1.गणितज्ञ प्रोफेसर बी.एन.प्रसाद (Mathematician Professor B N Prasad):

Mathematician Professor B N Prasad

• गणितज्ञ प्रोफेसर बी.एन.प्रसाद (Mathematician Professor B N Prasad) का पूरा नाम बद्रीनाथ प्रसाद (BADRI NATH PRASAD) था।प्रोफेसर बी. एन. प्रसाद का जन्म मुहम्मदाबाद-गोहाना जिला आजमगढ़ उत्तरप्रदेश में हुआ था।वे अपने माता-पिता के सबसे छोटे पुत्र थे।उनके पिता स्वर्गीय श्री रामलाल एक व्यावहारिक और दूरदर्शी व्यक्ति थे।उन्होंने अपने पुत्रों को सर्वोत्तम शिक्षा देने का प्रयास किया।बचपन से ही उनकी स्मरणशक्ति बहुत मजबूत थी। उनके व्यक्तित्व के निर्माण में पिता की तुलना में उनके बड़े भाई और माँ का अधिक प्रभाव रहा।
• उन्होंने प्रारंभिक शिक्षा उर्दू में प्राप्त की तथा बाद में हिंदी भाषा में अध्ययन किया जिसके परिणामस्वरूप उनका दोनों भाषाओं पर समान अधिकार हो गया।उनके बड़े भाई इलाहाबाद (Allahabad) में कॉलेज के छात्र थे।वे भी उस कस्बे में आए और एक स्थानीय सी.ए.वी. (C.A.V.)हाईस्कूल।उन्होंने मैट्रिकुलेशन परीक्षा V.M.H.E स्कूल,सिवान (यह वर्तमान में बिहार में है) तथा इंटरमीडिएट (विज्ञान) और बीएससी (ऑनर्स) पटना कॉलेज से जो कि कोलकाता यूनिवर्सिटी से संबंद्ध था,उत्तीर्ण की।वे शुरू से ही एक नियमित और मेहनती छात्र थे।उनका पूरे अध्ययन काल में एक शानदार एकेडमिक (Academic) केरियर था।
• उन्होंने एमएससी वर्ष 1921 में बनारस हिंदू विश्वविद्यालय से गणित में प्रथम श्रेणी से उत्तीर्ण की।उसी वर्ष उन्होंने विभिन्न विषयों में मास्टर डिग्री प्रथम स्थान से उत्तीर्ण की। एमएससी (प्रीवियस) 1919-20 के दौरान वे प्रोफेसर गणेश प्रसाद के संपर्क में आए।डॉ. गणेश प्रसाद ने बी.एन. प्रसाद के टैलेंट को पहचाना और उन्होंने बी.एन. प्रसाद को गणित में सकारात्मक शोध के लिए प्रेरित किया।
• बी.एन. प्रसाद को एमएससी में शानदार प्रदर्शन के आधार पर तत्कालीन प्रांतीय सरकार द्वारा एक आकर्षक पद की पेशकश की गई थी।यह कोई छोटा आकर्षण नहीं था।उनके परिवार के सदस्यों की प्रबल इच्छा थी कि वह सिविल सेवाओं में एक अधिकारी बने।परंतु गणित के प्रति प्रेम और उनके शिक्षा प्रोफ़ेसर गणेश प्रसाद के प्रति समर्पण के कारण उन्होंने सरकार के निमंत्रण को विनम्रतापूर्वक अस्वीकार कर दिया।डॉ. गणेश प्रसाद की भी सलाह थी कि अध्यापन और गणित में अनुसंधान एक महान् कार्य है।स्वर्गीय डॉक्टर गणेश प्रसाद को यह श्रेय दिया जाना चाहिए कि उन्होंने गणित में रचनात्मक कार्य करने के लिए अपने छात्रों के मन में एक वास्तविक रुचि जगाई और कई प्रतिभाशाली युवाओं को शोधकर्ताओं के रूप में प्रशिक्षित करने में सफल रहे।इस प्रकार उनकी प्रारंभिक शिक्षा मुहम्मदाबाद,इलाहाबाद और सिवान में हुई।उच्च शिक्षा पटना कॉलेज तथा काशी हिंदी विश्वविद्यालय में हुई।
  
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(1.)गणितज्ञ प्रोफेसर बी.एन.प्रसाद का करियर (Career of Mathematician Professor B N Prasad):

• जुलाई 1921 में बी.एन. प्रसाद बनारस हिंदू विश्वविद्यालय के गणित विभाग में प्रोफेसर गणेश प्रसाद की देखरेख में काम करने वाले एक शोध छात्र के रूप में शामिल हुए।8 जुलाई 1922 को उन्हें बनारस हिंदू विश्वविद्यालय में गणित के सहायक प्रोफेसर (Assistant professor) के रूप में नियुक्त किया गया।जैसा कि आमतौर पर युवा विश्वविद्यालय के व्याख्याता के साथ होता है,बी.एन. प्रसाद को पढ़ाने का भारी बोझ उठाना पड़ा।लेकिन इसके बावजूद उन्होंने निरंतर उत्साह के साथ गणित में एडवांस्ड टॉपिक्स (Advanced Topics) का अध्ययन जारी रखा और 1922-23 के दौरान गैर-अवकलनीय फलनों के गुणधर्मों (Properties of non-differentiable functions) पर दो मूल शोधपत्र प्रकाशित किए। उनके शोध गतिविधियों के संबंध में शिक्षक डॉक्टर गणेश प्रसाद ने विश्वविद्यालय के अधिकारियों के साथ प्रशासनिक नीति के सवालों पर कुछ मतभेदों के कारण वर्ष 1923 में बनारस में अपने प्रोफेसर पद से इस्तीफा दे दिया और उच्च गणित के होर्डिंग प्रोफेसर के रूप में कलकत्ता विश्वविद्यालय में शामिल हो गए।बनारस से डॉ. गणेश प्रसाद के जाने के कुछ समय बाद कुछ अन्य शिक्षकों ने भी अन्य विश्वविद्यालयों में शामिल होने के लिए गणित विभाग छोड़ दिया।युवा बी.एन. प्रसाद को उस वर्ष के दौरान स्नातकोत्तर शिक्षण का लगभग पूरा भार उठाना पड़ा।उन्हें फलनों के सिद्धांत (Theory of Functions) और यांत्रिकी (Mechanics) के रूप में व्यापक रूप से भिन्न विषयों को पढ़ाना जिसे उन्होंने अपना काम विश्वसनीयता के साथ पूरा किया।बी.एन. प्रसाद,प्रोफ़ेसर गणेश प्रसाद के जाने से खुश नहीं थे और इसलिए उन्होंने भी बनारस छोड़ दिया और 17 जुलाई 1924 को 2 साल की संक्षिप्त अवधि के लिए इलाहाबाद विश्वविद्यालय में गणित के व्याख्याता के रूप में शामिल हो गए।जब बनारस में उन्होंने एक शिक्षक के रूप में पढ़ाया तो वे छात्रों के बीच काफी लोकप्रिय हो गए और कई छात्रों को आकर्षित किया जो उनके प्रति इतने समर्पित थे कि वे छात्र भी उनके साथ इलाहाबाद विश्वविद्यालय चले गए।
• उन्होंने इलाहाबाद में स्नातक और स्नातकोत्तर दोनों कक्षाओं में शुद्ध और अनुप्रयुक्त गणित (Pure and Applied Mathematics) के विभिन्न विषयों पर व्याख्यान दिया।शिक्षण कार्य में भागीदारी के कारण उनका शोध कार्य की प्रगति कुछ हद तक बाधित हुई।हालांकि 1929 में इंग्लैंड जाने से पहले इलाहाबाद में बिताए गए कुछ वर्ष इस मायने में फलदायी साबित हुए कि उन्होंने डब्ल्यू.एच.यंग (W.H. Young) द्वारा त्रिकोणमितीय श्रंखला के सिद्धांत पर किए गए कार्यों का गहन अध्ययन किया।यंग (Young),जी. एच. हार्डी (G.H.Hardy),जे.ई. लिटिलवुड (J.E. Little wood),ई.सी. टिकमार्श (E.C.Titchmarsh),एच.लेबेस्ग्यू (H.Lebesgue),ए.डेन्जॉय (A.Denjoy) और अन्य महाद्वीपीय गणितज्ञ उनके शोधों से प्रभावित थे।
• इलाहाबाद विश्वविद्यालय से अध्ययन अवकाश प्राप्त करने के बाद वे वर्ष 1929 में यूनाइटेड किंगडम चले गए।कुछ महीनों के लिए एडिनबर्ग (Edinburgh) में रहे और फूरियर श्रृंखला के सिद्धांत (Theory of Fourier Series) पर कुछ काम किया लेकिन बाद में ई सी टिचमार्श (E.C. Titchmarsh) के साथ काम करने के लिए लिवरपूल (Liverpool) चले गए।उन्होंने डेढ़ साल की छोटी अवधि में अपनी थीसिस पूरी की और लिवरपूल विश्वविद्यालय से 1931 में पीएचडी की डिग्री हासिल की।प्रोफेसर टिचमार्श बी.एन. प्रसाद के काम से अत्यधिक प्रभावित थे।बी.एन. प्रसाद के बारे में उन्होंने कहा कि मैंने उन्हें एक अत्यंत मेहनती और बुद्धिमान कार्यकर्ता पाया जिनके पास अपने स्वयं के बहुत सारे विचार थे और उन्होंने केवल मेरी सलाह और मार्गदर्शन प्राप्त किया था।
• लिवरपूल में अपनी पीएचडी पूरी करने के बाद बी.एन. प्रसाद अनुसंधान और सीखने के लिए महान केंद्र पेरिस (Paris) गए।वहां प्रसिद्ध फ्रांसीसी गणितज्ञ अरनाॅड डेनजॉय (Arnaud Dekhiye) के साथ काम किया।प्रोफेसर डेनजॉय के मार्गदर्शन में एक वर्ष से भी कम समय में तैयार की गई उनकी प्रसिद्ध थीसिस “फूरियर श्रृंखला की संयुक्त श्रृंखला के अध्ययन में योगदान (Contribution to the study of the combined series of a Fourier series)” से उन्हें डॉक्टर ऑफ साइंस (Doctor of Science) की उपाधि प्रदान की।उनकी पीएचडी के लिए थीसिस 4 जून 1932 को हुई जिसमें एक जूरी के अध्यक्ष प्रोफेसर एमिल बोरेल (Professor Emil Hotel) और दो परीक्षक प्रोफेसर ए.डेन्जॉय (A Denjoy) और प्रोफेसर जी. वेलिरोन (Professor G.Valiron) थे।परीक्षक उनकी थीसिस की गुणवत्ता से बहुत प्रभावित हुए।जूरी के समक्ष सार्वजनिक रूप से बी.एन. प्रसाद द्वारा थीसिस का बचाव करने के कार्य के परिणाम की घोषणा करते हुए प्रसाद को यह कहकर बधाई दी कि हम केवल एक सबसे प्रतिष्ठित युवा भारतीय गणितज्ञ को अपने काम के माध्यम से ,फ्रेंच स्कूल ऑफ मैथमेटिक्स के साथ खुद को जोड़ कर देख सकते हैं।प्रसाद की थीसिस की योग्यता की गवाही देते हुए प्रोफेसर बोरेल ने लिखा जूरी उनके गुणों से बहुत प्रभावित हुए हैं जिनके बारे में उन्होंने एक कठिन विषय का इलाज करने और एक ऐसे क्षेत्र में नए और महत्वपूर्ण परिणाम प्राप्त करने में प्रमाण दिया है जिसमें कई गणितज्ञ पहले ही काम कर चुके हैं।जूरी के समक्ष अपनी थीसिस के बचाव के कार्य के दौरान अपनी थीसिस में उन्होंने स्पष्टता के गुणों को रखने का भी उतना ही अच्छा प्रमाण दिया है जो दर्शाता है कि वह एक उत्कृष्ट प्रोफ़ेसर होंगे।
• बी.एन. प्रसाद शायद पहले भारतीय थे जिन्हें गणित में राज्य डीएससी डिग्री पेरिस विश्वविद्यालय द्वारा प्रदान की गई और यह वास्तव में विश्वसनीय उपलब्धि थी।यूरोप में अपने प्रवास के दौरान प्रसाद ने इंग्लैंड (England),स्कॉटलैंड (Scotland),आयरलैंड (Ireland), फ्रांस (France),जर्मनी (Germany) और इटली (Italy) में गणितीय अनुसंधान के विभिन्न केंद्रों का दौरा किया और हाडामार्ड (Hadamard),हिलबर्ट (Hilbert),हिवटाकर (Whittaker),हार्डी (Hardy),लेबस्ग्यू (Lebesgue) और अन्य गणितज्ञों के संपर्क में आए।
• प्रोफेसर बी.एन. प्रसाद ने अपने स्वर्गीय गुरु गणेश प्रसाद की सलाह से थोड़े वेतन पर कार्य करते हुए भी तथा उस पर कोई ध्यान न देते हुए गणित क्षेत्र में अन्वेषण करना चालू कर दिया।उन्होंने फूरियर श्रेणी तथा अन्य श्रेणियों की आकलनीयता पर अन्वेषण चालू कर दिया।इंग्लैंड में प्रोफेसर एम हिवटाकर के साथ उन्हें आकलनीयता की एक विधि ज्ञात करने तथा निरपेक्ष विधि का श्रेय प्राप्त है।उनकी इस भौतिक गवेषणा के कारण शीघ्र ही संसार के गणितज्ञों का ध्यान आकर्षित हो गया।
• वे जुलाई 1932 में इलाहाबाद में गणित के व्याख्याता के रूप में अपनी ड्यूटी को फिर से शुरू करने के लिए भारत लौट आए।बी.एन. प्रसाद महान् उपलब्धियों (Academic Achievements) के साथ भारत लौट आए लेकिन इलाहाबाद विश्वविद्यालय उनकी योग्यता छात्रवृत्ति को उचित मान्यता देने में विफल रहा।8 अप्रैल 1946 को ही उन्हें रीडर बनाया गया जब तत्कालीन कुलपति डॉक्टर अमरनाथ झा (Amaranatha Jha) ने गणितज्ञ प्रोफेसर बी.एन.प्रसाद (Mathematician Professor B N Prasad) के साथ हुए अन्याय के प्रति सचेत होकर गणित विभाग में रीडर का एक नया पद बनाया।यह एक भाग्य की विडंबना थी कि एक व्यक्ति जो भारत के किसी भी विश्वविद्यालय में गणित की कुर्सी रखने के योग्य था,अपने जीवन की सबसे रचनात्मक अवधि के दौरान 14 वर्षों तक केवल एक व्याख्याता बना रहा।
• यूरोप से लौटने पर प्रसाद को अनेक कठिनाइयों का सामना करना पड़ा।घरेलू समस्याओं के साथ-साथ आर्थिक समस्याएं भी थी।विश्वविद्यालय में पदोन्नति पाने की उनकी आशाएं और दावे अधूरे रहे लेकिन उनकी आत्मा कभी कम नहीं हुई।इलाहाबाद में विश्लेषण में एक सक्रिय अनुसंधान केंद्र बनाने की उनकी तीव्र इच्छा थी।उन्होंने मेधावी छात्रों को उच्च अध्ययन और शोध करने के लिए प्रोत्साहित और प्रेरित किया।वे डिप्रेशन के दिन थे जब रोजगार और पैसा मिलना मुश्किल था।छात्रवृत्ति बहुत कम थी।अधिकांश मेधावी छात्र प्रशासनिक सेवाओं का चयन कर रहे थे।उन्हें अनुसंधान के लिए प्रेरित करना बहुत कठिन था क्योंकि गणित में एक शोधकर्ता के लिए अच्छे रोजगार की संभावनाएं बहुत उत्साहजनक नहीं थी।बी.एन. प्रसाद का ही उदाहरण उनके सामने था।इन सभी कठिनाइयों के बावजूद वह द्वितीय विश्वयुद्ध से पहले के वर्षों के दौरान कुछ शोधकर्ताओं को प्रशिक्षित करने में सफल रहे।यह उनका अदम्य साहस और अजेय दृढ़ संकल्प था जिसने उन्हें इलाहाबाद में अनुसंधान की मशाल को जलाने में मदद की और यह याद करते हुए खुशी की बात है कि उनके प्रयासों ने चालीस के दशक के दौरान समृद्ध फल प्राप्त किए जबकि कई युवा शोधकर्ता उनके आसपास एकत्र हुए और इलाहाबाद भारत में विश्लेषण में अनुसंधान का एक प्रमुख केंद्र के रूप में फला-फूला।वह इलाहाबाद में एक मजबूत स्कूल आफ रिसर्च आन समेबिलिटी थ्योरी (sumnability Theory) का निर्माण करने में सफल रहे जो उनके जीवनकाल के दौरान काफी फला-फूला विकसित हुआ और जो उनके नाम के साथ बहुत उपयुक्त रूप से जुड़ा हुआ है।यह कहना शायद सच है कि बी.एन. प्रसाद ने भारत में किसी भी अन्य गणितज्ञ की तुलना में बड़ी संख्या में शोधकर्ताओं को प्रशिक्षित किया।उनके कुछ शोध छात्र भारत में गणितीय शिक्षा और अनुसंधान के लिए काम कर रहे हैं:
  पी.एल. भटनागर बेंगलुरु में (P.L.Bhatnagar at Bangalore),जे.ए.सिद्दीकी और एस एम मजहर अलीगढ़ में (J.A.Siddiqi and S.M.Mazhar at Aligarh),एस.आर.सिन्हा,डी.पी. गुप्ता,एस.एन.भट्ट, टी.सिंह और एन.डी. मेहरोत्रा इलाहाबाद में (S.R.Sinha,D.P.Gupta,S.N.Bhatt,T.Singhand N.D.Mehrotra at Allahabad),श्रीमती प्रमिला श्रीवास्तव वाराणसी में (Mrs. Pramila Srivastava at Varanasi),श्रीमती सुलक्षणा गुप्ता दिल्ली में (Mrs.Sulaxana Kumari Gupta at Delhi)।

(2.)गणितज्ञ प्रोफेसर बी.एन.प्रसाद का गणित में योगदान (Contribution of Mathematician Professor B N Prasad in Mathematics):

Mathematician Professor B N Prasad (Allahabad)

• डॉक्टर बी.एन. प्रसाद जनवरी 1945 में नागपुर में आयोजित भारतीय विज्ञान कांग्रेस के 32वें सत्र के गणित और सांख्यिकी विभाग के अध्यक्ष चुने गए। उनके अध्यक्षीय भाषण में उनके द्वारा 1944 के अंत तक किए गए कार्यों के संबंध में दिया गया जो एक फूरियर श्रृंखला और संयुग्मी श्रृंखला की योगनीयता समस्याओं (विभिन्न प्रकार की) के विषय में था [Concerning the summability problems (of various kinds) of a Fourier series and it’s conjugate series]।एक आकर्षक शैली में लिखा गया और अभिव्यक्ति की स्पष्टता और टैक्टमेन्ट की संपूर्णता के लिए चिन्हित,यह संबोधन उस समय तक एक फूरियर श्रृंखला के योगनीयता के सिद्धांत (Theory of Summability of a Fourier Series) में शोध के संबंध में की गई विशाल प्रगति का एक प्रशंसनीय विवरण देता है।उन्होंने अपने जीवन में बाद में कई प्रकार के अन्य संबोधन दिए जिसमें उनका अंतिम संबोधन भी शामिल था।जिसे उन्होंने अपनी मृत्यु से एक पखवाड़े पहले 3 जनवरी 1966 को चंडीगढ़ में भारतीय विज्ञान कांग्रेस के महासचिव के रूप में दिया था और जिसमें उन्होंने अनन्त श्रृंखला के निरपेक्ष योग (Absolute Summability of infinite Series) से संबंधित हालिया शोध का एक सर्वेक्षण दिया था।
• बी.एन. प्रसाद ने स्वेच्छा से इन सभी वर्षों में इलाहाबाद में रहने का विकल्प चुना था,भले ही उन्हें भारत के कई अन्य विश्वविद्यालयों से उच्च पदों के प्रस्ताव मिले।हालांकि एक बार बाहरी दबाव के सामने झुक गए,जब उन्होंने पटना के साइंस कॉलेज में गणित के प्रोफेसर और गणित विभाग के अध्यक्ष के रूप में काम करने के बिहार सरकार के निमंत्रण को स्वीकार कर लिया।मार्च 1949 में इस पद पर आने के तुरंत बाद उन्होंने महसूस किया कि वहां का माहौल उनकी शैक्षणिक गतिविधियों के अनुकूल नहीं था।परिणामस्वरुप उन्होंने पटना में अपने प्रोफेसर पद से इस्तीफा दे दिया और जनवरी 1951 में इलाहाबाद में अपने पुराने पद पर वापस आ गए।उन्होंने इसके बाद फिर कभी इलाहाबाद छोड़ने का विचार नहीं किया।
• बी.एन. प्रसाद का नाम विश्लेषण के एक व्यापक क्रॉस-सेक्शन के साथ जुड़ा हुआ है (an extensive cross-section of analysis) जिसमें कई विषय शामिल है जैसे कि फूरियर श्रृंखला का अभिसरण और योग की समस्याएं (convergence and summability problems of a Fourier series),इसकी संयुग्मी श्रृंखला (Conjugate series),फूरियर श्रृंखला की व्युत्पन्न श्रृंखला और इसकी संयुग्मी श्रृंखला (Derived series of a Fourier and its conjugate series);व्यापक रूप से अनन्त श्रृंखलाओं के निरपेक्ष योग का सिद्धांत और अनुप्रयोग (Theory and applications of absolute summability of infinite series in general),योगनीयता कारक (Summability Factors);फूरियर इंटीग्रल (Fourier integral),विश्लेषणात्मक फलनों की रेडियल भिन्नता (Radial variation of analytic functions),एबेल के अर्थ में गैर-योगनीयता (non-summability in the sense of Abel),व्यापकीकृत डेरिवेटिव्ज का सिद्धांत (The theory of Generalized Derivatives), मजबूत योग-विशेष रूप से रिज के विशिष्ट प्रकार के अर्थ के साथ (Strong summability-epecially with Riesz’s typical means),गिब्स घटना और एक फंक्शन की व्यापकीकृत छलांग (Gibbs Phenomenon and the Generalized jump of a function),डिरिचलेट श्रृंखला का गुणन और संगतता की द्वितीय प्रमेय (The multiplication of Dirichlet series and the second theorem of consistency),उनकी देखरेख में समय-समय पर तैयार किए गए कई डॉक्टरेट शोध और इन विषयों पर उनके अग्रणी योगदान के मद्देनजर दुनिया की महत्त्वपूर्ण शोध पत्रिकाओं में प्रकाशित बड़ी संख्या में शोधपत्र,प्रसाद आन्तरिक मूल्य और उत्कृष्ट कार्य की शक्ति के वाक्पटु प्रमाण हैं (bear eloquent testimony to the intrinsic value and power of prasad’s outstanding work)।

(3.)बीएन प्रसाद के शिष्यों के सहयोग से किया गया कार्य (Work done in collaboration with B N Prasad pupils):>

• इजुमी (Izumi) और कवाटा (kavata) (1938) और चेंग (1947) ने प्रसाद के शास्त्रीय परिणाम को |A| फूरियर श्रृंखला के योगात्मक कारक पर विस्तारित किया (extended prasad’s classical result on |A| summability factors of Fourier series),पाटी (Pati) (1954) ने सामान्यीकरण प्राप्त किया जिसमें इन दोनों परिणामों को विशेष मामलों के रूप में शामिल किया गया।1957 में बी.एन. प्रसाद और भट्ट (Bhatt) ने एक ही दिशा में विभिन्न प्रकार के और विस्तार और कई संबद्ध परिणाम दिए।
• प्रसाद और सिद्दीकी (Siddiqi) (1949) ने व्युत्पन्न फूरियर श्रृंखला के योगनीयता के दायरे को सेसरो के बजाय नोरलुंड अर्थ में लागू करके बढ़ाया (extended the scope of summability of the derived Fourier series by applying Norland means instead of Cesaro mean) जिसका उपयोग पिछले लेखों द्वारा किया गया था।बाद में (1950)उन्होंने जीगमंड (Zygmund),एस्ट्राचन (Astrachan) और वांग (Wang) द्वारा पिछले परिणामों को व्यापकीकरण करते हुए r-वें व्युत्पन्न फूरियर श्रृंखला के नाॅरलुंड योग के विषय में एक बहुत ही व्यापक परिणाम प्राप्त किया (obtained a very general result concerning the Norland summability of the r-th derived Fourier series, generalizing previous results by zygmund, Astrachan and wang)
• गणितज्ञ प्रोफेसर बी.एन.प्रसाद (Mathematician Professor B N Prasad) और यूएन सिंह (U.N.Singh) ने एक बिंदु पर फूरियर श्रृंखला की व्युत्पन्न श्रृंखला की इकाई क्रम की मजबूत योगनीयता पर काम किया (worked on the strong summability of order unity of the derived series of a Fourier series at a point),मौलिक अंतराल में उत्पन्न होने वाले फलन को संबद्ध भिन्नता माना जा रहा था (The Generating function being assumed to be of bounded variation in the fundamental intervals)।उनका परिणाम इस विषय पर बाद के कुछ शोधों के लिए प्रेरणा का स्रोत था।
• हार्डी (Hardy)और रिज (Riwaz); हर्स्ट (Hirst),कुट्टनर (Kuttner) और चंद्रशेखरन (Chandrashekharan) के ‘संगतता के दूसरे प्रमेय (Second Theorem of Consistency)’ पर शास्त्रीय काम के बाद प्रसाद और पति (Pati) ने ‘द्वितीय प्रमेय’ का भी अध्ययन किया और संगति के दो प्रमुख प्रमेयों के एकीकरण के अपने विचार को विकसित किया।उन्होंने रिज विधियों के बीच सापेक्ष समावेशन (Relative inclusion) के प्रश्न की जांच की जिसमें ‘प्रकार’ और ‘क्रम’ दोनों को बदल दिया गया था।बाद के एक पेपर में प्रसाद और पति ने पूरी तरह से योग करने योग्य डिरिचलेट श्रृंखला के गुणन का अध्ययन किया (Prasad and Pati Studied the multiplication of absolutely summable Dirichlet Series)।
  जबकि प्रसाद और प्रमिला श्रीवास्तव (Pramila Srivastava) (1960) ने डिरिचलेट श्रृंखला की मजबूत रिज योगनीयता का अध्ययन किया,प्रसाद और डीपी गुप्ता (D.P. Gupta) (1965) ने अल्ट्रास्फेरिकल लैकुनरी श्रृंखला के अभिसरण का अध्ययन किया है (Convergence of Ultra Spherical lacunary series)।
• ये सभी पत्र चालीस, पचास और साठ के दशक में लिखे गए थे और उनकी शैली पर गुरु की मुहर को देखा जा सकता है।लेकिन यह सब नहीं है।इस अवधि के दौरान बी.एन.के शोध छात्रों द्वारा 120 से अधिक मूल्यवान शोध पत्र तैयार किए गए हैं।प्रसाद और वे दुनिया के विभिन्न हिस्सों से प्रकाशित होने वाली लगभग सभी महत्वपूर्ण वैज्ञानिक और गणितीय शोध पत्रिकाओं में छपे हैं।

(4.)गणितज्ञ प्रोफेसर बी.एन.प्रसाद का परिवार (Family of Mathematician Professor B N Prasad):

• बी.एन. प्रसाद का विवाह 29 मई 1923 को लक्ष्मी देवी से हुआ था।लक्ष्मी देवी एक बहुत ही निपुण महिला,उच्च संस्कारी और दयालु थी।प्रसाद के तीन बच्चे थे।एक बेटा प्रकाश चंद्र और दो बेटियां इंदुप्रभा और अरुणप्रभा।श्रीमती प्रसाद की मृत्यु के समय तक वे सुख से रहे।लंबी बीमारी के बाद 15 सितंबर 1954 को पटना में उनका निधन हो गया। इस त्रासदी ने गणितज्ञ प्रोफेसर बी.एन.प्रसाद (Mathematician Professor B N Prasad) को करारा झटका दिया।इसने उनके जीवन में एक शून्य पैदा कर दिया जिसने उनके मन को लगातार सताया लेकिन उन्होंने अपने दुख को अपने भीतर अच्छी तरह से छुपा लिया,बाहरी रूप से शांत और शांत रहें।केवल वही लोग जो उसके बहुत निकट संपर्क में थे,यह समझ सकते थे कि अपनी पत्नी की मृत्यु के बाद वह अपने भीतर कितना अकेलापन महसूस कर रहे थे।शायद यही मुख्य कारण था कि वह खुद को बेहद व्यस्त रखते थे और कई बाहरी कार्यक्रमों को स्वीकार करते थे।

(5.) गणितज्ञ प्रोफेसर बी.एन.प्रसाद का देश के लिए योगदान (Contribution for Country of Mathematician Professor B N Prasad):

Mathematician Professor B N Prasad (Liverpool)

• अक्टूबर 1954 बी.एन. प्रसाद भारत सरकार के प्रतिनिधि मंडल के सदस्य के रूप में यूनेस्को (UNESCO) के आठवें आम सम्मेलन में भाग लेने के लिए मोंटेवीडियो [उरूग्वे,दक्षिण अमेरिका (Mintevideo (Uruguay,South America))]गए, जिसका नेतृत्व भारत के तत्कालीन उपराष्ट्रपति डॉ. एस. राधाकृष्णन (Dr. S.Radhakrishan) ने किया था।दक्षिण अमेरिका की इस यात्रा ने उन्हें यूएसए के विभिन्न विश्वविद्यालयों का दौरा करने का अवसर दिया जहां उन्हें शोध व्याख्यान देने के लिए आमंत्रित किया गया था।उन्होंने लगभग 22 वर्षों के अंतराल के बाद पेरिस का फिर से दौरा किया था और वहां गणितज्ञ मित्रों के साथ अपने संपर्कों को नवीनीकृत किया।
• स्वतंत्रता प्राप्त करने के बाद भारत ने नियोजित अर्थव्यवस्था के एक बड़े कार्यक्रम की शुरुआत की।आधुनिक तर्ज पर वैज्ञानिक शिक्षा की योजना बनाने में उठाए गए पहले कदमों में से एक राष्ट्रीय प्रयोगशालाओं की एक श्रृंखला का निर्माण करना था।
• हालांकि टाटा इंस्टीट्यूट ऑफ फंडामेंटल अनुसंधान के अलावा गणित में उच्च अध्ययन और अनुसंधान के लिए कोई राष्ट्रीय संस्थान नहीं बनाया गया था,जिसे मुंबई में एक निजी ट्रस्ट द्वारा स्थापित किया गया था और बाद में लगभग पूरी तरह से केंद्र सरकार द्वारा वित्त पोषित किया गया था।लोगों ने महसूस किया कि गणित में गुणवत्तापूर्ण शोध को बढ़ावा देने के लिए कुछ ओर संस्थानों का होना वांछनीय था।बी.एन. प्रसाद के इस संबंध में विचार थोड़े अलग थे।उनका विश्वास था कि विश्वविद्यालय उच्च शिक्षा और अनुसंधान के स्रोत हैं और उन्हें सुविधाओं के मामले में कभी भी भूखे रहने की अनुमति नहीं दी जानी चाहिए।सेवा की बेहतर शर्ते,उच्च वेतनमान और काम करने के लिए बेहतर सुविधाएं प्रदान करके,राष्ट्रीय प्रयोगशालाएं और संस्थान,विश्वविद्यालयों से प्रतिभाओं को आकर्षित करेंगे जिससे उनके संसाधनों (विश्वविद्यालय के) पर गंभीर प्रभाव पड़ेगा और एक अपरिहार्य परिणाम के रूप में विश्वविद्यालय के अनुसंधान और शिक्षण की गुणवत्ता को नुकसान पहुंचाएगा। इसलिए उन्होंने यह चाहा कि अच्छे विश्वविद्यालय विभागों को उन्नत अनुसंधान और शिक्षा के केंद्रों के रूप में कार्य करने के लिए सुविधाएं दी जानी चाहिए और अनुसंधान तथा शिक्षण के बीच एक स्वस्थ संबंधों की वकालत की।वे चाहते थे कि भारत में “पेरिस के इकोले नॉर्मले सुपीरियर (Ecole Normale Superieur of Paris)” जैसी संस्थाएं हों।उन्होंने 3 जनवरी 1966 को चंडीगढ़ में भारतीय विज्ञान कांग्रेस के 53वें सत्र में दिए गए अपने सामान्य अध्यक्षीय भाषण में इन सवालों पर अपने विचार बहुत स्पष्ट और सशक्त रूप से व्यक्त किए।
• बी.एन. प्रसाद भी इंडियन मैथमेटिकल सोसायटी के कामकाज और मामलों से काफी खुश नहीं थे। वर्ष 1961 में संस्था के अध्यक्ष के रूप में अपने कार्यकाल के दौरान उन्होंने इसके कई संगठनात्मक दोषों को दूर किया।उनका मानना था कि एक गणितीय समाज के कर्तव्यों को केवल वार्षिक सम्मेलनों और प्रकाशन पत्रिकाओं के आयोजन तक ही सीमित नहीं होना चाहिए बल्कि उन्हें गणित में गुणवत्तापूर्ण शोध को बढ़ावा देने के लिए रचनात्मक कार्यक्रमों को तैयार और सफलतापूर्वक निष्पादित करना चाहिए।इस उद्देश्य को ध्यान में रखते हुए उन्होंने दिसंबर 1958 में इलाहाबाद में इलाहाबाद गणितीय सोसायटी की स्थापना की। उन्होंने इस सोसाइटी को गणित में उन्नत अध्ययन और अनुसंधान के कारण को बढ़ावा देने के लिए एक प्रभावी मंच के रूप में कार्य करने की इच्छा व्यक्त की और इस सोसायटी के अध्यक्ष के रूप में उन्होंने इस लक्ष्य को हासिल करने के लिए लगातार प्रयास किया।इलाहाबाद मैथमेटिकल सोसायटी ने इंडियन जनरल ऑफ मैथमेटिक्स नामक एक शोध पत्रिका का प्रकाशन शुरू किया।इन जर्नल ने बहुत जल्द एक अंतरराष्ट्रीय दर्जा प्राप्त कर लिया।गणितज्ञ प्रोफेसर बी.एन.प्रसाद (Mathematician Professor B N Prasad) ने पूरी तरह से समाज के कल्याण के साथ अपनी पहचान बनाई (यहां तक कि सोसाइटी का कार्यालय इलाहाबाद में उनके अपने घर में समायोजित किया गया था) और इसके भविष्य के विकास के बारे में एक बहुत ही उज्जवल दृष्टि थी।यह वास्तव में समाज के लिए दुर्भाग्यपूर्ण है कि वह अब इसके भाग्य का मार्गदर्शन करने के लिए नहीं है।उन्होंने कई विचारों और योजनाओं को अधूरा छोड़ दिया है; हालांकि उन्हें समाज को एक मजबूत पायदान पर रखने और इससे प्रारंभिक प्रेरणा और प्रोत्साहन देने का संतोष था।
• गणितज्ञ प्रोफेसर बी.एन.प्रसाद (Mathematician Professor B N Prasad) ने एक नवंबर 1958 से शुरू होकर लगभग 2 वर्षों तक इलाहाबाद विश्वविद्यालय में गणित विभाग के कार्यवाहक प्रोफेसर और प्रमुख के रूप में कार्य किया।उन्हें 16 अगस्त से स्थायी आधार पर गणित के प्रोफेसर और गणित विभाग के प्रमुख के रूप में नियुक्त किया गया था।1960 विश्वविद्यालय की सेवा से उनकी सेवानिवृत्ति के लगभग 5 महीने पहले विभागाध्यक्ष के रूप में संक्षिप्त अवधि के दौरान विभाग के शैक्षणिक जीवन में नए जोश का संचार करने में सफल रहे।वह 11 जनवरी 1961 को इलाहाबाद विश्वविद्यालय की सक्रिय सेवा से सेवानिवृत्त हुए,विश्वविद्यालय को 36 से अधिक वर्षों तक एक दुर्लभ विशिष्ट सेवा प्रदान करने पर किसी को भी गर्व हो सकता है।सेवानिवृत्ति के दिन उन्हें अनेक शिष्यों और मित्रों ने यादगार और मार्मिक विदाई दी।यह एक मायने में उनके द्वारा रखे गए उच्च सम्मान का एक उपाय था।

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(6.)गणितज्ञ प्रोफेसर बी.एन.प्रसाद का सम्मान (Honour of Mathematician Professor B N Prasad):

• गणितज्ञ प्रोफेसर बी.एन.प्रसाद (Mathematician Professor B N Prasad) को कई सम्मान मिले।वह भारत के राष्ट्रीय विज्ञान संस्थान (National Institute of Science of India) के शुरुआती अध्येताओं में से एक थे। भारतीय विज्ञान कांग्रेस के महासचिव चुने जाने वाले पहले गणितज्ञ थे,भारतीय राष्ट्रीय विज्ञान अकादमी के अध्यक्ष और फेलो थे और विज्ञान परिषद के अध्यक्ष थे।भारत के राष्ट्रपति ने उन्हें वर्ष 1963 में विज्ञान व शिक्षा के क्षेत्र में उनकी मेधावी सेवाओं के सम्मानित “पदम विभूषण” की उपाधि से सम्मानित किया और एक साल बाद राष्ट्रपति ने उन्हें एक सदस्य के रूप में राज्यसभा (भारतीय संसद का ऊपरी सदन) में नामित करके उन्हें फिर से सम्मानित किया।

(7.)गणितज्ञ प्रोफेसर बी.एन.प्रसाद (Mathematician Professor B N Prasad) का सिद्धांत:

• बी.एन. का मार्गदर्शक सिद्धांत।प्रसाद का जीवन पूर्णता की तलाश में था।उसने जो कुछ भी किया उसमें पूर्णता की तलाश की;एक शोध पत्र या एक किताब लिखने में,अपनी कक्षा को व्याख्यान देने में,घर बनाने में,बागवानी करने में,हर स्थिति में,यह मुख्य सिद्धांत था जिसने होशपूर्वक और अनजाने में उनके विचारों और कार्यों को निर्देशित किया।  उन्होंने कभी भी आधे-अधूरे मन से कोई काम नहीं किया।उन्होंने अपने दिल और आत्मा को अपने हर उपक्रम में लगाया, चाहे वह बड़ा हो या छोटा, और कभी भी चीजों को मौका नहीं दिया।वह परिष्कृत स्वाद और अत्यधिक सौंदर्यवादी दृष्टिकोण के व्यक्ति थे,जो उनके पूरे व्यक्तित्व में व्याप्त थे।वह बिना किसी हिचकिचाहट के अपनी झुंझलाहट किसी को भी (यहां तक ​​कि अपनी पत्नी और बच्चों के लिए,अपने दोस्तों और विद्यार्थियों के लिए भी) व्यक्त करते थे,जो पूर्णता के अपने मानकों तक आने में विफल रहे, और अपने विचारों और भावनाओं को व्यक्त करने में बहुत स्पष्ट और स्पष्ट थे।
• यह कि वह एक सख्त कार्यपालक थे,बहुत से लोग जानते हैं, लेकिन बहुत कम लोग जानते हैं कि उसने अपने विद्यार्थियों के कल्याण के लिए कितनी ईमानदारी से प्रयास किया।वह सोच-समझकर और उत्साह से उनकी भलाई के लिए योजना बनाते थे और उन्हें उन योजनाओं को पूरा करने के लिए प्रेरित करते थे जैसे वह लगातार उन्हें गणित में रचनात्मक शोध कार्य करने के लिए प्रेरित और प्रेरित करते थे।शायद उनके शिष्य ही उन्हें सबसे ज्यादा याद करते हैं।
  उपर्युक्त आर्टिकल में गणितज्ञ प्रोफेसर बी.एन.प्रसाद (Mathematician Professor B N Prasad) के बारे में बताया गया है।

2.गणितज्ञ प्रोफेसर बी.एन.प्रसाद (Mathematician Professor B N Prasad) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा गणितज्ञ प्रोफेसर बी.एन.प्रसाद (Mathematician Professor B N Prasad) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

गणितज्ञ प्रोफेसर बी.एन.प्रसाद (Mathematician Professor B N Prasad)
का पूरा नाम बद्रीनाथ प्रसाद (BADRI NATH PRASAD) था।प्रोफेसर बी. एन. प्रसाद का जन्म
मुहम्मदाबाद-गोहाना जिला आजमगढ़ उत्तरप्रदेश में हुआ था।वे अपने माता-पिता के सबसे छोटे पुत्र थे।
उनके पिता स्वर्गीय श्री रामलाल एक व्यावहारिक और दूरदर्शी व्यक्ति थे।