Linear Inequalities in Two Variables
1.दो चर राशियों की रैखिक असमिकाएँ (Linear Inequalities in Two Variables),दो चर राशियों के रैखिक असमिकाओं का आलेखीय हल (Graphical Solution of Linear Inequalities in Two Variables):
दो चर राशियों की रैखिक असमिकाओं (Linear Inequalities in Two Variables) पर आधारित सवालों को आलेखीय विधि से हल ज्ञात करने के बारे में अध्ययन करेंगे।
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2.दो चर राशियों की रैखिक असमिकाओं पर आधारित उदाहरण (Illustrations Based on Linear Inequalities in Two Variables):
निम्नलिखित असमिकाओं को आलेखन-विधि से द्विविमीय तल में निरूपित कीजिए।
Illustration:1.x+y<5
Solution:x+y<5 दी गई असमिका x+y<5 के संगत समीकरण x+y=5 होता है। इस समीकरण में y=0 तथा x=0 रखने पर x=5 तथा y=5 प्राप्त होता है।इसलिए यह रेखा x-अक्ष को (5,0) तथा y-अक्ष को (0,5) पर मिलती है।इन बिन्दुओं को खण्डित रेखा द्वारा मिलाते हैं।बिन्दु (0,0) असमिका x+y<0 को 0+0<5 सन्तुष्ट करता है इसलिए मूलबिन्दु हल क्षेत्र में समाविष्ट है।अतः हल क्षेत्र रेखा पर स्थित बिन्दुओं को छोड़कर मूलबिन्दु की ओर छायांकित क्षेत्र द्वारा दर्शाया गया है।
Illustration:2. 2 x+y \geq 6
Solution: 2 x+y \geq 6
दी गई असमिका 2 x+y \geq 6 के संगत समीकरण 2x+y=6 होता है। इस समीकरण में y=0 तथा x=0 रखने पर x=3 तथा y=6 प्राप्त होता है।इसलिए यह रेखा x-अक्ष को (3,0) तथा y-अक्ष को (0,6) पर मिलती है।इन बिन्दुओं को गहरी काली रेखा द्वारा मिलाते हैं।बिन्दु (0,0) असमिका 2 x+y \geq 6 को 2 (0)+(0) \geq 6 सन्तुष्ट नहीं करता है इसलिए मूलबिन्दु हल क्षेत्र में समाविष्ट नहीं है।अतः हल क्षेत्र रेखा पर स्थित बिन्दुओं सहित मूलबिन्दु से विपरीत ओर छायांकित क्षेत्र द्वारा दर्शाया गया है।
Illustration:3. 3 x+4 y \leq 12
Solution: 3 x+4 y \leq 12
दी गई असमिका 3 x+4 y \leq 12 के संगत समीकरण 3x+4y=12 होता है। इस समीकरण में y=0 तथा x=0 रखने पर x=4 तथा y=3 प्राप्त होता है।इसलिए यह रेखा x-अक्ष को (4,0) तथा y-अक्ष को (0,3) पर मिलती है।इन बिन्दुओं को गहरी काली रेखा द्वारा मिलाते हैं।बिन्दु (0,0) असमिका 3 x+4 y \leq 12 को 3(0)+4(0) \leq 12 \Rightarrow 0 \leq 12 को सन्तुष्ट करता है इसलिए मूलबिन्दु हल क्षेत्र में समाविष्ट है।अतः हल क्षेत्र रेखा पर स्थित बिन्दुओं सहित मूलबिन्दु की ओर छायांकित क्षेत्र द्वारा दर्शाया गया है।
Illustration:4. y+8 \geq 2 x
Solution: y+8 \geq 2 x \\ \Rightarrow 2 x-y \leq 8
दी गई असमिका 2 x-y \leq 8 के संगत समीकरण 2x-y=8 होता है। इस समीकरण में y=0 तथा x=0 रखने पर x=4 तथा y=-8 प्राप्त होता है।इसलिए यह रेखा x-अक्ष को (4,0) तथा y-अक्ष को (0,-8) पर मिलती है।इन बिन्दुओं को गहरी काली रेखा द्वारा मिलाते हैं।बिन्दु (0,0) असमिका 2 x-y \leq 8 को 2(0)-0 \leq 8 \Rightarrow 0 \leq 8 को सन्तुष्ट करता है इसलिए मूलबिन्दु हल क्षेत्र में समाविष्ट है।अतः हल क्षेत्र रेखा पर स्थित बिन्दुओं सहित मूलबिन्दु की ओर छायांकित क्षेत्र द्वारा दर्शाया गया है।
Illustration:5. x-y \leq 2
Solution: x-y \leq 2
दी गई असमिका x-y \leq 2 के संगत समीकरण x-y=2 होता है। इस समीकरण में y=0 तथा x=0 रखने पर x=2 तथा y=-2 प्राप्त होता है।इसलिए यह रेखा x-अक्ष को (2,0) तथा y-अक्ष को (0,-2) पर मिलती है।इन बिन्दुओं को गहरी काली रेखा द्वारा मिलाते हैं।बिन्दु (0,0) असमिका x-y \leq 2 को 0-0 \leq 2 \Rightarrow 0 \leq 2 को सन्तुष्ट करता है इसलिए मूलबिन्दु हल क्षेत्र में समाविष्ट है।अतः हल क्षेत्र रेखा पर स्थित बिन्दुओं सहित मूलबिन्दु की ओर छायांकित क्षेत्र द्वारा दर्शाया गया है।
Illustration:6.2x-3y>6
Solution:2x-3y>6
दी गई असमिका 2x-3y>6 के संगत समीकरण 2x-3y=6 होता है।
इस समीकरण में y=0 तथा x=0 रखने पर x=3 तथा y=-2 प्राप्त होता है।इसलिए यह रेखा x-अक्ष को (3,0) तथा y-अक्ष को (0,-2) पर मिलती है।इन बिन्दुओं को खण्डित रेखा द्वारा मिलाते हैं।बिन्दु (0,0) असमिका 2x-3y>6 को 2(0)-3(0)>6 \Rightarrow 0>6 सन्तुष्ट नहीं करता है इसलिए मूलबिन्दु हल क्षेत्र में समाविष्ट नहीं है।अतः हल क्षेत्र रेखा पर स्थित बिन्दुओं को छोड़कर मूलबिन्दु से विपरीत ओर छायांकित क्षेत्र द्वारा दर्शाया गया है।
Illustration:7. -3 x+2 y \geq -6
Solution: -3 x+2 y \geq -6
दी गई असमिका -3 x+2 y \geq -6 के संगत समीकरण -3x+2y=-6 होता है।
इस समीकरण में y=0 तथा x=0 रखने पर x=2 तथा y=-3 प्राप्त होता है।इसलिए यह रेखा x-अक्ष को (2,0) तथा y-अक्ष को (0,-3) पर मिलती है।इन बिन्दुओं को गहरी काली रेखा द्वारा मिलाते हैं।बिन्दु (0,0) असमिका -3 x+2 y \geq -6 को -3(0)+2(0) \geq -6 \Rightarrow 0 \geq -6 को सन्तुष्ट करता है इसलिए मूलबिन्दु हल क्षेत्र में समाविष्ट है।अतः हल क्षेत्र रेखा पर स्थित बिन्दुओं सहित मूलबिन्दु की ओर छायांकित क्षेत्र द्वारा दर्शाया गया है।
Illustration:8.3y-5x<30
Solution:3y-5x<30
दी गई असमिका के संगत समीकरण 3y-5x=30 होता है। इस समीकरण में y=0 तथा x=0 रखने पर x=-6 तथा y=10 प्राप्त होता है।इसलिए यह रेखा x-अक्ष को (-6,0) तथा y-अक्ष को (0,10) पर मिलती है।इन बिन्दुओं को खण्डित रेखा द्वारा मिलाते हैं।बिन्दु (0,0) असमिका 3y-5x<30 को 3(0)-5(0) \Rightarrow 0<30 सन्तुष्ट करता है इसलिए मूलबिन्दु हल क्षेत्र में समाविष्ट है।अतः हल क्षेत्र रेखा पर स्थित बिन्दुओं को छोड़कर मूलबिन्दु की ओर छायांकित क्षेत्र द्वारा दर्शाया गया है।
Illustration:9.y<-2
Solution: y<-2
दी गई असमिका का आलेख चित्र में दर्शाया गया है।इस रेखा को खण्डित रेखा द्वारा दर्शाया गया है। बिन्दु (0,0) असमिका y<-2 को 0<-2 सन्तुष्ट नहीं करता है इसलिए मूलबिन्दु हल क्षेत्र में समाविष्ट नहीं है।अतः हल क्षेत्र रेखा पर स्थित बिन्दुओं को छोड़कर मूलबिन्दु से विपरीत ओर छायांकित क्षेत्र द्वारा दर्शाया गया है।
Illustration:10.x>-3
Solution:x>-3
दी गई असमिका का आलेख चित्र में दर्शाया गया है।इस रेखा को खण्डित रेखा द्वारा दर्शाया गया है।
बिन्दु (0,0) असमिका x>-3 को 0>-3 सन्तुष्ट करता है इसलिए मूलबिन्दु हल क्षेत्र में समाविष्ट है।अतः हल क्षेत्र रेखा पर स्थित बिन्दुओं को छोड़कर मूलबिन्दु की ओर छायांकित क्षेत्र द्वारा दर्शाया गया है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा दो चर राशियों की रैखिक असमिकाएँ (Linear Inequalities in Two Variables),दो चर राशियों के रैखिक असमिकाओं का आलेखीय हल (Graphical Solution of Linear Inequalities in Two Variables) को समझ सकते हैं।
3.दो चर राशियों की रैखिक असमिकाओं पर आधारित सवाल (Questions Based on Linear Inequalities in Two Variables):
निम्नलिखित असमिकाओं का हल क्षेत्र लेखाचित्र विधि द्वारा ज्ञात कीजिए:
(1.)y \leq -3
(2.)2x-y \geq 1
उत्तर (Answers): (1)
(2)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर दो चर राशियों की रैखिक असमिकाएँ (Linear Inequalities in Two Variables),दो चर राशियों के रैखिक असमिकाओं का आलेखीय हल (Graphical Solution of Linear Inequalities in Two Variables) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.दो चर राशियों की रैखिक असमिकाएँ (Frequently Asked Questions Related to Linear Inequalities in Two Variables),दो चर राशियों के रैखिक असमिकाओं का आलेखीय हल (Graphical Solution of Linear Inequalities in Two Variables) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.द्विघात असमिका किसे कहते हैं? (What is Quadratic Inequality?):
उत्तर:किसी असमिका में कम से कम एक पद में चर राशि की उच्चतम घात दो हो,तब उसे द्विघात असमिका कहते हैं।जैसे:
प्रश्न:2.असमिकाओं के मुख्य बिन्दु लिखिए। (Write HIGHLIGHTS of Inequalities):
उत्तर:(1.)वह क्षेत्र जिसमें किसी असमिका के सम्पूर्ण हल स्थित हों,तो उसे असमिका का हल-क्षेत्र (solution region) कहते हैं।
(2.)किसी असमिका द्वारा निरूपित क्षेत्र को पहचानने के लिए,किसी अर्ध-तल में केवल एक बिन्दु (a,b) (जो रेखा पर स्थित न हो) जाँचना ही पर्याप्त है कि वह उस असमिका को सन्तुष्ट करता है अथवा नहीं।यदि यह बिन्दु असमिका को सन्तुष्ट करता है तो असमिका उस अर्ध-तल को निरूपित करती है और उस अर्ध-तल को छायांकित कर देते हैं जिसमें वह बिन्दु है।अन्यथा यह असमिका उस अर्ध-तल को निरूपित करेगी जिसमें यह बिन्दु नहीं है।अपनी सुविधा की दृष्टि से बिन्दु (0,0) को प्राथमिकता दी जाती है।
(3.)यदि एक असमिका a x+b y \geq c या a x+b y \leq c के स्वरूप की है तो रेखा ax+by=c पर स्थित सभी बिन्दु भी उसके हल-क्षेत्र में सम्मिलित होते हैं।इसलिए हल क्षेत्र पर गहरी काली रेखा खींचते हैं।
(4.)यदि असमिका ax+by>y या ax+by<c के स्वरूप की है तो रेखा ax+by=c पर स्थित सभी बिन्दु उसके हल-क्षेत्र में सम्मिलित नहीं होते हैं।इसलिए हल क्षेत्र पर रेखा को बिन्दुवत या खण्डित खींचते हैं।
प्रश्न:3.दो चर में रैखिक असमिका किसे कहते हैं? (What is Linear Inequality in Two Variables?):
उत्तर: a x+b y \geq c, a x+b y \leq c, a x+b y < c तथा a x+b y > c दो चर x तथा y में रैखिक असमिकाएँ कहलाती हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा दो चर राशियों की रैखिक असमिकाएँ (Linear Inequalities in Two Variables),दो चर राशियों के रैखिक असमिकाओं का आलेखीय हल (Graphical Solution of Linear Inequalities in Two Variables) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
