1.अवकल समीकरण में रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations in DE),रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations):

Linear Differential Equations in DE

अवकल समीकरण में रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations in DE) का समाकलन गुणक ज्ञात करके इसका हल ज्ञात करना उदाहरणों के द्वारा सीखेंगे।इससे सम्बन्धित उदाहरण निम्नलिखित हैंः
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2.अवकल समीकरण में रैखिक अवकल समीकरण पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Linear Differential Equations in DE):

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
Example:1. x\left(1-x^2\right) d y+\left(2 x^2 y-y-a x^3\right) d x=0
Solution: x\left(1-x^2\right) d y+\left(2 x^2 y-y-a x^3\right) d x=0
दिए हुए समीकरण को मानक रूप में रखने परः

\Rightarrow \frac{d y}{d x}+\frac{\left(2 x^2-1 \right)y}{x\left(1-x^2\right)}=\frac{a x^3}{x\left(1-x^2\right)} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}+\frac{\left(2 x^2-1\right) y}{x\left(1-x^2\right)}=\frac{a x^2}{1-x^2}
से ज्ञात होता है कि यह रैखिक अवकल समीकरण है।
यहाँ समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p dx} \\ =e^{\int \frac{2x^{2}-1}{x\left(1-x^2\right)}} \\ =e^{\left[-\frac{1}{x}+\frac{1}{2(1-x)}-\frac{1}{2(1-x)} \right]dx}\\ =e^{-\log x-\frac{1}{2} \log (1-x)-\frac{1}{2} \log (1+x)} \\ =e^{-\log x \sqrt{1-x^2}} \\ =e^{\log \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}} \\ \Rightarrow \text{I.F.} =\frac{1}{x \sqrt{1-x^2}}
इसलिए दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल होगाः

y \cdot \text{(I.F.)}=\int \text{(I.F.)} Q dx+c \\ \Rightarrow y \cdot \frac{1}{x \sqrt{1-x^2}}=\int \frac{1}{x \sqrt{1-x^2}} \cdot \frac{a x^2}{\left(1-x^2\right)} d x+c \\ =a \int \frac{x}{\left(1-x^2 \right)^{\frac{3}{2}}} d x+c \\ =\frac{a}{\sqrt{1-x^2}}+c \\ \Rightarrow y=a x+c x \sqrt{1-x^2}
Example:2. x\left(1+x^2\right) \frac{dy}{dx}=y\left(1-x^2\right)+x^3 \log x
Solution: x\left(1+x^2\right) \frac{dy}{dx}=y\left(1-x^2\right)+x^3 \log x
दिए हुए समीकरण को मानक रूप में रखने परः

\frac{dy}{dx}+\frac{\left(x^2-1\right)y}{x\left(1+x^2\right)}=\frac{x^{2} \log x}{1+x^{2}}
से ज्ञात होता है कि यह रैखिक अवकल समीकरण है।
यहाँ समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int P d x} \\ =\int e^{\frac{x^2-1}{x \left(1+x^2\right)}dx} \\ =e^{\int\left(-\frac{1}{x}+\frac{2 x}{1+x^2}\right) d x} \\ =e^{-\log x+\log \left(1+x^2\right)} \\ =e^{\log \left(\frac{1+x^2}{x}\right)} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=\frac{1+x^2}{x}
इसलिए दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल होगाः

y \cdot \text{I.F.} =\int \text{I.F.} Q dx+c \\ \Rightarrow y \cdot\left(\frac{1+x^2}{x}\right)=\int \frac{1+x^2}{x} \cdot \frac{x^2 \log x}{1+x^2} d x+c \\ =\int x \log x d x+c \\ \Rightarrow y\left(1+x^2\right)=c x^2+\frac{1}{2} x^3 \log x-\frac{x^3}{4}+c
Example:3. x(x-1) \frac{d y}{d x}-(x-2) y=x^3(2 x-1)
Solution: x (x-1) \frac{d y}{d x}-(x-2) y=x^3(2 x-1)
दिए हुए समीकरण को मानक रूप में रखने परः

\frac{d y}{d x}-\frac{(x-2)}{x(x-1)} y=\frac{x^2(2 x-1)}{x-1}
से ज्ञात होता है कि यह रैखिक अवकल समीकरण है।
यहाँ समाकलन गुणक (I.F.)=\text{I.F.}=e^{\int p d x} \\ =\int \frac{-(x-2)}{x(x-1)} d x \\ =e^{\int\left[\frac{-2}{x}+\frac{1}{x-1}\right] d x} \\ =e^{-2 \log x+\log (x-1)} \\ =e^{\log \left(\frac{x-1}{x^2}\right)}=\frac{x-1}{x^2}
इसलिए दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल होगाः

y \cdot \text{I.F.} =\int \text{I.F.} Q d x+c \\ \Rightarrow y\left(\frac{x-1}{x^2}\right) =\int\left(\frac{x-1}{x^2}\right) \cdot \frac{x^2(2 x-1)}{x-1} d x+c \\ =\int (2x-1) dx+c \\ \Rightarrow y\left(\frac{x-1}{x^2}\right) =x^2-x+c \\ \Rightarrow y(x-1) =x^2\left(x^2-x+c\right)
Example:4. x(x-1) \frac{d y}{d x}-y=x^2(x-1)^{2}
Solution: x(x-1) \frac{d y}{d x}-y=x^2(x-1)^2
दिए हुए समीकरण को मानक रूप में रखने परः

\frac{d y}{d x}-\frac{y}{x(x-1)}=\frac{x^2(x-1)^2}{x(x-1)} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}-\frac{y}{x(x-1)} =x(x-1)
से ज्ञात होता है कि यह रैखिक अवकल समीकरण है।
यहाँ समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p dx} \\ =e^{\int -\frac{1}{x(x-1)} d x} \\ =e^{\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x-1}\right) d x}\\ =e^{\log x-\log (x-1)} \\ =e^{\log \left(\frac{x}{x-1}\right)} \\ \Rightarrow \text {I.F}=\frac{x}{x-1}
इसलिए दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल होगाः

y \cdot \text {I.F}=\int (\text {I.F}) Q dx+c \\ \Rightarrow y \left(\frac{x}{x-1}\right)=\int\left(\frac{x}{x-1}\right) x(x-1) dx+c \\=\int x^2 dx+c \\ =\frac{x^3}{3}+c \\ \Rightarrow y x =c(x-1)+\frac{1}{3} x^3(x-1)
Example:6. \frac{d y}{d x}+\frac{4 x}{x^2+1}=\frac{1}{\left(x^2+1\right)^3}
Solution: \frac{d y}{d x}+\frac{4 x}{x^2+1}=\frac{1}{\left(x^2+1\right)^3}
यहाँ P=\frac{4 x}{x^2+1} तथा Q=\frac{1}{\left(x^2+1\right)^3}
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p dx} \\ =e^{\int\left(\frac{4 x}{x^2+1}\right) d x} \\ =e^{2 \log \left(x^2+1\right)} \\ =e^{\log \left(x^2+1\right)^2} \\ \Rightarrow \text{I.F}=\left(x^2+1\right)^2
इसलिए दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल होगाः

y \cdot \text{I.F}=\int(\text{I.F}) Q dx+c \\ \Rightarrow y\left(x^2+1\right)^2= \int\left(x^2 +1\right)^2 \cdot \frac{1}{\left(x^2+1\right)^3} d x+c \\ \Rightarrow y\left(x^2+1\right)^2=\int \frac{1}{1+x^2} d x+c \\ \Rightarrow y\left(x^2+1\right)^2=c+\tan ^{-1} x
Example:8. \left(1+x^2\right) \cdot \frac{d y}{d x}+y=e^{\tan ^{-1} x}
Solution: \left(1+x^2\right) \cdot \frac{d y}{d x}+y=e^{\tan ^{-1} x}
दिए हुए समीकरण को मानक रूप में रखने परः

\frac{d y}{d x}+\frac{y}{1+x^2}=\frac{e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2}
यहाँ p=\frac{1}{1+x^2}  तथा Q=\frac{e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2}
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{p dx} \\ =e^{\int\left(\frac{1}{1+x^2}\right)} d x \\ \text{I.F.}=e^{\tan ^{-1} x}
इसलिए दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल होगाः

y \cdot(\text{I.F.})=\int \text{I.F.} \quad Q dx+c \\ \Rightarrow y e^{\tan ^{-1} x}=\int e^{\tan ^{-1} x} \frac{e \tan^{-1} x}{1+x^2} d x+c \\ =\int e^{2 \tan ^{-1} x} \frac{1}{1+x^2} d x+c \\ \Rightarrow y e^{\tan ^{-1} x} =\frac{1}{2} e^{2 \tan ^{-1} x}+c
Example:10. x^2 \frac{d y}{d x}+(1-2 x) y=x^2
Solution: x^2 \frac{d y}{d x}+(1-2 x) y=x^2
दिए हुए समीकरण को मानक रूप में रखने परः

\frac{d y}{d x}+\frac{(1-2 x)}{x^{2}}y=1
यहाँ P=\frac{1-2 x}{x^2} तथा Q=1
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p d x} \\ =e^{\int \frac{1-2 x}{2 x^2} d x} \\ =e^{\int\left(\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}\right) d x} \\ =e^{-\frac{1}{x}-2 \log x} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^2}
इसलिए दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल होगाः

Linear Differential Equations in DE

Example:11. \cos ^2 x \frac{d y}{d x}+y=\tan x
Solution: \cos ^2 x \frac{d y}{d x}+y=\tan x
दिए हुए समीकरण को मानक रूप में रखने परः

\frac{d y}{d x}+y \sec ^2 x=\sec ^2 x \tan x
यहाँ P=\sec ^2 x तथा  Q=\sec ^2 x \tan x
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p d x} \\=e^{\int \sec ^2 x d x} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=e^{\tan x}
इसलिए दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल होगाः

y \cdot \text{I.F.}=\int \text{I.F.} \quad Q d x+c \\ \Rightarrow y e^{\tan x}=\int e^{\tan x} \cdot \sec ^2 x \tan x d x+c \\ \text{put} \tan x=t \Rightarrow \sec ^2 x d x=dt \\ =\int t e^t d t+c \\ =t e^{t}-e^t+c \\ =\tan x e^{\tan x}-e^{\tan x}+c \\ =e^{\tan x}(\tan x-1)+c \\ \Rightarrow y =(\tan x-1)+c e^{-\tan x}
Example:12. \frac{d y}{d x}-y \cot x=\operatorname{cosec} x
Solution: \frac{d y}{d x}-y \cot x=\operatorname{cosec} x
यहाँ p=-\cot x तथा Q=\operatorname{cosec} x
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p d x} \\ =e^{\int(-\cot x) d x} \\ =e^{-\log \sin x} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=\frac{1}{\sin x}
इसलिए दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल होगाः

y \cdot(\text{I.F.})=\int \text{I.F.} \quad Q dx+c \\ \Rightarrow y \cdot \frac{1}{\sin x} =\int \frac{1}{\sin x} \operatorname{cosec} x d x+c \\ =\int \operatorname{cosec}^2 x d x+c \\ =-\cot x+c \\ \Rightarrow y \operatorname{cosec} x =c-\cot x
Example:13. \frac{d y}{d x}+y=x^{-2}
Solution: \frac{d y}{d x}+y=x^{-2}
यहाँ P=1 तथा Q=x^2
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p d x}\\ \Rightarrow \text{I.F.}=e^{\int 1 dx}=e^x  
इसलिए दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल होगाः

y \cdot (\text{I.F.}) =\int \text{I.F.} \quad Q dx+c \\ \Rightarrow y e^x =\int e^x x^{-2} d x+c \\ =e^x \int x^{-2} d x-\int \left[ \frac{d}{dx}\left(e^x\right) \int x^{-2} d x\right] dx+c \\ =e^x \left(\frac{x^{-1}}{-1}\right)-\int e^x \cdot\left(\frac{x^{-1}}{-1}\right) d x+c \\ \Rightarrow y e^x =c-x^{-1} \cdot e^{x}+\int x^{-1} e^x d x+c
Example:15. \frac{d y}{d x}+\frac{1}{x} y=\sin x
Solution: \frac{d y}{d x}+\frac{1}{x} y=\sin x
यहाँ P=\frac{1}{x} तथा Q=\sin x
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p dx } \\ =e^{\int \frac{1}{x} d x} \\ =e^{\log x} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=x
इसलिए दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल होगाः

y \cdot \text{I.F.}=\int \text{I.F.} \quad Q dx+c \\ y x=\int x \cdot \sin x d x+c \\ \Rightarrow x y=-x \cos x+\sin x+c
Example:16. (x+y+1) \frac{d y}{d x}=1
Solution: (x+y+1) \frac{d y}{d x}=1 
दिए हुए समीकरण को मानक रूप में रखने परः

\frac{d x}{d y}-x=y+1
यहाँ p=-1 तथा Q=y+1
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p dy} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=-e^{(-1) d y}=e^{-y}
इसलिए दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल होगाः

x \cdot (\text{I.F.})=\int(\text{I.F.}) Q d y+c \\ x \cdot e^{-y}=\int e^y(y+1) d y+c \\ =\int y e^{-y} d y+\int e^{-y} d y+c \\ =-y e^{-y}-e^{-y}-e^{-y}+c \\ =-\bar{e}^y(y+2)+c \\ \Rightarrow x=c e^y-(y+2)
Example:17. (y-x) \frac{d y}{d x}=a^2
Solution: (y-x) \frac{d y}{d x}=a^2
दिए हुए समीकरण को मानक रूप में रखने परः

\frac{d x}{d y}=\frac{y-x}{a^2} \Rightarrow \frac{d x}{d y}+\frac{x}{a^2}=-\frac{y}{a^2}
यहाँ p=+\frac{1}{a^2} तथा Q=-\frac{y}{a^2}
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p d y} \\ =e^{\int \frac{1}{a^{2}} d y} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=e^{\frac{y}{a^{2}}}
इसलिए दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल होगाः

x \cdot(\text{I.F.})=\int(\text{I.F.}) d y+c \\ \Rightarrow x e^{\frac{y}{a^{2}}}=\int e^{\frac{y}{a^{2}}} \cdot \frac{y}{a^{2}} dy+c \\ =y e^{\frac{y}{a^{2}}}-a^2 e^{\frac{y}{a^{2}}}+c \\ \Rightarrow x=y-a^2+c e^{-\frac{y}{a^{2}}}
Example:19. (x \log x) \frac{d y}{d x}+y=2 \log x
Solution: (x \log x) \frac{d y}{d x}+y=2 \log x
दिए हुए समीकरण को मानक रूप में रखने परः

\frac{d y}{d x}+\frac{y}{x \log x}=\frac{2}{x}
यहाँ p=\frac{1}{x \log x} तथा Q=\frac{2}{x}
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p dx} \\ =e^{\int \frac{1}{x \log x} d x} \\ =e^{\log (\log x)} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=\log x 
इसलिए दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल होगाः

y \cdot \text{I.F.}=\int(\text{I.F.})\quad Q d x+c \\ \Rightarrow y(\log x)=\int(\log x) \cdot \frac{2}{x} d x+c \\ \Rightarrow y(\log x)=(\log x)^2+c
उपर्युक्त उदाहरणों द्वारा अवकल समीकरण में रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations in DE),रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations) को समझ सकते हैं।

3.अवकल समीकरण में रैखिक अवकल समीकरण पर आधारित सवाल (Questions Based on Linear Differential Equations in DE):

Linear Differential Equations in DE

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):

(1.) \sqrt{\left(a^2+x^2\right)} \frac{d y}{d x}+y=\sqrt{\left(a^2+x^2\right)}-x
(2.) (x+\tan y) d y=\sin 2y dx
(3.) \frac{d y}{d x}-\frac{2 y}{x}=\frac{5 x^2}{(x+2)(3-2 x)}
उत्तर (Answers): (1.)y\left[x+\sqrt{\left(x^2+a^2\right)}\right]=c+a^2 \log \{x+\sqrt{(x^{2}+a^{2})}\}
(2.) x=c \sqrt{(\tan y)}+\tan y
(3.) \frac{y}{x^2}=c-\log (x+2)-3 \log (2 x-3)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अवकल समीकरण में रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations in DE),रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.अवकल समीकरण में रैखिक अवकल समीकरण (Frequently Asked Questions Related to Linear Differential Equations in DE),रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

अवकल समीकरण में रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations in DE) का
समाकलन गुणक ज्ञात करके इसका हल ज्ञात करना उदाहरणों के द्वारा सीखेंगे।