1.लघुरीति से समान्तर माध्य (Mean By Shortcut Method),समूहित डेटा के लिए माध्य कैसे गणना करें? (How to Calculate Mean for Grouped Data):

Mean By Shortcut Method

लघुरीति से समान्तर माध्य (Mean By Shortcut Method) ज्ञात करना इस आर्टिकल में सीखेंगे।वर्गीकृत आँकड़ों में प्रत्येक वर्ग अन्तराल के लिए हमें एक ऐसे बिन्दु (मान) की आवश्यकता है जो पूरे अन्तराल का प्रतिनिधित्व करे।यह मान लिया जाता है कि प्रत्येक वर्ग,वर्ग अन्तराल की बारम्बारता उसके मध्य-बिन्दु के चारों ओर केन्द्रित होती है।अतः प्रत्येक वर्ग के मध्य-बिन्दु (Mid-Point) [या वर्ग चिन्ह (Class Mark)] को उस वर्ग में आनेवाले सभी प्रेक्षणों का प्रतिनिधित्व (Representative) माना जा सकता है।एक वर्ग अन्तराल का मध्य-बिन्दु (या वर्ग चिन्ह) उसकी उपरि और निचली सीमाओं का औसत निकालकर ज्ञात करते हैं।अर्थात्
मध्य-बिन्दु या वर्ग चिन्ह=\frac{\text{उपरि वर्ग सीमा+निचली वर्ग सीमा}}{2} 
समान्तर माध्य ज्ञात करने की निम्न रीतियाँ हैं:
(1.)प्रत्यक्ष रीति (Direct Method)
(2.)अप्रत्यक्ष रीति (Indirect Method) या कल्पित माध्य विधि (Assumed Mean Method) या लघुरीति (Shortcut Method)
(3.)पद विचलन विधि (Step Deviation Method)
प्रत्यक्ष विधि सूत्र (Direct Method Formula):

समान्तर माध्य \overline{X}=\frac{\sum f_{i} x_{i}}{\sum f_{i}} 
अप्रत्यक्ष रीति सूत्र (Indirect Method Formula) या कल्पित माध्य विधि सूत्र (Assumed Mean Method Formula) या लघुरीति सूत्र (Shortcut Method Formula)

समान्तर माध्य \overline{X}=a+\frac{\sum f_{i} d_{i}}{\sum f_{i}} 
पद विचलन विधि सूत्र (Step Deviation Method Formula)

समान्तर माध्य \overline{X}=a+\left(\frac{\sum f_{i} u_{i}}{\sum f_{i}}\right) \times h 
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2.लघुरीति से समान्तर माध्य के उदाहरण (Mean By Shortcut Method Examples):

Example:1.विद्यार्थियों के एक समूह द्वारा अपने पर्यावरण संचेतना अभियान के अन्तर्गत एक सर्वेक्षण किया गया जिसमें उन्होंने एक मोहल्ले के 20 घरों में लगे हुए पौधों से सम्बन्धित निम्नलिखित आँकड़ें एकत्रित किए।प्रति घर माध्य पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए।

माध्य ज्ञात करने के लिए आपने किस विधि का प्रयोग किया और क्यों?
Solution:माना a=7,h=2 तब d_{i}=x_{i}-7

समान्तर माध्य \overline{X} =a+\frac{\sum f_{i} d_{i}}{\sum f_{i}} \\ =7+\frac{22}{20} \\ \overline{X}=7+1.1 \\ \overline{X}=8.1
हमने अप्रत्यक्ष रीति का प्रयोग किया है क्योंकि इससे गणना सरल हो गई है।

Example:2.किसी फैक्टरी के 50 श्रमिकों की दैनिक मजदूरी के निम्नलिखित बंटन पर विचार कीजिए:

Solution:

माना a=150,h=20 तब d_{i}=x_{i}-150 
लघुरीति (Shortcut Method):
समान्तर माध्य \overline{X} =a+\frac{\sum f_{i} d_{i}}{\sum f_{i}} \\ =150+\frac{(-240)}{50} \\ =150-\frac{240}{50} \\ =150-4.8 \\ \overline{X} =145.2 
पद विचलन विधि (Step Deviation Method):
समान्तर माध्य \overline{X}=a+\left(\frac{\sum f_{i} u_{i}}{\sum f_{i}}\right) \times h \\ =150+\left(\frac{-12}{50}\right) \times 20 \\ =150-0.24 \times 20 \\ =150-4.8 \\ \overline{X} =145.20  
Example:3.निम्नलिखित बंटन एक मोहल्ले के बच्चों के दैनिक जेबखर्च दर्शाता है।माध्य जेबखर्च 18 रु. है।लुप्त बारम्बारता f ज्ञात कीजिए:

Solution:

प्रत्यक्ष रीति (Direct Method):
समान्तर माध्य (\overline{X})=\frac{\sum f_{i} x_{i}}{\sum f_{i}} \\ 18=\frac{752+20 f}{44+f} \\ \Rightarrow 18(44+f)=752+20 f \\ \Rightarrow 792+18 f=752+20 f \\ \Rightarrow 18f-20 f=752-792 \\ \Rightarrow -2 f=-40 \\ \Rightarrow f=-\frac{40}{2} \\ \Rightarrow f=20 
Example:4.किसी अस्पताल में एक डॉक्टर द्वारा 30 महिलाओं की जाँच की गई और उनके हृदय स्पंदन (beat) की प्रति मिनट संख्या नोट करके नीचे दर्शाए अनुसार संक्षिप्त रूप में लिखी गई।एक उपयुक्त विधि चुनते हुए,इन महिलाओं के हृदय स्पंदन की प्रति मिनट माध्य संख्या ज्ञात कीजिए:

Solution:

लघुरीति (Shortcut Method):
माना a=75.5,तब d_{i}=x_{i}-75.5
समान्तर माध्य (\overline{X})=a+\frac{\sum f_{i} d_{i}}{\sum f_{i}} \\ =75.5+\frac{12}{30} \\ =75.5+0.4 \\ \Rightarrow (\overline{X})=75.9
Example:5.किसी फुटकर बाजार में फल विक्रेता पेटियों में रखे आम बेच रहे थे।इन पेटियों में आमों की संख्याएं भिन्न-भिन्न थी।पेटियों की संख्या के अनुसार आमों का बंटन निम्नलिखित था:

एक पेटी में रखे आमों की माध्य संख्या ज्ञात कीजिए।आपने माध्य ज्ञात करने की कौनसी विधि का प्रयोग किया है?
Solution:

प्रत्यक्ष रीति (Direct Method):
समान्तर माध्य (\overline{X})=\frac{\sum f_{i} x_{i}}{\sum f_{i}} \\ =\frac{22875}{400} \\ =57.1875 \\ (\overline{X})=57.19 

Mean By Shortcut Method

Example:6.निम्नलिखित सारणी किसी मोहल्ले के 25 परिवारों में भोजन पर हुए दैनिक व्यय को दर्शाती है:

एक उपयुक्त विधि द्वारा भोजन पर हुआ माध्य ज्ञात कीजिए।
Solution:-

लघुरीति (Shortcut Method):
माना a=225,तब d_{i}=x_{i}-225  
समान्तर माध्य (\overline{X})=a+\frac{\sum f_{i} d_{i}}{\sum f_{i}} \\ =225-\frac{350}{25} \\ =225-14 \\ (\overline{X})=211 
Example:7.वायु में सल्फर डाई ऑक्साइड की सान्द्रता (भाग प्रति मिलियन में) को ज्ञात करने के लिए,एक नगर के 30 मोहल्लों से आँकड़ें एकत्रित किए गए, जिन्हें नीचे प्रस्तुत किया गया है:

वायु में की सान्द्रता ज्ञात कीजिए।
Solution:

लघुरीति (Shortcut Method):
माना a=0.10,तब d_{i}=x_{i}-0.10 
समान्तर माध्य (\overline{X})=a+\frac{\sum f_{i} d_{i}}{\sum f_{i}} \\ =0.10+\frac{(-0.04)}{30} \\ =0.10-0.0013 \\ \Rightarrow (\overline{X})=0.0987 \\ \Rightarrow (\overline{X}) =0.099 लगभग
Example:8.किसी कक्षा में अध्यापिका ने पूरे सत्र के लिए अपनी कक्षा के 40 विद्यार्थियों की अनुपस्थिति निम्नलिखित रूप में रिकाॅर्ड (Record) की।एक विद्यार्थी जितने दिन अनुपस्थित रहा उनका माध्य ज्ञात कीजिए:

Solution:

लघुरीति (Shortcut Method):
माना a=17,तब d_{i}=x_{i}-17
समान्तर माध्य (\overline{X})=a+\frac{\sum f_{i}d_{i}}{\sum f_{i}} \\ =17+\frac{(-181)}{40}\\ =17-4.525\\ =12.475\\(\overline{X})=12.48 लगभग
Example:9.निम्नलिखित सारणी 35 नगरों की साक्षरता दर (प्रतिशत) में, दर्शाती है।माध्य साक्षरता दर ज्ञात कीजिए:

Solution:

पद विचलन विधि (Step Deviation Method):
a=70,h=10,u_{i}=\frac{x_{i}-70}{10} 
समान्तर माध्य (\overline{X})=a+\frac{\sum f_{i} u_{i}}{\sum f_{i}} \times h \\ =70+\left(\frac{-2}{35}\right) \times 10 \\ =70-\frac{20}{35} \\ =70-0.571 \\ \Rightarrow (\overline{X})=69.429 \approx 69.43 \%
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा लघुरीति से समान्तर माध्य (Mean By Shortcut Method),समूहित डेटा के लिए माध्य कैसे गणना करें? (How to Calculate Mean for Grouped Data) को समझ सकते हैं।

3.लघुरीति से समान्तर माध्य की समस्याएं (Mean By Shortcut Method Problems):

Mean By Shortcut Method

(1.)नीचे दी गई सारणी भारत के विभिन्न राज्यों एवं संघीय क्षेत्रों (union territories) के ग्रामीण क्षेत्रों के प्राथमिक विद्यालयों में,महिला शिक्षकों के प्रतिशत बंटन को दर्शाती है।महिला शिक्षकों का माध्य ज्ञात कीजिए।

(2.)नीचे दिया हुआ बंटन ,एकदिवसीय क्रिकेट मैचों में, गेंदबाजों द्वारा लिए गए विकिटों की संख्या दर्शाता है।विधि चुनते हुए, लिए गए विकिटों का माध्य ज्ञात कीजिए।यह माध्य क्या सूचित करता है?

उत्तर (Answers):(1.)39.71 (2.)152.89
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर लघुरीति से समान्तर माध्य (Mean By Shortcut Method),समूहित डेटा के लिए माध्य कैसे गणना करें? (How to Calculate Mean for Grouped Data) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.लघुरीति से समान्तर माध्य (Mean By Shortcut Method),समूहित डेटा के लिए माध्य कैसे गणना करें? (How to Calculate Mean for Grouped Data) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

लघुरीति से समान्तर माध्य (Mean By Shortcut Method) ज्ञात करना इस आर्टिकल में सीखेंगे।वर्गीकृत
आँकड़ों में प्रत्येक वर्ग अन्तराल के लिए हमें एक ऐसे बिन्दु (मान) की आवश्यकता है जो पूरे अन्तराल
का प्रतिनिधित्व करे।