=4 \tan 2 x \\ -2 A_1 \sin 2 x+2 B_1 \cos 2 x=4 \tan 2 x \\ \Rightarrow-2 A_1 \sin 2 x+2 B_1 \cos 2 x-4 \tan 2 x=0 \cdots(7) \\ A_1 \cos 2 x+B_1 \sin 2 x+0=0 \cdots(5)$
(7) व (5) को हल करने परः
$\frac{A_1}{0+4 \sin 2 x \tan 2 x}=\frac{B_1}{-4 \cos 2 x \tan 2 x+0}=\frac{1}{-2 \sin ^2 2 x-2 \cos ^2 2 x} \\ \Rightarrow \frac{A_1}{2 \sin 2 x \tan 2 x}=\frac{B_1}{-2 \cos 2 x \tan 2 x}=\frac{-1}{1} \\ A_1=-2 \sin 2 x \tan 2 x$ तथा $B_1=2 \sin 2 x$
इनका समाकलन करने परः

$\frac{dA}{dx}=-2 \sin 2x \tan 2x \\ \Rightarrow \int d A=-2 \int \sin 2 x \tan 2 x d x \\ \Rightarrow A=-2 \sin \int \frac{\sin^2 2 x}{\cos 2 x} d x \\ \Rightarrow A=-2 \int \frac{1-\cos ^2 2 x}{\cos 2 x} d x \\ \Rightarrow A=-2 \int \sec 2 x d x+2 \int \cos 2 x d x \\ \Rightarrow A=-\log (\sec 2 x+\tan 2 x)+\sin 2 x+C_3 \\ B_{1}=2 \sin 2 x \\ \frac{d B}{d x}=2 \sin 2 x \\ \int d B=\int 2 \sin 2 x d x \\ \Rightarrow B=-\cos 2 x+c_{4}$
A व B का मान समीकरण (3) में रखने परः

$y=\left[(-\log (\sec 2 x+\tan 2 x)+\sin 2 x+c_3\right] \cos 2 x +(- \cos 2x+c_{4}) \sin 2x\\ \Rightarrow y=c_3 \cos 2 x+c_4 \sin 2 x -\log (\sec 2x+\tan 2 x)$
Example:2(a). $\frac{d^2 y}{d x^2}+y=cosec x$
Solution:$\frac{d^2 y}{d x^2}+y=cosec x \cdots(1)$
दिए हुए समीकरण का पूरक-फलन (C.F.) होगाः

$y=a \cos x+b \sin x \cdots(2)$
मान लो दिए हुए समीकरण का पूर्ण हल हैः

$y=A \cos x+B \sin x \cdots(3)$
जहाँ A तथा B,x के फलन हैं।

$\frac{d y}{d x}=-A \sin x+B \cos x+\cos x \frac{d A}{d x}+\sin x \frac{d B}{d x} \cdots(4)$
माना $\cos x \frac{d A}{d x}+\sin x \frac{d B}{d x}=0 \cdots(5)$
तब $\frac{d y}{d x}=-A \sin x+B \cos x$
तथा $\frac{d^2 y}{d x^2}=-A \cos x-B \sin x- \sin \frac{d A}{d x}+\cos x \frac{d B}{d x} \cdots(6)$
अब (3) से y तथा इसके अवकलजों (derivatives) के मान समीकरण (1) में रखने परः

$-A \cos x-B \sin x-\sin x \frac{d}{d x}+\cos x \frac{d B}{d x}+A \cos x + B \sin x =\operatorname{cosec} x \\ \Rightarrow-A_{1} \sin x-B_{1} \cos x-\operatorname{cosec} x=0 \cdots(7) \\ A_{1}\cos x+B_{1} \sin x+0=0 \cdots(5)$
(7) व (5) को हल करने परः
$\frac{A_1}{0+1}=\frac{B_1}{-\cot x+0}=\frac{1}{-\sin ^2 x-\cos ^2 x} \\ \Rightarrow \frac{A_1}{1}=\frac{B_1}{-\cot x}=\frac{1}{-1} \\ \Rightarrow A_1=-1$ तथा $B_1=\cot x$
इनका समाकलन करने परः

$\frac{d A}{d x}=-1 \Rightarrow \int d A=-\int d x \Rightarrow A=-x+c_{1} \\ \frac{d B}{d x}=\cot x \Rightarrow \int d B=\int \cot x d x \\ \Rightarrow B=\log \sin x+c_2$
A व B का मान समीकरण (3) में रखने परः

$y=(-x+c_{1}) \cos x+(\log \sin x+c_{2}) \sin x \\ \Rightarrow y=c_{1} \cos x+c_2 \sin x-x \cos x+\sin x \log \sin x$
Example:2(b). $\frac{d^2 y}{d x^2}+a^2 y=\operatorname{cosec} a x$
Solution:$\frac{d^2 y}{d x^2}+a^2 y=\operatorname{cosec} a x \cdots(1)$ 
दिए हुए समीकरण का पूरक-फलन (C.F.) होगाः

$y=c^{\prime} \cos a x+c^{\prime \prime} \sin a x \cdots(2)$
मान लो दिए हुए समीकरण का पूर्ण हल हैः

$y=A \cos a x+B \sin a x \cdots(3)$
जहाँ A तथा B,x के फलन हैं।

$\frac{d y}{d x}=-A a \sin a x+B a \cos a x+\cos ax \frac{d A}{d x} +\sin a x \frac{d B}{d x} \cdots(4)$
माना $\cos a x \frac{d A}{d x}+\sin a x \frac{d B}{d x}=0 \cdots(5)$ 
तब $\frac{d y}{d x}=-A a \sin a x+B a \cos a x$
तथा $\frac{d y}{d x}=-A a^2 \cos a x-B a^2 \sin a x-a \sin ax \frac{d A}{d x}+a \cos a x \frac{d B}{d x} \cdots(6)$
अब (3) से y तथा इसके अवकलजों (derivatives) के मान समीकरण (1) में रखने परः

$-A a^2 \cos a x-B a^2 \sin a x-a \sin a x \frac{d A}{d x}+a \cos a x \frac{d B}{d x}+A a^2 \cos a x+B a^2 \sin a x=\operatorname{cosec} a x \\ \Rightarrow-A_{1} a \sin a x+B_{1} a \cos a x- \operatorname{cosec} a x=0 \cdots(7) \\ A_{1} \cos a x+B_{1} \sin a x+0=0 \cdots(5)$
(7) व (5) को हल करने परः
$\frac{A_1}{0+1}=\frac{B_1}{-\cot ax+0}=\frac{1}{-a \sin ^2 a x-a \cos ^2 ax} \\ \Rightarrow \frac{A_1}{1}=\frac{B_1}{-\cot ax}=\frac{1}{-a} \\ \Rightarrow A_1=-\frac{1}{a}$ तथा $B_1=\frac{1}{a} \cot ax$
इनका समाकलन करने परः

$\frac{d A}{d x}=-\frac{1}{a} \Rightarrow \int d A=\frac{1}{a} \int 1 d x \\ \Rightarrow A=-\frac{x}{a}+c_{1} \\ \frac{d B}{d x}=\frac{1}{a} \cot ax \\ \Rightarrow \int d B=\frac{1}{a} \int \cot ax d x \\ \Rightarrow B=\frac{1}{a^2} \log (\sin a x)+c_{2}$
A व B का मान समीकरण (3) में रखने परः

$y=\left(-\frac{x}{a}+c_{1}\right) \cos a x+\left(\frac{1}{a^2} \log (\sin x)+c_{2}\right) \\ \Rightarrow y=c_{1} \cos a x+c_{2} \sin a x-\frac{x}{a} \cos a x+\frac{1}{a^{2}} \sin a x \log (\sin ax)$
Example:3. $\frac{d^2 y}{d x^2}-3 \frac{d y}{d x}+2 y=\frac{e^x}{1+e^x}$
Solution: $\frac{d^2 y}{d x^2}-3 \frac{d y}{d x}+2 y=\frac{e^x}{1+e^x} \cdots(1)$
दिए हुए समीकरण का पूरक-फलन (C.F.) होगाः

$y=a e^x+b e^{2 x} \cdots(2)$
मान लो दिए हुए समीकरण का पूर्ण हल हैः

$y=A e^x+B e^{2 x} \cdots(3)$
जहाँ A तथा B,x के फलन हैं।

$\frac{d y}{d x}=A e^x+2 B e^{2 x}+e^x \frac{d A}{d x}+e^{2 x} \frac{d B}{d x} \cdots(4)$
माना $e^x \frac{d A}{d x}+e^{2 x} \frac{d B}{d x}=0 \cdots(5)$
तब $\frac{d y}{d x}=A e^x+2 B e^{2 x}$
तथा $\frac{d^{2 y}}{d x^2}=A e^x+4 B e^{2 x}+e^{x} \frac{d A}{d x}+2 e^{2 x} \frac{d B}{d x} \cdots(6)$
अब (3) से y तथा इसके अवकलजों (derivatives) के मान समीकरण (1) में रखने परः

$A e^x+4 B e^{2 x}+e^x \frac{d A}{d x}+2 e^{2 x} \frac{d B}{d x}-3 A e^x-6 B e^{2 x} +2 A e^x+2 B e^{2 x}=\frac{e^x}{1+e^x} \\ \Rightarrow A_{1} e^x+2 B_{1} e^{2 x}-\frac{e^x}{1+e^x}=0 \ldots(7) \\ A_{1} e^x+B_{1} e^{2 x}+0=0 \ldots(5)$
(7) व (5) को हल करने परः
$\frac{A 1}{\frac{e^{3 x}}{1+e^x}}=\frac{B_1}{-\frac{e^{2 x}}{1+e^{x}}+0}=\frac{1}{e^{3 x}-2 e^{3 x}} \\ \frac{A_1}{\left(\frac{e^{3 x}}{1+e^x}\right)}=\frac{B_1}{\left(\frac{-e^{2x}}{1+e^x}\right)}=\frac{1}{-e^{3 x}} \\ \Rightarrow A_1=-\frac{1}{1+e^x} तथा B_1=\frac{e^x}{1+e^x}$
इनका समाकलन करने परः

$\frac{d A}{d x}=-\frac{1}{1+e^x} \\ \Rightarrow \int d A=\int-\frac{1}{1+e^x} d x \\ \Rightarrow A=\int-\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}} d x \\ \Rightarrow A=\log \left(1+e^{-x}\right)+c_{1} \\ \frac{d B}{d x}=\frac{1}{e^x\left(1+e^x\right)} \\ \Rightarrow \int d B=\frac{1}{\left(1+e^x\right) e^x} \\ \Rightarrow B=-e^{-x} +\log \left(1+e^{-x}\right)+c_{2}$
A व B का मान समीकरण (3) में रखने परः

$y=\left[\log \left(1+e^{-x}\right)+c_{1}\right] e^x+ \left[-e^{-x} + \log \left(1+e^{-x} \right)+c_{2}\right] e^{2 x} \\ \Rightarrow y=c_{1} e^x+c_{2} e^{2 x}-e^x+\left(e^x+e^{2 x}\right) \log \left(1+e^{-x}\right)$

Example:4. $\frac{d^{2}y}{d x^2}-2 \frac{d y}{d x}=e^x \sin x$
Solution: $\frac{d^2 y}{d x^2}-2 \frac{d y}{d x}=e^x \sin x \cdots(1)$
दिए हुए समीकरण का पूरक-फलन (C.F.) होगाः

$y=a+b e^{2 x} \ldots(2)$
मान लो दिए हुए समीकरण का पूर्ण हल हैः

$y=A+B e^{2 x} \cdots(3)$
जहाँ A तथा B,x के फलन हैं।

$\frac{d y}{d x}=2 B e^{2 x}+\frac{d A}{d x}+e^{2 x} \frac{d B}{d x} \cdots(4)$
माना $\frac{d A}{d x}+e^{2 x} \frac{d B}{d x}=0 \cdots(5)$
तब $\frac{d y}{d x}=2 B e^{2 x}$
तथा $\frac{d^2 y}{d x^2}=4 B e^{2 x}+2 e^{2 x} \frac{d B}{d x} \cdots(6)$
अब (3) से y तथा इसके अवकलजों (derivatives) के मान समीकरण (1) में रखने परः

$4 B e^{2 x}+2 e^{2 x} \frac{d B}{d x}-4 B e^{2 x}=e^x \sin x \\ \Rightarrow 0 \cdot A_1+2 B_1 e^{2 x}-e^x \sin x=0 \cdots(7) \\ A_1+B_1 e^{2 x}+0=0 \cdots(5)$
(7) व (5) को हल करने परः

$\frac{A_1}{0+e^{3 x} \sin x}=\frac{B_1}{-e^x \sin x+0}=\frac{1}{0-2 e^{2 x}} \\ \Rightarrow \frac{A_1}{e^{3 x} \sin x}=\frac{B_{1}}{-e^x \sin x}=\frac{1}{-2 e^{2 x}} \\ A_1=-\frac{1}{2} e^x \sin x$ तथा $B_1=e^{-x} \sin x$

इनका समाकलन करने परः

$\frac{d A}{d x}=-\frac{1}{2} e^x \sin x \\ \int d A=-\frac{1}{2} \int e^x \sin x d x \\ \Rightarrow A=-\frac{1}{4} e^x \sin x+\frac{1}{4} e^x \cos x+c_{1} \\ \frac{d B}{d x}=e^{-x} \sin x \Rightarrow \int d B=\int e^{-x} \sin x d x \\ \Rightarrow B=-\frac{1}{4} e^{-x}-\frac{1}{4} e^{-x} \cos x+c_{2}$
A व B का मान समीकरण (3) में रखने परः

$y=-\frac{1}{4} e^x \sin x+\frac{1}{4} e^x \cos x+c_{1}+\left(-\frac{1}{4} e^{-x}-\frac{1}{4} e^{-x} \cos x+c_2\right) e^{2 x} \\ \Rightarrow y=c_1+c_2 e^{2 x}-\frac{1}{2} e^x \sin x$
Example:5. $\left(1-x^2\right) \frac{d^2 y}{d x^2}-4 x \frac{d y}{d x}-\left(1+x^2\right) y=x$
Solution: $\left(1-x^2\right) \frac{d x^2}{d x^2}-4 x \frac{d y}{d x}-\left(1+x^2\right) y=x$
समीकरण को मानक रूप में रखने परः

$\frac{d^2 y}{d x^2}-\frac{4 x}{1-x^2} \frac{d y}{d x}-\frac{1+x^2}{1-x^2} y=\frac{x}{1-x^2} \cdots(1)$
यहाँ $P=-\frac{4 x}{1-x^2}$ तथा $Q=-\frac{1+x^2}{1-x^2}, R=\frac{x}{1-x^2}$
अब सामान्य रूप में (Normal Form) में रखने के लिए u इस प्रकार चुनें कि

$u=e^{-\frac{1}{2} \int P d x} =e^{-\frac{1}{2} \int\left(-\frac{4 x}{1-2 x}\right) d x} \\ =e^{\int \frac{2 x}{1-x^2} d x}=e^{-\log \left(1-x^2\right)} \\ \Rightarrow u=\frac{1}{1-x^2}$
अब (1) में y=vu रखने पर यह निम्न रूप में परिवर्तित हो जाता हैः

$\frac{d^2 V}{d x^2}+I V=S \cdots (2)$
जहाँ $I=Q-\frac{1}{4} P^2-\frac{1}{2} \frac{d P}{d x} \\ =-\frac{1+x^2}{1-x^2}-\frac{1}{4} \times \frac{16 x^2}{\left(1-x^2\right)^2}+\frac{4}{2}\left[\frac{\left(1-x^2\right) \cdot 1-x(-2 x)}{\left(1-x^2\right)^{2}}\right] \\ =\frac{-\left(1+x^2\right)}{1-x^2}-\frac{4 x^2}{\left(1-x^2\right)^2}+\frac{2+2 x^2}{\left(1-x^2\right)^2} \\ =\frac{-1+x^4-4 x^2+2+2 x^2}{\left(1-x^2\right)^2} \\ =\frac{1-2 x^2+x^4}{\left(1-x^2\right)^2}=\frac{\left(1-x^2\right)^2}{\left(1-x^2\right)^2}=1 \\ \Rightarrow I=1 \\ \Rightarrow I=\frac{R}{u}=\frac{\frac{x}{1-x^2}}{\frac{1}{1-x^2}}=x$
अतः (2) सेः $\frac{d^2 v}{d x^2}+v=x \cdots(3)$
समीकरण (3) का पूरक-फलन (C.F.) होगाः

$v=A \cos x+B \sin x \cdots(4)$
जहाँ A तथा B,x के फलन हैं।

$\frac{d v}{d x}=-A \sin x+B \cos x+\cos x \frac{d A}{d x} +\sin x \frac{d B}{d x} \cdots(5)$
माना $\cos x \frac{d A}{d x}+\sin x \frac{d B}{d x}=0 \cdots(6)$
तब $\frac{d v}{d x}=-A \sin x+B \cos x$
तथा $\frac{d^{2}v}{d x^2}=-A \cos x-B \sin x-\sin x \frac{d A}{d x} +\cos x \frac{d B}{d x} \ldots(7)$
अब (4) से v तथा इसके अवकलजों (derivatives) के मान समीकरण (3) में रखने परः

$-A \cos x-B \sin x-\sin x \frac{d A}{d x}+\cos x \frac{d B}{d x} + A \cos x+B \sin x=x \\ \Rightarrow-A_1 \sin x+B_{1} \cos x-x=0 \cdots(8) \\ A_{1} \cos x+B_{1} \sin x+0=0 \ldots(6)$
(8) व (6) को हल करने परः
$\frac{A_{1}}{0+x \sin x}=\frac{B 1}{-x \cos x+0}=\frac{1}{-\sin ^2 x-\cos ^2 x} \\ \Rightarrow \frac{A_1}{x \sin x}=\frac{B_{1}}{-x \cos x}=\frac{1}{-1} \\ \Rightarrow A_1=-x \sin x$ तथा $B_1=x \cos x$
इनका समाकलन करने परः

$\frac{d A}{d x}=-x \sin x \\ \Rightarrow \int d A=-\int x \sin x d x \\ \Rightarrow A=x \cos x-\sin x+c_{1} \\ \frac{dB}{dx}=x \cos x \\ \Rightarrow \int d B=\int x \cos x d x \\ \Rightarrow B=x \sin x+\cos x+c_2$
A व B का मान समीकरण (4) में रखने परः

$v=(x+\cos x-\sin x+c_{1}) \cos x+(x \sin x +\cos x+c_{2}) \sin x \\ \Rightarrow v= x+c_{1} \cos x+c_2 \sin x$
अतः समीकरण (1) का पूर्ण हल हैः

$y =v x \\ \Rightarrow y =(x+c_{1} \cos x+c_{2} \sin x)\left(\frac{1}{1-x^2}\right)$
Example:6. $\left(1-x^2\right) \frac{d^2 y}{d x^2}+x \frac{d y}{d x}-y=x\left(1-x^2\right)^{\frac{3}{2}}$
Solution: $\left(1-x^2\right) \frac{d^2 y}{d x^2}+x \frac{d y}{d x}=x\left(1-x^2\right)^{\frac{3}{2}}$
समीकरण को मानक रूप में रखने परः

$\frac{d^2 y}{d x^2}+\frac{x}{1-x^2} \frac{d y}{d x} -\frac{y}{1-x^2}=x \sqrt{1-x^2} \cdots(1)$

यहां  $P=\frac{x}{1-x^2}$ तथा $Q=\frac{-1}{1-x^2}, R=x \sqrt{1-x^2} \\ P+Q x=\frac{x}{1-x^2}-\frac{x}{1-x^2}=0$
अतः y=x पूरक फलन का एक भाग है
अतः दिए हुए समीकरण को निम्न रूप में लिखने परः

$\frac{d^2 y}{d x^2}+\frac{x}{1-x^{2}} \frac{d y}{d x}-\frac{y}{1-x^2}=0 \cdots(2)$
इसका पूर्ण हल हैः

$y=vx \\ \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$ तथा  $\frac{d^2 y}{d x^2}=x \frac{d^2 v}{dx^{2}}+2\frac{d v}{d x}$
अब (3) से y तथा इसके अवकलजों के मान (2) में रखने परः

$x \frac{d^2 v}{d x^2}+2 \frac{d v}{d x}+\frac{x}{1-x^2}\left(v+x \frac{d v}{d x}\right)-\frac{v x}{1-x^2}=0 \\ \Rightarrow x \frac{d^2 v}{dx^2}+2 \frac{d v}{d x}+\frac{v x}{1-x^2}+\frac{x^2}{1-x^2} \frac{dv}{dx}-\frac{v x}{1-x^2}=0 \\ \Rightarrow x \frac{d^2 v}{d x^2}+\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right) \frac{d v}{d x}=0 \\ \Rightarrow \frac{d^2 v}{d x^2}+\left(\frac{2}{x^2}+\frac{x}{1-x^2} \right)\frac{dv}{dx}=0 \cdots(4)$
पुनः माना कि $\frac{d v}{d x}=p$ तब $\frac{d^2 v}{d x^2}=\frac{d p}{d x}$
(4) सेः $\frac{d P}{d x}+\left(\frac{2}{x}+\frac{x}{1-x^2}\right) P=0 \\ \Rightarrow d P+\left(\frac{2}{x}+\frac{x}{1-x^2}\right) d x=0$
समाकलन करने परः

$\int \frac{d p}{p}+\int \left(\frac{2}{x}+\frac{x}{1-x^2}\right) d x=0 \\ \Rightarrow \log p+2 \log x-\frac{1}{2} \log \left(1-x^2\right)=\log c_{1} \\ \Rightarrow \log p+\log \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\log c_{1} \\ \Rightarrow p=c_{1} \frac{\sqrt{1-x^2}}{x^2} \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}=c_{1} \frac{\sqrt{1-x^2}}{x^2}$
पुनः समाकलन करने परः

$\Rightarrow \int d v=c_{1} \int \frac{\sqrt{1-x^2}}{x^2} dx \\ \Rightarrow v=c_{1}\left[-\sqrt{1-x^2}\left( \frac{1}{x}\right)-\int \frac{1}{2}\left(1-x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}(-2 x) \left(-\frac{1}{x}\right) d x\right]+c_{2} \\ \Rightarrow v=-c_{1}\left[\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}+\sin ^{-1} x+c_{2}\right]$
अतः समीकरण (2) का पूरक फलन हैः

$y=vx \\ \Rightarrow y=-c_{1}\left[\sqrt{1-x^2}+x \sin ^{-1} x\right]-c_{1} c_{2} x$
माना $y=A\left[\sqrt{1-x^2}+x \sin ^{-1} x\right]+B x \cdots(5) \\ \frac{d y}{d x}=A\left[\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+\sin ^{-1} x\right]+B+\left[ \sqrt{1-x^2}+x \sin ^{-1} x\right] \frac{d A}{d x}+x \frac{d B}{d x} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}= A \sin ^{-1} x+B+[\sqrt{1-x^{2}}+x \sin^{-1} x]\frac{dA}{dx} +x \frac{d B}{d x} \cdots(6)$
माना $\left[\sqrt{1-x^2}+x \sin ^{-1} x\right] \frac{d A}{d x}+x \frac{d B}{d x}=0 \cdots(7)$
तब $\frac{d y}{d x}=A \sin^{-1}x+B$
तथा $\frac{d^2 y}{d x^2}=\frac{A}{\sqrt{1-x^2}}+\sin^{-1} x \frac{d A}{d x}+\frac{d B}{d x} \cdots(8)$
अब (5) से y तथा इसके अवकलजों के मान समीकरण (1) में रखने परः

$\frac{A}{\sqrt{1-x^2}}+\sin ^{-1} x \frac{d A}{d x}+\frac{d B}{d x}+\left(\frac{x}{1-x^{2}}\right)(A \sin^{-1} x+B)-\frac{1}{1-x^2}\left[A \left(\sqrt{1-x^2} +x \sin^{-1} x\right)+B x\right]=x \sqrt{1-x^2} \\ \Rightarrow \frac{A}{\sqrt{1-x^2}}+\sin ^{-1} x \frac{d A}{d x}+\frac{d B}{d x}+\frac{A x \sin^{-1} x}{1-x^{2}} +\frac{Bx}{1-x^2}-\frac{A}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{A x \sin^{-1}x}{\left(1-x^2\right)}-\frac{Bx}{1-x^2}=x \sqrt{1-x^2} \\ \Rightarrow A_1 \sin^{-1} x+B_1-x \sqrt{1-x^2}=0 \cdots(9) \\ A_1\left[\sqrt{1-x^2}+x^{2} \sin ^{-1}x\right]+x B_1 =0 \cdots(7)$
(7) व (9) को हल करने परः

$\frac{A_{1}}{x^2 \sqrt{1-x^2}}=\frac{B_{1}}{-x\left(1-x^2\right)-x^2 \sqrt{1-x^2} \sin x}= \frac{1}{x \sin^{-1} x-\sqrt{1-x^2}-x \sin^{-1} x} \\ \Rightarrow \frac{A_1}{x^2 \sqrt{1-x^2}}=\frac{B_1}{-x \sqrt{1-x^2} \left(\sqrt{1-x^2}+x \sin^{-1} x\right)}=\frac{1}{-\sqrt{1-x^2}} \\ \Rightarrow A_1=-x^2$ तथा $B_1=x\left(\sqrt{1-x^2}+x \sin^{-1} x\right)$
इनका समाकलन करने परः

$d A=-x^2 \Rightarrow \int d A=-\int x^2 d x \\ \Rightarrow A=-\frac{1}{3} x^3+c_{1} \\ \frac{d B}{d x}=x \sqrt{1-x^2}+x^2 \sin ^{-1} x \\ \int d B=\int x \sqrt{1-x^{2}} d x+\int x^2 \sin ^{-1} x d x \\ B=\int x \sqrt{1-x} d x+\frac{1}{3} x^3 \sin^{-1} x-\int \frac{1}{3} x^3 \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x+c_{2} \\ =\int x \sqrt{\left(1-x^2\right)} d x+\frac{1}{3} x^3 \sin ^{-1} x+\frac{1}{3} \int \frac{x\left(1-x^2-1\right)}{\sqrt{1-x^{2}}} d x+c_{2} \\=\frac{4}{3} \int x \sqrt{1-x^2} d x-\frac{1}{3} \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} d x+ \frac{1}{3} x^3 \sin^{-1} x+c_{2} \\ =-\frac{2}{3} \frac{\left(1-x^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+\frac{1}{3}\left(1-x^2\right)^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{3} x^3 \sin^{-1} x+c_{2} \\ B=-\frac{4}{9}\left(1-x^2 \right)^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{3}\left(1-x^2\right)^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{3} x^3 \sin^{-1} x+c_{2}$
A तथा B का मान समीकरण (5) में रखने परः

$y=\left(-\frac{1}{3} x^3+c_{1}\right)\left[\sqrt{\left(1-x^2\right)}+x \sin ^{-1} x\right]+ \left[-\frac{4}{9}\left(1-x^3\right)^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{3}\left(1-x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{3} x^3 \sin^{-1} x+c_{2}\right] x \\ =c_{1}\left[ \sqrt{1-x^2}+x \sin^{-1} x\right]+c_{2} x+\frac{1}{3} x\left(1+x^2\right) \sqrt{1-x^2}-\frac{4}{9} x\left(1-x^2\right)^{\frac{3}{2}} \\ y=c_{1}\left[\sqrt{\left(1-x^2\right)}+x \sin^{-1}x \right]+c_{2} x-\frac{1}{9} x\left(1-x^3\right)^{\frac{3}{2}}$
Example:7. $x^2 \frac{d^2 y}{d x^2}-2 x(1+x) \frac{d y}{d x}+2(1+x)y=-4 x^5$
Solution: $x^2 \frac{d^2 y}{d x^2}-2 x(1+x) \frac{d y}{d x}+2(1+x) y=-4 x^5$
दिए हुए समीकरण को मानक रूप में लिखने परः

$\frac{d^2 y}{d x^2}-\frac{2(1+x)}{x} \frac{d y}{d x}+\frac{2(1+x)}{x^2} y=-4 x^3 \cdots(1)$
दिए हुए समीकरण का पूरक-फलन (C.F.) ज्ञात करने के लिए सर्वप्रथम हम निम्न समीकरण को हल करेंगेः

$\frac{d^2 y}{d x^2}-\frac{2(1+x)}{x} \frac{d y}{d x}+\frac{2(1+x)}{x^2} y=0 \cdots(2)$
यहाँ $P=\frac{-2(1+x)}{x}$  तथा $Q=\frac{2(1+x)}{x^2}  \\ P+Q x=-\frac{2(1+x)}{x}+\frac{2(1+x)}{x}=0$
अतः y=x पूरक फलन का एक भाग है।

मान लो समीकरण (2) का हल है
$y=v x \cdots(3)\\ \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$ तथा $\frac{d^2 y}{dx^2}=x \frac{d^2 v}{d x^{2}}+\frac{2 d v}{d x}$
अब (3) से y तथा y के अवकलजों के मान (2) में रखने पर हमें प्राप्त होता हैः

$x \frac{d^2 v}{d x^2}+\frac{2 d v}{d x}-\frac{2(1+x)}{x}\left(v+x \frac{d v}{d x}\right)+\frac{2(1+x)v}{x}=0 \\ \Rightarrow x \frac{d^2 v}{d x^2}+2 \frac{d v}{d x}-\frac{2(1+x)v}{x}-2(1+x) \frac{d v}{d x}+ \frac{2(1+x)v}{x}=0 \\ \Rightarrow x \frac{d^2 v}{d x^2}-2 x \frac{d v}{d x}=0 \\ \Rightarrow \frac{d^2 v}{dx^2}-2 \frac{d v}{d x}=0 \\ \Rightarrow\left(D^2-2D \right) v=0 \\ \Rightarrow m^2-2 m=0 \Rightarrow m=0,2 \\ \therefore v=c_1+c_{2} \cdot e^{2 x}$
अतः पूरक फलन $y=v x=\left(c_1+c_{2}e^{2 x}\right) x \\ \Rightarrow y=c_1 x+c_2 x e^{2x}$
पुनः माना दिए हुए समीकरण का पूर्ण हल हैः

$y=A x+B x e^{2 x} \ldots(4) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=A+B e^{2 x}+2 B x e^{2 x}+x \frac{d A}{d x}+x e^{2x} \frac{dA}{d x}$
मान लो $x \frac{d A}{d x}+x e^{2 x} \frac{d B}{d x}=0 \cdots(5)$
तब $\frac{d y}{d x}=A+B e^{2 x}+2 B x e^{2 x}$
तथा $\frac{d^{2}y}{d x^2}= \frac{d A}{d x}+\frac{dB}{dx}e^{2 x}+4 B e^{2 x}+2 \frac{d B}{dx}xe^{2x}+4 Bx e^{2x}$
अब (4) से y तथा इसके अवकलजों (derivatives) के मान दिए हुए समीकरण (1) में रखने पर हमें प्राप्त होता हैः

$\frac{d A}{d x}+\frac{d B}{d x} e^{2 x}+4 B e^{2 x}+2 \frac{d B}{d x} x e^{2 x}+4 B x e^{2 x} -\frac{2(1+x)}{x}\left(A+B e^{2 x}+2 B x e^{2 x}\right)+\frac{2(1+x)}{x^2} \left(A x+B x^{2} e^{x}\right)=-4 x^3 \\ \Rightarrow \frac{d A}{d x}+\frac{d B}{d x} e^{2 x}+4 B e^{2 x}+2 \frac{d B}{d x} x e^{2 x} +4 B x e^{2 x}-\frac{2 A}{x}-2 A-2 B e^{2 x}-2 B e^{2 x} -4 B e^{2 x}-4 B x e^{2 x}+\frac{2A}{x}+2 A+\frac{2 B e^{2 x}}{x} +2 B e^{2 x}=-4 x^3 \\ A_1+(1+2x) e^{2 x}B_1+4 x^3=0 \cdots(6) \\ A_1 x+x e^{2 x} B_1+0=0 \cdots\left(5\right)$
(5) व (6) को हल करने परः
$\frac{A_{1}}{-4 x^4 e^{2 x}}=\frac{B_1}{4 x^4-0}=\frac{1}{x e^{2 x}-x\left(1+2x^{2}\right) e^{2 x}} \\ \Rightarrow \frac{A_{1}}{-4 x^4 e^{2 x}}=\frac{B_1}{4 x^4}=\frac{1}{-2 x^2 e^{2 x}} \\ \Rightarrow A_1=2x^2$ तथा $B_1=-2x^2 e^{-2 x}$
इनका समाकलन करने परः

$\frac{d A}{d x}=2x^2 \Rightarrow \int d A=\int 2 x^2 d x \\ \Rightarrow A=\frac{2}{3} x^3+c_{1} \\ \frac{d B}{d x}=-2x^2 e^{-2 x} \Rightarrow \int d B=\int\left(-2 x^{2} e^{-2 x}\right) dx \\ \Rightarrow B=x^2 e^{-2 x}-2 \int x e^{-2 x} d x \\ B=x^2 e^{-2 x}+x e^{-2 x}+\frac{1}{2} e^{-2 x}+c_2$
A व B का मान समीकरण (4) में रखने परः

$y=\left(\frac{2}{3} x^3+c_{1}\right) x+\left(x^2 e^{-2 x}+x e^{-2 x}+\frac{1}{2} e^{-2 x}+c_2\right) x e^{2 x} \\ \Rightarrow B=c_{1} x+c_2 x e^{2 x}+\frac{2}{3} x^4+x^3+x^2+\frac{1}{2} x$
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अवकल समीकरण में प्राचल विचरण विधि (Method of Variation of Parameter in DE),द्वितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations of Second Order) को समझ सकते हैं।

3.अवकल समीकरण में प्राचल विचरण विधि पर आधारित सवाल (Questions Based on Method of Variation of Parameter in DE):

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):

(1.) $y_2-3 y_1+2 y=x^2+e^{2 x}$
(2.)$x^2 y_2-2 x(1+x) y_1+2(x+1) y=x^2$
उत्तर (Answers): (1) $y=c_{1} e^x+c_{2} e^{2x}+x e^{2 x}+\left(\frac{3}{2}\right) x+\left(\frac{7}{4}\right)+\frac{1}{2} x^{2}-e^{2 x}$
(2) $y=c_3 x-\frac{1}{2} x^2+c_2 x e^{2x} \text { (जहाँ) } c_3=c_1-\frac{1}{4}$
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अवकल समीकरण में प्राचल विचरण विधि (Method of Variation of Parameter in DE),द्वितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations of Second Order) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:-Solution by Operational Factors of DE

4.अवकल समीकरण में प्राचल विचरण विधि (Frequently Asked Questions Related to Method of Variation of Parameter in DE),द्वितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations of Second Order) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

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Method of Variation of Parameter in DE

अवकल समीकरण में प्राचल विचरण विधि
(Method of Variation of Parameter in DE)

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