1.रैखिक असमिकाएँ कक्षा 11 (Linear Inequalities Class 11),रैखिक असमिकाएँ (Linear Inequalities):

Linear Inequalities Class 11

रैखिक असमिकाएँ कक्षा 11 (Linear Inequalities Class 11) के इस आर्टिकल में एक या दो चर राशियों की रैखिक असमिकाओं पर आधारित सवालों को हल करने के बारे में अध्ययन करेंगे।
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2.रैखिक असमिकाएँ कक्षा 11 के साधित उदाहरण (Linear Inequalities Class 11 Solved Illustrations):

Illustration:1.हल कीजिए: 24x<100,जब (i)x एक प्राकृत संख्या है (ii)x एक पूर्णांक संख्या है
Solution: 24 x<100 \\ \Rightarrow \frac{24 x}{24}<\frac{100}{24} \\ \Rightarrow x<\frac{25}{6}
(i)x एक प्राकृत संख्या है। स्पष्टतः इस स्थिति में x के निम्नलिखित मान कथन को सत्य करते हैं।
x=1,2,3,4
असमिका का हल समुच्चय {1,2,3,4} है।
(ii)जब x एक पूर्णांक है स्पष्टतः इस स्थिति में दिए गए असमिका के हल हैं:
…….. -3,-2,-1,0,1,2,3,4
असमिका का हल समुच्चय {….. -3,-2,-1,0,1,2,3,4} है।
Illustration:2.हल कीजिए:-12x>30, जब
(i)x एक प्राकृत संख्या है। (ii)x एक पूर्णांक है।
Solution: -12 x>30\\ \Rightarrow \frac{-12 x}{-12}<\frac{30}{-12} \\ \Rightarrow x<-\frac{5}{2}
(i)x एक प्राकृत संख्या है
स्पष्टतः इस स्थिति में x के किसी मान के लिए कोई हल नहीं है।
(ii)x एक पूर्णांक है।
स्पष्टतः इस स्थिति में दिए गए असमिका के हल हैं:
…… -5,-4,-3
असमिका का हल समुच्चय {….-5,-4,-3}
Illustration:3.हल कीजिए:5x-3<7,जब (i)x एक पूर्णांक है (ii)x एक वास्तविक संख्या है।
Solution: 5 x-3<7 \\ \Rightarrow 5 x<7+3 \\ \Rightarrow \frac{5 x}{5}<\frac{10}{5} \\ \Rightarrow x<2
(i)x एक पूर्णांक है स्पष्टतः इस स्थिति में दिए गए असमिका के हल हैं:
…. -3,-2,-1,0,1
असमिका का हल समुच्चय {….. -3,-2,-1,0,1} है।
(ii)x एक वास्तविक समुच्चय है। स्पष्टतः इस स्थिति में दी गई असमिका के हल हैं:
(-\infty,2)
Illustration:4.हल कीजिए:3x+8>2,जब
(i)x एक पूर्णांक है (ii)x एक वास्तविक संख्या है
Solution: 3 x+8>2\\ \Rightarrow 3 x>2-8 \\ \Rightarrow 3 x>-6 \\ \Rightarrow \frac{3 x}{3}>-\frac{6}{3} \\ \Rightarrow x>-2
(i)x एक पूर्णांक है
स्पष्टतः इस स्थिति में दिए गए असमिका के हल हैं:
-1,0,1,2….
अतः असमिका के हल समुच्चय {-1,0,1,2…}
(ii)x एक वास्तविक संख्या है।
स्पष्टतः इस स्थिति में दिए गए असमिका के हल हैं:
(-2, \infty)
निम्नलिखित प्रश्न 5 से 16 तक वास्तविक संख्या x के लिए हल कीजिए:
Illustration:5.4x+3<5x+7
Solution: 4 x+3<5 x+7 \\ \Rightarrow 4 x-5 x<7-3 \\ \Rightarrow-x<4 \\ \Rightarrow x>-4
अर्थात् ऐसी समस्त वास्तविक संख्याएँ जो -4 से बड़ी है।अतः इस असमिका के हल:
x \in(-4, \infty)
Illustration:6.3x-7>5x-1
Solution: 3x-7 >5x-1 \\ \Rightarrow 3 x-5 x>7-1 \\ \Rightarrow-2 x>6 \\ \Rightarrow \frac{-2 x}{-2}<\frac{6}{-2} \\ \Rightarrow x<-3
अर्थात् ऐसी समस्त वास्तविक संख्याएँ जो -3 से छोटी है।अतः इस असमिका के हल:
x \in(-\infty,-3)
Illustration:7. 3(x-1) \leq 2(x-3)
Solution: 3(x-1) \leq 2(x-3) \\ \Rightarrow 3 x-3 \leq 2 x-6 \\ \Rightarrow 3 x-2 x \leq-6+3 \\ \Rightarrow x \leq-3
अर्थात् ऐसी समस्त वास्तविक संख्याएँ जो -3 से छोटी या बराबर है।अतः इस असमिका के हल:
x \in(-\infty,-3]
Illustration:8. 3(2-x) \geq 2(1-x)
Solution: 3(2-x) \geq 2(1-x) \\ \Rightarrow 6-3 x \geq 2-2 x \\ \Rightarrow-3 x+2 x \geq 2-6 \\ \Rightarrow-x \geq -4 \\ \Rightarrow x \leq 4
अर्थात् ऐसी समस्त वास्तविक संख्याएँ जो 4 से छोटी या बराबर है।अतः इस असमिका के हल:
x \in(-\infty, 4]
Illustration:9. x+\frac{x}{2}+\frac{x}{3}<11
Solution: x+\frac{x}{2}+\frac{x}{3}<11 \\ \Rightarrow \frac{6 x+3 x+2 x}{6}<11 \\ \Rightarrow \frac{11 x}{6}<11 \\ \Rightarrow x<6
अर्थात् ऐसी समस्त वास्तविक संख्याएँ जो 6 से छोटी है।अतः इस असमिका के हल:
x \in(-\infty, 6)
Illustration:10. \frac{x}{3}>\frac{x}{2}+1
Solution: \frac{x}{3}>\frac{x}{2}+1 \\ \Rightarrow \frac{x}{3}-\frac{x}{2}>1 \\ \Rightarrow \frac{2 x-3 x}{6}>1 \\ \Rightarrow-\frac{x}{6}>1 \\ \Rightarrow x<-6
अर्थात् ऐसी समस्त वास्तविक संख्याएँ जो -6 से छोटी है।अतः इस असमिका के हल:
x \in(-\infty,-6)
Illustration:11. \frac{3(x-2)}{5} \leq \frac{5(2-x)}{3}
Solution: \frac{3(x-2)}{5} \leq \frac{5(2-x)}{3} \\ \Rightarrow \frac{3 x-6}{5} \leq \frac{10-5 x}{3} \\ \Rightarrow 9 x-18 \leq 50-25 x \\ \Rightarrow 9 x+25 x \leq 50+18 \\ \Rightarrow 34 x \leq 68 \\ \Rightarrow \frac{34 x}{34} \leq \frac{68}{34} \\ \Rightarrow x \leq 2
अर्थात् ऐसी समस्त वास्तविक संख्याएँ जो 2 से छोटी या बराबर है।अतः इस असमिका के हल:
x \in(-\infty, 2]
Illustration:12. \frac{1}{2}\left(\frac{3 x}{5}+4\right) \geq \frac{1}{3}(x-6)
Solution: \frac{1}{2}\left(\frac{3 x}{5}+4\right) \geq \frac{2}{3}(x-6) \\ \Rightarrow \frac{3 x}{10}+\frac{4}{2} \geq \frac{x}{3}-\frac{6}{3} \\ \Rightarrow \frac{3 x}{10}+2 \geq \frac{x}{3}-2 \\ \frac{3 x}{10}-\frac{x}{3} \geq -2-2 \\ \Rightarrow \frac{9 x-10 x}{30} \geq -4 \\ \Rightarrow-\frac{x}{30} \geq -4 \\ \Rightarrow-\frac{x}{30} \times-30 \leq -4 \times -30 \\ \Rightarrow x \leq 120
अर्थात् ऐसी समस्त वास्तविक संख्याएँ जो 120 से छोटी या बराबर है।अतः इस असमिका के हल:
x \in(-\infty, 120]
Illustration:13.2(2x+3)<6(x-2)
Solution: 2(2 x+3)-10<6(x-2) \\ \Rightarrow 4 x+6-10<6 x-12 \\ \Rightarrow 4 x-4<6 x-12 \\ \Rightarrow 4 x-6 x<-12+4 \\ \Rightarrow -2 x<-8 \\ \Rightarrow \frac{-2 x}{-2}> \frac{-8}{-2} \\ \Rightarrow x>4
अर्थात् ऐसी समस्त वास्तविक संख्याएँ जो 4 से बड़ी है।अतः इस असमिका के हल:
x \in(4, \infty)
Illustration:14. 37- (3 x+5) \geq 9 x-8(x-3)
Solution: 37-(3 x+5) \geq 9 x-8(x-3) \\ \Rightarrow 37-3 x-5 \geq 9 x-8 x+24 \\ \Rightarrow 32-3 x \geq x+24 \\ \Rightarrow-3 x-x \geq 24-32 \\ \Rightarrow-4 x \geq -8 \\ \Rightarrow \frac{-4 x}{4} \leq \frac{-8}{-4} \\ \Rightarrow x \leq 2
अर्थात् ऐसी समस्त वास्तविक संख्याएँ जो 2 से छोटी या बराबर है।अतः इस असमिका के हल:
x \in(-\infty, 2]
Illustration:15. \frac{x}{4}<\frac{(5 x-2)}{3}-\frac{(7x-3)}{5}
Solution: \frac{x}{4}<\frac{(5 x-2)}{3}-\frac{(7 x-3)}{5} \\ \Rightarrow \frac{x}{4}<\frac{5(5 x-2)-3(7 x-3)}{15} \\ \Rightarrow \frac{x}{4}<\frac{25 x-10-21 x+9}{15} \\ \Rightarrow \frac{x}{4}<\frac{4 x-1}{15} \\ \Rightarrow 15 x<4(4 x-1) \\ \Rightarrow 15 x<16 x-4 \\ \Rightarrow 15 x-16 x<-4 \\ \Rightarrow-x<-4 \\ \Rightarrow x>4
अर्थात् ऐसी समस्त वास्तविक संख्याएँ जो 4 से बड़ी है।अतः इस असमिका के हल:
x \in(4, \infty)
Illustration:16. \frac{(2 x-1)}{3} \geq \frac{(3 x-2)}{4}-\frac{(2-x)}{5}
Solution: \frac{(2 x-1)}{3} \geq \frac{(3 x-2)}{4}-\frac{(2-x)}{5} \\ \Rightarrow \frac{(2 x-1)}{3} \geq \frac{5(3 x-2)-4(2-x)}{20} \\ \Rightarrow \frac{(2 x-1)}{3} \geq \frac{15 x-10-8+4 x}{20} \\ \Rightarrow \frac{(2 x-1)}{3} \geq \frac{19 x-18}{20} \\ \Rightarrow 20(2 x-1) \geq 3(19 x-18) \\ \Rightarrow 40 x-20 \geq 57 x-54 \\ \Rightarrow 40 x-57 x \geq -54+20 \\ \Rightarrow-17 x \geq -34 \\ \Rightarrow \frac{-17 x}{2} \leq -34 \\ \Rightarrow x \leq 2
अर्थात् ऐसी समस्त वास्तविक संख्याएँ जो 2 से छोटी या बराबर है।अतः इस असमिका के हल:
x \in(\infty, 2]
प्रश्न 17 से 20 तक की असमिकाओं का हल ज्ञात कीजिए तथा उन्हें संख्या रेखा पर आलेखित कीजिए।
Illustration:17.3x-2<2x+1
Solution: 3 x-2<2 x+1 \\ \Rightarrow 3 x-2 x<1+2 \\ \Rightarrow x<3
संख्या रेखा पर इन्हें हम निम्नलिखित प्रकार से प्रदर्शित कर सकते हैं:

Linear Inequalities Class 11

Illustration:18. 5 x-3 \geq 3 x-5
Solution: 5x-3 \geq 3 x-5 \\ \Rightarrow 5 x-3 x \geq 3-5 \\ \Rightarrow 2 x \geq -2 \\ \Rightarrow \frac{2 x}{2} \geq -\frac{2}{2} \\ \Rightarrow x \geq -1
संख्या रेखा पर इन्हें हम निम्नलिखित प्रकार से प्रदर्शित कर सकते हैं:

Linear Inequalities Class 11

Illustration:19. 3(1-x)<2(x+4)
Solution: 3(1-x)<2(x+4) \\ \Rightarrow 3-3 x<2 x+8 \\ \Rightarrow-3 x-2 x<8-3 \\ \Rightarrow-5 x<5 \\ \Rightarrow \frac{-5x}{-5} >\frac{5}{-5} \\ \Rightarrow x>-1
संख्या रेखा पर इन्हें हम निम्नलिखित प्रकार से प्रदर्शित कर सकते हैं:

Linear Inequalities Class 11

Illustration:20. \frac{x}{2} \geq \frac{(5 x-2)}{3}-\frac{(7x-3)}{5}
Solution: \frac{x}{2} \geq \frac{(5 x-2)}{3}-\frac{(7x-3)}{5} \\ \Rightarrow \frac{x}{2} \geq \frac{5(5 x-2)-3(7 x-3)}{15} \\ \Rightarrow \frac{x}{2} \geq \frac{25 x-10-21 x+9}{15} \\ \Rightarrow \frac{x}{2} \geq \frac{4 x-1}{15} \\ \Rightarrow 15 x \geq 2(4 x-1) \\ \Rightarrow 15 x \geq 8 x-2 \\ \Rightarrow 15 x-8 x \geq -2 \\ \Rightarrow 7 x \geq -2 \\ \Rightarrow \frac{7 x}{7} \geq -\frac{2}{7} \\ \Rightarrow x \geq -\frac{2}{7}
संख्या रेखा पर इन्हें हम निम्नलिखित प्रकार से प्रदर्शित कर सकते हैं:

Linear Inequalities Class 11

Illustration:21.रवि ने पहली दो एकक परीक्षा में 70 और 75 अंक प्राप्त किए हैं।वह न्यूनतम अंक ज्ञात कीजिए,जिसे वह तीसरी एकक परीक्षा में पाकर 60 अंक का न्यूनतम औसत प्राप्त कर सके।
Solution:मान लीजिए कि रवि तीसरी एकक परीक्षा में x अंक प्राप्त करता है।
\frac{70+75+x}{3} \geq 60 \\ \Rightarrow 145+x \geq 180 \\ \Rightarrow x \geq 180-145 \\ \Rightarrow x \geq 35
इस प्रकार रवि को तीसरी एकक परीक्षा में 35 से अधिक या बराबर अंक प्राप्त करने चाहिए।
Illustration:22.किसी पाठ्यक्रम में ग्रेड ‘A’ पाने के लिए एक व्यक्ति को सभी पाँच परीक्षाओं (प्रत्येक 100 में सेे) में 90 अंक या अधिक अंक का औसत प्राप्त करना चाहिए।यदि सुनीता के प्रथम चार परीक्षाओं के प्राप्तांक 87,92,94 और 95 हों तो वह न्यूनतम अंक प्राप्त कीजिए जिसे पाँचवीं परीक्षा में प्राप्त करके सुनीता उस पाठ्यक्रम में ग्रेड ‘A’ पाएगी।
Solution:मान लीजिए कि सुनीता पाँचवीं परीक्षा में x अंक प्राप्त करती है।
\frac{87+92+94+95+x}{5} \geq 90 \\ \Rightarrow \frac{368+x}{5} \geq 90 \\ \Rightarrow 368+x \geq 450 \\ \Rightarrow x \geq 450-368 \\ \Rightarrow x \geq 82
इस प्रकार सुनीता को पाँचवीं परीक्षा में 82 से अधिक या बराबर अंक प्राप्त करने चाहिए।
Illustration:23.10 से कम क्रमागत विषम संख्याओं के ऐसे युग्म ज्ञात कीजिए जिनके योगफल 11 से अधिक हों।
Solution:मान लिया कि दो क्रमागत विषम संख्याओं में छोटी विषम संख्या x है।इस प्रकार दूसरी विषम संख्या x+2 है।
प्रश्नानुसार:
x+2<10   ….. (1)
तथा x+x+2>11  ….. (2)
(1) व (2) को हल करने पर:
2 x+2>11 \\ \Rightarrow 2 x>11-2 \\ \Rightarrow \frac{2}{2} x>\frac{9}{2} \\ \Rightarrow x>\frac{9}{2} \cdots(3)
तथा x+2<10 \\ \Rightarrow x<10-2 \\ \Rightarrow x<8 \cdots(4)
(3) और (4) से निष्कर्ष यह है कि
\frac{9}{2}<x<8
इस प्रकार विषम संख्या x के अभीष्ट मान \frac{9}{2} व 8 के बीच हैं।इसलिए सम्भव अभीष्ट युग्म (5,7),(7,9) होंगे।
Illustration:24.क्रमागत सम संख्याओं के ऐसे युग्म ज्ञात कीजिए,जिनमें से प्रत्येक 5 से बड़े हों,तथा उनका योगफल 23 से कम हो।
Solution:मान लिया दो क्रमागत संख्याओं में छोटी संख्या x है।इस प्रकार दूसरी विषम संख्या x+2 है।
प्रश्नानुसार:
x>5  …. (1)
तथा x+x+2<23 \\ \Rightarrow 2x+2<23 \cdots(2)
(1) व (2) को हल करने पर:
2 x<23-2 \\ \Rightarrow \frac{2 x}{2}<\frac{21}{2} \\ \Rightarrow x<\frac{21}{2} \cdots(3)
(1) व (3) से निष्कर्ष यह है कि
5<x<\frac{21}{2}
इस प्रकार सम संख्या x के अभीष्ट मान 5 और के बीच है।इसलिए अभीष्ट सभी सम्भव जोड़े (6,8),(8,10),(10,12) होंगे।
Illustration:25.एक त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा सबसे छोटी भुजा की तीन गुनी है तथा त्रिभुज की तीसरी भुजा सबसे बड़ी भुजा से 2 सेमी कम है।तीसरी भुजा की न्यूनतम लम्बाई ज्ञात कीजिए जबकि त्रिभुज का परिमाप न्यूनतम 61 सेमी है।
Solution:मान लिया कि त्रिभुज की तीसरी भुजा की लम्बाई x है।इस प्रकार सबसे बड़ी भुजा x+2 तथा सबसे छोटी भुजा \frac{x+2}{3} है।
प्रश्नानुसार:
परिमाप \geq 61 सेमी
\Rightarrow x+x+2+\frac{x+2}{3} \geq 61 \\ \Rightarrow 2 x+2+\frac{x+2}{3} \geq 61 \\ \Rightarrow \frac{6 x+6+x+2}{3}\geq 61 \\ \Rightarrow 7 x+8 \geq 183 \\ \Rightarrow 7 x \geq 183-8 \\ \Rightarrow 7 x \geq 175 \\ \Rightarrow \frac{7 x}{7} \geq \frac{175}{7} \\ \Rightarrow x \geq 25
इस प्रकार तीसरी भुजा की न्यूनतम लम्बाई 25 सेमी है।
Illustration:26.एक व्यक्ति 91 सेमी लम्बे बोर्ड में से तीन लम्बाइयाँ काटना चाहता है।दूसरी लम्बाई सबसे छोटी लम्बाई से 3 सेमी अधिक है और तीसरी लम्बाई सबसे छोटी लम्बाई की दूनी है।सबसे छोटे बोर्ड की सम्भावित लम्बाईयाँ क्या है,यदि तीसरा टुकड़ा दूसरे टुकड़े से कम से कम 5 सेमी अधिक लम्बा हो? Solution:माना कटे हुए सबसे छोटे बोर्ड की लम्बाई=x दूसरे कटे हुए बोर्ड की लम्बाई=x+3 तीसरे कटे हुए बोर्ड की लम्बाई=2x
प्रश्नानुसार:
2 x \geq (x+3)+5 \\ \Rightarrow x \geq 8 \cdots(1)
तथा x+(x+3)+2 x \leq 91 \\ 4x \leq 88 \\ \Rightarrow x \leq \frac{88}{4} \\ \Rightarrow x \leq 22
(1) व (2) से:
सबसे छोटे कटे हुए बोर्ड की लम्बाई 8 से बड़ी या उसके बराबर किन्तु 22 सेमी से कम या उसके बराबर होगा।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा रैखिक असमिकाएँ कक्षा 11 (Linear Inequalities Class 11),रैखिक असमिकाएँ (Linear Inequalities) को समझ सकते हैं।

3.रैखिक असमिकाएँ कक्षा 11 पर आधारित सवाल (Questions Based on Linear Inequalities Class 11):

Linear Inequalities Class 11

(1.)असमिका x^2+3 x-18 \geq 0 को बीजगणितीय विधि द्वारा हल कीजिए।
(2.)असमिका x^2-0 \leq 0 का बीजगणितीय विधि से हल ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.) x \geq 3 तथा x \leq-6
(2.)-2 \leq x \leq 2
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर रैखिक असमिकाएँ कक्षा 11 (Linear Inequalities Class 11),रैखिक असमिकाएँ (Linear Inequalities) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.रैखिक असमिकाएँ कक्षा 11 (Frequently Asked Questions Related to Linear Inequalities Class 11),रैखिक असमिकाएँ (Linear Inequalities) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

रैखिक असमिकाएँ कक्षा 11 (Linear Inequalities Class 11) के इस आर्टिकल में एक या
दो चर राशियों की रैखिक असमिकाओं पर आधारित सवालों को हल करने के बारे
में अध्ययन करेंगे।