1.रैखिक अवकल समीकरण का परिचय (Introduction to Linear differential equations)-

Linear differential equations

रैखिक अवकल समीकरण (Linear differential equations) को समझने के लिए आश्रित चर,स्वतंत्र चर तथा रैखिक समीकरण को समझना आवश्यक है।

(1.)रैखिक समीकरण (Linear equation)-

वह समीकरण जिसमें प्रथम घात से अधिक घात का कोई चर न हो। जैसे ax+by+cz=0 यहांx,y,z तीनों प्रथम घात के ही हैं।

(2.)आश्रित चर (Dependent Variable)-

इसे परतंत्र चर भी कहते हैं।वह चर जिसका मान किसी दूसरे चर के मान पर आश्रित हो। अर्थात् जैसे-जैसे दूसरा चर बदलता जाए वैसे-वैसे उसके मान में भी अन्तर पड़ता जाए। जैसे y=mx+c में y परतंत्र चर है जबकि x स्वतंत्र चर है।

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(3.)स्वतंत्र चर (independent variable)-

किसी समीकरण में जो चर कोई भी वास्तविक मान ग्रहण करने के लिए स्वतन्त्र है। उपर्युक्त समीकरण y=mx+c में x कोई भी मान ग्रहण करने के लिए स्वतन्त्र है।

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2.रैखिक अवकल समीकरण (Linear differential equations)-

यदि कोई अवकल समीकरण जिसमें आश्रित चर और उसके सभी अवकलज प्रथम घात के हों और इनके गुणांक केवल स्वतन्त्र चर x के फलन हों।ऐसे समीकरण में y तथा उसके अवकलजों (derivatives) के गुणांक स्वतन्त्र चर x के कोई भी फलन हो सकते हैं। प्रथम कोटि(first order) के रैखिक अवकल समीकरण  का मानक रूप ( standard form)

(dy/dx)+P(x) y=Q(x) ……….(1)
होता है। जहां P(x) तथा Q(x) स्वतंत्र चर x के कोई फलन है।

y{ e }^{ \int { pdx } }=\int { Q } { e }^{ \int { pdx } }dx+c ……….(2)

जो कि अवकल समीकरण (1) का अभीष्ट व्यापक रूप है। समीकरण (2) को हम निम्न प्रकार लिख सकते हैं।

y(I.F.)=∫(I.F.)Q dx+c …………….(3)

किसी भी रैखिक अवकल समीकरण को हल करने के लिए सदैव रैखिक अवकल समीकरण को मानक रूप (1) में लिखें।

तत्पश्चात् उसका समाकलक गुणक ज्ञात करके रैखिक अवकल समीकरण (Linear differential equations) का हल समीकरण (3) की सहायता से प्राप्त करें अर्थात् समीकरण (1),(2),(3) एक रैखिक अवकल समीकरण (Linear differential equations) के मानक परिणाम (standard results) है जिनको सदैव याद रखना चाहिए।
कभी-कभी ऐसा होता है कि दिया हुआ रैखिक अवकल समीकरण(Linear differential equations) y को स्वतंत्र चर तथा x को आश्रित चर मानने से,रैखिक अवकल समीकरण बनता( Linear differential equations) है,ऐसी स्थिति में उपर्युक्त परिणामों में x और y अपना स्थान परिवर्तित कर लेंगे तब रैखिक अवकल समीकरण ( Linear differential equations) का हल निम्न प्रकार होगा-
उदाहरण-1 निम्नलिखित रैखिक अवकल समीकरण  का हल ज्ञात कीजिए-

\sin x \frac{d y}{d x}+3 y=\cos x \\ \frac{d y}{d x}+3 y \operatorname{cosec} x=\cot x \\ I.F =e^{\int p dx} \\ =e^{\int 3 \operatorname{cosec} x d x} \\ =e^{3 \log \tan \frac{x}{2}} \\ =\tan ^{3} \frac{x}{2}

Linear differential equations

समीकरण का अभीष्ट हल होगा –

y \tan ^{3} \frac{x}{2} =\int \tan ^{3} \frac{x}{2} \cot x d x+c \\ =\int \frac{\tan ^{3} \frac{x}{2}}{\tan x} d x + c \\ =\int \frac{\tan ^{3} \frac{x}{2}\left(1-\tan ^{2} \frac{x}{2}\right)}{2 \tan ^{2} \frac{x}{2}} d x+c \\ =\frac{1}{2} \int \tan ^{2} \frac{x}{2}\left(1-\tan ^{2} \frac{x}{2}\right) d x+c \\ =\frac{1}{2} \int \tan ^{2} \frac{x}{2}\left(1-\tan ^{2} \frac{x}{2}\right) d x+c \\ =\frac{1}{2} \int \tan ^{2} \frac{x}{2} d x-\frac{1}{2} \int \tan ^{2} \frac{x}{2} \cdot\tan ^{2} \frac{x}{2}d x+c \\ =\frac{1}{2} \int \tan ^{2} \frac{x}{2} d x-\frac{1}{2} \int\left(\sec ^{2} \frac{x}{2}-1\right) \tan ^{2} \frac{x}{2} d x+c \\ =\frac{1}{2} \int \tan ^{2} \frac{x}{2} d x+\frac{1}{2} \int \tan ^{2} \frac{x}{2} d x -\frac{1}{2} \int \sec ^{2} \frac{x}{2} \tan ^{2} \frac{x}{2} d x + c \\ = \int \tan ^{2}\frac{x}{2} d x-\frac{1}{2} \int \sec ^{2} \frac{x}{2} \tan ^{2} \frac{x}{2} d x +c\\ =\int\left(\sec ^{2} \frac{x}{2}-1\right) d x-\frac{1}{3} \tan ^{3} \frac{x}{2}+c \\ = \int \sec ^{2} \frac{x}{2} d x-\int d x-\frac{1}{3} \tan ^{3} \frac{x}{2} + c \\ =2 \tan \frac{x}{2}-x-\frac{1}{3} \tan ^{3} \frac{x}{2} + c \\ \left(y+\frac{1}{3}\right) \tan ^{3} \frac{x}{2}=2 \tan \frac{x}{2}-x+c

Linear differential equations