1.दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा की समीकरण (Line Passing Through Two Points Equation),एक बिन्दु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण (Straight Line Passing Through One Point Equation)-

Line Passing Through Two Points Equation

दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा की समीकरण (Line Passing Through Two Points Equation) ज्ञात करने से पूर्व सरल रेखा के व्यापक समीकरण का मानक रूपों में समानयन का अध्ययन करेंगे।
(1.)सरल रेखा के व्यापक समीकरण का मानक रूपों में समानयन (Reduction of General Equation of Straight Line to Standard Forms):
(a)झुकाव रूप y=mx+c में व्यक्त करना:हम जानते हैं कि सरल रेखा का व्यापक समीकरण Ax+By+C=0 होता है।
अर्थात् By=-Ax-C
\Rightarrow y=\left(-\frac{A}{B}\right) x+\left(\frac{C}{B}\right) (जबकि B \neq 0)

\Rightarrow y=\left(-\frac{A}{B}\right) x+\left(-\frac{c}{B}\right)
\Rightarrow  y=m x+c जहां m=-\frac{A}{B}, c=-\frac{C}{B}
टिप्पणी:
(i)सरल रेखा Ax+By+C=0 का झुकाव (ढ़ाल)
m=\frac{-A}{B}=-\frac{x \text { का गुणांक } }{y \text { का गुणांक } }
तथा y-अक्ष पर काटा गया अन्त:खण्ड
c=-\frac{C}{B}=-\frac{ \text { अचर पद }}{y \text { का गुणांक }}
(ii) समीकरण y=mx+c बांये पक्ष में y का गुणांक 1 हौता है। अतः
(क)बांये पक्ष में y का पद रखकर शेष पदों को दांये पक्ष में ले जाते हैं।
(ख)यदि बांये पक्ष में y का कोई गुणांक हो तो उससे दोनो पक्षों में भाग देते हैं।
(b)अन्त:खण्ड रूप \frac{ x}{a}+\frac{y}{b}=1 में व्यक्त करना:
सरल रेखा का मानक रूप में समीकरण है

A x+B y+C=0 \\ \Rightarrow A x+B y=-C \\ \Rightarrow \frac{x}{\left(-\frac{C}{A}\right)}+\frac{y}{\left(\frac{-C}{B}\right)}=1 \\ \Rightarrow \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1
जहां a=-\frac{C}{A}, b=-\frac{C}{B}
अतः x-अक्ष तथा y-अक्ष पर काटे गए अन्त: खण्डों की लम्बाइयां क्रमशः -\frac{C}{A},-\frac{C}{B} होंगी।
टिप्पणी:
(i)दिए हुए समीकरण के दांये पक्ष में केवल अचर पद लिखें
(ii)अचर पद से दोनों पक्षों में भाग दें जिससे दायां पक्ष 1 हो जाए।
(iii)बांये पक्ष में x और y के गुणांकों के व्युत्क्रम को उनके हर में रखें।
(c)लम्ब रूप x \cos \alpha+y \sin \alpha=p में व्यक्त करना
सरल रेखा का व्यापक समीकरण है
A x+B y+C=0 \\ \Rightarrow A x+B y=-C .....(1)
माना इस रेखा का समीकरण
x \cos \alpha+y \sin \alpha=p (यहां p धनात्मक है)
समीकरण (1) एवं (2) एक ही रेखा के समीकरण है,अतः पदों की तुलना करने पर-

\frac{-C}{p}=\frac{A}{\cos \alpha}=\frac{B}{\sin \alpha} \pm \frac{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}{\sqrt{\cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha}} \\ \Rightarrow-\frac{C}{p}=\frac{A}{\cos \alpha}=\frac{B}{\sin \alpha}=\pm \frac{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}{1}
अतः p=\frac{-C}{\pm \sqrt{A^{2}+B^{2}}} \quad , \cos \alpha=\frac{A}{\pm \sqrt{A^{2}+B^{2}}} \\ \sin \alpha=\frac{B}{\pm \sqrt{A^{2}+B^{2}}}
समीकरण (2) में मान प्रतिस्थापित करने पर-

x \cdot \frac{A}{\pm \sqrt{A^{2}+B^{2}}}+y \cdot \frac{B}{\pm \sqrt{A^{2}+B^{2}}}=-\frac{C}{\pm \sqrt{A^{2} +B^{2}}} \\ \Rightarrow \frac{A}{\pm \sqrt{A^{2}+B^{2}}} \cdot x+\frac{B}{\pm \sqrt{A^{2}+B^{2}}} \cdot y=\frac{-C}{\pm \sqrt{A^{2}+B^{2}}}
अतः यह x \cos \alpha+y \sin \alpha=p रेखा का लम्बरूप है।
स्मरण रहे कि p=-\frac{C}{\pm \sqrt{A^{2}+B^{2}}} के लिए \pm चिन्ह में वही चिन्ह लेंगे जिससे ऊपर p धनात्मक रहे।
टिप्पणी:
(i) व्यापक समीकरण Ax+By+C=0 को लम्बरूप में बदलने के लिए सर्वप्रथम C को दायीं ओर स्थानान्तरित करके धनात्मक बनाते हैं।
(ii)प्रत्येक पद में \sqrt{A^{2}+B^{2}} अर्थात् x तथा y के गुणांकों के वर्गो का योग का वर्गमूल से भाग करते हैं।
(2.) एक बिन्दु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण (Equation of Line Passing Through One Point)-
उस सरल रेखा का समीकरण ज्ञात करना जो दिए हुए बिन्दु \left(x_{1}, y_{1}\right) से होकर जाती है तथा x-अक्ष के साथ कोण \theta बनाती है। चूंकि अभीष्ट रेखा x-अक्ष के साथ \theta कोण बनाती है अतः रेखा की प्रवणता m=\tan \theta होगी।माना कि रेखा की अभीष्ट समीकरण है
y=mx+c ……..(1)
यह रेखा बिन्दु \left(x_{1}, y_{1}\right) से गुजरती है अतः समीकरण (1) को सन्तुष्ट कराने पर अर्थात् x=x_{1} तथा y=y_{1} रखने पर

y=m x_{1}+c \cdots(2)
समीकरण (1) में से (2) को घटाने पर-

y-y_{1}=m\left(x-x_{1}\right)
जो कि एक बिन्दु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है।
टिप्पणी:m का मान प्रश्न में दिए हुए किसी प्रतिबन्ध से ज्ञात किया जाता है,जो रेखा को सन्तुष्ट करती है।
(3.)दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा की समीकरण (Line Passing Through Two Points Equation)-
उस सरल रेखा का समीकरण ज्ञात करना जो दिए हुए दो बिन्दुओं \left(x_{1}, y_{1}\right) तथा \left(x_{2}, y_{2}\right) से गुजरती है।माना कि सरल रेखा का समीकरण है
y=mx+c …..(1)
चूंकि उपर्युक्त रेखा बिन्दु \left(x_{1}, y_{1}\right) तथा \left(x_{2}, y_{2}\right) बिन्दु से गुजरती है।अतः यह बिन्दु समीकरण (1) को सन्तुष्ट करेंगे।
y_{1}=m x_{1}+c \quad \cdots(2)

तथा y_{2}=m x_{2}+c
समीकरण (1) में से समीकरण (2) घटाने पर-

y-y_{1}=m\left(x-x_{1}\right) \cdots \cdots(4)
समीकरण (3) में से समीकरण (2) घटाने पर-

y_{2} -y_{1}=m\left(x_{2}-x_{1}\right) \\ \Rightarrow m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}
m का मान समीकरण (4) में रखने पर-

y-y_{1} =\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\left(x-x_{1}\right) \\ \Rightarrow \frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}
जो कि दो बिन्दुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है।
टिप्पणी: बिन्दुओं तथा को मिलाने वाली रेखा की प्रवणता (ढ़ाल)
m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{ \text { दोनों बिन्दुओं की कोटियों का अन्तर }}{\text { दोनों बिन्दुओं के भुजों का अन्तर }}
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2.दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा की समीकरण के उदाहरण (Line Passing Through Two Points Equation Examples),एक बिन्दु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण (Straight Line Passing Through One Point Equation Examples)-

Example-1.समीकरण 7x-13y=15 को झुकाव रूप तथा अन्त:खण्ड रूप परिवर्तित कर इनके मानक रूप में प्रयुक्त अचर पदों के मान ज्ञात कीजिए।
Solution-दिया गया समीकरण-
7x-13y=15 \\ \Rightarrow 13 y=7 x-15 \\ \Rightarrow y=\frac{7}{13} x-\frac{15}{13}
यह y=mx+c अर्थात् झुकाव रूप का समीकरण है जहां

m=\frac{7}{13}, C=-\frac{15}{13}
पुनः दिया गया समीकरण-
7x-13y=15
उपर्युक्त समीकरण में 15 का भाग देने पर-

\frac{7 x}{15}-\frac{13}{15} y=1 \\ \Rightarrow \frac{x}{\frac{15}{7}}+\frac{y}{-\frac{15}{13}}=1
जो कि \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 अर्थात् अन्त:खण्ड रूप का समीकरण है
जहां a=\frac{15}{7}, b=-\frac{15}{13}
Example-2.रेखा x \cos \alpha+y \sin \alpha=p की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
Solution–x \cos \alpha+y \sin \alpha=p
प्रवणता (m)=-\frac{ \text{ x का गुणांक } }{ \text { y का गुणांक }}  \\ =-\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \\ m=-\cot \alpha
Example-3.रेखा \sqrt{3} x-y+2=0 के x-अक्ष की धन दिशा से बनने वाले कोण की स्पर्शज्या ज्ञात कीजिए।
Solution– \sqrt{3} x-y+2=0 \\ \tan \theta =-\frac{ \text{ x का गुणांक } }{ \text { y का गुणांक }} \\ =-\frac{\sqrt{3}}{(-1)} \\ \Rightarrow \tan \theta= \sqrt{3} \\ \Rightarrow \tan \theta=\tan 60^{\circ}
Example-4.सिद्ध कीजिए कि रेखा \frac{x}{2 x_{1}}+\frac{y}{2 y_{1}}=1 द्वारा अक्षों पर काटे गए भाग के मध्य बिन्दु के निर्देशांक होंगे।
Solution–\frac{x}{2 x_{1}}+\frac{y}{2 y_{1}}=1
x-अक्ष पर अन्त:खण्ड=2 x_{1}
अतः x-अक्ष पर प्रतिच्छेद बिन्दु के निर्देशांक=(2 x_{1},0)
y-अक्ष पर अन्त:खण्ड=2 y_{1}
अतः y-अक्ष पर प्रतिच्छेद बिन्दु के निर्देशांक=(0,2 y_{1})
अक्षों पर काटे गए भाग के मध्य बिंदु के निर्देशांक 

=\left(\frac{2 x_{1}+0}{2}, \frac{0+2 y_{1}}{2}\right) \\ =\left(x_{1}, y_{1}\right)
Example-5.सरल रेखा 3x+4y=6 से अक्षों के मध्य कटे हुए अन्त:खण्ड की लम्बाई और उसका मध्य बिन्दु ज्ञात कीजिए।
Solution– 3 x+4 y=6 \\ \Rightarrow \frac{3 x}{6}+\frac{4 y}{6}=1 \\ \Rightarrow \frac{x}{2}+\frac{y}{\frac{3}{2}}=1
x-अक्ष पर अन्त:खण्ड=2
अतः x-अक्ष पर प्रतिच्छेद बिन्दु के निर्देशांक=(2,0)
y-अक्ष पर अन्त:खण्ड=\frac{3}{2}
अतः y-अक्ष पर प्रतिच्छेद बिन्दु के निर्देशांक=(0,\frac{3}{2})
अक्षों के मध्य काटे गए अन्त:खण्ड की लम्बाई=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \\ =\sqrt{(0-2)^{2}+\left(\frac{3}{2}-0\right)^{2}} \\ =\sqrt{4+\frac{9}{4}} \\ =\sqrt{\frac{16+9}{4}} \\ =\sqrt{\frac{25}{4}}\\ =\frac{5}{2} 
अक्षों के मध्य कटे हुए अन्त:खण्ड के निर्देशांक=\left(\frac{2+0}{2},\frac{0+\frac{3}{2}}{2}\right) \\ =\left(1, \frac{3}{4}\right)

Line Passing Through Two Points Equation

Example-6.a और b के मान बताओ जबकि 5x-4y=20 और ax-by+1=0 एक ही सरल रेखा को प्रदर्शित करें।
Solution– 5 x-4 y=20 \\ \Rightarrow \frac{5 x}{20}-\frac{4 y}{20}=1 \\ \Rightarrow \frac{x}{4}+\frac{y}{-5}=1 \ldots(1) \\ \Rightarrow x-b y+1=0 \\ \Rightarrow a x-b y=-1 \\ \Rightarrow \frac{a x}{-1}-\frac{b y}{(-1)}=1 \\ \Rightarrow \frac{x}{-\frac{1}{a}}+\frac{y}{\frac{1}{b}}=1 \cdots(2)
समीकरण (1) व (2) की तुलना करने पर-

\frac{-1}{a}=4 \Rightarrow a=-\frac{1}{4} \\ \frac{1}{b}=-5 \Rightarrow b=-\frac{1}{5}
Example-7.निम्न समीकरण को x \cos \alpha+y \sin \alpha=p के रूप में परिवर्तित कीजिए।

\sqrt{3} x-y+2=0
Solution–\sqrt{3} x-y+2 =0 \\ \Rightarrow \sqrt{3} x-y=-2
दांए पक्ष को धनात्मक लेने पर-

\Rightarrow -\sqrt{3} x+y=2 \cdots (1) \\ A=\sqrt{3}, B=1
दोनों पक्षों को \sqrt{A^{2}+B^{2}}=\sqrt{(-\sqrt{3})^{2}+(1)^{2}}=\sqrt{3+1}=2 से भाग देने पर-

-\frac{\sqrt{3}}{2} x+\frac{y}{2}=1
यह x \cos \alpha+y \sin \alpha=p का रूप है।अतः तुलना करने पर-
\cos \alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \alpha=\frac{1}{2}, p=1 \\ \Rightarrow \cos \alpha=-\cos 30^{\circ} \\ \Rightarrow \cos \alpha=\cos (180-30)^{\circ} \text { या } \cos (180+30)^{\circ} \\ \Rightarrow \cos \alpha=\cos 150^{\circ} \text { या } \cos 210^{\circ} \\ \Rightarrow \cos \alpha=\cos 150^{\circ} \cos 210^{\circ} \\ \Rightarrow \alpha=150^{\circ}, 210^{\circ} \cdots (3) \\ \sin \alpha=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow \sin \alpha=\sin 30^{\circ} \text { या } \sin \left(180^{\circ} -30^{\circ}\right) \\ \Rightarrow \sin \alpha=\sin 30^{\circ} \text { या } \sin 150^{\circ}
अतः \alpha=30^{\circ}, 150^{\circ} \cdots (4)
समीकरण (3) तथा (4) में \alpha का सर्वनिष्ठ मान 150° है।
अतः लम्ब की लम्बाई p=1 तथा उसका x-अक्ष से झुकाव \alpha = 150°
अतः समीकरण
x \cos 150^{\circ}+y \sin 150^{\circ}=1 होगी।
Example-8.सरल रेखा 3x-4y-11=0 को लम्बरूप में परिवर्तित कीजिए तथा इस रेखा पर मूलबिन्दु से डाले गए लम्ब की लम्बाई और x-अक्ष से उसकी प्रवणता ज्ञात कीजिए।
Solution– 3 x-4 y-11=0 \\ \Rightarrow 3 x-4 y=11 \quad \cdots(1)
A=3,B=-4
अतः \sqrt{A^{2}+B^{2}}=\sqrt{(3)^{2}+(-4)^{2}} \\ =\sqrt{9+16} \\ = \sqrt{25} \\ \Rightarrow \sqrt{A^{2}+B^{2}}=5
समीकरण (1) के दोनों पक्षों में 5 का भाग देने पर-

\frac{3 x}{5}-\frac{4 y}{5}=\frac{11}{5}
जो कि x \cos \alpha+y \sin \alpha=p के रूप का है।

\cos \alpha=\frac{3}{5}, \quad \sin \alpha=-\frac{4}{5}, p=\frac{11}{5} \\ \tan \alpha=\left(\frac{-\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}\right) \\ \Rightarrow \tan \alpha=\left(-\frac{4}{3}\right)
Example-9.सरल रेखा \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 तथा 2x-3y=5 एक ही रेखा को निरूपित करते हैं तो a व b का मान ज्ञात कीजिए।
Solution– 2 x-3 y=5 \\ \Rightarrow \frac{2 x}{5}-\frac{3 y}{5}=1 \\ \Rightarrow \frac{x}{\frac{5}{2}}+\frac{y}{-\frac{5}{3}}=1 \ldots(1) \\ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 \cdots (2)
सरल रेखा (1) व (2) एक ही रेखा को निरूपित करते हैं।
अतः गुणांकों की तुलना करने पर-

a=\frac{5}{2}, \quad b=-\frac{5}{3}
Example-10.सरल रेखा y=mx+c एवं x \cos \alpha+y \sin \alpha=P एक ही रेखा को निरूपित करें तो रेखा का x-अक्ष से झुकाव कोण तथा y-अक्ष से काटे गए अन्त:खण्ड की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Solution–y=mx+c \cdots(1)\\ x \cos \alpha+y \sin \alpha=P \\ \Rightarrow y \sin \alpha=-x \cos \alpha+P \\ \Rightarrow y=-x \cdot \cot \alpha+p \operatorname{cosec} \alpha \cdots(2)
समीकरण (1) व (2) की तुलना करने पर-

m =-\cot \alpha \\ \Rightarrow m =\tan (90+\alpha)
अतः x-अक्ष से झुकाव=90+\alpha
y-अक्ष से काटे गए अन्त:खण्ड की लम्बाई

C=p\operatorname{cosec} \alpha
Example-11.उस सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (2,3) से होकर जाती है और x-अक्ष से 45° का कोण बनाती है।
Solution–m=\tan 45^{\circ}=1
अतः बिन्दु (2,3) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण-

y-y_{1} =m\left(x-x_{1}\right) \\ \Rightarrow y-3 =1(x-2) \\ \Rightarrow y-3 =x-2 \\ \Rightarrow x-y+1=0
Example-12.निम्न दो बिन्दुओं से गुजरने वाली रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए:
Solution–(i) \left(a t_{1}, \frac{a}{t_{1}}\right) और \left(a t_{2} ,\frac{a}{t_{2}} \right)
\left(x_{1}, y_{1}\right)=\left(a t_{1}, \frac{a}{t_{1}}\right) तथा \left(x_{2}, y_{2}\right)=\left(a t_{2}, \frac{a}{t_{2}}\right)
दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा की समीकरण (Line Passing Through Two Points Equation)-

y-y_{1}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\left(x-x_{1}\right) \\ \Rightarrow y-\frac{a}{t_{1}}=\frac{\frac{a}{t_{2}}-\frac{a}{t_{1}}}{a t_{2}-a t_{1}}\left(x-a t_{1}\right) \\ \Rightarrow y-\frac{a}{t_{1}} =\frac{a\left(t_{1}-t_{2}\right)}{a t_{2} t_{1}\left(t_{2}-t_{1}\right)} \left(x-a t_{1}\right) \\ \Rightarrow (y-\frac{a}{t_{1}})t_{2} t_{1}=\frac{-\left(t_{2}-t_{1}\right)}{t_{2}-t_{1}}\left(x-a t_{1}\right) \\ \Rightarrow t_{2} t_{1}y-a t_{2} =-x+a t_{1} \\ \Rightarrow x+ t_{2} t_{1}y=a\left(t_{2}+t_{1}\right)

(ii) \left(a \sec \alpha, b \tan \alpha\right) और \left(a \sec \beta,b \tan \beta\right)
\left(x_{1}, y_{1}\right)= \left(a \sec \alpha, b \tan \alpha\right) तथा \left(x_{2}, y_{2}\right)= (a \sec \beta,b \tan \beta)
दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा की समीकरण (Line Passing Through Two Points Equation)-

y-y_{1}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\left(x-x_{1}\right) \\ \Rightarrow y-b \tan \alpha=\frac{b \tan \beta-b \tan \alpha}{a \sec \beta-a \sec \alpha}(x-a \sec \alpha) \\ \Rightarrow y-b \tan \alpha=\frac{b(\tan \beta-\tan \alpha)}{a(\sec \beta-\sec \alpha)}(x-a \sec \alpha) \\ \Rightarrow a y-a b \tan \alpha= \frac{b\left(\frac{\sin B}{\cos \beta}-\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right)}{\left(\frac{1}{\cos \beta}-\frac{1}{\cos \alpha}\right)}(x-a \sec \alpha) \\ \Rightarrow ay-a b \tan \alpha =\frac{b(\sin \beta \cos \alpha-\sin \alpha \cos \beta)}{\cos \alpha \cos \beta\left(\frac{\cos \alpha-\cos \beta}{\cos \alpha \cos \beta}\right)} \\ \Rightarrow a y-a b \tan \alpha=\frac{-b \sin (\alpha-\beta)}{(\cos \alpha-\cos \beta)}(x-a \sec \alpha) \\ \Rightarrow a y-a b \tan \alpha=\frac{-b \sin \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) \cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}{- \sin \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \sin \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}(x-a \sec \alpha) \\ \Rightarrow a y-a b \tan \alpha=\frac{b \cos (\alpha-\beta)}{\sin \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}(x-a \sec \alpha) \\ \Rightarrow a y \sin \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)-a b \tan \alpha \sin \left(\frac{\alpha+B}{2}\right)=b x \cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)-a b \sec \alpha \cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) \\ \Rightarrow b x \cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)-a y \sin \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)=a b \sec \alpha \cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)-a b \tan \alpha \sin \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \Rightarrow b x \cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) -a y \sin \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)=a b\left[\frac{\cos \left( \frac{\alpha-\beta}{2}\right)}{\cos \alpha}-\frac{\sin \alpha \sin \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{\cos \alpha}\right] \\ =\frac{a b}{\cos \alpha} [\cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2}+\sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2}-2 \sin ^{2} \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\alpha}{2}-2 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \cos^{2} \frac{\alpha}{2}] \\ =\frac{a b}{\cos \alpha}\left[\cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2}\left(1-2 \sin ^{2} \frac{\alpha}{2}\right)-\sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \left(2 \cos ^{2} \frac{\alpha}{2}-1\right)\right]\\ =\frac{a b}{\cos \alpha}\left[\cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \alpha-\sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \cos \alpha\right] \\ =\frac{a b}{\cos \alpha} \cdot \cos \alpha \left[\cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \alpha-\sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \right] \\ \Rightarrow b x \cdot \cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)-a y \sin \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)=a b \cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2} \right)
(iii) (a+b) और (a+b,a-b)
\left(x_{1}, y_{1}\right)=(a, b) तथा \left(x_{2}, y_{2}\right)=(a+b, a-b)
दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा की समीकरण (Line Passing Through Two Points Equation)-

y-y_{1}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\left(x-x_{1}\right) \\ \Rightarrow y-b=\frac{a-b-b}{a+b-a}(x-a) \\ \Rightarrow y-b=\frac{(a-2 b)}{b}(x-a) \\ \Rightarrow b y-b^{2}=(a-2 b) x-a(a-2 b) \\ \Rightarrow(a-2 b) x-b y+b^{2}-a^{2}+2 a b
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा की समीकरण (Line Passing Through Two Points Equation),एक बिन्दु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण (Straight Line Passing Through One Point Equation) को समझ सकते हैं।

3.दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा की समीकरण की समस्याएं (Line Passing Through Two Points Equation Problems),एक बिन्दु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण की समस्याएं (Straight Line Passing Through One Point Equation Problems)-

Line Passing Through Two Points Equation

(1.) समीकरण 5x+6y+8=0 को झुकाव रूप तथा अन्त:खण्ड रूप में परिवर्तित कर इनके मानक रूप में प्रयुक्त अचर पदों के मान ज्ञात कीजिए।
(2.)रेखा x+\sqrt{3} y-2 \sqrt{3}=0 के x-अक्ष की धन-दिशा से बनने वाले कोण की स्पर्शज्या ज्ञात कीजिए।
(3.) निम्न समीकरण को x \cos \alpha+y \sin \alpha=p के रूप में परिवर्तित कीजिए।
(4.) निम्न बिन्दुओं से गुजरने वाली रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए:
(i) (3,4) और (5,4)(ii) (0,-a) और (b,0)
उत्तर (Answers):(1) m=-\frac{5}{6},c=-\frac{4}{3}, a=-\frac{8}{3}, b=-\frac{4}{3} \\ (2) \tan 150^{\circ} \\ (3) x \cos 225^{\circ}+y \sin 225^{\circ} \\ (4) (i) y-x=1 (ii) a x-b y=a b
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा की समीकरण (Line Passing Through Two Points Equation),एक बिन्दु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण (Straight Line Passing Through One Point Equation) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा की समीकरण (Line Passing Through Two Points Equation) के बारे में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न-

Line Passing Through Two Points Equation

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा की समीकरण (Line Passing Through Two Points Equation),एक बिन्दु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण (Straight Line Passing Through One Point Equation) को भली-भांति समझ सकते हैं।