1.सांख्यिकी में न्यूनतम वर्ग रीति (Least Squares Method in Statistics),न्यूनतम वर्ग रीति द्वारा उपनति मूल्यों का निर्धारण (Determine Trend Values By Least Squares Method):

Least Squares Method in Statistics

सांख्यिकी में न्यूनतम वर्ग रीति (Least Squares Method in Statistics) द्वारा काल श्रेणी के समंकों के उपनति मूल्य निर्धारण करने हेतु कुछ सवालों को हल करेंगे।
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2.सांख्यिकी में न्यूनतम वर्ग रीति पर आधारित उदाहरण (Illustration Based on Least Squares Method in Statistics):

Illustration:8.उपनति मूल्यों हेतु न्यूनतम वर्ग रीति की लघु रीति से परिकलन कीजिए:
(Calculate by short cut method of least squares,for trend values of the following data):

Solution:Calculation of Trend Values (Least Square Method)

a=\frac{\Sigma Y}{N}=\frac{290}{5}=58 \\ b=\frac{\Sigma XY}{\Sigma X^2}=\frac{34}{10}=3.4 \\ Y_c=a+b x \Rightarrow Y_c=58+3.4 x
Illustration:9.निम्नलिखित समंकों के उपनति मूल्यों का निर्धारण न्यूनतम वर्ग रीति द्वारा कीजिए:
(Determine the trend values from the data given below by least squares method):

Solution:Calculation of Trend Values (Least Long Square Method)

\Sigma Y=N a+b \Sigma X \Rightarrow 356=8 a+36 b \cdots(1) \\ \Sigma X Y=a \Sigma x+b \Sigma X^2 \Rightarrow 1446=36 a+204 b \cdots(2)
समीकरण (1) को 9 से तथा समीकरण (2) को 2 से गुणा करने पर:
\begin{array}{c}3204=72a+324b  \cdots(3) \\ 2892=72a+408b \cdots(4) \\ - \quad \quad - \quad \quad - \quad   \text{ घटाने पर } \\ \hline \end{array} \\ 312=-84b \\ \Rightarrow b=\frac{312}{-84}=-3.71
समीकरण
356=8 a+36 \times-3.71 \\ =8 a-133.56 \\ \Rightarrow 8 a =356+133.56=48956 \\ \Rightarrow a =\frac{489.56}{8}=61.195 \\ \Rightarrow a \approx 61.20 \\ Y =a+b X \\ Y=61.20-3.71 X
Illustration:10.न्यूनतम वर्ग रीति द्वारा निम्न श्रेणी के उपनति मूल्य ज्ञात कीजिए:
(Find the trend values from the following series by the method of least square):

Solution:Calculation of Trend Values (Least Square Method)

a=\frac{\Sigma Y}{N}=\frac{290}{5}=58 \\ b=\frac{\Sigma XY}{\Sigma x^2}=\frac{34}{10}=3.4 \\ Y_c=a+b x \Rightarrow Y_c=5.8+3.4 x
Same as question 8
Illustration:11.निम्नलिखित के उपनति मूल्य न्यूनतम वर्ग रीति द्वारा परिकलित करें:
(Compute the trend from the following by method of least squares):

Solution:Calculation of Trend Values (Least Square Method)

Least Squares Method in Statistics

Illustration:12.रिजर्व बैंक की स्टर्लिंग सम्पत्तियों के उपनति मूल्य की गणना न्यूनतम वर्ग रीति द्वारा करें:
(Compute the trend of the sterling assets of the ‘Reserve Bank of India’ by the method of least squares)

Solution:Calculation of Trend Values (Least Square Method)

a=\frac{\Sigma Y}{N}=\frac{696}{6}=116 \\ b=\frac{\Sigma XY}{\Sigma X^2}=\frac{395}{17.5}=22.57 \\ Y_c=a+b x=116+22.57 x
Illustration:13.निम्नलिखित काल श्रेणी के समंकों के उपनति मूल्यों का निर्धारण न्यूनतम वर्ग रीति द्वारा कीजिए तथा 2005 की उपार्जनाओं का अनुमान लगावें:
(From the data relating to the following time series determine trend values by least squares method and estimate the earning for 2005):

Solution:Calculation of Trend Values (Least Square Method)

a=\frac{\Sigma Y}{N}=\frac{720}{8}=90 \\ b=\frac{\Sigma XY}{\Sigma X^2}=\frac{53}{42}=1.33 \\ Y_c=a+b x=90+1.33 x
2005 में उपनति मूल्य
=90+1.33 \times 4.5=95.985 \approx 96 Lakhs
Illustration:14.निम्नलिखित समंकों के लिए उपनति सीधी रेखा का निरूपण न्यूनतम वर्ग रीति द्वारा कीजिए तथा 2005 की आय का अनुमान भी लगावें:
(Fit a straight line trend by the method of least square of the following data and estimate the income for 2005):

Solution:Calculation of Trend Values (Least Square Method)

a=\frac{\Sigma Y}{N}=\frac{516}{8}=64.5 \\ b=\frac{\Sigma XY}{\Sigma X^2}=\frac{624}{168}=3.71 \\ y_c=a+b x=64.5+3.71 x
वर्ष 2005 में उपनति मूल्य
=64.5+3.71×9=97.89 Lakhs
Illustration:15.किसी कम्पनी की बिक्री के समंक निम्न प्रकार है।समीकरण Y_c=ab^x का प्रयोग करते हुए वर्ष 2005 की बिक्री का अनुमान बताइए।जहाँ X=उपयुक्त वर्ष से विचलन तथा Y=बिक्री है।

Solution:Calculation of Trend Values

Expontial Trend : y=a b^x \\ \log y =\log a+x \log b \\ \Sigma \log y=\Sigma \log a \\ \Rightarrow \log a =\frac{\Sigma \log y}{N} \\ =\frac{13.7847}{7} \\ =1.969 \\ \Rightarrow \log a \approx 1.97
Similarly \Sigma X \cdot \log y=\log b \cdot \Sigma x^2 \\ \Rightarrow \log b=\frac{\Sigma x \cdot \log y}{\Sigma X^2} \\ =\frac{4.3}{28} \\ \Rightarrow \log b=0.1535 \\ \Rightarrow \log b \approx 0.15

उपर्युक्त उदाहरणों के सांख्यिकी में न्यूनतम वर्ग रीति (Least Squares Method in Statistics),न्यूनतम वर्ग रीति द्वारा उपनति मूल्यों का निर्धारण (Determine Trend Values By Least Squares Method) को समझ सकते हैं।

3.सांख्यिकी में न्यूनतम वर्ग रीति पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on Least Squares Method in Statistics):

Least Squares Method in Statistics

(1.)शक्कर उत्पादित करने वाली एक फैक्ट्री के उत्पादन आँकड़े निम्नलिखित हैं।आप न्यूनतम वर्ग रीति (Method of least squares) द्वारा सरल रेखा उपनति (straight line trend) निश्चित कीजिए।
\begin{array}{|cc|} \hline \text {वर्ष} & \text{ उत्पादन  } \\ & \text{(हजार मनों में)}\\ \hline 1951 & 80 \\ 1952 & 90 \\ 1953 & 92 \\ 1954 & 83 \\ 1955 & 94 \\ 1956 & 99 \\ 1957 & 92 \\ \hline \end{array}
(2.)उपर्युक्त प्रश्न को लघुरीति से कीजिए।
उत्तर (Answers): (1.) Y_c=82+2X
उपनति मूल्य y_c=84,86,88,90,92,94,96 
\Sigma Y_c=630
(2.)Y_c=90+2X
उपनति मूल्य Y_c=84,86,88,90,92,94,96
\Sigma Y_c=630
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सांख्यिकी में न्यूनतम वर्ग रीति (Least Squares Method in Statistics),न्यूनतम वर्ग रीति द्वारा उपनति मूल्यों का निर्धारण (Determine Trend Values By Least Squares Method) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.सांख्यिकी में न्यूनतम वर्ग रीति (Frequently Asked Questions Related to Least Squares Method in Statistics),न्यूनतम वर्ग रीति द्वारा उपनति मूल्यों का निर्धारण (Determine Trend Values By Least Squares Method) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

सांख्यिकी में न्यूनतम वर्ग रीति (Least Squares Method in Statistics) द्वारा काल श्रेणी के
समंकों के उपनति मूल्य निर्धारण करने हेतु कुछ सवालों को हल करेंगे।