1.गुणांकों को समान बनाकर विलोपन विधि (Method of elimination by equating coefficients)-

• गुणांकों को समान बनाकर विलोपन विधि (Method of elimination by equating coefficients) से युगपत समीकरणों का बीजीय हल ज्ञात किया जाता है।युगपत समीकरण दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के जोड़े का एक निकाय है। दोनों चरों के वे मान जो दोनों समीकरणों को सन्तुष्ट करते हैं,युगपत समीकरण कहलाते हैं।
• इस विधि में समीकरण निकाय के दोनों समीकरणों को ऐसी उपयुक्त संख्या से गुणा करते हैं जिससे प्राप्त हुए दोनों समीकरणों के दो चरों में से एक के गुणांक समान हो जाए।अब दोनों समीकरणों को स्थिति के अनुसार योग अथवा व्यवकलन करने पर हमें एक समीकरण प्राप्त होता है जिसमें एक ही चर होता है (क्योंकि अन्य चर निरस्त हो जाता है)।प्राप्त एक चर वाले समीकरण को हल कर चर का मान ज्ञात कर लेते हैं तथा चर के ज्ञात मान को दिए गए किसी समीकरण में प्रतिस्थापित करके दूसरे चर का मान भी ज्ञात कर लेते हैं।
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2.गुणांकों को समान बनाकर विलोपन विधि के उदाहरण (Method of elimination by equating coefficients examples),गुणांकों को समान बनाकर विलोपन विधि का प्रयोग करते हुए निम्न समीकरणों को हल कीजिए (Solve the following system of equations using the elimination method by equating coefficients)-

Example-1.2x+3y=13,5x-3y=16
Solution-
2x+3y=13 ……(1)
5x-3y=16 ……(2)
समीकरण (1) को 3 से गुणा करने पर-
6x+3y=36 …………(3)
5x-3y=16 …………(2)
——————————–
जोड़ने पर-
11x=55

\Rightarrow x=\frac { 55 }{ 11 } \\ \Rightarrow x=5

x का मान समीकरण (1) में रखने पर-
2(5)+y=13
\Rightarrow y=13-10\\ \Rightarrow y=3

x=5,y=3
Example-2. 0.4x+0.3y=1.7,0.7x-0.2y=0.8
Solution-
0.4x+0.3y=1.7 ……..(1)
0.7x-0.2y=0.8 ………(2)
समीकरण (1) को 2 से तथा समीकरण (2) को 3 से गुणा करने पर-
0.8x+0.6y=3.4 ……….(3)
2.1x-0.6y=2.4 ……….(4)
——————————————-
जोड़ने पर-
2.9x=5.8
\Rightarrow x=\frac { 5.8 }{ 2.9 } \\ \Rightarrow x=2

x का मान समीकरण (1) में रखने पर-
0.4(2)+0.3y=1.7
\Rightarrow 0.8+0.3y=1.7\\ \Rightarrow 0.3y=1.7-0.8\\ \Rightarrow 0.3y=0.9\\ \Rightarrow y=\frac { 0.9 }{ 0.3 } \\ \Rightarrow y=3

x=2,y=3
Example-3.\frac { x }{ 7 } +\frac { y }{ 3 } =5\\ \frac { x }{ 2 } -\frac { y }{ 9 } =6

Solution-\frac { x }{ 7 } +\frac { y }{ 3 } =5\\ \Rightarrow \frac { 3x+7y }{ 21 } =5\\ \Rightarrow 3x+7y=105...(1)\\ \frac { x }{ 2 } -\frac { y }{ 9 } =6\\ \Rightarrow \frac { 9x-2y }{ 18 } =6\\ \Rightarrow 9x-2y=108....(2)

समीकरण (1) को 2 से तथा समीकरण (2) को 7 से गुणा करने पर-
6x+14y=210 ………(3)
63x-14y=756 ………(4)
———————————
जोड़ने पर-
69x=966
\Rightarrow x=\frac { 966 }{ 69 } \\ \Rightarrow x=14

x का मान समीकरण (1) में रखने पर-
3(14)+7y=105
\Rightarrow 42+7y=105\\ \Rightarrow 7y=105-42\\ \Rightarrow 7y=63\\ \Rightarrow y=\frac { 63 }{ 7 } \\ \Rightarrow y=9

x=14,y=9

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा गुणांकों को समान बनाकर विलोपन विधि (Method of elimination by equating coefficients) को समझ सकते हैं।

Example-4.11x+15y=-23,7x-2y=20
Solution-
11x+15y=-23 ……..(1)
7x-2y=20 ………(2)
समीकरण (1) को 2 से तथा समीकरण (2) को 15 से गुणा करने पर-
22x+30y=-46 ………(3)
105x-30y=300 ………(4)
—————————————-
जोड़ने पर-
127x=254\\ \Rightarrow x=\frac { 254 }{ 127 } \\ \Rightarrow x=2

x का मान समीकरण (1) में रखने पर-
11(2)+15y=-23
\Rightarrow 22+15y=-23\\ \Rightarrow 15y=-23-22\\ \Rightarrow 15y=-45\\ \Rightarrow y=-\frac { 45 }{ 15 } \\ \Rightarrow y=-3

x=2,y=-3
Example-5. 8v-3u=5uv,6v-5u=-2uv
Solution-
8v-3u=5uv

\Rightarrow \frac { 8v }{ uv } -\frac { 3u }{ uv } =5\\ \Rightarrow \frac { 8 }{ u } -\frac { 3 }{ v } =5.....(1)
6v-5u=-2uv

\Rightarrow \frac { 6v }{ uv } -\frac { 5u }{ uv } =-2\\ \Rightarrow \frac { 6 }{ u } -\frac { 5 }{ v } =-2...(2)\\ put\quad \frac { 1 }{ u } =x,\frac { 1 }{ v } =y
8x-3y=5 ……(3)
6x-5y=-2 …….(4)
समीकरण (3) को 5 से तथा समीकरण (4) को 3 से गुणा करने पर-
40x-15y=25 …..(5)
18x-15y=-6 ……(6)
– + +
——————————–
घटाने पर-

x=\frac { 31 }{ 22 }
22x=31
x का मान समीकरण (1) में रखने पर-

8(\frac { 31 }{ 22 } )-3y=5\\ \Rightarrow \frac { 124 }{ 11 } -3y=5\\ \Rightarrow -3y=\frac { 5 }{ 1 } -\frac { 124 }{ 11 } \\ \Rightarrow -3y=\frac { 55-124 }{ 11 } \\ \Rightarrow -3y=-\frac { 69 }{ 11 } \\ \Rightarrow y=\frac { 69 }{ 11 } \times \frac { 1 }{ 3 } \\ \Rightarrow y=\frac { 23 }{ 11 } \\ x=\frac { 31 }{ 22 } \\ \frac { 1 }{ u } =\frac { 31 }{ 22 } \\ u=\frac { 22 }{ 31 } \\ y=\frac { 23 }{ 11 } \\ \frac { 1 }{ v } =\frac { 23 }{ 11 } \\ v=\frac { 11 }{ 23 } \\ u=\frac { 22 }{ 31 } ,v=\frac { 11 }{ 23 }

Example-6.\frac { 5 }{ (x+y) } -\frac { 2 }{ (x-y) } =-1\\ \frac { 15 }{ (x+y) } +\frac { 7 }{ (x-y) } =10

Solution-\frac { 5 }{ (x+y) } -\frac { 2 }{ (x-y) } =-1.....(1)\\ \frac { 15 }{ (x+y) } +\frac { 7 }{ (x-y) } =10.....(2)\\ put\quad \frac { 1 }{ (x+y) } =u,\frac { 1 }{ (x-y) } =v

5u-2v=-1 ……(3)
15u+7v=10 …….(4)
समीकरण (3) को 7 से तथा समीकरण (4) को 2 से गुणा करने पर-
35u-14v=-7 ……(5)
30u+14v=20 …….(6)
——————————–
जोड़ने पर-
65u=13

u=\frac { 13 }{ 65 } \\ \Rightarrow u=\frac { 1 }{ 5 }

u का मान समीकरण (3) में रखने पर-

5(\frac { 1 }{ 5 } )-2v=-1\\ \Rightarrow 1-2v=-1\\ \Rightarrow -2v=-1-1\\ \Rightarrow -2v=-2\\ \Rightarrow v=1\\ \because u=\frac { 1 }{ 5 } \\ \Rightarrow \frac { 1 }{ x+y } =\frac { 1 }{ 5 } \\ \Rightarrow x+y=5...........(5)\\ \because v=1\\ \Rightarrow \frac { 1 }{ x-y } =1\\ \Rightarrow x-y=1...........(6)

x+y=5 ………..(5)
——————————-
जोड़ने पर-

2x=6\\ \Rightarrow x=\frac { 6 }{ 2 } \\ \Rightarrow x=3

x का मान समीकरण (6) में रखने पर-

3-y=1\\ \Rightarrow -y=1-3\\ \Rightarrow -y=-2\\ \Rightarrow y=2\\ x=3,y=2

Example-7. 5x+6y=3xy,10x+9y=5xy
Solution-
5x+6y=3xy

\Rightarrow \frac { 5x }{ xy } +\frac { 6y }{ xy } =3\\ \Rightarrow \frac { 6 }{ x } +\frac { 5 }{ y } =3...(1)

10x+9y=5xy

\Rightarrow \frac { 10x }{ xy } +\frac { 9y }{ xy } =5\\ \Rightarrow \frac { 9 }{ x } +\frac { 10 }{ y } =5...(2)\\ put\quad \frac { 1 }{ x } =u,\frac { 1 }{ y } =v

6u+5v=3 ……..(3)
9u+10v=5 ………(4)
समीकरण (1) को 2 से गुणा करने पर-
12u+10v=6 …..(5)
9u+10v=5 ……(4)
– – –
——————————-
घटाने पर-

3u=1

\Rightarrow u=\frac { 1 }{ 3 }

u का मान समीकरण (3) में रखने पर-

6(\frac { 1 }{ 3 } )+5v=3\\ \Rightarrow 2+5v=3\\ \Rightarrow 5v=3-2\\ \Rightarrow 5v=1\\ \Rightarrow v=\frac { 1 }{ 5 } \\ u=\frac { 1 }{ 3 } \Rightarrow \frac { 1 }{ x } =\frac { 1 }{ 3 } \Rightarrow x=3\\ v=\frac { 1 }{ 5 } \Rightarrow \frac { 1 }{ y } =\frac { 1 }{ 5 } \Rightarrow y=5

x=3,y=5
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा गुणांकों को समान बनाकर विलोपन विधि (Method of elimination by equating coefficients) को समझ सकते हैं।

3.गुणांकों को समान बनाकर विलोपन विधि का प्रयोग करते हुए निम्न समीकरणों को हल कीजिए (Solve the following system of equations using the elimination method by equating coefficients)-

(1)3x-2y+10=0,y-2x=3\\ (2)x+2y=\frac { 3 }{ 2 } ,2x+y=\frac { 3 }{ 2 } \\ (3)\frac { 1 }{ 2x } -\frac { 1 }{ y } =-1,\frac { 1 }{ x } +\frac { 1 }{ 2y } =8\\ (4)4x+5y=31,7x-2y=22\\ (5)\frac { 20 }{ x } +\frac { 2 }{ y } =6,\frac { 10 }{ x } -\frac { 1 }{ y } =2
उत्तर-(1)x=-1,y=1\\ (2)x=\frac { 1 }{ 2 } ,y=\frac { 1 }{ 2 } \\ (3)x=\frac { 1 }{ 6 } ,y=\frac { 1 }{ 4 } \\ (4)x=4,y=3\\ (5)x=4,y=2
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर गुणांकों को समान बनाकर विलोपन विधि (Method of elimination by equating coefficients) ठीक से समझ में आ जाएगा।

4.विलोपन विधि का सूत्र क्या है? (What is the formula of elimination method?)-

• विलोपन विधि में आप एक चर में समीकरण प्राप्त करने के लिए समीकरणों को जोड़ते या घटाते हैं।जब एक चर के गुणांक विपरीत चिन्ह के होते हैं तो आप एक चर को खत्म करने के लिए समीकरण जोड़ते हैं और जब एक चर के गुणांक बराबर परन्तु समान चिन्ह के होते हैं तो आप एक चर को खत्म करने के लिए समीकरणों को घटाते हैं।

5.समीकरणों के निकाय को हल करने के 3 तरीके क्या हैं? (What are the 3 methods of solving a system of equations?)-

• दो चर में रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करने के तीन तरीके हैं: रेखांकन(ग्राफ विधि),प्रतिस्थापन विधि, विलोपन विधि।

6.समान गुणांक काम क्यों करता है? (Why does equating coefficients work?)-

• गणित में, गुणांकों को बराबर करने की विधि कई अज्ञात मापदंडों के लिए दो अभिव्यक्तियों जैसे कि बहुपद के फलनात्मक समीकरण (Functional Equation) को हल करने का एक तरीका है।यह इस तथ्य पर निर्भर करता है कि जब दो अलग-अलग प्रकार के पद के लिए समान गुणांक समान होते हैं, तो दो अभिव्यक्तियां समान रूप से ठीक होती हैं।

7.विलोपन विधि (Elimination method)-

• विलोपन विधि में आप एक चर में समीकरण प्राप्त करने के लिए समीकरणों को जोड़ते या घटाते हैं।जब एक चर के गुणांक विपरीत चिन्ह के होते हैं तो आप एक चर को खत्म करने के लिए समीकरण जोड़ते हैं और जब एक चर के गुणांक बराबर व समान चिन्ह के होते हैं तो आप एक चर को खत्म करने के लिए समीकरणों को घटाते हैं।

8.प्रतिस्थापन द्वारा विलोपन विधि (Method of elimination by substitution)-

• इस विधि में, एक समीकरण में दूसरे चर के मूल्य को प्रतिस्थापित करके चर का विलोपन किया जा सकता है। इसलिए, इस विधि को प्रतिस्थापन विधि द्वारा विलोपन कहा जाता है।

9.क्रास गुणन विधि (Cross multiplication method)-

• व्यवहार में, क्रॉस-गुणा करने की विधि का अर्थ है कि हम प्रत्येक पक्ष (या एक) पक्ष के अंश को दूसरे पक्ष के हर से गुणा करते हैं, प्रभावी रूप से पदों को पार करते हैं।इन प्रक्रियाओं में प्रत्येक चरण समीकरणों की एकल, मौलिक गुणधर्मों पर आधारित है।

10.गुणांक मिलान की विधि (Method of matching coefficients),सर्वसमिका में गुणांक बराबर करना (Equating coefficients in identities)-

• गणित में, गुणांकों को बराबर करने की विधि कई अज्ञात मापदंडों के लिए दो अभिव्यक्तियों जैसे कि बहुपद के फलनात्मक समीकरण (Functional Equation) को हल करने का एक तरीका है।यह इस तथ्य पर निर्भर करता है कि जब दो अलग-अलग प्रकार के पद के लिए समान गुणांक समान होते हैं, तो दो अभिव्यक्तियां समान रूप से ठीक होती हैं।
• उपर्युक्त उदाहरणों, सवालों,प्रश्नों तथा थ्योरी के द्वारा गुणांकों को समान बनाकर विलोपन विधि (Method of elimination by equating coefficients) को ठीक से समझा जा सकता है।

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