1.कक्षा में रैखिक असमिकाएँ (Linear Inequalities in Class 11),रैखिक असमिकाएँ कक्षा 11 (Linear Inequalities Class 11):

Linear Inequalities in Class 11

कक्षा में रैखिक असमिकाएँ (Linear Inequalities in Class 11) के इस आर्टिकल में एक चर राशि व दो चर राशियों के रैखिक असमिकाओं का बीजगणितीय विधि से हल ज्ञात करने के बारे में अध्ययन करेंगे।
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2.कक्षा में रैखिक असमिकाओं के उदाहरण (Linear Inequalities in Class 11 Illustrations):

प्रश्न 1 से 6 तक की असमिकाओं को हल कीजिए:
Illustration:1. 2 \leq 3 x-4 \leq 5
Solution: 2 \leq 3 x-4 \leq 5 \\ \Rightarrow 2+4 \leq 3 x-4+4 \leq 5+4 \\ \Rightarrow 6 \leq 3 x \leq 9 \\ \Rightarrow \frac{6}{3} \leq \frac{3 x}{3} \leq \frac{9}{3} \\ \Rightarrow 2 \leq x \leq 3
Illustration:2. 6 \leq-3(2 x-4)<12
Solution: 6 \leq -3(2 x-4)<12 \\ \Rightarrow 6 \leq -6 x+12<12 \\ \Rightarrow 6-12 \leq -6 x+12-12<12-12 \\ \Rightarrow -6 \leq -6 x<0 \\ \Rightarrow \frac{-6}{-6} \geq \frac{-6 x}{-6}>\frac{0}{-6} \\ \Rightarrow 1 \geq x>0 \\ \Rightarrow 0 < x \leq 1
Illustration:3. -3 \leq 4-\frac{7 x}{2} \leq 18
Solution: -3 \leq 4-\frac{7 x}{2} \leq 18 \\ \Rightarrow-3-4 \leq 4-\frac{7 x}{2}-4 \leq 18-4 \\ \Rightarrow-7 \leq-\frac{7x}{2} \leq 14 \\ \Rightarrow-7 \times \frac{-2}{7} \geq x \geq 14 \times \frac{-2}{7} \\ \Rightarrow 2 \geq x \geq -4 \\ \Rightarrow-4 \leq x \leq 2
Illustration:4. -15<\frac{3(x-2)}{5} \leq 0
Solution: -15<\frac{3(x-2)}{5} \leq 0 \\ \Rightarrow-15 \times 5 <\frac{(3 x-6)}{5} \times 5 \leq 0 \times 5 \\ \Rightarrow-75 <3 x-6 \leq 0 \\ \Rightarrow-75+6 <3 x-6+6 \leq 0+6 \\ \Rightarrow -69 <3 x \leq 6 \\ \Rightarrow \frac{-69}{3} <\frac{3 x}{3} \leq \frac{6}{3} \\ \Rightarrow-23 < x \leq 2
Illustration:5. -12 < 4-\frac{3 x}{-5} \leq 2
Solution: -12 < 4-\frac{3 x}{-5} \leq 2 \\ \Rightarrow-12 <4+\frac{3 x}{5} \leq 2 \\ \Rightarrow-12-4 <4+\frac{3 x}{5}-4 \leq 2-4 \\ \Rightarrow-16 <\frac{3 x}{5} \leq-2 \\ \Rightarrow-16 \times \frac{5}{3} < \frac{3 x}{5} \times \frac{5}{3} \leq-2 \times \frac{5}{3} \\ \Rightarrow-\frac{80}{3} < x \leq-\frac{10}{3}
Illustration:6. 7 \leq \frac{(3 x+11)}{2} \leq 11
Solution: 7 \leq \frac{(3 x+11)}{2} \leq 11 \\ \Rightarrow 7 \times 2 \leq \frac{(3 x+11)}{2} \times 2 \leq 11 \times 2 \\ \Rightarrow 14 \leq 3 x+11 \leq 22 \\ \Rightarrow 14-11 \leq 3 x+11-11 \leq 22-11 \\ \Rightarrow 3 \leq 3 x \leq 11 \\ \Rightarrow \frac{3}{3} \leq \frac{3 x}{3} \leq \frac{11}{3} \\ \Rightarrow 1 \leq x \leq \frac{11}{3}
प्रश्न 7 से 10 तक की असमिकाओं को हल कीजिए और उनके हल को संख्या रेखा पर निरूपित कीजिए।
Illustration:7. 5x+1>-24,5x-1<24
Solution: 5 x+1>-24,5 x-1<24 \\ 5 x+1>-24 \\ \Rightarrow 5 x>-24-1 \\ \Rightarrow 5 x>-25 \\ \Rightarrow x>-\frac{25}{5} \\ \Rightarrow x>-5 \cdots(1) \\ 5 x-1<24 \\ \Rightarrow 5 x<24+1 \\ \Rightarrow 5 x<25 \\ \Rightarrow x<\frac{25}{5} \\ \Rightarrow x<5 \cdots(2)

Linear Inequalities in Class 11

यदि संख्या रेखा पर (1) व (2) को आलेखित करें तो हम पाते हैं कि x के उभयनिष्ठ मान -5 से बड़े और 5 से छोटे हैं जो आकृति में गहरी काली रेखा द्वारा प्रदर्शित किए गए हैं।

Linear Inequalities in Class 11

Illustration:8. 2(x-1)< x+5,3(x+2)>2-x
Solution: 2(x-1)< x+5,3(x+2)>2-x \\ 2(x-1)< x+5 \\ \Rightarrow 2 x-2 < x+5 \\ \Rightarrow 2 x-x<5+2 \\ \Rightarrow x < 7 \cdots(1) \\ 3(x+2) >2-x \\ \Rightarrow 3 x+6 >2-x \\ \Rightarrow 3 x+x >2-6 \\ \Rightarrow 4 x >-4 \\ \Rightarrow 4 x >-4 \\ \Rightarrow x > -\frac{4}{4} \\ \Rightarrow x >-1 \cdots(2)

Linear Inequalities in Class 11

यदि संख्या रेखा पर (1) व (2) को आलेखित करें तो हम पाते हैं कि x के उभयनिष्ठ मान -1 से बड़े और 7 से छोटे हैं जो आकृति में गहरी काली रेखा द्वारा प्रदर्शित किए गए हैं।
Illustration:9. 3x-7>2(x-6),6-x>11-2x
Solution: 3 x-7>2(x-6), 6-x>11-2 x \\ 3 x-7>2(x-6) \\ \Rightarrow 3 x-7>2 x-1.2 \\ \Rightarrow 3 x-2 x>-12+7 \\ \Rightarrow x>-5 \ldots(1)\\ 6-x > 11-2 x \\ \Rightarrow -x+2 x>11-6 \\ \Rightarrow x > 5 \cdots(2)

Linear Inequalities in Class 11

यदि संख्या रेखा पर (1) व (2) को आलेखित करें तो हम पाते हैं कि x के उभयनिष्ठ मान 5 से बड़े हैं जो आकृति में गहरी काली रेखा द्वारा प्रदर्शित किए गए हैं।
Illustration:10. 5(2 x-7)-3(2 x+3) \leq 0, 2 x+19 \leq 6 x+47
Solution: 5(2 x-7)-3(2 x+3) \leq 0,2 x+19 \leq 6 x+47 \\ 5(2 x-7)-3(2 x+3) \leq 10 \\ \Rightarrow 10 x-35-6 x-9 \leq 10 \\ \Rightarrow 4 x-44 \leq 10 \\ \Rightarrow 4 x \leq 10+44 \\ \Rightarrow 4 x \leq 44 \\ \Rightarrow x \leq 11 \\ 2 x+19 \leq 6 x+47 \\ \Rightarrow 2 x-6 x \leq 47-19 \\ \Rightarrow-4 x \leq 28 \\ \Rightarrow x \geq \frac{28}{-4} \\ \Rightarrow x \geq -7

Linear Inequalities in Class 11

यदि संख्या रेखा पर (1) व (2) को आलेखित करें तो हम पाते हैं कि x के उभयनिष्ठ मान -7 के बराबर या -7 से बड़े व 11 के बराबर या 11 से छोटे हैं जो आकृति में गहरी काली रेखा द्वारा प्रदर्शित किए गए हैं।
Illustration:11.एक विलयन को 68°F और 77°F के मध्य रखना है।सेल्सियस पैमाने पर विलयन के तापमान का परिसर ज्ञात कीजिए,जहाँ सेल्सियस फारेनहाइट परिवर्तन सूत्र F=\frac{2}{5} C+32 है।
Solution:ज्ञात है कि 68^{\circ}< F< 77^{\circ}\\ F=\frac{9}{5} C+32^{\circ} , में रखने पर:
68^{\circ}< \frac{9}{5} C+32^{\circ}<77^{\circ} \\ \Rightarrow 68^{\circ}-32^{\circ}<\frac{9}{5} C<77^{\circ}-32^{\circ} \\ \Rightarrow 36^{\circ}< \frac{9}{5} C<45^{\circ} \\ \Rightarrow 36^{\circ} \times \frac{5}{9}< C < 45^{\circ} \times \frac{5}{9} \\ \Rightarrow 20^{\circ}< C < 25^{\circ}
परिसर 20°C तथा 25°C के बीच
Illustration:12.8% बोरिक एसिड के विलयन में 2% बोरिक एसिड का विलयन मिलाकर तनु (dilute) किया जाता है।परिणामी मिश्रण में बोरिक एसिड 4% से अधिक तथा 6% से कम होना चाहिए।यदि हमारे पास 8% विलयन की मात्रा 640 लीटर हो तो ज्ञात कीजिए कि 2% विलयन के कितने लीटर इसमें मिलाने होंगे?
Solution:मान लीजिए 2% बोरिक एसिड का x लीटर विलयन मिलाया जाता है।
सम्पूर्ण मिश्रण=640+x लीटर 
यदि मिश्रण 4% एसिड से अधिक का विलयन है तो
2 \% x+640 \times 8 \%>(640+x) \times 4 \% \\ \Rightarrow \frac{2 x}{100}+\frac{640 \times 8}{100}>(640+x) \times \frac{4}{100} \\ \Rightarrow 2 x+5120>2560+4 x \\ \Rightarrow 4 x-2 x<5120-2560 \\ \Rightarrow 2 x<2560 \\ \Rightarrow x< \frac{2560}{2} \\ \Rightarrow x<1280
यदि मिश्रण 6% बोरिक एसिड विलयन से कम है तो
2 \% x+640 \times 8 \%<(640+x) \times 6 \% \\ \Rightarrow \frac{2 x}{100}+\frac{5120}{100}<\frac{3840+6x}{100} \\ \Rightarrow 6x-2 x>5120-3840 \\ \Rightarrow 4 x>1280 \\ \Rightarrow x>\frac{1280}{4} \\ \Rightarrow x>320
इस प्रकार 2% एसिड विलयन की मात्रा 320 लीटर से अधिक और 1280 लीटर से कम होनी चाहिए।
Illustration:13.45% अम्ल के 1125 लीटर विलयन में कितना पानी मिलाया जाए कि परिणामी मिश्रण में अम्ल 25% से अधिक परन्तु 30% से कम हो जाए?
Solution:मान लीजिए 45% अम्ल में x लीटर पानी मिलाया जाएगा
मिश्रण की कुल मात्रा=1125+x लीटर
(1125+x) \times 25 \%<1125 \times 45 \% \\ \Rightarrow(1125+x) \times \frac{25}{100}<\frac{1125 \times 45}{100} \\ \Rightarrow 28125+25 x<50625 \\ \Rightarrow 25 x<50625-28125 \\ \Rightarrow 25 x<22500 \\ \Rightarrow x<\frac{22500}{25} \\ \Rightarrow x<900 \\ (1125+x) \times 30 \%>1125 \times 45 \% \\ \Rightarrow(1125+x) \times \frac{30}{100}>1125 \times \frac{45}{100} \\ \Rightarrow 33750+30 x>50625 \\ \Rightarrow 30 x>50625-33750 \\ \Rightarrow 30 x>16875 \\ \Rightarrow x>\frac{16875}{30} \\ \Rightarrow x > 562.5 \\ 562.5 < x < 900
अतः विलयन में 562.5 लीटर से अधिक किन्तु 900 लीटर से कम पानी मिलाया जाये।
Illustration:14.एक व्यक्ति के बौद्धिक-लब्धि (IQ) मापन का सूत्र निम्नलिखित है:
I Q=\frac{M A}{C A} \times 100
जहाँ MA मानसिक आयु और CA कालानुक्रमी आयु है।यदि 12 वर्ष की आयु के बच्चों के एक समूह को IQ,असमिका द्वारा व्यक्त हो,तो उस समूह के बच्चों की मानसिक आयु का परिसर ज्ञात कीजिए।
Solution: I Q=\frac{M A}{C A} \times 100 \cdots(1)
दिया है:
80 \leq IQ \leq 140 \cdots(2)
(1) व (2) से:
80 \leq \frac{MA}{CA} \times 100 \leq 140
परन्तु CA=12 वर्ष
\Rightarrow 80 \leq \frac{C A}{12} \times 100 \leq 140 \\ \Rightarrow \frac{80 \times 12}{100} \leq \frac{M A \times 100}{12} \times \frac{12}{100} \leq 140 \times \frac{12}{100} \\ \Rightarrow 9.6 \leq MA \leq 16.8
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कक्षा में रैखिक असमिकाएँ (Linear Inequalities in Class 11),रैखिक असमिकाएँ कक्षा 11 (Linear Inequalities Class 11) को समझ सकते हैं।

3.कक्षा में रैखिक असमिकाओं के सवाल (Linear Inequalities in Class 11 Questions):

Linear Inequalities in Class 11

(1.)असमिका 2 x^2+x-15 \geq 0 का हल क्षेत्र लेखाचित्र विधि द्वारा ज्ञात कीजिए।
(2.)असमिका -x^2+5 x-6>0 का लेखाचित्र विधि द्वारा हल क्षेत्र ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers): (1.)x \in \left(-\infty,-3\right] \cup\left[\frac{5}{2}, \infty\right)

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(2.) x \in(2,3)

Linear Inequalities in Class 11

उपर्युक्त सवालों को हल करने पर कक्षा में रैखिक असमिकाएँ (Linear Inequalities in Class 11),रैखिक असमिकाएँ कक्षा 11 (Linear Inequalities Class 11) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.कक्षा में रैखिक असमिकाएँ (Frequently Asked Questions Related to Linear Inequalities in Class 11),रैखिक असमिकाएँ कक्षा 11 (Linear Inequalities Class 11) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

कक्षा में रैखिक असमिकाएँ (Linear Inequalities in Class 11) के इस आर्टिकल में एक चर
राशि व दो चर राशियों के रैखिक असमिकाओं का बीजगणितीय विधि से हल ज्ञात करने के
बारे में अध्ययन करेंगे।