1.अवकल समीकरण में पूरक फलन और विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की विधि (Method of Finding Out CF and PI in DE)अचर गुणांकों वाले रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations with Constant Coefficients):

Method of Finding Out CF and PI in DE

अवकल समीकरण में पूरक फलन और विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की विधि (Method of Finding Out CF and PI in DE) से कुछ विशिष्ट सवालों को हल करके व्यापक हल ज्ञात करना सीखेंगे।
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2.अवकल समीकरण में पूरक फलन और विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की विधि के साधित उदाहरण (Method of Finding Out CF and PI in DE Solved Illustration):

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
Illustration:11. \left(D^2-3 D+2\right) y=\sin 3 x+x^2+x+e^{4 x}
Solution: \left(D^2-3 D+2\right) y=\sin 3 x+x^2+x+e^{4 x}
दिए हुए समीकरण का सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m^2-3 m+2=0 \\ \Rightarrow m^2-2 m-m+2=0 \\ \Rightarrow m(m-2)-1(m-2)=0 \\ \Rightarrow(m-1)(m-2)=0 \\ m=1,2 \\ \text{ C.F. } =c_1 e^x+C_2 e^{2 x}
पुनः P.I.=\frac{1}{\left(D^2-3 D+2\right)}\left(\sin 3 x+x^2+x+e^{4 x}\right) \\ =\frac{1}{(D-1)(D-2)} \left(\sin 3 x+x^2+x+e^{4 x}\right) \\ =\left(\frac{1}{D-2}-\frac{1}{D-1}\right)\left(\sin 3 x+x^2+x+e^{4 x}\right) \\ =\frac{1}{D-2}\left(\sin 3 x+x^2+x+e^{4 x}\right)-\frac{1}{D-1}\left(\sin 3 x+x^2+x+e^{4 x}\right) \\ =\frac{1}{D-2} \sin 3 x+\frac{1}{D-2} x^2+\frac{1}{D-2} x+\frac{1}{D-2} e^{4 x}-\frac{1}{D-1} \sin 3 x-\frac{1}{D-1} x^2-\frac{1}{D-1}-\frac{1}{D-1} e^{4 x} \\ =\frac{D+2}{D^2-4} \sin 3 x-\frac{1}{2\left(1-\frac{D}{2}\right)} x^2-\frac{1}{2\left(1-\frac{D}{2}\right)} x+\frac{1}{4-2} e^{4 x} \frac{D+1}{D^2-1} \sin 3 x+ x^2 +\frac{1}{1-D} x-\frac{1}{1-1} e^{4 x} \\=\frac{3 \cos 3 x+i \sin 3 x}{(3 i)^2-4}-\frac{1}{2}\left(1-\frac{D}{2}\right)^{-1} x^2 -\frac{1}{2}\left(1-\frac{D}{2}\right)^{-1} x+\frac{1}{2} e^{4 x}-\frac{(3 \cos 3 x+\sin 3 x)}{(3 i)^2-1}+(1-D)^{-1} x^2+(1-D)^{-1} x +\frac{1}{3} e^{4 x} \\=\frac{3 \cos 3 x+2 \sin 3 x}{9 i^2-4}-\frac{1}{2}\left(1+\frac{D}{2}+\frac{D^2}{4}+\cdots\right) x^2-\frac{1}{2}\left(1+\frac{D}{2}+ \frac{D^2}{4} +\cdots\right) x +\frac{1}{6} e^{4 x}-\frac{(3 \cos 3 x+\sin 3 x)}{9 i^2-1} +\left(1+D+D^2 +\cdots\right) x^2+\left(1+D+D^2+\cdots\right) x \\ =\frac{3 \cos 3 x+2 \sin 3 x}{-9-4}-\frac{1}{2}\left(x^2+x+\frac{1}{2}\right) -\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{2}\right)+\frac{5}{3} e^{4 x}-\frac{(3 \cos 3 x+\sin 3 x)}{-9-1} +\left(x^2+2 x+2\right)+(x+1) \\ =-\frac{1}{13}(3 \cos 3 x+2 \sin 3 x) +\frac{1}{2} x^2+2 x+\frac{1}{6} e^{4 x}+\frac{5}{2}+\frac{1}{10} (3 \cos 3 x+\sin 3 x) \\ =\frac{1}{130}(9 \cos 3 x-7 \sin 3 x)+\frac{1}{2}\left(x^2+4 x+5 \right)+\frac{1}{6} e^{4 x} \\ \text{P.I.}=\frac{1}{130}(9 \cos 3 x-7 \sin 3 x) +\frac{1}{2}\left(x^2+4 x+5\right)+\frac{1}{6} e^{4 x}
अतः अवकल समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

y=C_1 e^x+C_2 e^{2 x}+\frac{1}{130} x^2(\cos 3 x-7 \sin 3 x) +\frac{1}{2}\left(x^2+4 x+5\right) +\frac{1}{6} e^{4 x}
Illustration:12. \frac{d^4 y}{d x^4}+2 n^2 \frac{d^2 y}{d x^2}+n^4 y=\cos m x+e^{n x}+x^2
Solution: \frac{d^4 y}{d x^4}+2 n^2 \frac{d^2 y}{d x^2}+n^4 y=\cos m x+e^{n x}+x^2
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है:

\left(D^4+2 n^2 D^2+n^4\right) y=\cos m x+e^{m x}+x^2
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m^4+2 n^2 m^2+n^4=0 \\ \Rightarrow\left(m^2+n^2\right)^2=0 \\ \Rightarrow m= \pm n i, \pm n i \\ \therefore \text{C.F.}=\left(C_1+C_2 x\right) \cos n x+ \left(C_3+C_4 x\right) \sin n x
पुनः P.I.=\frac{1}{\left(D^2+n^2\right)^2}\left(\cos m x+e^{n x}+x^2\right) \\ =\frac{1}{\left(D^2+n^2\right)^2} \cos m x+\frac{1}{\left(D^2+n^2\right)^2} e^{n x}+\frac{1}{\left(D^2+ n^2\right)^2} x^2 \\ =\frac{1}{\left((c m)^2+n^2\right)^2} \cos m x+\frac{e^{n x}}{\left(n^2+ n^2\right)^2}+\frac{1}{n^4}\left(1+\frac{D^2}{n^2}\right)^{-2} x^2 \\ =\frac{1}{\left(c^2 m^2+ n^2\right)^2} \cos mx+\frac{1}{4n^4}e^{nx}+\frac{1}{n^4}\left(1-\frac{2 D^2}{n^2}+\frac{3 D^4}{n^4}-\cdots\right) x^2 \\ =\frac{1}{\left(n^2-m^2\right)^2} \cos m x+\frac{1}{4 n^4} e^{nx}+\frac{1}{n^4}\left(x^2-\frac{4}{n^2}\right) \\ \Rightarrow \text{P.I.}=\frac{\cos m x}{\left(n^2-m^2\right)^2} +\frac{e^{n x}}{4 n^4}+\frac{x^2}{n^4}-\frac{4}{n^6}
अतः अवकल समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

y=\left(C_1+C_2 x\right) \cos n x+\left(C_3+C_4 x\right) \sin n x+\frac{\cos m x}{\left(n^2-m^2\right)^2}+\frac{e^{nx}}{4 n^4}+\frac{x^2}{n^4}-\frac{4}{n^6}

Method of Finding Out CF and PI in DE

Illustration:13.यदि (If) \frac{d^2 V}{d x^2}=n^2 V और (and at) x=0 पर ,V=V_0 तथा (and at) x=l पर,V=0 सिद्ध कीजिए कि (Prove that) V=V_0 \frac{\sinh n(l-x)}{\sinh n l}
Solution: \frac{d^2 V}{d x^2}=n^2 V
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है:

\left(D^2-n^2\right) V=0
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m^2-n^2=0 \\ \Rightarrow m= \pm n
अतः C.F.=C_1 e^{n x}+C_2 e^{-n x}
अतः व्यापक हल:
V=C_1 e^{n x}+C_2 e^{n x}
जब x=0 तो V=V_0 \\ V_0=C_1 e^0+C_2 e^0 \\ \Rightarrow V_0=C_1+C_2 \cdots(1)
जब x=l तो V=0 \\ \Rightarrow 0=C_1 e^{n l}+C_2 e^{-n l} \cdots(2)
समीकरण (1) को e^{nl} से गुणा करने पर:

V_0 e^{n l}=C_1 e^{n l}+C_2 e^{nl} \cdots(3)
समीकरण (3) में से (2) घटाने पर:

V_0 e^{n l}=C_2 e^{n l}-C_2 e^{-n l} \\ \Rightarrow V_0 e^{n l}=C_2\left(e^{n l}-e^{-n l}\right) \\ \Rightarrow V_0 e^{n l}=2 C_2\left(\frac{e^{n l}-e^{-n l}}{2}\right) \\ \Rightarrow V_0 e^{n l}=2 C_2 \sinh nl \\ \left[\because \frac{e^{n l}-e^{-n l}}{2} =\sinh n l\right] \\ V_0 e^{n l}=2 C_2 \sinh nl \\ \Rightarrow C_2=\frac{V_0 e^{n l}}{2 \sinh n l} \\ C_{2} का मान समीकरण (2) में रखने पर:
0=C_1 e^{n l}+\frac{V_0 e^{n l} \cdot e^{-n l}}{2 \sinh n l} \\ C_1=-\frac{V_0 e^{-n l}}{2 \sinh n l} \\C_{1} व C_{2} का मान व्यापक हल में रखने पर:

V=\frac{-V_0 e^{n l} e^{nx}}{2 \sinh e^{n x}}+\frac{V_0 e^{n l} e^{-n x}}{2 \sinh n l} \\ =\frac{V_0}{\sinh n l}\left(\frac{e^{n l} \cdot e^{-n x}-e^{n l} \cdot e^{nx}}{2}\right) \\ =\frac{V_0}{\sinh n l}\left(\frac{e^{n(l-x)}-e^{-n(l-x)}}{2}\right) \\ \Rightarrow V =\frac{V_0 \sinh n(1-x)}{\sinh n l}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अवकल समीकरण में पूरक फलन और विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की विधि (Method of Finding Out CF and PI in DE)अचर गुणांकों वाले रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations with Constant Coefficients) को समझ सकते हैं।

3.अवकल समीकरण में पूरक फलन और विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की विधि पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on Method of Finding Out CF and PI in DE):

Method of Finding Out CF and PI in DE

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):

(1.) \frac{d^3 y}{d x^3}-3 \frac{d^2 y}{d x^2}+\frac{3 d y}{d x}-y=x e^x+e^x
(2.) \frac{d^2 y}{d x^2}-9 y=6 e^{3 x}+x e^{3 x}
उत्तर (Answers): (1.)y=\left(C_{1}+C_2 x+C_3 x^2\right) e^x+\frac{1}{24} e^x \cdot(x+1)^4
(2.) y=C_{1} e^{3 x}+C_{2} e^{-3 x}+\frac{1}{36} e^{3 x}\left(35 x+3 x^2\right)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अवकल समीकरण में पूरक फलन और विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की विधि (Method of Finding Out CF and PI in DE)अचर गुणांकों वाले रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations with Constant Coefficients) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.अवकल समीकरण में पूरक फलन और विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की विधि (Frequently Asked Questions Related to Method of Finding Out CF and PI in DE)अचर गुणांकों वाले रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations with Constant Coefficients) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

अवकल समीकरण में पूरक फलन और विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की विधि
(Method of Finding Out CF and PI in DE)
से कुछ विशिष्ट सवालों को हल करके व्यापक हल ज्ञात करना सीखेंगे।