1.गणितीय गूढ़ समस्याएँ (Mathematical Enigmas),गूढ़ समस्याएँ (Enigmas):

Mathematical Enigmas

• गणितीय गूढ़ समस्याएँ (Mathematical Enigmas) भी गणितीय पहेलियों के समान है।गूढ़ समस्याएँ भी मनोरंजक गणित और गतिविधियों में शामिल हैं।गूढ़ समस्याओं में मनोरंजक पहलू किसी न किसी रूप में शामिल होता है।इनमें भी जिज्ञासा (Curiosity) उत्पन्न करने की सहज क्षमता होती है।हर आयुवर्ग (Age Group) और कक्षा-स्तर (Class Level) के लिए ऐसी क्रियाओं को अध्यापक अपने शिक्षण में इनको शामिल कर सकता है।
• गणितीय गूढ़ समस्याओं के द्वारा छात्र-छात्राओं में प्रेरणा उत्पन्न करने हेतु बेचेनी (Quandary),उत्सुकता जाग्रत की जा सकती है।गूढ़ समस्याओं को हल करने से छात्र-छात्राओं का दिमाग खुलता है,विकसित होता है।इनको हल करने से छात्र-छात्राओं में मानसिक अन्तर्द्वन्द्व (Mental Dilemma) उत्पन्न होने से विद्यार्थियों को गणितीय गणनाओं की क्षमता विकसित करने में मदद मिलती है।इनके हल अद्भुत (Phenomental) लगते हैं।विद्यार्थी इनके हल ढूँढ़ने में आनन्द की अनुभूति करते हैं।यह मानसिक घटना उनमें गणित के प्रति रुचि (Interest) के विकास को गति प्रदान करती है।
• विद्यार्थी रहस्य (Mystic) समस्याओं को हल करने के लिए उत्सुक रहते हैं।छात्र-छात्राओं में इनको हल करने से स्वस्थ प्रतियोगिता (Empetition) की भावना को विकसित करने का बल मिलता है।उनमें चिंतन शक्ति को गूढ़ समस्याओं के द्वारा सही दिशा और वृद्धि (Growth) की प्रेरणा प्राप्त होती है।
• गूढ़ समस्याओं में भी प्रश्नोत्तर देने वाले के आयु स्तर के अनुसार समस्या में कोई गूढ़ उलझन या रहस्य होता है।यदि शिक्षक उचित युक्ति व छात्र-छात्राओं की आयु और मानसिक स्तर के अनुसार गूढ़ समस्याओं को प्रस्तुत करें तो छात्र-छात्राएं इनको हल करने में रुचिपूर्वक भाग ले सकते हैं।
• हालांकि शिक्षक पर गणित का पाठ्यक्रम पूरा कराने का दबाव रहता है।परंतु गूढ़ समस्याओं के कुछ प्रश्न शामिल करने से छात्र-छात्राएं पाठ्यक्रम को पढ़ने में रुचिपूर्वक भाग लेंगे और गणित का पाठ्यक्रम पढ़ने व हल करने में बोरियत महसूस नहीं होगी।
• गणित में पहेलियों (Riddles),कूट प्रश्नों (Puzzles),गूढ़ समस्याओं (Enigmas),जादुई वर्ग (Magic Square),खेल (Game) इत्यादि की रचना इसलिए ही दी गई हैं कि गणित में सरसता व आनंद का अनुभव किया जा सके।
• परंतु वस्तुतः देखने में आता है कि अभी भी शिक्षण संस्थाओं तथा शिक्षकों में इनके प्रयोग के प्रति उत्साह नहीं देखा जाता है।आज भी गणित कक्षा नीरस,उबाऊ तथा थकाऊ महसूस होती है। अधिकांश शिक्षक कक्षाओं में परंपरागत शिक्षण पद्धतियों के द्वारा गणित की कक्षाओं को संचालित करते हैं।
• इसलिए अध्यापक शिक्षा में शिक्षकों को इस प्रकार प्रशिक्षित किए जाने की आवश्यकता है जिससे शिक्षक गणित की कक्षाओं में नवीनता,परिवर्तनशीलता,प्रगतिशीलता जैसे तत्त्वों को शामिल करें।
• आज भी छात्र-छात्राएं गणित के प्रति उदासीन देखे जाते हैं तो इसमें कहीं न कहीं शिक्षक अधिक जिम्मेदार होते हैं।यदि वे अपनी कक्षाओं में उपर्युक्त मनोरंजक क्रियाओं को शामिल करें तो निश्चित रूप से छात्र-छात्राओं का गणित के प्रति दृष्टिकोण सकारात्मक किया जा सकता है।हालांकि यह कार्य इतना आसान नहीं है परंतु धीरे-धीरे ही यदि इन क्रियाओं को शामिल किया जाए तो एक न एक दिन देश की दिशा व दशा की कायापलट हो सकती है।
• उपर्युक्त विवरण में गणितीय गूढ़ समस्याएँ (Mathematical Enigmas),गूढ़ समस्याएँ (Enigmas) के बारे में बताया गया है।
  
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2.गणितीय गूढ़ समस्याओं के उदाहरण (Mathematical Enigmas Examples):

Mathematical Enigmas

• (1.)250 मीटर लंबे और 150 मीटर चौड़े प्लॉट का मूल्य ₹15000000 (एक करोड़ पचास लाख रुपए) है तो 200 मीटर लंबे और 75 मीटर चौड़े प्लाट का मूल्य क्या होगा?
  हल:250 मीटर लंबे और 150 मीटर चौड़े प्लाॅट का क्षेत्रफल=लंबाई × चौड़ाई
  =250×150
  =37500 वर्ग मीटर
• प्लॉट की प्रति वर्ग मीटर दर=प्लॉट की कीमत÷प्लाॅट का क्षेत्रफल
• =₹15000000÷37500=₹400 प्रति वर्ग मीटर
  200 मीटर लम्बे और 75चौड़े प्लाॅट का क्षेत्रफल=लम्बाई × चौड़ाई
  =200×75=15000 वर्गमीटर
• प्लान की कीमत=प्लॉट का क्षेत्रफल×प्लॉट की दर
  =15000×₹400=6000000 (साढ़ लाख रुपए)
• (2.)यादृच्छिक रूप से चुने गए एक लीप वर्ष में 53 सोमवार आने की क्या प्रायिकता है?
  उत्तर:लीप वर्ष में 366 दिन होते हैं।अतः 366÷7=52,शेषफल=2
  अतः 52 सोमवार के अलावा 2 अतिरिक्त दिन बचते हैं।
• ये 2 दिन (सोमवार,मंगलवार),(मंगलवार,बुधवार),(बुधवार,बृहस्पतिवार),(बृहस्पतिवार,शुक्रवार),(शुक्रवार,शनिवार),(शनिवार,रविवार),(रविवार,सोमवार) हो सकते हैं।
• अतः कुल स्थितियां=7,अनुकूल स्थितियां=2
• अतः 53 सोमवार आने की प्रायिकता=अनुकूल स्थितियां÷कुल स्थितियां
  =\frac{2}{7}
• (3.)7 व्यक्ति एक गोल मेज के चारों ओर कितने प्रकार से बैठ सकते हैं?
• उत्तर:सर्वप्रथम हम एक व्यक्ति को मेज के पास एक स्थान पर निश्चित करते हैं।फिर शेष 6 व्यक्तियों को 6! विधियों से बैठा सकते हैं।अत: अभीष्ट संख्या होगी:6!=6×5×4×3×2×1=720
• (4.)सीमा अपनी दूसरी संतान को जन्म देनेवाली है,इसकी क्या संभावना है कि उसकी कम से कम एक लड़की हो।
  उत्तर:सीमा पहली लड़की को जन्म दे चुकी है।अतः कम से कम एक लड़की होने की संभावना है शत-प्रतिशत।
• (5.)-1के घन मूलकों का गुणनफल क्या है?
• उत्तर:(-1)×(-w)×(-w^2)
• (6.)दिल्ली में 30% लोग कार से,60% बस से,10% बस और कार दोनों से ही यात्रा करते हैं तो बस या कार से यात्रा करने वालों की क्या प्रतिशतता है?
• उत्तर:A=30%,B=60% A \cap B=10%,A \cup B=? 
• \mid A \cup B \mid=\mid A \mid+\mid B \mid-\mid A \cap B \mid
  \mid A \cup B \mid=30+60-10=80%
• (7.)यदि ज्यामितीय श्रेणी 5,-\frac{5}{2},\frac{5}{4},-\frac{5}{8}\\... का n वाँ पद \frac{5}{1024} है तो n का मान क्या है?
• उत्तर: a=5,r=\frac{\left(-\frac{5}{2}\right)}{5}
  T_{n} =ar^{n-1}
  \Rightarrow\frac{5}{1024}=5\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}
  \Rightarrow\frac{1}{1024}=\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}
  \Rightarrow\frac{1}{1024}=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)^n}{\left(-\frac{1}{2}\right)}
  \Rightarrow-\frac{1}{2048}=(-\frac{1}{2})^n
  \Rightarrown=11
• (8.)यदि ^{43}c_{r-6}=^{43}c_{3r+1} तो r का मान क्या है?
• उत्तर:r-6=3r+1 या r-6+3r+1=43
  \Rightarrow4r-5=43
  \Rightarrow4r=43+5
  \Rightarrow4r=48
  \Rightarrow r=\frac{48}{4}=12
• (9.)20 बिंदुओं से कितनी सरल रेखाएं खींची जा सकती है,यदि 4 बिंदु एक रेखा में हैं?
• उत्तर:एक रेखा दो बिंदुओं को मिलाकर खींची जा सकती है।अतःकुल रेखाएं ^{20}c_{2}=\frac{20!}{18!2!}=190
• 4 बिन्दुओं से मिलाकर खींची गई रेखाएँ=^{4}p_{2}=6
• परन्तु इन चार बिन्दुओं को मिलाकर एक रेखा ही खींची गई है।
• अतः अभीष्ट रेखाएँ=190-5=185
• उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा गणितीय गूढ़ समस्याएँ (Mathematical Enigmas),गूढ़ समस्याएँ (Enigmas) को ठीक से समझ सकते हैं।

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3.गणितीय गूढ़ समस्याएँ (Mathematical Enigmas),गूढ़ समस्याएँ (Enigmas) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

Mathematical Enigmas

प्रश्न:1.एक नंबर क्रॉस क्या है? (What is a number cross?):

उत्तर:एक क्रॉस-फिगर (cross-figure) (जिसे विभिन्न रूप से क्रॉस नंबर पजल या फिगर लॉजिक (cross number puzzle or figure logic) भी कहा जाता है) संरचना में क्रॉसवर्ड (crossword) के समान एक पहेली है,लेकिन प्रविष्टियों के साथ जिसमें शब्दों के बजाय संख्याएं होती हैं,व्यक्तिगत अंकों (individual digits) के साथ खाली कोष्ठकों (blank cells) में प्रवेश किया जा रहा है।

प्रश्न:2.क्रॉस नंबर कैसे काम करता है? (How does cross number work?):

उत्तर:क्रॉस-नंबर पहेली शब्दों को संख्यात्मक अंकों के साथ क्रॉसवर्ड में बदल देती है और गणित समीकरण शब्द संकेतों की जगह लेते हैं।आपके द्वारा चुनी जाने वाली पहेली जितनी बड़ी होगी, ग्रिड में जाने वाली संख्याओं का अधिकतम आकार उतना ही बड़ा होगा,साथ ही गणित की समस्याएं भी उतनी ही कठिन हो जाएंगी।

प्रश्न:3.क्या आप लापता संख्या वर्ग पा सकते हैं? (Can you find the missing number square?):

उत्तर:इसका जवाब “स्क्वायर में मिसिंग नंबर ढूंढें”, उत्तर बटन पर क्लिक करके देखा जा सकता है। उत्तर 22 है।प्रत्येक पंक्ति और कॉलम समान्तर श्रेढ़ी (arithmetic progression) में हैं।

प्रश्न:4.समस्या को सुलझाने के लिए 7 कदम क्या हैं? (What are the 7 steps to problem solving?):

उत्तर:प्रभावी समस्या को सुलझाने के प्रमुख गुणों में से एक है कि औसत लोगों से महान नेताओं को अलग करें।
स्टेप 1: समस्या की पहचान करें (Identify the Problem)।
स्टेप 2: समस्या का विश्लेषण करें (Analyze the Problem)।
स्टेप 3: समस्या का वर्णन करें (Describe the Problem)।
स्टेप 4: मूल कारणों की तलाश करें (Look for Root Causes)।
स्टेप 5: वैकल्पिक समाधान विकसित करें (Develop Alternate Solutions)।
स्टेप 6: समाधान को लागू करें (Implement the Solution)।
स्टेप 7: परिणामों को मापें (Measure the Results)।

प्रश्न5.समस्या समाधान में 4 कदम क्या हैं? (What are the 4 steps in problem solving?):

उत्तर:पॉलीया ने समस्या को सुलझाने के लिए अपनी प्रसिद्ध चार-चरण प्रक्रिया बनाई,जिसका उपयोग समस्या समाधान में लोगों की सहायता के लिए किया जाता है:
स्टेप 1: समस्या को समझें (Understand the problem)।
स्टेप 2: एक योजना ईजाद (अनुवाद) (Devise a plan (translate))।
स्टेप 3: योजना को पूरा करें (हल करें)(Carry out the plan (solve))।
स्टेप 4: पीछे मुड़कर देखें (जांच और व्याख्या) (Look back (check and interpret))।

प्रश्न:6.पॉलीया की विधि क्या है? (What is Polya’s method?):

उत्तर:लगभग 100 साल पहले, जॉर्ज पॉलीया (George Polya) नाम के एक व्यक्ति ने सभी प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए चार चरणों वाली विधि तैयार की: समस्या को समझें, एक योजना बनाएं, योजना पर अमल करें, और पीछे मुड़कर देखें और प्रतिबिंबित करें। क्योंकि विधि सरल है और अच्छी तरह से सामान्यीकृत है, यह समस्याओं को हल करने के लिए एक क्लासिक तरीका (classic method) बन गया है।

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा गणितीय गूढ़ समस्याएँ (Mathematical Enigmas),गूढ़ समस्याएँ (Enigmas) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

गणितीय गूढ़ समस्याएँ (Mathematical Enigmas) भी गणितीय पहेलियों के समान है।गूढ़ समस्याएँ भी मनोरंजक गणित और गतिविधियों में शामिल हैं।गूढ़ समस्याओं में मनोरंजक पहलू किसी न किसी रूप में शामिल होता है।