Mean and Standard Deviation Class 11
1.कक्षा 11 में माध्य एवं मानक विचलन (Mean and Standard Deviation Class 11),कक्षा 11 में मानक विचलन एवं प्रसरण (Standard Deviation and Variance Class 11):
कक्षा 11 में माध्य एवं मानक विचलन (Mean and Standard Deviation Class 11) के इस आर्टिकल में माध्य,माध्य विचलन,मानक विचलन एवं प्रसरण पर आधारित कुछ विशिष्ट सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.कक्षा 11 में माध्य एवं मानक विचलन पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Mean and Standard Deviation Class 11):
Example:1.आठ प्रेक्षणों का माध्य तथा प्रसरण क्रमशः 9 और 9.25 है।यदि इनमें से छः प्रेक्षण 6,7,10,12,12 और 13 हैं,तो शेष दो प्रेक्षण ज्ञात कीजिए।
Solution:माना दो प्रेक्षण x_1, x_2 हैं।
इसलिए,श्रृंखला 6,7,10,12,12,13, x_1 , x_2 है।
अब माध्य \overline{X}=\frac{6+7+10+12+12+13+x_1+x_2}{8} \\ \Rightarrow 9=\frac{60+x_1+x_2}{8} \\ \Rightarrow 60+x_1+x_2=72 \\ \Rightarrow x_1+x_2=72-60 \\ \Rightarrow x_1+x_2=12 \cdots(1)
साथ ही प्रसरण \sigma^2=\frac{1}{n} \overset{8}{\underset{i=1}{\sum}} \left(x_i-\bar{x}\right)^2
अर्थात् (9.25)= \frac{(6-9)^2+(7-9)^2+(10-9)^2+(12-9)^2+(12-9)^2+(x_1-9)^2+\left(x_2-9\right)^2+(13-9)^2}{8} \\ \Rightarrow 9.25 \times 8= 9+4+1+9+9+\left(x_1-9\right)^2 +\left(x_2-9\right)^2+16 \\ \Rightarrow 74=48+\left(x_1-9\right)^2+\left(x_2-9\right)^2 \\ \Rightarrow 74-48=\left(x_1-9\right)^2+\left(x_2-9\right)^2 \\ \Rightarrow\left(x_1-9\right)^2+\left(x_2-9\right)^2=26 \cdots(2)
समीकरण (1) व (2) से:
\Rightarrow \left(x_1-9\right)^2+\left(12-x_1-9\right)^2=26 \\ \Rightarrow\left(x_1-9\right)^2 +\left(3-x_1\right)^2=26 \\ \Rightarrow x_1^2-18 x_1+81+9-6 x_1+x_1^2=26 \\ \Rightarrow 2 x_1^2-24 x_1 +90=96 \\ \Rightarrow 2 x_1^2-24 x_1+90-26=0 \\ \Rightarrow 2 x_1^2-24 x_1+64=0 \\ \Rightarrow 2\left(x_1^2-12 x_1+32\right)=0 \\ \Rightarrow x_1^2-8 x_1-4 x_1+32=0 \\ \Rightarrow x_1\left(x_1-8\right)-4\left(x_1-8\right)=0 \\ \Rightarrow\left(x_1-8\right)\left(x_1-4\right)=0 \\ \Rightarrow x_1=4,8
जब x_1=4 तो समीकरण (1) से: x_2=8
जब x_1=8 तो समीकरण (1) से: x_2=4
अतः प्रेक्षण हैं:4,8
Example:2.सात प्रेक्षणों का माध्य तथा प्रसरण क्रमशः 8 तथा 16 हैं।यदि इनमें से पाँच प्रेक्षण 2,4,10,12,14 हैं तो शेष प्रेक्षण ज्ञात कीजिए।
Solution:माना दो प्रेक्षण x_1, x_2 हैं।
इसलिए,श्रृंखला 2,4,10,12,14, x_1, x_2 है।
अब माध्य \overline{X}=\frac{2+4+10+12+14+x_1+x_2}{7} \\ \Rightarrow 8=\frac{42+x_1+x_2}{7} \\ \Rightarrow x_1+x_2=56-42 \\ \Rightarrow x_1+x_2=14 \ldots(1)
साथ ही प्रसरण
\sigma^2=\frac{1}{n} \overset{7}{\underset{i=1}{\sum}} \left(x_i-\bar{x}\right)^2 \\ \Rightarrow 16= \frac{(2-8)^2+(4-8)^2+(10-8)^2+(12-8)^2+(14-8)^2+\left(x_1-8\right)^2+\left(x_2-8\right)^2}{7} \\ \Rightarrow 16 \times 7= 36+16+4+16+36+\left(x_1-8\right)^2 +\left(x_2-8\right)^2 \\ \Rightarrow 112=108+\left(x_1-8\right)^2+\left(x_2-8\right)^2 \\ \Rightarrow \left(x_1-8\right)^2+\left(x_2-8\right)^2=112-108 \\ \Rightarrow \left(x_1-8\right)^2+\left(x_2-8\right)^2=4 \cdots(2)
समीकरण (1) व (2) से:
\Rightarrow\left(x_1-8\right)^2+\left(14-x_1-8\right)^2=4 \\ \Rightarrow x_1^2-16 x_1+64+36-12 x_1+x_1^2=4 \\ \Rightarrow 2 x_1^2-28 x_1+100=4 \\ \Rightarrow 2 x_1^2-28 x_1+100-4=0 \\ \Rightarrow 2 x_1^2-28 x_1+96=0 \\ \Rightarrow 2\left(x_1^2-14 x_1+48\right)=0 \\ \Rightarrow x_1^2-8 x_1-6 x_1+48=0 \\ \Rightarrow x_1\left(x_1-8\right)-6\left(x_1-8\right)=0 \\ \Rightarrow\left(x_1-6\right)\left(x_1-8\right)=0 \\ \Rightarrow x_1=6,8
जब x_1=6 तो समीकरण (1) से x_2=8
जब x_1=8 तो समीकरण (1) से x_2=6
अतः प्रेक्षण हैं:6,8
Example:3.छः प्रेक्षणों का माध्य तथा मानक विचलन क्रमशः 8 तथा 4 हैं।यदि प्रत्येक प्रेक्षण को तीन से गुणा कर दिया जाए तो परिणामी प्रेक्षणों का माध्य व मानक विचलन ज्ञात कीजिए।
Solution:मान लीजिए कि प्रेक्षण x_1,x_2, x_3 \ldots, x_6 और उनका माध्य \overline{x} है।
दिया गया है मानक विचलन \sigma=4
n=6 तथा \bar{x}=8 ,हम जानते हैं कि
\overline{X}=\frac{1}{n} \overset{6}{\underset{i=1}{\sum}} x_i \cdots(1) तथा \sigma=\sqrt{\frac{1}{n} \overset{6}{\underset{i=1}{\sum}} \left(x_i-\bar{x}\right)^2} \cdots(2)
यदि प्रत्येक प्रेक्षण को तीन से गुणा किया जाए,तो परिणामी प्रेक्षण y_{i} हैं।
y_i=3 x_i अर्थात् x_i=\frac{1}{3} y_i
इसलिए \bar{y}=\frac{1}{n} \overset{6}{\underset{i=1}{\sum}} y_i=\frac{1}{6} \overset{6}{\underset{i=1}{\sum}} 3 x_i \\ \Rightarrow \bar{y}=3 \cdot \frac{1}{6} \overset{6}{\underset{i=1}{\sum}} x_i=3 \bar{x} \\ \Rightarrow \bar{y}=3 \bar{x} \Rightarrow \bar{x}=\frac{1}{3} \bar{y} \\ \Rightarrow \bar{y}=3 \times 8 \Rightarrow \bar{y}=24
x_{i} और \bar{x} के मान (2) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है।
\sigma=4=\sqrt{\frac{1}{6} \overset{6}{\underset{i=1}{\sum}}\left(\frac{1}{3} y_i-\frac{1}{3} \bar{y}\right)^2} \\ \Rightarrow 4=\sqrt{\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{6} \overset{6}{\underset{i=1}{\sum}} \left(y_i-\bar{y} \right)^2} \\ \Rightarrow 4=\frac{1}{3} \sqrt{\frac{1}{6} \overset{6}{\underset{i=1}{\sum}} \left(y_i-\bar{y} \right)^2}
अतः प्रेक्षणों का मानक विचलन
\sigma=\sqrt{\frac{1}{6} \overset{6}{\underset{i=1}{\sum}} \left(y_i-\bar{y}\right)^2}=12
समान्तर माध्य \bar{y}=24,मानक विचलन=12
Example:4.यदि n प्रेक्षणों x_1,x_2,x_3 \ldots x_n का माध्य \bar{x} तथा प्रसरण \sigma^2 हैं तो सिद्ध कीजिए कि प्रेक्षणों ax_1,a x_2, a x_3, \cdots a x_n का माध्य और प्रसरण क्रमशः a \bar{x} तथा a^2 \sigma^2 ( a \neq 0) हैं।
Solution: x_1,x_2,x_3 \ldots x_n का समान्तर माध्य
\bar{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+\cdots+x_n}{n} \cdots(1)
तथा प्रसरण \sigma^2=\frac{1}{n} \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}} \left(x_i-\bar{x}\right)^2 \cdots(2)
यदि प्रत्येक प्रेक्षण को a से गुणा किया जाए तो परिणामी प्रेक्षण y_{i} है।
अर्थात् y_i=a x_i अर्थात् x_i=\frac{1}{a} y_i
इसलिए \bar{y}=\frac{1}{n} \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}} y_i=\frac{1}{n} \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}} \left(a x_i\right) \\ \Rightarrow \bar{y}=a \cdot \frac{1}{n} \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}} x_i \\ \Rightarrow \bar{y}=a \bar{x} \Rightarrow \bar{x}=\frac{1}{a} \bar{y}
x_{i} तथा \bar{x} के मान (2) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है।
\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}} \left(\frac{1}{a} y_i-\frac{1}{a} \bar{y}\right)^2=\sigma^2 \\ \Rightarrow \frac{1}{a^2} \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}} \left(y_i-\bar{y}\right)^2=\sigma^2 \\ \Rightarrow \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}} \left(y_i-\bar{y}\right)^2=a^2 \sigma^2
अतः a x_1, a x_2, a x_3, \ldots, a x_n का माध्य तथा प्रसरण क्रमशः a \bar{x} तथा a^2 \sigma^2 हैं।
Example:5.बीस प्रेक्षणों का माध्य तथा मानक विचलन क्रमशः 10 तथा 2 हैं।जाँच करने पर यह पाया गया कि प्रेक्षण 8 गलत है।निम्न में से प्रत्येक का सही माध्य तथा मानक विचलन ज्ञात कीजिए यदि
Example:5(i) गलत प्रेक्षण हटा दिया जाए
Solution:प्रेक्षणों की संख्या (n)=20
गलत माध्य =10
गलत मानक विचलन (\sigma)=2 \\ \bar{x}=\frac{1}{n} \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}} x_i \\ \Rightarrow 10=\frac{1}{20} \overset{20}{\underset{i=1}{\sum}} x_i \\ \Rightarrow \overset{20}{\underset{i=1}{\sum}} x_i=200
अर्थात् प्रेक्षणों का गलत योग=200
अतः प्रेक्षणों का सही योग=200-8=192
इसलिए सही माध्य=\frac{ \text{सही योग }}{ 19 } \\ =\frac{192}{19} \approx 10.105
सही माध्य \approx 10.1
साथ ही मानक विचलन \sigma=\sqrt{\frac{1}{n} \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}} x_i^2-\frac{1}{n^2}\left( \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}} x_i\right)^2} \\ 2=\sqrt{\frac{1}{20} \times \text { गलत } \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}} x_i^2-(10)^2} \\ \Rightarrow 4=\frac{1}{20} \times \text { गलत } \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}} x_i^2-100 \\ \Rightarrow \text { गलत } \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}} x_i^2=(4+100) 20 \\ \Rightarrow \text { गलत } \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}} x_i^2=2080
सही \overset{n-1}{\underset{i=1}{\sum}} x_i^2= गलत \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}} x_i^2-(8)^2
सही \overset{n-1}{\underset{i=1}{\sum}} x_i^2=2080-64
सही \overset{n-1}{\underset{i=1}{\sum}} x_i^2=2016
इसलिए सही मानक विचलन
=\sqrt{\text { सही } \frac{\Sigma x_i^2}{n-1}- \text{(सही माध्य )}^2} \\ =\sqrt{\frac{2016}{19}-(10.1)^2} \\ =\sqrt{106.10526-102.01} \\=\sqrt{4.09526} \\ =2.0236 \\ \approx 2.02
Example:5(ii).उसे 12 से बदल दिया जाए
Solution:प्रेक्षणों की संख्या (n)=20
गलत माध्य \bar{x}=10
गलत मानक विचलन (\sigma)=2 \\ \bar{x}=\frac{1}{n} \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}} x_i \\ \Rightarrow 10=\frac{1}{20} \overset{20}{\underset{i=1}{\sum}} x_i \\ \Rightarrow \overset{20}{\underset{i=1}{\sum}} x_i=200
अर्थात् प्रेक्षणों का गलत योग=200
अतः प्रेक्षणों का सही योग=200-8+12=204
इसलिए सही माध्य= \frac{ \text{सही योग }}{ 20 } \\ =\frac{204}{20}
सही माध्य \approx 10.2
साथ ही मानक विचलन \sigma=\sqrt{\frac{1}{n} \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}} x_i^2-\frac{1}{n^2}\left(\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}} x_i\right)^2} \\ \Rightarrow 2=\sqrt{\frac{1}{20} \times \text { गलत } \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}} x_i^2-(10)^2} \\ \Rightarrow 4=\frac{1}{20} \times \text { गलत } \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}} x_i^2-100 \\ \Rightarrow \text { गलत } \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}} x_i^2=(100+4)20 \\ \Rightarrow \text { गलत } \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}} x_i^2=2080
सही \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}} x_i^2 =2080-(8)^2+(12)^2 \\ =2080-64+144
सही \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}} x_i^2=2160
इसलिए सही मानक विचलन
=\sqrt{\frac{\text { सही } \sum x_i^2}{n}-\text{(सही माध्य)}^2} \\ =\sqrt{\frac{2160}{20}-(10.2)^2} \\ =\sqrt{108-104.4} \\ =\sqrt{3.6} \\ =1.897 \\ \approx 1.90
Example:6.एक कक्षा के पचास छात्रों द्वारा तीन विषयों गणित,भौतिक शास्त्र व रसायन शास्त्र में प्राप्तांकों का माध्य व मानक विचलन नीचे दिए गए हैं:
\begin{array}{|cccc|} \hline \text{विषय} & \text{गणित} & \text{भौतिक} & \text{रसायन} \\ \text { माध्य } & 42 & 32 & 40.9 \\ \text { मानक विचलन } & 12 & 15 & 20 \\ \hline \end{array}
किस विषय में सबसे अधिक विचलन है तथा किसमें सबसे कम विचलन है?
Solution: \bar{x}_1=42, \sigma_1=12 \\ \bar{x}_2=32, \sigma_2=15, \bar{x}_3=40.9, \sigma_3=20
C. V. (गणित)=\frac{\sigma_1}{\bar{x}_1} \times 100=\frac{12}{42} \times 100
\Rightarrow C. V. (गणित) \approx 28.57 \%
C.V. (भौतिक शास्त्र) =\frac{\sigma_2}{\bar{x}_2} \times 100=\frac{75}{32} \times 100 \\ =46.875 \%
\Rightarrow C. V. (भौतिक शास्त्र) \approx 46.88 \%
C. V. (रसायन)=\frac{\sigma_3}{\bar{x}_3} \times 100=\frac{20}{40.9} \times 100 \\ =48.899 \%
\Rightarrow C. V. (रसायन) \approx 48.90 \%
अधिकतम विचलन रसायन तथा न्यूनतम विचलन गणित में
Example:7.100 प्रेक्षणों का माध्य तथा मानक विचलन क्रमशः 20 और 3 है।बाद में यह पाया गया कि तीन प्रेक्षण 21,21 तथा 18 गलत थे।यदि गलत प्रेक्षणों को हटा दिया जाए तो माध्य व मानक विचलन ज्ञात कीजिए।
Solution:प्रेक्षणों की संख्या (n)=100
सही प्रेक्षणों की संख्या=97
गलत माध्य (\bar{x})=20
गलत मानक विचलन (\sigma)=3 \\ \bar{x}=\frac{1}{n} \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}} x_i \\ \Rightarrow 20=\frac{1}{10} \overset{100}{\underset{i=1}{\sum}} x_i \\ \Rightarrow \overset{100}{\underset{i=1}{\sum}} x_i=2000
अर्थात् प्रेक्षणों का गलत योग=2000
अतः प्रेक्षणों का सही योग=2000-21-21-18
=1940
इसलिए सही माध्य= \frac{ \text{सही योग }}{ 97 }
सही माध्य=\frac{1940}{97}=20
साथ ही मानक विचलन \sigma=\sqrt{\frac{1}{n} \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}} x_i^2-\frac{1}{n^2}\left(\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}} x_i\right)^2} \\ 3=\sqrt{\frac{1}{100} \text { गलत } \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}} x_i^2-(20)^2} \\ \Rightarrow 9=\frac{1}{100} \times \text { गलत } \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}} x_i^2-400 \\ \Rightarrow \text { गलत } \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}} x_i^2=100(9+400) \\ \Rightarrow \text { गलत } \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}} x_i^2=40900
सही \overset{n-3}{\underset{i=1}{\sum}} x_i^2 =40900-(21)^2-(21)^2-(18)^2 \\ =40900-441-441-324
\Rightarrow सही \overset{n-3}{\underset{i=1}{\sum}} x_i^2 =39694
इसलिए सही मानक विचलन
=\sqrt{\frac{\text { सही } \sum x_i^2}{n-3}-(\text { सही माध्य })^2} \\ =\sqrt{\frac{39694}{97}-(20)^2} \\ =\sqrt{409.21649-400} \\ =\sqrt{9.21649} \\ =3.03586 \\ \approx 3.036
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कक्षा 11 में माध्य एवं मानक विचलन (Mean and Standard Deviation Class 11),कक्षा 11 में मानक विचलन एवं प्रसरण (Standard Deviation and Variance Class 11) को समझ सकते हैं।
3.कक्षा 11 में माध्य एवं मानक विचलन की समस्याएँ (Mean and Standard Deviation Class 11 Problems):
(1.)मूलबिन्दु एवं स्केल परिवर्तन से निम्न आँकड़ों का माध्य विचलन एवं माध्य विचलन गुणांक ज्ञात कीजिए।
\begin{array}{|cc|} \hline \text { वर्ग } & \text { बारम्बारता } \\ \hline 0-3 & 2 \\ 3-6 & 7 \\ 6-9 & 10 \\ 9-12 & 12 \\ 12-15 & 9 \\ 15-18 & 6 \\ 18-21 & 4 \\ \hline \end{array}
(2.)निम्नलिखित बंटन का माध्य एवं मानक विचलन ज्ञात कीजिए:
\begin{array}{|cc|} \hline \text { वर्ग } & \text { छात्रों की संख्या } \\ \hline 0-10 & 5 \\ 10-20 & 8 \\ 20-30 & 15 \\ 30-40 & 16 \\ 40-50 & 6 \\ \hline \end{array}
उत्तर (Answers):(1.)M. D.=3.8232 , \delta_{\bar{x}}=0.358
(2.) \bar{x}=27, \sigma=11.489
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर कक्षा 11 में माध्य एवं मानक विचलन (Mean and Standard Deviation Class 11),कक्षा 11 में मानक विचलन एवं प्रसरण (Standard Deviation and Variance Class 11) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.कक्षा 11 में माध्य एवं मानक विचलन (Frequently Asked Questions Related to Mean and Standard Deviation Class 11),कक्षा 11 में मानक विचलन एवं प्रसरण (Standard Deviation and Variance Class 11) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.मानक विचलन व माध्य विचलन ज्ञात करने के सूत्र लिखो। (Write the Formulas for Finding the Standard and Mean Deviation):
उत्तर:(1.)अवर्गीकृत आँकड़ों का माध्य विचलन
M.D. (\bar{x})=\frac{\sum|x-\bar{x}|}{M}, M.D. (M)=\frac{\sum\left|x_i-M\right|}{N}
(2.)वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य विचलन
M.D. (\bar{x})=\frac{\sum f_i\left|x_i-\bar{x}\right|}{N}, M.D. (M)=\frac{\sum f_i\left|x_i-M\right|}{N}
(3.)अवर्गीकृत आँकड़ों का प्रसरण और मानक विचलन
\sigma^2=\frac{1}{n} \sum f_i\left(x_i-\bar{x}\right)^2, \sigma=\sqrt{\frac{1}{N} \sum\left(x_i-\bar{x}\right)^2}
(4.)असतत बारम्बारता बंटन का प्रसरण तथा मानक विचलन
\sigma^2=\frac{1}{N} \sum f_i\left(x_i-\bar{x}\right)^2, \sigma=\sqrt{\frac{I}{N} \sum f_i\left(x_i-\bar{x}\right)^2}
(5.)सतत बारम्बारता बंटन का प्रसरण तथा मानक विचलन
\sigma^2=\frac{1}{N} \Sigma f_i\left(x_i-\bar{x}\right)^2, \sigma=\frac{1}{N} \sqrt{N \Sigma f_i x_i^2-\left(f_i x_i^2\right)}
(6.)प्रसरण और मानक विचलन ज्ञात करने की लघुविधि
\sigma^2=\frac{h^2}{N^2}\left[N \cdot \Sigma f_i y_i^2-\left(\Sigma f_i y_i \right)^2\right], \sigma=\frac{h}{N} \sqrt{N \Sigma f_i y_i^2-(\Sigma f_i y_i )^2} जहाँ y_i=\frac{x_i-A}{h}
(7.)विचरण गुणांक C.V.=\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100, \bar{x} \neq 0
प्रश्न:2.माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात करने की क्रियाविधि लिखिए। (Write the Working Rule to Find the Mean Deviation with Respect to the Median):
उत्तर:माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात करने के लिए हम दिए गए असतत बारम्बारता बंटन की माध्यिका ज्ञात करते हैं।इसके लिए प्रेक्षणों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करते हैं।इसके पश्चात संचयी बारम्बारताएँ ज्ञात की जाती है।तब उस प्रेक्षण का निर्धारण करते हैं जिसकी संचयी बारम्बारता \frac{N}{2},के समान या इससे थोड़ी अधिक है।यहाँ बारम्बारताओं का योग N से दर्शाया गया है।प्रेक्षणों का यह मान आँकड़ों के मध्य स्थित होता है इसलिए यह अपेक्षित माध्यिका है।माध्यिका ज्ञात करने के बाद हम माध्यिका से विचलनों के निरपेक्ष मानों का माध्य ज्ञात करते हैं।इस प्रकार
M.D. (m)=\frac{1}{N_i} \cdot \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}} f_i \left|x_i-M\right|
प्रश्न:3.सांख्यिकी की ऐतिहासिक पृष्ठभूमि क्या है? (What is the Historical Background of Statistics?):
उत्तर:सांख्यिकी का उद्भव लैटिन शब्द ‘status’ से हुआ है जिसका अर्थ एक राजनीतिक राज्य होता है।इससे पता लगता है कि सांख्यिकी मानव सभ्यता जितनी पुरानी है।शायद वर्ष 3050 ईस्वी पूर्व में यूनान में पहली जनगणना की गई थी।भारत में भी लगभग 2000 वर्ष पहले प्रशासनिक आंकड़े एकत्रित करने की कुशल प्रणाली थी।विशेषतः चंद्रगुप्त मौर्य (324-300 ईस्वी पूर्व) के राज्य काल में कौटिल्य (लगभग 300 ईस्वी पूर्व) के अर्थशास्त्र में जन्म और मृत्यु के आंकड़े एकत्रित करने की प्रणाली का उल्लेख मिला है।अकबर के शासनकाल में किए गए प्रशासनिक सर्वेक्षणों का वर्णन अबुलफजल द्वारा लिखित पुस्तक आइने-अकबरी में दिया गया है।
लंदन के केप्टन जॉन ग्रांट (John Graunt) (1620-1675) को उनके द्वारा जन्म और मृत्यु की सांख्यिकी के अध्ययन के कारण उन्हें जन्म और मृत्यु सांख्यिकी का जनक माना जाता है।जैकब बर्नौली (Jacob Bernoulli) (1654-1705) ने 1713 में प्रकाशित अपनी पुस्तक Ars Conjectandi में बड़ी संख्याओं के नियम को लिखा है।
सांख्यिकी का सैद्धांतिक विकास 17वीं शताब्दी के दौरान खेलों और संयोग घटना के सिद्धांत के परिचय के साथ हुआ तथा इसके आगे भी विकास जारी रहा।एक अंग्रेज फ्रांसिस गैल्टन (Francis Galton) (1822-1921) ने जीव सांख्यिकी (Biometry) के क्षेत्र में सांख्यिकी विधियों के उपयोग का मार्ग प्रशस्त किया।कार्ल पियर्सन (Karl Pearson) (1857-1936) ने काई वर्ग परीक्षण (Chi square test) तथा इंग्लैंड में सांख्यिकी प्रयोगशाला की स्थापना के साथ सांख्यिकीय अध्ययन के विकास में बहुत योगदान दिया है।
सर रोनाल्ड फिशर (Sir Ronald a. Fisher) (1890-1962) जिन्हें आधुनिक सांख्यिकी का जनक माना जाता है,ने इसे विभिन्न क्षेत्रों जैसे आनुवंशिकी,जीव-सांख्यिकी,शिक्षा,कृषि आदि में लगाया।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा कक्षा 11 में माध्य एवं मानक विचलन (Mean and Standard Deviation Class 11),कक्षा 11 में मानक विचलन एवं प्रसरण (Standard Deviation and Variance Class 11) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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Mean and Standard Deviation Class 11
कक्षा 11 में माध्य एवं मानक विचलन
(Mean and Standard Deviation Class 11)
Mean and Standard Deviation Class 11
कक्षा 11 में माध्य एवं मानक विचलन (Mean and Standard Deviation Class 11) के इस
आर्टिकल में माध्य,माध्य विचलन,मानक विचलन एवं प्रसरण पर आधारित कुछ विशिष्ट सवालों
को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
