1.अनिर्धारित गुणांकों की विधि (Method of Undetermined Co-efficients),अवकल समीकरण में अनिर्धारित गुणांकों की विधि (Method of Undetermined Co-efficients in Differential Equation):

Method of Undetermined Co-efficients

अनिर्धारित गुणांकों की विधि (Method of Undetermined Co-efficients) एक असमघाती रैखिक अवकल समीकरण का विशिष्ट हल ज्ञात करने की विधि है जिसका उपयुक्त रूप में चयन किया गया हो जो इसके दांए पक्ष के फलन R पर निर्भर करता है।पूर्व में पूरक-फलन के प्राचल परिवर्तन से विशिष्ट समाकल ज्ञात किया जाता है जबकि यह पूर्ण रूप से ज्ञात हो।फिर भी कुछ समीकरणों के विशिष्ट समाकल ज्ञात करने में प्राचल परिवर्तन की विधि कठिन होती है।
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2.अनिर्धारित गुणांकों की विधि के साधित उदाहरण (Method of Undetermined Co-efficients Solved Examples):

Example:1. \frac{d^2 y}{d x^2}-2 x \frac{d y}{d x}+\left(x^2+2\right) y=\exp \left\{\frac{1}{2}\left(x^2+2 x\right)\right\}
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}-2 x \frac{d y}{d x}+\left(x^2+2\right) y=\exp \left\{\frac{1}{2}\left(x^2+2 x\right)\right\}
यहाँ P=-2x,Q=x^2+2 तथा R=e^{\frac{1}{2}\left(x^2+2 x\right)}
अब समीकरण को सामान्य रूप में परिवर्तित करने के लिए u इस प्रकार चुनें कि

u=\exp \left\{-\frac{1}{2} \int p d x\right\} \\ =\exp \left\{-\frac{1}{2} \int(-2 x) d x\right\} \\ u= e^{\frac{x^2}{2}}
दिए हुए समीकरण में y=vu प्रतिस्थापित करने पर यह निम्न रूप में परिवर्तित हो जाती हैः

\frac{d^2 v}{d x^2}+I V=S\cdots(1)
जहाँ I=Q-\frac{1}{4} P^2-\frac{1}{2} \frac{d P}{d x} \\ =x^2+2-\frac{1}{4}(-2 x)^2-\frac{1}{2}(-2) \\ =x^2+2-x^2+1 \\ \Rightarrow I =3 \\ S=\frac{R}{u}=\frac{e^{\frac{1}{2}\left(x^2+2 x\right)}}{e^{\frac{x^2}{2}}} \\ \Rightarrow S=e^x
अब (1) का रूप

\frac{d^2 v}{d x^2}+3 v=e^x \ldots(2)
पूरक फलन (C.F.)=c_{1} \cos (\sqrt{3} x)+c_{2} \sin (\sqrt{3} x)
विशिष्ट समाकल (अनिर्धारित गुणांकों की विधि द्वारा):
माना e^x के संगत परीक्षण हल A e^x+B इसका कोई भी पद पूरक फलन में नहीं है।अतः (2) के दक्षिण पक्ष के संगत परीक्षण हल v=A e^x+B लेते हैं जहाँ A तथा B अनिर्धारित गुणांक है जिसका मान v इस प्रकार है कि यह v का मान (2) को सन्तुष्ट करे।

v=A e^x+B \\ \frac{d v}{d x}=A e^x, \frac{d^{2}v}{d x^2}=A e^x
v तथा इसके अवकलजों के मान को (2) में प्रतिस्थापित करने परः

A e^x+3\left(A e^x+B\right)=e^x \\ \Rightarrow A e^x+3 A e^x+3 B=e^x \\ \Rightarrow 4 A e^x+3 B=e^x
तुलना करने परः

4 A=1 \Rightarrow A=\frac{1}{4}, B=0
अतः (2) का विशिष्ट हलः
v=C.F.+P.I.

\Rightarrow v=c_{1} \cos (\sqrt{3} x)+c_2 \sin (\sqrt{3} x)+\frac{1}{4} e^x
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल निम्न हैः

y=vu \\ \Rightarrow y=[c_{1} \cos (\sqrt{3} x)+c_2 \sin (\sqrt{3} x)+\frac{1}{4} e^x] e^{\frac{x}{2}}
Example:2. \frac{d^2 y}{d x^2}-4 x \frac{d y}{d x}+\left(4 x^2-3\right) y=e^{x^2}
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}-4 x \frac{d y}{d x}+\left(4 x^2-3\right) y=e^{x^2}
यहाँ P=-4x  , Q=4 x^2-3 तथा R=e^{x^2}
अब समीकरण को सामान्य रूप में परिवर्तित करने के लिए u इस प्रकार चुनें कि

u=\exp \left\{-\frac{1}{2} \int p d x\right\} \\ =\exp \left\{-\frac{1}{2} \int-4 x d x\right\} \\ \Rightarrow u=e^{x^2}
दिए हुए समीकरण में y=vu प्रतिस्थापित करने पर यह निम्न रूप में परिवर्तित हो जाती हैः

\frac{d^2 v}{d x^2}+I V=S \cdots(1)
जहाँ I=Q-\frac{1}{4} P^2-\frac{1}{2} \frac{d P}{d x} \\ =4 x^2-3-\frac{1}{4}(-4 x)^2-\frac{1}{2}(-4) \\ =4 x^2-3-4 x^2+2 \\ \Rightarrow I=-1 \\ S=\frac{R}{u}=\frac{e^{x^2}}{e^{x^2}}=1
अब (1) का रूप

\frac{d 2 v}{d x^2}-v=1 \ldots(2)
पूरक फलन (C.F.)=c_{1} e^x+c_{2} e^{-x}
विशिष्ट समाकल (अनिर्धारित गुणांकों की विधि द्वारा):
माना 1 के संगत परीक्षण हल A इसका कोई भी पद पूरक फलन में नहीं है।अतः (2) के दक्षिण पक्ष के संगत परीक्षण हल v=A लेते हैं जहाँ A अनिर्धारित गुणांक है जिसका मान v इस प्रकार है कि यह v का मान (2) को सन्तुष्ट करे।
v=A

\frac{d y}{d x}=0, \frac{d^2 v}{d x^2}=0
v तथा इसके अवकलजों के मान को (2) में प्रतिस्थापित करने परः
-A=1
\Rightarrow A=-1
अतः (2) का विशिष्ट हलः(-1)
v=C.F.+P.I.

\Rightarrow v=c_1 e^{x}+c_2 e^{-x}-1
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल निम्न हैः
y=vu

\Rightarrow y=\left(c_{1} e^x+c_{2} e^{-x}-1\right) e^{x^2}
Example:3. \frac{d^2 y}{d x^2}-4 x \frac{d y}{d x}+\left(4 x^2-1\right) y=-3 e^{x^2} \sin 2 x
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}-4 x \frac{d y}{d x}+\left(4 x^2-1\right) y=-3 e^{x^2} \sin 2 x
यहाँ P=-2x , Q=4 x^2-1 तथा R=-3 e^{x^{2}} sin 2x
अब समीकरण को सामान्य रूप में परिवर्तित करने के लिए u इस प्रकार चुनें कि

u=\exp \left\{-\frac{1}{2} \int p d x\right\} \\=\exp \left\{-\frac{1}{2} \int(4 x) d x\right\} \\ \Rightarrow u =e^{x^2}
दिए हुए समीकरण में y=vu प्रतिस्थापित करने पर यह निम्न रूप में परिवर्तित हो जाती हैः

\frac{d^2 v}{d x^2}+I V=S \cdots(1)
जहाँ I=Q-\frac{1}{4} p^2-\frac{1}{2} \frac{d p}{d x} \\ =4 x^2-1-\frac{1}{4}(-4 x)^2-\frac{1}{2}(-4) \\ =4 x^2-1-4 x^2+2 \\ \Rightarrow I=1 \\ S=\frac{R}{u}=\frac{-3 e^{x^2}}{e^{x^2}} \sin 2x=-3 \sin 2x
अब (1) का रूप

\frac{d^2 v}{d x^2}+1=-3 \sin 2 x \cdots(2)
पूरक फलन (C.F.)=c_{1} \cos x+c_{2} \sin x
विशिष्ट समाकल (अनिर्धारित गुणांकों की विधि द्वारा):
माना -3 \sin 2 x के संगत परीक्षण A \sin 2x+B \cos 2x हल इसका कोई भी पद पूरक फलन में नहीं है।अतः (2) के दक्षिण पक्ष के संगत परीक्षण हल V=A \sin 2x+B \cos 2x लेते हैं जहाँ A तथा B अनिर्धारित गुणांक है जिसका मान v इस प्रकार है कि यह v का मान (2) को सन्तुष्ट करे।

V=A \sin 2 x+B \cos 2 x \\ \frac{d v}{d x}=2 A \cos 2 x-2 B \sin 2 x \\ \frac{d^{2} v}{d x^2}=-4 A \sin 2 x-4 B \cos 2x
v तथा इसके अवकलजों के मान को (2) में प्रतिस्थापित करने परः

-4 A \sin 2 x-4 B \cos 2 x+A \sin 2x+B \cos 2 x =-3 \sin 2x \\ \Rightarrow-3 A \sin 2 x-3 B \cos 2x=-3 \sin 2x
तुलना करने परः
A=1,B=0
अतः (2) का विशिष्ट हलः
v=C.F.+P.I.

v=c_{1} \cos x+c_{2} \sin x+\sin 2x
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल निम्न हैः
y=vu

Method of Undetermined Co-efficients

Example:4. \frac{d^2 y}{d x^2}-2 \tan x \frac{d y}{d x}+5 y=e^x \sec x
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}-2 \tan x \frac{d y}{d x}+5 y=e^x \sec x
यहाँ P=-2 \tan x, Q=5 तथा R=e^{x} \sec x
अब समीकरण को सामान्य रूप में परिवर्तित करने के लिए u इस प्रकार चुनें कि

u=\exp \left\{-\frac{1}{2} \int p d x\right\} \\ =\exp \left\{-\frac{1}{2} \int(-2 \tan x) d x\right\} \\ =e^{\log \sec x} \\ \Rightarrow u=\sec x
दिए हुए समीकरण में y=vu प्रतिस्थापित करने पर यह निम्न रूप में परिवर्तित हो जाती हैः

\frac{d^2 v}{d x^2}+I V=S \cdots(1)
जहाँ I=Q-\frac{1}{4} P^2-\frac{1}{2} \frac{d p}{d x} \\ =5-\frac{1}{4}(-2 \tan x)^2-\frac{1}{2}\left(-2 \sec ^2 x\right) \\ =5-\tan ^2 x+\sec ^2 x \\ =5+1 \\ \Rightarrow I=6 \\ S=\frac{R}{u}=\frac{e^x \sec x}{\sec x}=e^x
अब (1) का रूप

\frac{d^{2} v}{d x^2}+6 v=e^x \cdots(2)
पूरक फलन (C.F.)=c_{1} \cos (\sqrt{6} x)+c_{2} \sin (\sqrt{6} x)
विशिष्ट समाकल (अनिर्धारित गुणांकों की विधि द्वारा):
माना e^x के संगत परीक्षण हल A e^x+B इसका कोई भी पद पूरक फलन में नहीं है।अतः (2) के दक्षिण पक्ष के संगत परीक्षण हल v=A e^x+B लेते हैं जहाँ A तथा B अनिर्धारित गुणांक है जिसका मान v इस प्रकार है कि यह v का मान (2) को सन्तुष्ट करे।

v=A e^x+B \\ \frac{d v}{d x}=A e^x, \frac{d^2 v}{d x^2}=A e^x
v तथा इसके अवकलजों के मान को (2) में प्रतिस्थापित करने परः

A e^x+6\left(A e^x+B\right)=e^x \\ \Rightarrow A e^x+6 A e^x+6 B=e^x \\ \Rightarrow 7 A e^x+6 B=e^x
तुलना करने परः

7 A=1 \Rightarrow A=\frac{1}{7}, B=0
अतः (2) का विशिष्ट हलः
v=C.F.+P.I.

v=\left[c_{1} \cos (\sqrt{6} x)+c_2 \sin (\sqrt{6} x)+\frac{1}{7} e^x\right]
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल निम्न हैः
y=vu

\Rightarrow y =\left[c_{1} \cos (\sqrt{6} x)+c_{2} \sin (\sqrt{6} x)+\frac{1}{7} e^{x}\right] \sec x
Example:5. \frac{d^2 y}{d x^2}+2 x \frac{d y}{d x}+\left(x^2-8\right) y=x^2 e^{-\frac{x^2}{2}}
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}+2 x \frac{d y}{d x}+\left(x^2-8\right) y=x^2 e^{-\frac{x^2}{2}}
यहाँ P=2 x, Q=x^2-8 तथा R=x^2 e^{-\frac{x^2}{2}}
अब समीकरण को सामान्य रूप में परिवर्तित करने के लिए u इस प्रकार चुनें कि

u =\exp \left\{-\frac{1}{2} \int P d x\right\} \\ =\exp \left\{-\frac{1}{2} \int 2 x d x\right\} \\ \Rightarrow u=e^{-\frac{x^2}{2}}
दिए हुए समीकरण में y=vu प्रतिस्थापित करने पर यह निम्न रूप में परिवर्तित हो जाती हैः

\frac{d^2 v}{d x^2}+I V=S \cdots(1)
जहाँ I=Q-\frac{1}{4} p^2-\frac{1}{2} \frac{d p}{d x} \\ =x^2-8-\frac{1}{4}(2 x)^2-\frac{1}{2}(2) \\ =x^2-8-x^2-1 \\ \Rightarrow I=-9 \\ S=\frac{R}{u}=\frac{x^2 e^{-\frac{x^2}{2}}}{e^{-\frac{x^2}{2}}} \\ \Rightarrow S=x^2
अब (1) का रूप

\frac{d^{2}v}{d x^2}-9 v=x^2 \cdots(2)
पूरक फलन (C.F.)=c_{1} e^{3 x}+c_{2} e^{-3 x}
विशिष्ट समाकल (अनिर्धारित गुणांकों की विधि द्वारा):
माना x^2 के संगत परीक्षण हल A_0+A_1 x+A_2 x^2 इसका कोई भी पद पूरक फलन में नहीं है।अतः (2) के दक्षिण पक्ष के संगत परीक्षण हल v=A_0+A_1 x+A_2 x^2 लेते हैं जहाँ A_0,A_1 तथा A_2 अनिर्धारित गुणांक है जिसका मान v इस प्रकार है कि यह v का मान (2) को सन्तुष्ट करे।

v=A_0+A_1 x+A_2 x^2 \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}=A_1+2 A_2 x, \frac{d^{2}v}{d x^2}=2 A_2
v तथा इसके अवकलजों के मान को (2) में प्रतिस्थापित करने परः

2 A_2-9\left(A_0+A_1 x+A_2 x^2\right)=x^2 \\ \Rightarrow 2 A_2-9 A_0-9 A_1 x-9 A_2 x^2=x^2 \\ \Rightarrow\left(2 A_2-9 A_0\right)-9 A_1 x-9 A_2 x^2=x^2
तुलना करने परः

-9 A_2 =1 \Rightarrow A_2=-\frac{1}{9} \\ 2 A_2-9 A_0 =0 \Rightarrow 2 \times-\frac{1}{9} -9 A_0=0 \\ \Rightarrow A_0 =-\frac{2}{81}
अतः (2) का विशिष्ट हलः -\frac{2}{81}-\frac{1}{9} x^2
v=C.F.+P.I.

\Rightarrow v=c_1 e^{3 x}+c_2 e^{-3 x}-\left(\frac{1}{9}\right)\left(x^2+\frac{2}{9}\right)
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल निम्न हैः
y=vu

\Rightarrow y =\left[4 e^{3 x}+c_2 e^{-3 x}-\left(\frac{1}{9}\right)\left(x^2+\frac{2}{9}\right)\right] e^{-\frac{x^2}{2}}
Example:6. \frac{d^2 y}{d x^2}+(3 \sin x-\cot x) \frac{d y}{d x} +2 \sin ^2 x \cdot y=e^{-\cos x} \sin ^2 x
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}+(3 \sin x-\cot x) \frac{d y}{d x} +2 \sin ^2 x \cdot y=e^{-\cos x} \sin ^2 x
यहाँ  P=3 \sin x-\cot x, Q=2 \sin ^2 x तथा R=e^{-\cos x} \sin ^2 x
अब स्वतन्त्र चर x को z में परिवर्तित करने पर,दिया हुआ समीकरण निम्न रूप में रूपान्तरित हो जाता हैः

\frac{d^2 y}{d z^2}+P_1 \frac{d y}{d z}+Q, y=R_1 \cdots(1)
जहाँ Q_1=\frac{Q}{(\frac{d z}{dx})^2}=2 (माना)

\Rightarrow Q_1=\frac{2 \sin ^2 x}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2}=2 \\ \Rightarrow\left(\frac{d z}{d x} \right)^2=\sin ^2 x \\ \Rightarrow \frac{d z}{d x}=\sin x, \frac{d^2 z}{dx^2}=\cos x \\ \Rightarrow z=-\cos x \\ P_1=\frac{\frac{d^2 z}{d x^2}+p \frac{dz}{dx}}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2} \\=\frac{\cos x+(3 \sin x-\cot x) \sin x}{\sin ^2 x} \\ =\frac{\cos x+3 \sin^2 x-\cos x}{\sin ^2 x} \\ =\frac{3 \sin ^2 n}{\sin ^2 x} \\ P_1=3 \\ R_1=\frac{R}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2}=\frac{e^{-\cos x} \sin^2 x}{\sin ^2 x} \\ R_1=e^{-\cos x}
अब P_{1},Q_{1} व R_{1} के मान (1) में प्रतिस्थापित करने परः

\frac{d^2 y}{d z^2}+3 \frac{d y}{d z}+2 y=e^{-\cos x} \\ \Rightarrow\left(D^2+3 D+2\right) y=e^z \ldots(2)
इसका सहायक समीकरण (A.E.) निम्न हैः

m^2+3 m+2=0 \\ \Rightarrow m=-1,-2
पूरक फलन (C.F.)=c_1 e^{-z}+c_2 e^{-2 z} \\ \text{C.F.}=c_1 e^{\cos x}+c_2 e^{2 \cos x}
विशिष्ट समाकल (अनिर्धारित गुणांकों की विधि द्वारा):
माना e^{z} के संगत परीक्षण हल A e^{z} इसका कोई भी पद पूरक फलन में नहीं है।अतः (2) के दक्षिण पक्ष के संगत परीक्षण हल y=A e^{z} लेते हैं जहाँ A अनिर्धारित गुणांक है जिसका मान y इस प्रकार है कि यह y का मान (2) को सन्तुष्ट करे।

y=A e^{z}, \frac{d y}{d z}=A e^{z}, \frac{d^2 y}{dz^{2}}=A e^{z}
y तथा इसके अवकलजों के मान को (2) में प्रतिस्थापित करने परः

A e^z+3Ae^z+2 A e^z=e^z \\ \Rightarrow 6 A e^z=e^z \\ \Rightarrow A=\frac{1}{6}
अतः (2) का विशिष्ट हलः \frac{1}{6} e^z
v=C.F.+P.I.

y=c_{1} e^{\cos x}+c_2 e^{2 \cos x}+\frac{1}{6} e^{-\cos x}
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल निम्न हैः
Example:7. x^6 \frac{d^2 y}{d x^2}+3 x^5 \frac{d y}{d x}+a^2 y=\frac{1}{x^2}
Solution: x^6 \frac{d^2 y}{d x^2}+3 x^5 \frac{d y}{d x}+a^2 y=\frac{1}{x^2}
दिए हुए समीकरण को मानक रूप में रखने परः

\frac{d^2 y}{d x^2}+\frac{3}{x}\left(\frac{d y}{d x}\right)+\left(\frac{a^2}{x^6}\right) y=\frac{1}{x^8} \cdots(1)
यहाँ P=\frac{3}{x}, Q=\frac{a^2}{x^6} तथा  R=\frac{1}{x^8}
अब स्वतन्त्र चर x को z में परिवर्तित करने पर,दिया हुआ समीकरण (1) निम्न रूप में रूपान्तरित हो जाता हैः
\frac{d^2 y}{d z^2}+P_1 \frac{d y}{d z}+Q_1 y=R_1 \cdots(2) \\ Q_1=\frac{Q}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2}=1 (माना)

Q_1=\frac{\frac{a^2}{x^6}}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2}=1 \\ \Rightarrow\left(\frac{d z}{d x} \right)^2=\frac{a^2}{x^6} \\ \Rightarrow \frac{d z}{d x}=\frac{a}{x^3} \\ \frac{d^2 z}{d x^2}=-\frac{3 a}{x^4}, z=-\frac{a}{2 x^2} \\ P_1=\frac{\frac{d^2 z}{d x^2}+p \frac{d z}{d x}}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2} =\frac{\frac{-3 a}{x^4}+\frac{3}{x}\left(\frac{a}{x^3}\right)}{\frac{a^2}{x^6}}=0 \\ R_1=\frac{R}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2}=\frac{\frac{1}{x^8}}{\left(\frac{a}{x^2}\right)^2}=\frac{1}{a^2 x^2} 
अब P_{1},Q_{1} व R_{1} के मान (2) में प्रतिस्थापित करने परः

\frac{d^2 y}{d z^2}+y=\frac{1}{a^2 x^2}\\ \frac{d^2 y}{d z^2}+y=-\frac{2 z}{a^3} \cdots(3) \\ \left(D^2+1\right) y=-\frac{2 z}{a^3}
इसका सहायक समीकरण (A.E.) निम्न हैः

m^2+1=0 \Rightarrow m= \pm i
पूरक फलन (C.F.)=c_{1} \cos z+c_{2} \sin z \\ \text{C.F.}=c_{1} \cos \left(\frac{a}{2 x^2}\right)-c_{2} \sin \left(\frac{a}{2 x^2}\right)
विशिष्ट समाकल (अनिर्धारित गुणांकों की विधि द्वारा):
माना -\frac{2 z}{a^{3}} के संगत परीक्षण हल A_0+A_1 z इसका कोई भी पद पूरक फलन में नहीं है।अतः (2) के दक्षिण पक्ष के संगत परीक्षण हल लेते y=A_0+A_1 z हैं जहाँ A_0 तथा A_{1} अनिर्धारित गुणांक है जिसका मान y इस प्रकार है कि यह y का मान (2) को सन्तुष्ट करे।

y=A_0+A_1 z, \frac{d y}{d z}=A_1, \frac{d^{2}y}{d z^2}=0
y तथा इसके अवकलजों के मान को (3) में प्रतिस्थापित करने परः

A_0+A_1 z=-\frac{2 z}{a^3} \Rightarrow A_0=0, A_1=-\frac{2}{a^3}
अतः (3) का विशिष्ट हलः -\frac{2 z}{a^3}=\frac{1}{a^2 x^2}
v=C.F.+P.I.

y=c_{1} \cos \left(\frac{a}{2 x^2}\right)+c_{2} \sin \left(\frac{a}{2 x^2}\right)+\frac{1}{a^2 x^2}
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल निम्न हैः
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अनिर्धारित गुणांकों की विधि (Method of Undetermined Co-efficients),अवकल समीकरण में अनिर्धारित गुणांकों की विधि (Method of Undetermined Co-efficients in Differential Equation) को समझ सकते हैं।

3.अनिर्धारित गुणांकों की विधि पर आधारित सवाल (Questions Based on Method of Undetermined Co-efficients):

Method of Undetermined Co-efficients

(1.)निम्न समीकरण का विशिष्ट समाकल ज्ञात कीजिएः
(Find the particular integral of the following equation):

\frac{d^2 y}{d x^2}+\alpha \frac{d y}{d x}+\beta y=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots \cdots +a_n x^{n}
(2.)निम्न समीकरण को हल कीजिएः
(Solve the following differential equation):

\frac{d^2 y}{d x^2}+2 x \frac{d y}{d x}+\left(x^2+5\right) y=x e^{-\frac{x^2}{2}}
उत्तर (Answers):(1.)y_{p}=A_0 x+A_1 x^2+A_2 x^3+\cdots \cdots+A_n x^{n+1}
(2.) y=\left(c_1 \cos 2 x+c_2 \sin 2 x+\frac{x}{4}\right) e^{-\frac{x^2}{2}}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अनिर्धारित गुणांकों की विधि (Method of Undetermined Co-efficients),अवकल समीकरण में अनिर्धारित गुणांकों की विधि (Method of Undetermined Co-efficients in Differential Equation) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.अनिर्धारित गुणांकों की विधि (Frequently Asked Questions Related to Method of Undetermined Co-efficients),अवकल समीकरण में अनिर्धारित गुणांकों की विधि (Method of Undetermined Co-efficients in Differential Equation) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

अनिर्धारित गुणांकों की विधि (Method of Undetermined Co-efficients) एक असमघाती
रैखिक अवकल समीकरण का विशिष्ट हल ज्ञात करने की विधि है