1.रैखिक बीजगणित में एकघाती आश्रितता (Linear Dependence in Linear Algebra),एकघाती स्वतन्त्रता और एकघाती आश्रितता (Linear Independence and Linear Dependence):

Linear Dependence in Linear Algebra

रैखिक बीजगणित में एकघाती आश्रितता (Linear Dependence in Linear Algebra) और एकघाती स्वतन्त्रता के बारे में अध्ययन करेंगे।इस आर्टिकल को पढ़ने से पूर्व रैखिक बीजगणित में एकघाती स्वतन्त्रता की परिभाषा तथा उस पर आधारित उदाहरणों का अध्ययन करना चाहिए।
प्रमेय (Theorem):1.सदिश समष्टि V(F) में यदि सदिश $v, v_1, v_2, v_3, \ldots, v_n$ एकघाततः आश्रित हो तथा $v_1, v_2, v_3, \ldots, v_n$ एकघाततः स्वतन्त्र हो तो सदिश सदिशों $v, v_1, v_2, v_3, \ldots, v_n$ का एकघात संचय होता है।
(If $v, v_1, v_2, v_3, \ldots, v_n$ of vector space V(F) are LD and $v, v_1, v_2, v_3, \ldots, v_n$ are LD, then V is linear combination of the set $v, v_1, v_2, v_3, \ldots, v_n$ .)
उपपत्ति (Proof):यहाँ $\alpha v+\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+ \ldots \ldots+\alpha_n v_n=0,\alpha, \alpha_i \in F$
जहाँ $\alpha, \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ सभी शून्य नहीं हैं।
अब यदि $\alpha \neq 0$ तो

$v=(-1) \alpha^{-1}\left(\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\ldots+\alpha_n v_n\right)$
जिससे स्पष्ट है कि v; का एकघाततः संचय है।
यदि $\alpha=0$ तो $\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\cdots+\alpha_n v_n=0 \Rightarrow \alpha_1= \alpha_2= \cdots=\alpha_n=0$ [चूँकि $v; v_1, v_2,\ldots, v_n$ एकघाततः स्वतन्त्र हैं]
$v, v_1, v_2, \ldots, v_n$ एकघाततः स्वतन्त्र हो जाते हैं जो कि दत्त कल्पना का खण्डन है।
प्रमेय (Theorem):2.यदि किसी परिमित समुच्चय A का कोई उपसमुच्चय B, एकघाततः आश्रित (परतन्त्र) हो तो समुच्चय A भी एकघाततः (परतन्त्र) होता है।
(If any subset B of a finite set A is LD then the set A is also LD.)
उपपत्ति (Proof):माना $A=\left\{v_1, v_2,\ldots \ldots ,v_k, v_{k+1} \ldots \ldots ,v_{n}\right\}$ तथा $B=\left\{v_1, v_2, \ldots, v_k\right\}$
तो $B \subset A$ एवं B एकघाततः परतन्त्र है।
इसलिए $\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\ldots \ldots+\alpha_k v_k=0 ; \alpha_i \in F$
साथ ही सभी $\alpha_i$ शून्य नहीं है।अतः

$\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\cdots+\alpha_k {v}_k+\alpha_{k+1} v_{k+1}+\cdots+\alpha_n v_n=0 \cdots(1)$
जहाँ $\alpha_{k+1}=\alpha_{k+2}=\ldots \ldots=\alpha_n=0$
समीकरण (1) के सभी गुणांक शून्य नहीं हैं।अतः $v_1, v_2, \ldots, v_n$ एकघाततः परतन्त्र हैं।
प्रमेय (Theorem):3.यदि V(F) एक सदिश समष्टि है तथा $S=\left\{V_1, V_2, \ldots V_n\right\}$ के परिमित शून्येतर सदिशों का एक सदिश समष्टि है तथा के परिमित शून्येतर सदिशों का एक उपसमुच्चय है,तो S एकघाततः परतन्त्र होगा यदि और केवल यदि S के कुछ अवयवों को शेष बचे अवयवों के एकघात संचय में व्यक्त किया जा सके
(If V(F) is a vector space and $S=\left\{V_1, V_2, \ldots V_n\right\}$ is a sub-set some non-zero vectors of V, then S is LD iff some of elements of S can be expressed as a linear combination of the others.)
उपपत्ति (Proof):दिया हुआ है कि $S=\left\{V_1, V_2, \ldots V_n\right\}$ एकघाततः परतन्त्र है,तब $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n \in F$ (सभी शून्य नहीं) ऐसे विद्यमान है कि

$\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\cdots+\alpha_n v_n=0 \Rightarrow \sum_{i=1}^n \alpha_i v_i=0$
चूँकि S एकघाततः परतन्त्र है इसलिए कम से कम एक $\alpha_i(i=1,2, \ldots n)$ शून्य है।माना $\alpha_i \neq 0$ तब

$\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma}} \alpha_i v_i=\underset{i=1,i \neq k}{\overset{n}{\Sigma}} \alpha_i v_i+\alpha_k v_k=0 \\ \Rightarrow v_k=-\underset{i=1,i \neq k}{\overset{n}{\Sigma}} \frac{\alpha_i}{\alpha_k} v_k \\ \left[\because \alpha_{i} \in F, \alpha_k \neq 0 \in F \Rightarrow \frac{\alpha_i}{\alpha_k} \in F\right]$
जो कि $v_k$ को S के शेष सदिशों के एकघात संचय में व्यक्त करता है।
विलोमतःमाना कोई $v_j \in S$ ऐसा सदिश है कि इसे S के शेष अवयवों के एकघात संचय में व्यक्त किया जा सकता है अर्थात्
$v_j=\beta_1 v_1+\beta_2 v_2+\cdots+\beta_{j-1} v_{j-1}+\beta_{j+1} v_{j+1}+\ldots \ldots+\beta_n v_n$ जहाँ $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n \in F \\ \Rightarrow \beta_1 v_1+\beta_2 v_2+\cdots+\beta_{j-1} v_{j-1}-1 \cdot \beta_{j} \ldots \ldots +\beta_{j+1} v_{j+1}+\cdots+\beta_n v_n=0$
फलतः कम से कम एक गुणांक $-1 \neq 0$ जिससे $v_1, v_2, \ldots, v_n$ एकघाततः परतन्त्र हैं।अतः S एकघाततः परतन्त्र है।
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2.रैखिक बीजगणित में एकघाती आश्रितता पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Linear Dependence in Linear Algebra):

Example:1.सिद्ध कीजिए कि 2×3 आकार के मैट्रिक्स की सदिश समष्टि V(R) में निम्न मैट्रिक्स A,B तथा C एकघाततः स्वतन्त्र हैंः (Show that the following matrices in the vector space V(R) of all matrices of order 2×3 are LI):

$A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & -1 \\3 & -2 & 4 \end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -3 \\-2 & 0 & 5\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{ccc}4 & 1 & 2 \\1 & -2 & 3 \end{array}\right]$
Solution:मान लो $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \in R$ ऐसे तीन अदिश विद्यमान हैं कि

$\alpha_1 A+\alpha_2 B+\alpha_3 C=0 \\ \Rightarrow \alpha_1\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & -1 \\3 & -2 & 4 \end{array}\right]+\alpha_{2} \left[\begin{array}{ccc}1 & -3 \\-2 & 0 & 5\end{array}\right]+ \alpha_{3} \left[\begin{array}{ccc}4 & -1 & 2 \\1 & -2 & 3\end{array}\right]=0 \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{ccc} 2 \alpha_1 & \alpha_1 & \alpha_1 \\ 3 \alpha_1 & -2 \alpha_1 & \alpha_1 \end{array}\right]+ \left[ \begin{array} {ccc} \alpha_2 & \alpha_2 & -3 \alpha_2 \\ -2 \alpha_2 & 0 & 5 \alpha_2 \end{array}\right] +\left[\begin{array}{lll} 4 \alpha_3 & -\alpha_3 & 2 \alpha_3 \\ \alpha_3 & -2 \alpha_3 & 3 \alpha_3 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{array}\right] \\ \Rightarrow\left[ \begin{array}{lll} 2 \alpha_1+\alpha_2+4 \alpha_3 & \alpha_1+\alpha_2-\alpha_3 &-\alpha_1-3 \alpha_2+2 \alpha_3 \\ 3 \alpha_1-2 \alpha_2+\alpha_3 &-2 \alpha_1-2 \alpha_3 & 4 \alpha_1+5 \alpha_2+3 \alpha_3\end{array}\right] =\left[\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \\ 2 \alpha_1+ \alpha_2+4 \alpha_3=0 \ldots(1) \\ \alpha_1+\alpha_2-\alpha_3=0 \quad \cdots(2) \\ -\alpha_1-3 \alpha_2+2 \alpha_3=0 \ldots(3) \\ 3 \alpha_1-2 \alpha_2+\alpha_3=0 \ldots(4) \\ -2 \alpha_1-2 \alpha_3=0 \ldots(5) \\ 4 \alpha_1+5 \alpha_2+3 \alpha_3=0 \ldots(6)$
हल करने परः $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0$
फलतः $\alpha_1 A+\alpha_2 B+\alpha_3 C=0 \Rightarrow \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0$
अतः A,B,C एकघाततः स्वतन्त्र हैं।
Example:2.सिद्ध करो कि सदिशों का वह समुच्चय जिसका एक अवयव शून्य सदिश है,सदैव एकघाततः आश्रित होगा।
(Prove that a set of vectors which contains a zero vector is LD)
Solution:माना कि $v_1=\left(a_1, a_2, a_3\right), v_2=\left(b_1, b_2, b_3\right),v_3=(0,0,0) \\ \alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3=0 \\ \alpha\left(a_1, a_2, a_3\right)+\beta\left(b_1, b_2, b_3\right)+ \gamma(0,0,0)=(0,0,0)\\ \Rightarrow \left(\alpha a_1, \alpha a_2, \alpha a_3\right)+\left(\beta b_1, \beta b_2, b \beta_3\right)+(0,0,0)=(0,0,0) \\ \Rightarrow \left(\alpha a_1+\beta b_1, \alpha a_2+\beta b_2, \alpha a_3+\beta \beta_3\right)=(0,0,0) \\ \Rightarrow \alpha a_1+\beta b_1=0 \ldots(1) \\ \alpha a_2+\beta b_2=0 \ldots (2) \\ \alpha a_3+\beta b_3=0 \ldots \text { (3) }$
(1) व (2) सेः

$\alpha a_1+\beta b_1+0 \gamma=0 \cdots(1) \\ \alpha a_2+\beta b_2+0 \gamma=0 \cdots(2) \\ \frac{\alpha}{0}=\frac{\beta}{0}=\frac{\gamma}{a_1 b_2-b_1 a_2} \\ \alpha=0, \beta=0 \quad \gamma=k\left(a_1 b_2-b_1 a_2\right) \neq 0$
अतः $v_1, v_2, v_3$ एकघाततः आश्रित हैं।
Example:3.यदि सदिश समष्टि V(F) के दो सदिश $v_1, v_2$ तथा $\alpha, \beta \in F$ हैं तो सिद्ध करो कि समुच्चय $\left\{v_1, v_2, \alpha v_1+\beta v_2\right\}$ एकघाततः परतन्त्र हैं।
(If $v_1, v_2$ are vector space V(F) and $\alpha, \beta \in F$, show that the set $\left\{v_1, v_2, \alpha v_1+\beta v_2\right\}$  is LD)

Solution:- $\alpha, \beta \in F \\ \alpha v_1+\beta v_2+\gamma \left(\alpha v_1+\beta v_2\right)=0 \\ \Rightarrow \alpha v_1+\beta v_2+\alpha \gamma v_1+\beta \gamma v_2=0 \\ \Rightarrow(1+ \gamma) \alpha v_1+(1+\gamma) \beta v_2=0 \\ \Rightarrow(1+\gamma)\left(\alpha v_1+\beta v_2\right)=0 \\ \Rightarrow 1+\gamma=0, \alpha v_1+\beta v_2=0 \\ \Rightarrow \gamma=-1$
अतः एकघाततः परतन्त्र है।
Example:4.प्रदर्शित कीजिए कि बहुपदों के सदिश समष्टि V(R) में
(Show that in the polynomial vector space V(R))
Example:4(i). $1+x+2 x^2, 2-x+x^2,-4+5 x+x^2$ एकघाततः परतन्त्र हैं।(are LD)
Solution:माना $v_{1}=1+x+2 x^{2}, v_2=2-x+x^2 ,v_3=-4+5 x+x^2 \\ \alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3=0 \\ \Rightarrow \alpha\left(1+x+2 x^2\right)+\beta\left(2-x+x^2\right)+\gamma\left(-4+5 x+x^2 \right)=0 \\ \Rightarrow \alpha+\alpha x+2 \alpha x^2+2 \beta-\beta x+\beta x^2-4 \gamma+5 \gamma x+\gamma x^2=0 \\ \Rightarrow\left(2 \alpha+\beta+\gamma\right) x^2+(\alpha-\beta+5 \gamma) x+\alpha+2 \beta-4 \gamma=0 \cdot x^2+0 \cdot x+0$
दोनों पक्षों की तुलना करने परः

$2 \alpha+\beta+\gamma=0 \cdots(1) \\ \alpha-\beta+5 \gamma=0 \cdots(2) \\ \alpha+2 \beta-4 \gamma=0 \ldots(3)$
(1) व (2) को जोड़ने परः

 $3 \alpha+6 \gamma=0 \\ \Rightarrow 2+2 \gamma=0 \ldots(4)$
(2) को 2 से गुणा करने परः

 $2 \alpha-2 \beta+10 \gamma=0 \cdots(5)$
(3) व (5) को जोड़ने परः

 $3 \alpha+6 \gamma=0 \\ \Rightarrow \alpha+2 \gamma=0$
माना $\alpha=2 तो \gamma=-1$
(1) सेः $\beta=-3 \\ \alpha=2, \beta=-3, \gamma=-1$
अतः एकघाततः परतन्त्र है।
Example:4(ii). $2 x^3+x^2+x+1 , x^3+3 x^2+x-2, x^3+2 x^2-x+3$ एकघाततः स्वतन्त्र हैं।(are LI)
Solution:माना $v_1=2 x^3+x^2+x+1, \quad v_2=x^3+3 x^2+x-2, v_3=x^3+2 x^2-x+3 \\ \alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3=0 \\ \Rightarrow \alpha\left(2 x^3+x^2+x+1\right)+\beta\left(x^3+3 x^2+x-2\right)+\gamma \left(x^3+2 x^2-x+3\right)=0 \\ \Rightarrow 2 \alpha x^3+2 x^2+\alpha x+\alpha+\beta x^3+3 \beta x^2+\beta x -2 \beta+\gamma x^\beta+2 \gamma x^2-\gamma x+3 \gamma=0 \\ \Rightarrow(2 \alpha+\beta+\gamma) x^3+(\alpha+3 \beta+2 \gamma) x^2+(\alpha+\beta-\gamma) x+\alpha-2 \beta+3 \gamma=0 \cdot x^3+0 \cdot x^2+ \\ 0 \cdot x+0$
दोनों पक्षों की तुलना करने परः

$2 \alpha+\beta+\gamma=0 \cdots(1) \\ \alpha+3 \beta+2 \gamma=0 \cdots(2) \\ \alpha+\beta-\gamma=0 \cdots(3) \\ \alpha-2 \beta+3 \gamma=0 \cdots(4)$
समीकरण (2) को 2 से गुणा करने परः
$\begin{array}{lll}2 \alpha+6 \beta+4 \gamma=0 \cdots(5) \\ 2 \alpha+\beta+\gamma=0 \cdots \text { ( 1) } \\ -\quad-\quad - \text { घटाने परः } \\ \hline \end{array} \\ 5 \beta+3 \gamma=0 \cdots{6}$
समीकरण (3) को 2 से गुणा करने परः
$\begin{array}{lll}2 \alpha+2 \beta-2 \gamma=0 \cdots(7) \\ 2 \alpha+\beta+\gamma=0 \cdots \text { (1) } \\ -\quad-\quad - \text { घटाने परः } \\ \hline \\ 3 \beta-3 \gamma=0 \\ \beta+\gamma=0 \quad \cdots(8) \\ 5 \beta+5 \gamma=0 \cdots(8) \\ -5 \beta+3 \gamma=0 \cdots(6)\\ - \quad \quad -\text { घटाने परः } \\ \hline \end{array} \\ 2 \gamma=0 \\ \beta=0$
(3) सेः $\alpha=0 \\ \alpha=\beta=\gamma=0$
अतः एकघाततः स्वतन्त्र है।
Example:4(iii).$1, x,1+x, x^2$ एकघाततः परतन्त्र हैं।(are LD)
Solution:माना $v_1=1, v_2=x, v_3=1+x_1, v_4=x^2 \\ \alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3+\alpha_4 v_{14}=0 \\ \Rightarrow \alpha_1 1+\alpha_2 x+\alpha_3(1+x)+\alpha_4 x^2=0 \\ \Rightarrow \alpha_1+ \alpha_2 x+\alpha_3+\alpha_3 x+\alpha_4 x^2=0 \\ \Rightarrow \alpha_4 x^2+\left(\alpha_2+ \alpha_3 \right) x+\alpha_1+\alpha_3=0 \cdot x^2+0 \cdot x+0$
दोनों पक्षों की तुलना करने परः

$\alpha_4=0 \ldots(1) \\ \alpha_2+\alpha_3=0 \ldots(2) \\ \alpha_1+\alpha_3=0 \ldots(3) (2) व (3) सेः 0 \cdot \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=0 \\ \alpha_1+0 \cdot \alpha_2+\alpha_3=0 \\ \frac{\alpha_1}{1-0}=\frac{\alpha_2}{1-0}=\frac{\alpha_3}{0-1} \\ \Rightarrow \frac{\alpha_1}{1}=\frac{\alpha_2}{1}=\frac{\alpha_3}{-1} \\ \alpha_1=k_1 \alpha_2=k, \alpha_3=-k$
k को वास्तविक संख्या मानने पर हम अनन्त $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ ज्ञात कर सकते हैं,यदि k=1 लें तब
$\alpha_1=1, \alpha_2=1, \alpha_3=-1$ अर्थात् सदिश v_1, v_2, v_3[/katex] एकघाततः परतन्त्र हैं।
Example:4(iv).$1, x, x-x^2$ एकघाततः स्वतन्त्र हैं।(are LI)
Solution:माना $v_1=1, v_2=x, v_3=x-x^2 \\ \alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3=0 \\ \Rightarrow \alpha_1(1)+\alpha_2 x+\alpha_3\left(x-x^2\right)=0 \\ \Rightarrow \alpha_1+\alpha_2 x+\alpha_3 x-\alpha_3 x^2=0 \\ \Rightarrow -\alpha_3 x^2+\left(\alpha_2+\alpha_3\right) x+\alpha_1=0 \cdot x^2+0 \cdot x+0$
दोनों पक्षों की तुलना करने परः

$-\alpha_3=0 \ldots(1) \\ \alpha_2+\alpha_3=0 \cdots(2) \\ \alpha_{1}=0 \cdots(3)$
(1),(2) व (3) सेः

$\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0$
अतः सदिश $v_1, v_2, v_3$ एकघाततः स्वतन्त्र हैं।

Linear Dependence in Linear Algebra

Example:5.यदि सदिश समष्टि V(F) के सदिश x,y,z तथा u इस प्रकार से परिभाषित किये जाएं कि x(t)=1,y(t)=t, $z(t)=t^2$ तथा $u(t)=1+t+t^2$ तो सिद्ध कीजिए कि x,y,z और u एकघाततः परतन्त्र हैं,किंतु इनमें से कोई तीन एकघाततः स्वतन्त्र होते हैं।
(If the vectors x,y,z and u in vector space V(F) are defined by x(t)=1,y(t)=t , $z(t)=t^2$ and $u(t)=1+t+t^2$, prove that x,y,z and u are LD but any of three of them are LI)
Solution:माना $\alpha x(t)+\beta y(t)+\gamma z(t)+\delta u(t)=0 \\ \Rightarrow \alpha(1)+\beta t+\gamma t^2+\delta\left(1+t+t^2\right)=0 \\ \Rightarrow \alpha+\beta t+\gamma t^2+\delta+\delta t+\delta t^2=0 \\ \Rightarrow(\gamma+\delta) t^2+(\beta+\delta) t+\alpha+\delta=0 \cdot t^2+0 \cdot t+0$
दोनों पक्षों की तुलना करने परः

$x+\delta=0 \cdots(1) \\ \beta+\delta=0 \cdots(2) \\ \alpha+\delta=0 \cdots(3)$
(1) में से (2) घटाने परः

$-\beta+\gamma=0 \\ \Rightarrow 0 \cdot \alpha-\beta+\gamma=0 \cdots(4)$
(2) में से (3) घटाने परः

(4) व (5) सेः

$\frac{\alpha}{0-1}=\frac{\beta}{-1-0}=\frac{\gamma}{0-1} \\ \Rightarrow \frac{\alpha}{1}=\frac{\beta}{1}=\frac{r}{1} \\ \Rightarrow \alpha=k, \beta=k, \gamma=k$ तथा $\delta=-k$
k को वास्तविक संख्या मानने पर हम अनन्त $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ ज्ञात कर सकते हैं यदि k=1 लें तब $\alpha=1, \beta=1, \gamma=1, \delta=-1$
अर्थात् सदिश x(t),y(t),z(t) तथा u(t) एकघाततः परतन्त्र हैं।
अब हम सिद्ध करेंगे कि x(t),y(t),z(t) एकघाततः स्वतन्त्र हैं।
माना $\alpha x(t)+\beta y(t)+\gamma z(t)=0 \\ \Rightarrow \alpha(1)+\beta(t)+\gamma t^2=0 \\ \Rightarrow \alpha+\beta t+\gamma t^2=0 \cdot t^2+0 \cdot t+0$
दोनों पक्षों की तुलना करने परः

$\alpha=\beta=\gamma=0$
अतः x(t),y(t),z(t) एकघाततः स्वतन्त्र हैं।
इसी प्रकार कोई भी तीन सदिश लेकर एकघाततः स्वतन्त्र सिद्ध कर सकते हैं।
Example:6.यदि सदिश समष्टि V(F) में $v_1, v_2, \ldots, v_m \in V$ तथा $\alpha_1, \alpha_2, \ldots \alpha_m \in F$ इस प्रकार हैं कि समुच्चय $\left\{v_2+\alpha_2 v_1, v_3+\alpha_3 v_1, \ldots, v_m+\alpha_m v_{1}\right\}$ एकघाततः परतन्त्र हैं तो सिद्ध कीजिए कि समुच्चय $\left \{ v_1, v_2, \ldots, v_m \right \}$ भी एकघाततः परतन्त्र हैं।
(If in a vector space V(F), $v_1, v_2, \ldots, v_m \in V and \alpha_1, \alpha_2, \ldots \alpha_m \in F$ such that the set $\left\{v_2+\alpha_2 v_1, v_3+\alpha_3 v_1, \ldots, v_m+\alpha_m v_{1}\right\}$ is LD then prove that the set $\left \{ v_1, v_2, \ldots, v_m \right \}$ is also LD)
Solution: $\beta_1 w_1+\beta_2 w_2+\beta_3 w_3+\cdots+\beta_m w_m=0 \\ \Rightarrow \beta_1 \left(v_2+\alpha_2 v_1\right)+\beta_2\left(v_3+\alpha_3 v_1\right)+\beta_3\left(v_{4}+\alpha_4 v_1\right)+\ldots \ldots+ \beta_{m}\left(v_m+\alpha_m v_1\right)=0 \\ \Rightarrow\left(\beta_{1} v_2+\beta_2 v_3+\beta_3 v_4+\cdots+\beta_m v_m\right)+\left(\beta_1 \alpha_2+\beta_2 \alpha_3+\beta_3 \alpha_4+\ldots \ldots+\beta_m \alpha_m\right) v_1=0$
जो कि $\left \{ v_1, v_2, \ldots, v_m \right \}$  का एकघाततः संचय है।
यदि $\beta_1,\beta_2,\beta_3 \ldots \beta_n$व $\beta_2 \alpha_2+\beta_2 \alpha_3+\beta_3 \alpha_4+\ldots \ldots+\beta_m \alpha_m$ सभी शून्य नहीं है तो स्पष्टतः $\left \{ v_1, v_2, \ldots, v_m \right \}$  एकघाततः परतन्त्र हैं।
Example:7.यदि सदिश $(0,1,0),(1,0,1),(a, 1,0) \in V_3(R)$ रैखिक आश्रित हो तो a का मान ज्ञात कीजिए।
(If the vectors $(0,1,0),(1,0,1),(a, 1,0) \in V_3(R)$ are LD, then find the value of a.)
Solution: $(0,1,0),(1,0,1),(a, 1,0) \in V_3(R)$
एकघाततः परतन्त्र हैं तो

$\alpha(0, a, a)+\beta(1, a, 1)+\gamma(a, 1,0)=0 \\ \Rightarrow(0, \alpha, \alpha a)+(\beta, \beta a, \beta)+(\gamma a, \gamma, 0)=0 \\ \Rightarrow(\beta+\gamma a, \alpha+\beta a,+, \alpha a+\beta)=(0,0,0) \\ \beta+\gamma a=0 \ldots(1) \\ \alpha+\beta a+\gamma=0 \ldots(2) \\ \alpha a+\beta=0 \ldots(3)$
(2) को a से गुणा करने परः

$\begin{array}{lll} \alpha a+\beta a^2+\gamma a =0 \ldots(4) \\ \beta+\gamma a =0 \ldots(1) \\ - \quad \quad -\text { घटाने पर } \\ \hline \alpha a+\beta a^2-\beta=0 \cdots(5) \\ \alpha a+\left(a^2-1\right) \beta=0 \cdots(5) \\ \alpha a+\beta=0 \\ \cdots(3) \\ - \quad \quad - \text { घटाने पर } \\ \hline \end{array} \\ (a^{2}-1-1)\beta =0 \\ a^2-2=0 \Rightarrow a=\pm \sqrt{2}$
Example:8.सदिश समष्टि के निम्न सदिशों की LI या LD की जाँच कीजिए

$\alpha_1=(-1,2,1) ; \alpha_2=(3,0,-1) ; \alpha_3=(-5,4,3)$
(Examine the following vectors of for LI or LD)

$\alpha_1=(-1,2,1) ; \alpha_2=(3,0,-1) ; \alpha_3=(-5,4,3)$
Solution:माना $\beta_1 \alpha_1+\beta_2 \alpha_2+\beta_3 \alpha_3=0 \\ \Rightarrow \beta_1(-1,2,1)+\beta_2(3,0,-1)+\beta_3(-5,4,3)=0 \\ \Rightarrow \left(-\beta_1+3 \beta_2-5 \beta_3, 2 \beta_1+4 \beta_3, \beta_1-\beta_2+3 \beta_3\right)=(0,0,0) \\ \Rightarrow -\beta_1+3 \beta_2-5 \beta_3=0 \ldots(1) \\ 2 \beta_1+4 \beta_3=0 \cdots(2) \\ \beta_1-\beta_2+3 \beta_3=0 \ldots(3) \\ -\beta_1+\beta_3 \beta_2-5 \beta_3=0 \\ \beta_1-\beta_2+3 \beta_3=0 \\ \frac{\beta_1}{-5}=\frac{\beta_2}{-5+3}=\frac{\beta_3}{1-3} \\ \Rightarrow \frac{\beta_1}{4}=\frac{\beta_2}{-2}=\frac{\beta_3}{-2} \\ \Rightarrow \frac{\beta_1}{2}=\frac{\beta_2}{-1}=\frac{\beta_3}{-1} \\ \beta_1=2 k, \beta_2=-k, \beta_3=-k$
k को वास्तविक संख्या मानने पर हम अनन्त $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ ज्ञात कर सकते हैं,यदि k=1 लें तब $\beta_1=2, \beta_2=-1, \beta_3=-1$
अर्थात् सदिश $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ एकघाततः परतन्त्र हैं।
Example:9.सिद्ध कीजिए कि सदिशों के LD समुच्चय का अधिसमुच्चय भी LD होता है।
(Prove that any superset of a LD set of vectors is also LD)
Solution:मान लो $S=\left\{v_1, v_2, v_3, \ldots, v_n\right\}$ का अधिसमुच्चय $S_1=\left\{v_1, v_2, v_3 \ldots v_n, v_{n+1}, \ldots v_m\right\}$ है तथा सदिश समष्टि V(F) के सदिशों का एकघाततः आश्रित समुच्चय है तब फील्ड F के ऐसे अवयव $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3,, \alpha_4$ विद्यमान होंगे कि

$\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\ldots \ldots+\alpha_n v_{n}=0$
S एकघाततः परतन्त्र है इसलिए $\alpha_i\{i=1,2,3, \cdots n\}$ शून्य नहीं है माना \alpha_{k} \neq 0[/katex]
तब अधिसमुच्चय S, को एकघाततः संचय के रूप में व्यक्त करने परः

$\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\cdots+\alpha_n v_n+\alpha_{n+1} v_{n+1}+\cdots+\alpha_m v_m=0 \ldots(1) \\ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \ldots \ldots \alpha_{n}$
में कम से कम एक अशून्य अवयव है अतः समीकरण (1) में विद्यमान होगा।
फलतः अधिसमुच्चय भी एकघाततः परतन्त्र है।

3.रैखिक बीजगणित में एकघाती आश्रितता पर आधारित सवाल (Questions Based on Linear Dependence in Linear Algebra):

Linear Dependence in Linear Algebra

(1.)सिद्ध कीजिए कि 2×2 आकार के मैट्रिक्स की सदिश समष्टि M(R) में निम्न मैट्रिक्सों एकघाततः स्वतन्त्र हैंः
(Prove that the following matrices in the vector space M(R) of all 2×2 matrices are LI):

$v_1=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right), v_2=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right), v_3=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right)$
(2.)सिद्ध कीजिए कि $V_3(c)$  के चार सदिश $v_1=(1,0,0), v_2=(0,1,0), v_3=(0,0,1)$ तथा v_4=(1,1,1)[/katex] एकघाततः परतन्त्र समुच्चय बनाते हैं किन्तु इनमें से किन्हीं तीन के समुच्चय एकघाततः स्वतन्त्र होते हैं।
(Prove that the four vectors $v_1=(1,0,0), v_2=(0,1,0), v_3=(0,0,1)$ and $v_4=(1,1,1)$  in form a LD set but any three of them are LI)

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4.रैखिक बीजगणित में एकघाती आश्रितता (Frequently Asked Questions Related to Linear Dependence in Linear Algebra),एकघाती स्वतन्त्रता और एकघाती आश्रितता (Linear Independence and Linear Dependence) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः

रैखिक बीजगणित में एकघाती आश्रितता (Linear Dependence in Linear Algebra) और एकघाती
स्वतन्त्रता के बारे में अध्ययन करेंगे।इस आर्टिकल को पढ़ने से पूर्व रैखिक बीजगणित में