Mean Deviation in Statistics
1.सांख्यिकी में माध्य विचलन (Mean Deviation in Statistics),माध्य विचलन गुणांक (Coefficient of Mean Deviation):
सांख्यिकी में माध्य विचलन (Mean Deviation in Statistics) किसी समंकश्रेणी के किसी सांख्यिकीय माध्य (समान्तर माध्य,मध्यका या बहुलक) से निकाले गए विभिन्न मूल्यों का समान्तर माध्य होता है।मूल्यों के विचलन निकालते समय बीजगणितीय चिन्ह + तथा – को छोड़ दिया जाता है अर्थात् ऋणात्मक चिन्ह (negative deviation) भी धनात्मक (positive) मान लिए जाते हैं।यदि प्रश्न में आधार माध्य के सम्बन्ध में कुछ नहीं कहा गया हो तो छात्रों को चाहिए कि ‘मध्यका’ को ही आधार मानकर माध्य विचलन की गणना करें।
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2.सांख्यिकी में माध्य विचवन तथा उसके गुणांक के सूत्र (Formulae of Mean Devataon and its Coefficient in Statistics):
व्यक्तिगत श्रेणी (Individual Series) प्रत्यक्ष रीति (Direct Method)
| आधार | माध्य विचलन (Mean Deviation) | माध्य विचलन गुणांक (Coefficient of Mean Deviation) |
| समान्तर माध्य से | \delta_{\bar{X}}=\frac{\sum|d \bar{X}|}{N} | coeff. \delta_{\bar{X}}=\frac{\delta_{\bar{X}}}{\bar{X}} |
| मध्यका से | \delta_{M}= \frac{\Sigma |d M|}{N} | coeff. \delta_{M}=\frac{\delta_{M}}{M} |
| बहुलक से | \delta_{z}=\frac{\Sigma |d z|}{N} | coeff. \delta_{z}=\frac{\delta_{z}}{M} |
(डेल्टा) ग्रीक भाषा का अक्षर ‘Small Delta’s है।
यहाँ \delta=Mean Deviation, d_{\bar{X}}=Deviation from Mean
\delta_{M}=Deviation from Median,N=Number of Items
व्यक्तिगत श्रेणी (Individual Series) अप्रत्यक्ष रीति (Indirect Method)
| आधार | माध्य विचलन (Mean Deviation) |
| समान्तर माध्य से | \delta_{\bar{X}}=\frac{\sum X_{a}-\sum X_{b}-(N_{a}-N_{b}) \bar{X}}{N} |
| मध्यका से | \delta_{M}=\frac{\Sigma m_{a}-\Sigma m_{b}}{N} |
\delta_{\bar{X}}=समान्तर माध्य से माध्य विचलन (Mean Deviation from Arithmetic Mean)
\Sigma X_{a}=समान्तर माध्य से बड़े मूल्यों का योग (Total of values above the arithmetic mean)
\Sigma X_{b}=समान्तर माध्य से छोटे मूल्यों का योग (Total of values below the arithmetic mean)
\Sigma N_{a}=समान्तर माध्य से अधिक मूल्य वाले मदों की संख्या (Number of items above the mean)
\Sigma N_{b}=समान्तर माध्य से कम मूल्य वाले मदों की संख्या (Number of items below the mean)
खण्डित श्रेणी (Discrete Series) प्रत्यक्ष रीति (Direct Method)
| आधार | माध्य विचलन (Mean Deviation) |
| समान्तर माध्य से | \delta_{\bar{x}}=\frac{\Sigma f|d \bar{x}|}{N} |
| मध्यका से | \delta_{M}= \frac{\Sigma f|d M|}{N} |
| बहुलक से | \delta_{Z}=\frac{\Sigma |d Z|}{N} |
खण्डित श्रेणी (Discrete Series) अप्रत्यक्ष रीति (Indirect Method)
| आधार | माध्य विचलन (Mean Deviation) |
| समान्तर माध्य से | \delta_{\bar{X}}=\frac{\Sigma f X_{a}-\Sigma f X_{b}-(N_{a}-N_{b}) X}{N} |
| मध्यका से | \delta_{M}=\frac{\Sigma f M_{a}-\Sigma f M_{b}-(N_{a}-N_{b})M}{N} |
इन सूत्रों में प्रयोग संकेतों का अर्थ निम्नवत हैं :-
\Sigma f X_{a}=प्रयुक्त माध्य से अधिक मूल्यों एवं उनकी आवर्तियों के गुणनफल का योग (Total of products of size and frequency above the average)
\Sigma f X_{b}=प्रयुक्त माध्य से कम मूल्यों एवं उनकी आवर्तियों के गुणनफल का योग (Total of products of size and frequency below the average)
\Sigma N_{a}=समान्तर माध्य से अधिक मूल्य वाले मदों की संख्या (Number of items above the mean)
\Sigma N_{b}=समान्तर माध्य से कम मूल्य वाले मदों की संख्या (Number of items below the mean)
\delta_{M}=मध्यका से माध्य विचलन (Mean Deviation from Median)
\Sigma m_{a}=मध्यका से अधिक मूल्यवाली मदों के मूल्यों का योग (Total of items above the median)
\Sigma m_{b}=मध्यका से कम मूल्यवाली मदों के मूल्यों का योग (Total of values of items below the median)
3.सांख्यिकी में माध्य विचलन पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Mean Deviation in Statistics):
Example:1.आय सम्बन्धी निम्न समंकों से मध्यका, माध्य विचलन तथा उसके गुणक का परिकलन कीजिए:
(Calculate median, mean deviation and its coefficient from the following data relating to incomes):
Rs.4000,4200,4400,4800
Solution: Calculation Table of Mean Deviation
| S.No. | incomes | Deviation from median |
| X | |dM|=|X-M| | |
| 1 | 4000 | |4000-4300|=300 |
| 2 | 4200 | |4200-4300|=100 |
| 3 | 4400 | |4400-4300|=100 |
| 4 | 4800 | |4800-4300|=500 |
| Total | \Sigma |d_{M}|=1000 |
M=Size of \frac{4+1}{2} th item
M=Size of 2.5 th item
=\frac{4200+4400}{2}=\frac{8600}{2}=4300
\delta_{M}=\frac{\sum\left|d_{M}\right|}{N}=\frac{1000}{4} \\ \Rightarrow \delta_{M}=250
Cofficient of \delta_{M}=\frac{\delta_{M}}{M}=\frac{250}{4300} \approx 0.058
Example:2.कुछ कर्मचारियों के मासिक वेतन से सम्बन्धित समंक निम्नलिखित हैं,मध्यका से माध्य विचलन और उसके गुणक की परिगणना कीजिए:
(The following are the monthly salaries of some employees, calculate mean deviation from median and its coefficient):
Rupees 300,300,300,375,400,400,450,450,475,480,500,500,525,500,525,550,625,650,900
Solution: Calculation of Mean Deviation
| S. No | Salaries | Deviation from median |
| (X) | |dM|=|X-M| | |
| 1 | 300 | |300-480|=180 |
| 2 | 300 | |300-480|=180 |
| 3 | 300 | |300-480|=180 |
| 4 | 375 | |375-480|=105 |
| 5 | 400 | |400-480|=80 |
| 6 | 400 | |400-480|=80 |
| 7 | 450 | |450-480|=30 |
| 8 | 450 | |450-480|=30 |
| 9 | 475 | |475-480|=5 |
| 10 | 480 | |480-480|=0 |
| 11 | 500 | |500-480|=20 |
| 12 | 500 | |500-480|=20 |
| 13 | 500 | |500-480|=20 |
| 14 | 525 | |525-480|=45 |
| 15 | 525 | |525-480|=45 |
| 16 | 550 | |550-480|=70 |
| 17 | 625 | |625-480|=145 |
| 18 | 650 | |650-480|=170 |
| 19 | 900 | |900-480|=420 |
| Total | \Sigma|d_{M}|=1825 |
M=Size of \frac{19+1}{2} th item
M=Size of 10 th item
M=480
\delta_{m}=\frac{\sum|d_{M}|}{N}\\=\frac{1825}{19}\\ =96.0526\\ \Rightarrow \delta_{m} \approx 96.05
Cofficient of \delta_{M}=\frac{\delta_{M}}{M} \\ =\frac{96.05}{480}\\ \approx 0.2
Example:3.मध्यका को आधार लेकर माध्य विचलन का परिकलन कीजिए तथा A व B श्रेणियों के विचरण की तुलना कीजिए:
(With median as the base, calculate the mean deviation and compare the variability of the two series A and B.):
| Series A | Series B |
| 3484 | 487 |
| 4572 | 508 |
| 4124 | 620 |
| 3682 | 382 |
| 5624 | 408 |
| 4388 | 266 |
| 3680 | 186 |
| 4308 | 218 |
Solution:-
| S.No. | Series A | Deviation from Median | Series B | Deviation from Median |
| X | |dM|=|X-M| | Y | |d’M|=|X-M| | |
| 1 | 3484 | |3484-4216|=732 | 186 | |186-395|=209 |
| 2 | 3680 | |3680-4216|=536 | 218 | |218-395|=177 |
| 3 | 3682 | |3682-4216|=534 | 266 | |266-395|=129 |
| 4 | 4124 | |4124-4216|=92 | 382 | |382-395|=13 |
| 5 | 4308 | |4308-4216|=92 | 408 | |408-395|=13 |
| 6 | 4388 | |4388-4216|=172 | 487 | |487-395|=92 |
| 7 | 4572 | |4572-4216|=356 | 508 | |508-395|=113 |
| 8 | 5624 | |5624-4216|=1408 | 620 | |620-395|=225 |
| Total | \Sigma|d_{M}|=3922 | \Sigma|d'_{M}|=971 |
Series A
Mean deviation from median(\delta_{M})
M=Size of \frac{8+1}{2} th item
M=Size of 4.5 th item
M=\frac{4124+4308}{2}=4216 \\ \delta_{m}=\frac{\Sigma \mid d_{M} \mid}{N}=\frac{3922}{8} \\ \Rightarrow \delta_{M} \approx 490.25
coefficient of \delta_{m}=\frac{\delta_{M}}{M} \\ =\frac{490.25}{4216} \approx 0.116
Series A
Mean deviation from median(\delta_{M})
M=Size of \frac{8+1}{2} th item
M=Size of 4.5 th item
=\frac{382+408}{2} \\ M=\frac{395}{2} \\ \delta_{M}^{\prime}=\frac{\Sigma\left|d_{M}^{\prime} \right|}{N}\\=\frac{971}{8}=121.375 \\ \Rightarrow \delta_{M}^{\prime} \approx 121.38
coefficient of \delta_{M}=\frac{\delta_{M}^{\prime}}{M} =\frac{121.38}{395} \approx 0.307
Example:4.एक सड़क पर दुर्घटनाओं की निम्न सूचना से मध्यका द्वारा माध्य विचलन तथा विचलन गुणक ज्ञात कीजिए:
(From the following information about the accidents on a road, calculate the Mean Deviation from the median and its coefficient):
| No. of accident per day | No. of Days |
| 0 | 10 |
| 1 | 15 |
| 2 | 18 |
| 3 | 30 |
| 4 | 11 |
| 5 | 6 |
Solution:
Calculation Table of Mean Deviation from Median
| No. of accident | No. of days | cf | Deviation from Median | f|dM| |
| per day(X) | f | |dM|=|X-M| | ||
| 0 | 10 | 10 | |0-3|=3 | 30 |
| 1 | 15 | 25 | |1-3|=2 | 30 |
| 2 | 18 | 43 | |2-3|=1 | 18 |
| 3 | 30 | 73 | |3-3|=0 | 0 |
| 4 | 11 | 84 | |4-3|=1 | 11 |
| 5 | 6 | 90 | |5-3|=2 | 12 |
| Total | 9 | 101 |
\frac{N+1}{2}=\frac{90+1}{2}=45.5
अतः M=3
\delta_{m}=\frac{\Sigma f|d_{M}|}{N}=\frac{101}{90} \\ \delta_{M}=1.122 \\ \Rightarrow \delta_{M} \approx 1.12
coefficient of \delta_{M}=\frac{\delta_{M}}{M} \\ =\frac{1.12}{3}=0.373 \approx 0.37
Example:5.निम्न श्रेणी का माध्य विचलन (M.D.) एवं उसके गुणक (its Coefficient) की गणना कीजिए:
| Size(X) | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| frequency(f) | 3 | 12 | 18 | 12 | 3 |
Solution:-
| Size | frequency | cf | fx | from median | f|dM| | from Mean | |
| (X) | (f) | |dM|=|X-M| | |dx|=|X- \bar{X}| | f|dx| | |||
| 10 | 3 | 3 | 30 | |10-12|=2 | 6 | |10-12|=2 | 6 |
| 11 | 12 | 15 | 132 | |11-12|=1 | 12 | |11-12|=1 | 12 |
| 12 | 18 | 33 | 216 | |12-12|=0 | 0 | |12-12|=0 | 0 |
| 13 | 12 | 45 | 156 | |13-12|=1 | 12 | |13-12|=1 | 12 |
| 14 | 3 | 48 | 42 | |14-12|=2 | 6 | |14-12|=2 | 6 |
| Total | 576 | 36 | 36 |
cofficient of \delta_{M}=\frac{\delta_{M}}{M}\\ =\frac{0.75}{12}\\ =0.0625\\ \bar{X}=\frac{\Sigma f x}{\sum f} \\ \bar{X} =\frac{576}{48}=12 \\ \delta_{\bar{X}} =\frac{\Sigma f|d_{X}|}{N} \\ =\frac{36}{48} \\ =0.75
coefficient of \delta_{\bar{X}}=\frac{\delta_{\bar{X}}}{\bar{X}} \\ =\frac{0.75}{12} \\ =0.0625
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सांख्यिकी में माध्य विचलन (Mean Deviation in Statistics),माध्य विचलन गुणांक (Coefficient of Mean Deviation) को समझ सकते हैं।
4.सांख्यिकी में माध्य विचलन के सवाल (Mean Deviation in Statistics Questions):
(1.)कुछ कर्मचारियों के मासिक वेतन निम्नवत् हैं
(The following are the monthly salaries of some employees):
Rs.200,250,375,405,420,450,450,450,470,500
समान्तर माध्य, मध्यका तथा बहुलक का प्रयोग करके माध्य विचलन तथा उनके गुणक ज्ञात कीजिए:
(Calculate mean Deviation and its coefficient from Arithmetic Men, Median and Mode):
(2.)किसी स्थान के 100 परिवारों से सम्बन्धित निम्न समंकों से माध्य विचलन व उसका गुणक ज्ञात कीजिए:
(Calculate the mean Deviation and its coefficient from the following data with regard to 100 families of a certain locality):
| No. of Persons | No. of families |
| 1 | 15 |
| 2 | 20 |
| 3 | 16 |
| 4 | 12 |
| 5 | 10 |
| 6 | 9 |
| 7 | 8 |
| 8 | 6 |
| 9 | 4 |
उत्तर (Answers):(1)\bar{X}=RS. 397, \delta_{\bar{X}}=Rs 73.2 ,C. of \delta_{\bar{X}}=0.18,M=Rs 435,\delta_{M}=Rs 67,C. of \delta_{M}=0.154, Z=450, \delta_{Z}=Rs 67, coff. Of \delta_{z}=0.15
(2)M=3,\delta_{m}=1.95 persons ,coff. Of \delta_{M}=0.65, \bar{X}=3.95 persons, \delta_{\bar{X}}=1.97 persons, coeff. of \delta_{\bar{X}}=0.50, Z=2 persons,\delta_{Z}=2.25 persons, coeff. of \delta_{Z}=1.125
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सांख्यिकी में माध्य विचलन (Mean Deviation in Statistics),माध्य विचलन गुणांक (Coefficient of Mean Deviation) को ठीक से समझ सकते हैं।
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5.सांख्यिकी में माध्य विचलन (Mean Deviation in Statistics),माध्य विचलन गुणांक (Coefficient of Mean Deviation) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.व्यक्तिगत श्रेणी में प्रत्यक्ष रीति से माध्य विचलन और उसके गुणक की गणना कैसे करते हैं? (How to calculate the mean deviation and its coefficient by direct method in an individual series?):
उत्तर:(1.)सर्वप्रथम माध्य,मध्यका या बहुलक जिससे भी माध्य ज्ञात करना हो, वह माध्य ज्ञात किया जाता है।
(2.)सम्बन्धित माध्य से समस्त पद-मूल्यों के निरपेक्ष विचलन (Absolute deviation) ज्ञात किए जाते हैं जिनमें ऋणात्मक चिन्हों पर ध्यान नहीं दिया जाता है।
(3.)सभी विचलनों का योग प्राप्त करते हैं:\Sigma|d|
(4.)विचलनों के योग में पदों की संख्या का भाग देने पर प्राप्त फल ही माध्य विचलन होता है।
(5.)माध्य विचलन में उस माध्य का भाग देने पर (जिस माध्य से विचलन लिए गए हैं) प्राप्त फल माध्य विचलन गुणक होगा।सूत्र निम्नलिखित है:
(1)समान्तर माध्य से-माध्य विचलन (Mean Deviation)
\delta_{\bar{X}}=\frac{\sum|d \bar{X}|}{N}
माध्य विचलन गुणांक (Coefficient of Mean Deviation)
coeff. \delta_{\bar{X}}=\frac{\delta_{\bar{X}}}{\bar{X}}
(2)मध्यका से-माध्य विचलन (Mean Deviation)
\delta_{M}= \frac{\Sigma |d M|}{N}
माध्य विचलन गुणांक (Coefficient of Mean Deviation)
coeff. \delta_{M}=\frac{\delta_{M}}{M}
(3)बहुलक से-माध्य विचलन (Mean Deviation)
\delta_{z}=\frac{\Sigma |d z|}{N}
माध्य विचलन गुणांक (Coefficient of Mean Deviation)
coeff. \delta_{z}=\frac{\delta_{z}}{M}
प्रश्न:2.व्यक्तिगत श्रेणी में लघुरीति से माध्य विचलन की गणना कैसे करते हैं? (How do we calculate the mean deviation from short-cut method in individual series?):
उत्तर:(अ)समान्तर माध्य से माध्य विचलन ज्ञात करने की प्रक्रिया निम्न है:
(1.)सर्वप्रथम \bar{X} समान्तर माध्य ज्ञात करते हैं।
(2.)समान्तर माध्य से बड़े मूल्यों का योग \Sigma x_{a} तथा उससे छोटे मूल्यों का योग \Sigma x_{b} पृथक-पृथक ज्ञात करते हैं।
(3.)समान्तर माध्य से अधिक मूल्यवाले पदों की कुल संख्या (N_{a}) तथा छोटे मूल्यवाले पदों की कुल संख्या (N_{b}) ज्ञात कर लेते हैं।
(4.)तत्पश्चात् निम्न सूत्र का प्रयोग करते हैं:
\delta_{\bar{X}}=\frac{\sum X_{a}-\sum X_{b}-(N_{a}-N_{b}) \bar{X}}{N}
(ब)मध्यका से माध्य विचलन की गणना विधि निम्नवत् है:
(1.)समस्त पदों को मूल्यानुसार आरोही या अवरोही (Ascending or Descending) क्रम में रखकर मध्यका (Median) ज्ञात करते हैं।
(2.)मध्यका मूल्य से अधिक मूल्यों (मध्यका पद के पद मूल्यों) का योग (\Sigma m_{a}) तथा मध्यका मूल्य से कम मूल्यों (मध्यका पद के पहले वाले पद-मूल्यों) का योग (\Sigma m_{b}) ज्ञात कर लेते हैं।
(3.)निम्न सूत्र का प्रयोग करके माध्य विचलन की गणना करेंगे:
\delta_{M}=\frac{\Sigma m_{a}-\Sigma m_{b}}{N}
प्रश्न:3.खण्डित श्रेणी में प्रत्यक्ष रीति से माध्य विचलन और उसके गुणक की गणना कैसे करते हैं? (How to calculate the mean deviation and its coefficient from direct method in Discrete series?):
उत्तर:प्रत्यक्ष रीति से खण्डित श्रेणी में माध्य विचलन की गणना विधि निम्नवत् है:
(1.)जिस माध्य से माध्य विचलन ज्ञात करना हो, सर्वप्रथम उस माध्य को माध्य ज्ञात करते हैं।
(2.)उस माध्य से पद मूल्यों के विचलन निकालते हैं।सभी विचलनों को धनात्मक मानते हैं. \Sigma |d|
(3.)सभी विचलनों को उनसे सम्बन्धित आवृत्तियों से गुणा करके गुणनफल का योग करते हैं. \Sigma f|d|
(4.)तत्पश्चात् निम्न सूत्र का प्रयोग करके माध्य विचलन ज्ञात करते हैं।
आधार माध्य विचलन (Mean Deviation):
समान्तर माध्य से \delta_{\bar{x}}=\frac{\Sigma f|d \bar{x}|}{N}
मध्यका से \delta_{M}= \frac{\Sigma f|d M|}{N}
बहुलक से \delta_{Z}=\frac{\Sigma |d Z|}{N}
प्रश्न:4.खण्डित श्रेणी में लघुरीति से माध्य विचलन कैसे ज्ञात करते हैं? (How to calculate the mean deviation from the indirect method in the Discrete series?):
उत्तर:(1.)सर्वप्रथम जिस माध्य से माध्य विचलन की गणना करनी हो,उसकी गणना की जाती है।
(2.)पदों के मूल्यों से (X) आवृत्ति (f) को गुणा कर लिया जाता है।
(3.)जिस माध्य से विचलन ज्ञात करना हो उससे अधिक मूल्यों की आवृत्तियों से गुणनफल का योग (\Sigma f X_{a}) ज्ञात कर लिया जाता है,इसी प्रकार माध्य मूल्यों से कम मूल्यों की आवृत्तियों से गुणनफल का योग (\Sigma f X_{b}) निकाल लिया जाता है।माध्य मूल्य के बिल्कुल बराबर मूल्य से सम्बद्ध आवृत्ति के गुणनफल को छोड़ दिया जाता है।
(4.)माध्य को क्रमशः अधिक व कम मूल्यों की आवृत्तियों के योग (\Sigma N_{a}) तथा (\Sigma N_{b}) भी ज्ञात करते हैं।माध्यों के बराबर मूल्य से सम्बन्धित आवृत्ति को गणना में सम्मिलित नहीं किया जाता है।
(5.)अन्त में निम्न सूत्र का प्रयोग किया जाता है:
(i)समान्तर माध्य से-माध्य विचलन (Mean Deviation)
\delta_{\bar{X}}=\frac{\Sigma f X_{a}-\Sigma f X_{b}-(N_{a}-N_{b}) X}{N}
(ii)मध्यका से-माध्य विचलन (Mean Deviation)
\delta_{M}=\frac{\Sigma f M_{a}-\Sigma f M_{b}-(N_{a}-N_{b})M}{N}
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा सांख्यिकी में माध्य विचलन (Mean Deviation in Statistics),माध्य विचलन गुणांक (Coefficient of Mean Deviation) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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सांख्यिकी में माध्य विचलन (Mean Deviation in Statistics) किसी समंकश्रेणी के किसी
सांख्यिकीय माध्य (समान्तर माध्य,मध्यका या बहुलक) से निकाले गए विभिन्न मूल्यों का
समान्तर माध्य होता है।
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Satyam
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