1.सीमा कक्षा 11 (Limits Class 11),कक्षा 11 में सीमा (Limits in Class 11):

Limits Class 11

सीमा कक्षा 11 (Limits Class 11) का अध्ययन कलन गणित में किया जाता है।इस आर्टिकल में सीमा की परिभाषा,सीमा के बीजगणित और सीमा पर आधारित उदाहरणों का अध्ययन करेंगे।
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2.सीमा कक्षा 11 के साधित उदाहरण (Limits Class 11 Solved Examples):

प्रश्न 1 से 22 तक निम्नलिखित सीमाओं के मान प्राप्त कीजिएः
Example:1. \underset{x \rightarrow 3}{\lim} (x+3)
Solution: \underset{x \rightarrow 3}{\lim} (x+3) \\ =3+3=6
Example:2. \underset{x \rightarrow \pi}{\lim} \left(x-\frac{22}{7}\right)
Solution: \underset{x \rightarrow \pi}{\lim} \left(x-\frac{22}{7}\right) \\=\pi-\frac{22}{7}
Example:3. \underset{r \rightarrow 1}{\lim} \pi r^2
Solution: \underset{r \rightarrow 1}{\lim} \left(\pi r^2\right) \\ =\pi(1)^2 \\ =\pi
Example:4. \underset{x \rightarrow 4}{\lim} \frac{4 x+3}{x-2}
Solution: \underset{x \rightarrow 4}{\lim} \frac{4 x+3}{x-2} \\ =\frac{ \underset{x \rightarrow 4}{\lim}(4 x+3)}{ \underset{x \rightarrow 4}{\lim}(x-2)} \\ =\frac{4(4)+3}{4-2} \\ =\frac{16+3}{2} \\ =\frac{19}{2}
Example:5. \underset{x \rightarrow-1}{\lim} \frac{x^{10}+x^5+1}{x-1}
Solution: \underset{x \rightarrow-1}{\lim} \frac{x^{10}+x^5+1}{x-1} \\ =\frac{\underset{x \rightarrow-1}{\lim}\left(x^{10}+x^5+1\right) }{\underset{x \rightarrow-1}{\lim}(x-1)} \\ = \frac{(-1)^{10}+(-1)^5+1}{-1-1} \\ =\frac{1-1+1}{-2} \\ =-\frac{1}{2}
Example:6. \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{(x+1)^5-1}{x}
Solution: \underset{x \rightarrow 0}{\lim}\frac{(x+1)^5-1}{x} \\ =\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{x^5+5 x^4+10 x^3+10 x^2+5 x+1-1}{x} \\ =\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{x\left(x^4+5 x^3+10 x^2+10 x+5\right)}{x} \\ =\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left(x^4+5 x^3+10 x^2+10 x+5\right) \\ =5
Example:7. \underset{x \rightarrow 2}{\lim} \frac{3 x^2-x-10}{x^2-4}
Solution: \underset{x \rightarrow 2}{\lim} \frac{3 x^2-x-10}{x^2-4} \\ =\underset{x \rightarrow 2}{\lim} \frac{3 x^2-6 x+5 x-10}{(x-2)(x+2)} \\ = \underset{x \rightarrow 2}{\lim} \frac{3 x(x-2)+5(x-2)}{(x-2)(x+2)} \\ = \underset{x \rightarrow 2}{\lim} \frac{(x-2)(3 x+5)}{(x-2)(x+2)} \\ = \underset{x \rightarrow 2}{\lim} \frac{3 x+5}{x+2} \\ =\frac{3 \times 2+5}{2+2} \\=\frac{6+5}{4} \\ =\frac{11}{4}
Example:8. \underset{x \rightarrow 3}{\lim} \frac{x^4-81}{2 x^2-5 x-3}
Solution: \underset{x \rightarrow 3}{\lim} \frac{x^4-81}{2 x^2-5 x-3} \\ =\underset{x \rightarrow 3}{\lim} \frac{(x-3)(x+3)\left(x^2+9\right)}{2 x^2-6 x+x-3} \\ =\underset{x \rightarrow 3}{\lim} \frac{(x-3)(x+3) \left(x^2+9\right)}{2 x(x-3)+1(x-3)} \\ =\underset{x \rightarrow 3}{\lim} \frac{(x-3)(x+3) \left(x^2+9\right)}{(x-3)(2 x+1)} \\ =\underset{x \rightarrow 3}{\lim} \frac{(x+3)\left(x^2+9\right)}{2 x+1} \\ =\frac{(3+3) \left(3^2+9\right)}{2 \times 3+1} \\ =\frac{6(9+9)}{6+1} \\ =\frac{108}{7}
Example:9. \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{a x+b}{c x+1}
Solution: \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{a x+b}{c x+1} \\=\frac{a(0)+b}{c(0)+1} \\ =\frac{b}{1} \\ =b
Example:10. \underset{z \rightarrow 1}{\lim} \frac{z^{\frac{1}{3}}-1}{z^{\frac{1}{6}}-1}
Solution: \underset{z \rightarrow 1}{\lim} \frac{z^{\frac{1}{3}}-1}{z^{\frac{1}{6}}-1} \\=\underset{z \rightarrow 1}{\lim} \frac{\left(z^{\frac{1}{6}}-1\right)\left(z^{\frac{1}{6}}+1\right)}{\left(z^{\frac{1}{6}}-1\right)} \\ = \underset{z \rightarrow 1}{\lim} \left(z^{\frac{1}{6}}+1\right) \\ =(1)^{\frac{1}{6}}+1 \\ =1+1 \\ =2
Example:11. \underset{x \rightarrow 1}{\lim} \frac{a x^2+b x+c}{c x^2+b x+a}, a+b+c \neq 0
Solution: \underset{x \rightarrow 1}{\lim} \frac{a x^2+b x+c}{c x^2+b x+a}\\ =\frac{a(1)^2+b(1)+c}{c(1)^2+b(1)+a} \\ =\frac{a+b+c}{a+b+c} \\ =1
Example:12. \underset{x \rightarrow -2}{\lim} \left(\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{2}}{x+2}\right)
Solution: \underset{x \rightarrow -2}{\lim} \left(\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{2}}{x+2}\right) \\ =\underset{x \rightarrow -2}{\lim} \left(\frac{\frac{x+2}{2x}}{2 x}\right) \\ =\underset{x \rightarrow -2}{\lim} \left(\frac{1}{2 x}\right) \\ =\frac{1}{2(-2)} \\ =-\frac{1}{4}
Example:13.  \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{\sin a x}{ b x}\right)
Solution: \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{\sin a x}{ b x}\right) \\ = \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{a \sin a x}{ a b x}\right) \\ =\frac{a}{b} \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{\sin a x}{ a x}\right) \\ =\frac{a}{b} \times (1) \\ =\frac{a}{b}
Example:14. \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{\sin a x}{\sin b x}\right), a, b \neq 0
Solution: \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{\sin a x}{\sin b x}\right) \\ =\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{a\left(\frac{\sin a x}{a x}\right)}{b\left(\frac{\sin b x}{b x}\right)} \\ =\frac{a}{b} \frac{\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{\sin a x}{a x}\right)}{\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{\sin b x}{b x}\right)} \\ =\frac{a}{b} \times \frac{1}{1} \\ =\frac{a}{b}
Example:15. \underset{x \rightarrow \pi}{\lim} \frac{\sin (\pi-x)}{\pi(\pi-x)}
Solution: \underset{x \rightarrow \pi}{\lim} \frac{\sin (\pi-x)}{\pi(\pi-x)} \\ \text{put} x=\pi+h \\ \text{ जब } x \rightarrow \pi \text{ तो } h \rightarrow 0 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{\sin [\pi-(\pi+h)]}{\pi[\pi-(\pi+h)]} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{\sin (\pi-\pi-h)}{\pi(\pi-\pi-h)} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{\sin (-h)}{\pi(-h)} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{-\sin h }{-\pi h}\right) \\ =\frac{1}{\pi} \underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{\sinh }{h}\right) \\ =\frac{1}{\pi} \times 1 \\ =\frac{1}{\pi}
Example:16. \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{\cos x}{\pi-x}
Solution: \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{\cos x}{\pi-x} \\ =\frac{\cos 0}{\pi-0} \\ =\frac{1}{\pi}

Limits Class 11

Example:17. \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{\cos 2 x-1}{\cos x-1}\right)
Solution: \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{\cos 2 x-1}{\cos x-1}\right) \\ =\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{1-2 \sin ^2 x-1}{1-2 \sin ^2 \frac{x}{2}-1}\right) \\ =\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{-2 \sin ^2 x}{-2 \sin ^2 \frac{x}{2}} \\ =\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{\frac{2 \sin x}{x}}{\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}}\right)^2 \\ =4\left(\frac{\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{\sin x}{x}}{ \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}}\right)^2 \\ =4\left(\frac{1}{1}\right)^2 \\ =4 \times 1 \\ =4
Example:18. \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{a x+x \cos x}{b \sin x}
Solution: \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{a x+x \cos x}{b \sin x} \\ =\underset{x \rightarrow 0}{\lim}\left[\frac{x(a+\cos x)}{b \sin x}\right] \\ =\frac{\underset{x \rightarrow 0}{\lim}(a+\cos x)}{b \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{\sin x}{x}\right)} \\ =\frac{a+\cos 0}{b \times 1} \\ =\frac{a+1}{b}
Example:19. \underset{x \rightarrow 0}{\lim} x \sec x
Solution: \underset{x \rightarrow 0}{\lim} x \sec x \\ =0 \times \sec 0 \\ =0 \times 1 \\ =0 
Example:20. \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{\sin a x+b x}{a x+\sin b x}, a, b, a+b \neq 0
Solution: \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{\sin a x+b x}{a x+\sin b x} \\ =\underset{x \rightarrow 0}{\lim}\frac{a\left(\frac{\sin a x}{a x}+\frac{b}{a}\right)}{b\left(\frac{a}{b}+\frac{\sin b x}{b x}\right)} \\ =\frac{a}{b} \frac{\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{\sin a x}{a x}+\frac{b}{a}}{\frac{a}{b}+\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{\sin b x}{b x}} \\ =\frac{a}{b} \frac{\left(1+\frac{b}{a}\right)}{\frac{a}{b}+1} \\ =\frac{\frac{a}{b}\left(\frac{a+b}{a}\right)}{\frac{a+b}{b}} \\ =\frac{a}{b} \times \frac{a+b}{a} \times \frac{b}{a+b} \\ =1
Example:21. \underset{x \rightarrow 0}{\lim} (\operatorname{cosec} x-\cot x)
Solution: \underset{x \rightarrow 0}{\lim} (\operatorname{cosec} x-\cot x) (\operatorname{cosec} x-\cot x) \\=\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{1}{\sin x}-\frac{\cos x}{\sin x}\right) \\ =\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{1-\cos x}{\sin x}\right) \\ =\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{1-\left(-2 \sin ^2 \frac{x}{2}\right)}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} \\ =\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{1-1+2 \sin ^2 \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}\\=\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{2 \sin ^2 \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}\right) \\ =\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} \\ =\frac{\sin 0}{\cos 0} \\ =\frac{0}{1} \\ =0
Example:22. \underset{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}{\lim} \left(\frac{\tan 2 x}{x-\frac{\pi}{2}}\right)
Solution: \underset{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}{\lim} \left(\frac{\tan 2 x}{x-\frac{\pi}{2}}\right) \\ \text{put} x=\frac{\pi}{2}+h \\ \text{ जब } x \rightarrow \frac{\pi}{2} \text{ तो } h \rightarrow 0 \\ \underset{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}{\lim} \frac{\tan \left[2\left(\frac{\pi}{2}+h\right)\right]}{\frac{\pi}{2}+h-\frac{\pi}{2}} \\ = \underset{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}{\lim} \frac{\tan (\pi+2 h)}{h} \\ =\underset{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}{\lim} \frac{\tan 2 h}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{2 \tan 2 h}{2 h} \\ =2 \times 1 \\ =2
Example:23. \underset{x \rightarrow 0}{\lim} f(x) और \underset{x \rightarrow 1}{\lim} f(x) ज्ञात कीजिए,जहाँ
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{l}2 x+3, x \leq 0 \\ 3(x+1), x>0\end{array}\right.
x=0 पर दायीं सीमा के लिए f(x)=3(x+1)

\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x) =\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} 3(x+1) \\ =3(0+1) \\ =3
x=0 पर बायीं की के लिए f(x)=2x+3

\underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} (2 x+3) \\=2 \times 0+3=3 \\ \underset{x \rightarrow 0}{\lim} f(x) =3 \\ \underset{x \rightarrow 1}{\lim} f(x) =\underset{x \rightarrow 1}{\lim} 3(x+1) \\ =3(1+1) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 1}{\lim} f(x) =6
Example:24. \underset{x \rightarrow 1}{\lim} f(x) ,ज्ञात कीजिए, जहाँ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2-1, & x \leq 1 \\ -x^2-1, & x>1\end{array}\right.
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2-1, & x \leq 1 \\ -x^2-1, & x>1\end{array}\right.
x=1 पर दायीं सीमा के लिए f(x)=-x^2-1 \\ \underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x) =\underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} \left(-x^2-1\right) \\ =-(1)^2-1 \\ =-1-1 \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x)=-2
x=1 पर बायीं सीमा के लिए

f(x)=x^2-1 \\ \underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim}\left(x^2-1\right) \\ =(1)^2-1 \\ =1-1 \\ =0 \\ \underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x) \neq \underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x)
x=1 पर सीमा का अस्तित्व नहीं है।
Example:25. \underset{x \rightarrow 0}{\lim} f(x),का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{|x|}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{|x|}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.
x=0 पर दायीं सीमा के लिए

f(x)=\frac{|x|}{x} \\ \Rightarrow f(x) =\frac{x}{x} \\ f(x) =1 \\ \underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x) =\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} (1) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x) =1
x=0 पर बायीं सीमा के लिए

f(x)=\frac{-x}{x}=-1 \\ \underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x) =\underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} (-1) \\ =-1 \\ \underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x) \neq \underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x)
अतः x=0 पर सीमा का अस्तित्व नहीं है।
Example:26. \underset{x \rightarrow 0}{\lim} f(x),ज्ञात कीजिए,जहाँ f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{|x|}, x \neq 0 \\ 0, x=0\end{array}\right.
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{|x|}, x \neq 0 \\ 0, x=0\end{array}\right.
x=0 पर दायीं सीमा के लिए

f(x)=\frac{x}{|x|} \\ \Rightarrow f(x)=\frac{x}{x}=1 \\ \underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x) =\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim}(1) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x)=1
x=0 पर बायीं सीमा के लिए

f(x)=\frac{x}{-x}=-1 \\ \underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} (-1) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x)=-1 \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x) \neq \underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x)
अतः x=0 पर सीमा का अस्तित्व नहीं है।
Example:27. \underset{x \rightarrow 5}{\lim} f(x),ज्ञात कीजिए,जहाँ f(x)=|x|-5
Solution: f(x)=|x|-5 \\ \underset{x \rightarrow 5}{\lim} f(x) =\underset{x \rightarrow 5}{\lim} |x|-5 \\ =|5|-5 \\ =5-5 \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 5}{\lim} f(x) =0
Example:28.मान ज्ञात कीजिए f(x)=\left\{\begin{array}{ll}a+b x, & x<1 \\ 4, & x=1 \\ b-a x, & x>1\end{array} \right. और यदि \underset{x \rightarrow 1}{\lim} f(x)=f(1) तो a और b के सम्भव मान क्या हैं?
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{ll}a+b x, & x<1 \\ 4, & x=1 \\ b-a x, & x>1\end{array} \right.
f(1)=4
x=1 पर दायीं सीमा के लिए f(x)=b-ax

\underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} b-a x \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x)=b-a \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x)=f(1) \Rightarrow b-a=4 \cdots(1)
x=1 पर बायीं सीमा के लिए f(x)=a+bx

\underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} (a+b x) \\ =a+(b)(+1) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x)=a+b \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x)=f(1) \Rightarrow a+b=4 \cdots(2)
(1) व (2) सेः
a=0,b=4
Example:29.मान लीजिए a_1, a_2, \ldots, a_n अचर वास्तविक संख्याएँ है और एक फलन f(x)=\left(x-a_1\right) \left(x-a_2\right) \ldots \left(x-a_n\right)  से परिभाषित है \underset{x \rightarrow a}{\lim} f(x) क्या है?
किसी a \neq a_1, a_2,\ldots ,a_n के लिए \underset{x \rightarrow a}{\lim} f(x) का परिकलन कीजिए।
Solution: f(x)= \left(x-a_1\right)\left(x-a_2\right) \ldots \ldots \left(x-a_n\right) \\ \underset{x \rightarrow a_{1}}{\lim} f(x) =\underset{x \rightarrow a_{1}}{\lim} \left(x-a_1\right)\left(x-a_2\right) \ldots \ldots \left(x-a_n\right) \\ =\left(a_1-a_1\right)\left(a_1-a_2\right) \ldots \left(a_1-a_n\right) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow a_{1}}{\lim} f(x) =0 \\ \underset{x \rightarrow a}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow a}{\lim} \left(x-a_1\right)\left(x-a_2\right) \ldots\left(x-a_n\right) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow a}{\lim} f(x)=\left(a-a_1\right)\left(a-a_2\right) \ldots\left(a-a_x\right)
Example:30.यदि f(x)=\left\{\begin{array}{ll}|x|+1, & x<0 \\ 0, & x=0 \\ |x|-1, & x>0\end{array}\right. तो a के किन मानों के लिए \underset{x \rightarrow a^{-}}{\lim}f(x) का अस्तित्व है।
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{ll}|x|+1, & x<0 \\ 0, & x=0 \\ |x|-1, & x>0\end{array}\right.
x=0 पर \underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} -|x|+1=1
x=0 पर \underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} |x|-1=-1 \\ \underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x) \neq \underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x)
अतः a \neq 0 सभी a, के लिए \underset{x \rightarrow a}{\lim} f(x) का अस्तित्व है।
Example:31.यदि फलन f(x), \underset{x \rightarrow 1}{\lim} \frac{f(x)-2}{x^2-1}=\pi,को सन्तुष्ट करता है तो \underset{x \rightarrow 1}{\lim} f(x) का मान प्राप्त कीजिए।
Solution: \underset{x \rightarrow 1}{\lim} \frac{f(x)-2}{x^2-1}=\pi \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 1}{\lim} f(x)-2=\pi \underset{x \rightarrow 1}{\lim} \left(x^2-1\right) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 1}{\lim} f(x)-2=0 \Rightarrow \underset{x \rightarrow 1}{\lim} f(x)=2
Example:32.किन पूर्णांकों m और n के लिए \underset{x \rightarrow 0}{\lim} f(x) और \underset{x \rightarrow 1}{\lim} f(x) दोनों का अस्तित्व है,यदि f(x)=\left\{\begin{array}{ll}m x^2+n, & x<0 \\ n x^{3}+m, & 0 \leq x<1 \\ n x^3+m, & x>1\end{array}\right.
Solution: \underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} n x+m=n+m \\ \underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} n x^3+m=n+m \\ \underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x)
अतः x=1 पर m व n के किसी भी मान के लिए अस्तित्व है।

\underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} m x^2+n=n \\ \underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} n x+m=m \\ \underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x) \Rightarrow m=n
अतः x=0 सीमा के अस्तित्व के लिए m=n होना अनिवार्य है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सीमा कक्षा 11 (Limits Class 11),कक्षा 11 में सीमा (Limits in Class 11) को समझ सकते हैं।

3.सीमा कक्षा 11 पर आधारित सवाल (Questions Based on Limits Class 11):

Limits Class 11

(1.)सिद्ध कीजिए \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{a^x-b^x}{x}=\log \left(\frac{a}{b}\right)
(2.)सिद्ध करो \underset{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}{\lim}(\sec x-\tan x)=0
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सीमा कक्षा 11 (Limits Class 11),कक्षा 11 में सीमा (Limits in Class 11) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.सीमा कक्षा 11 (Frequently Asked Questions Related to Limits Class 11),कक्षा 11 में सीमा (Limits in Class 11) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

सीमा कक्षा 11 (Limits Class 11) का अध्ययन कलन गणित में किया जाता है।इस आर्टिकल में
सीमा की परिभाषा,सीमा के बीजगणित और सीमा पर आधारित उदाहरणों का अध्ययन करेंगे।