ज्यामितीय रूपान्तरणों के लिए एक सीखने की प्रगति का परिचय (Introduction to A learning progression for geometric transformation in Mathematics):

• ज्यामितीय रूपान्तरणों के लिए एक सीखने (A learning progression for geometric transformation in mathematics) के बारे में विस्तृत रूप से बताया गया है। इसे अनुसंधान के आधार पर विकसित किया गया है।
  
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(1.)ज्यामितीय रूपान्तरणों के लिए एक सीखने की प्रगति (A learning progression for geometric transformation in mathematics):

• इस कागज में, ज्यामितीय रूपांतरणों के लिए एक सीखने की प्रगति अनुसंधान के आधार पर विकसित की है कि समतल  के कार्यों के रूप में रूपांतरणों को देखने के महत्व को दर्शाता है । प्रगति के 5 स्तरों कार्यों और कार्यों के रूप में इन परिवर्तनों के डोमेन के अपने विकसित समझ के रूप में रूपांतरणों की एक छात्र के विकसित समझ को प्रतिबिंबित । सीखने की प्रगति यहां विकसित करने के लिए गणित में आम कोर राज्य मानकों (CCSSM) के साथ संरेखण में बनाया गया है, में है कि एक छात्र जो सीखने की प्रगति में एक विशेष स्तर पर रखा जाता है पर आम कोर मानकों में महारत हासिल होगा इसी ग्रेड स्तर । सीखने की प्रगति का वर्णन भी प्रत्येक स्तर है कि प्रगति के उस स्तर को लक्षित करने के लिए इरादा कर रहे हैं नमूना कार्य शामिल हैं.
• एक सीखने की प्रगति “क्रमिक एक विचार है कि यथोचित एक छात्र सीखने में एक दूसरे का अनुसरण कर सकते है के बारे में सोचने के और अधिक जटिल तरीके का एक अनुक्रम है.
• एक प्रमुख अवधारणा, प्रक्रिया, रणनीति, अभ्यास या मन की आदत के लिए परिष्कार के एक छात्र के स्तर में गुणात्मक परिवर्तन का वर्णन । परिवर्तन परिपक्वता और अनुदेश सहित कारकों की एक किस्म के कारण हो सकता है, और प्रत्येक प्रगति के लिए सबसे पकड़ माना जाता है, लेकिन सभी नहीं, छात्रों. सभी वैज्ञानिक अनुसंधान के साथ के रूप में, progressions अनुभवजंय सत्यापन और सैद्धांतिक चुनौती के लिए खुला है ।
• एक सीखने की प्रगति की पहचान करता है जो Clements और सारमा (२००४) कहा जाता है “विकास की प्रगति [s] सोच के स्तर” (p. ८३) । हालांकि संबंधित डोमेन में progressions सीखने के बीच संबंध के अंक हो जाएगा, सीखने के रास्तों का एक नेटवर्क बनाने, यह आम तौर पर सोचा है कि विकास के स्तर सबसे अच्छा व्यक्तिगत सीखने progressions पहचानने से समझ रहे है व्यक्तिगत गणितीय डोमेन (Daro, Mosher, और Corcoran,
  २०११ से संबंधित ।

A learning progression for geometric transformation in Mathematics (conference of writers)

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(2.)सीखने के गणित में progressions गणित शिक्षा और अनुसंधान पर आधारित हैं (Learning progressions in mathematics are based on research in Mathematics) :education):

• सीखने के गणित में progressions गणित शिक्षा और गणित अनुभूति के रूप में के रूप में अच्छी तरह से गणितीय जुटना की मांग में अनुसंधान पर आधारित हैं, इन चिंताओं को संतुलित जब वहां एक संघर्ष है । बदले में, सीखने progressions तो अनुभवजंय अनुसंधान के माध्यम से पुष्टि कर रहे है कि प्रगति में अनुमान स्तर वास्तव में ज्ञान और अधिकांश छात्रों की समझ के राज्यों का प्रतिनिधित्व के रूप में वे अध्ययन और डोमेन गुरु (Conjectured का प्रयास & Maloney, २०१०; ग्राफ और वैन रिजर्न, २०१६) । एक अच्छी तरह से बनाया और सत्यापित सीखने की प्रगति तो शिक्षण और मूल्यांकन को सूचित कर सकते हैं । उदाहरण के लिए, एक प्रारंभिक मूल्यांकन एक सीखने की प्रगति के स्तर को लक्षित मदों की प्रगति में एक छात्र के स्तर के सबूत प्रदान कर सकते हैं । शिक्षक तो इस सबूत का उपयोग करने के लिए आगे और कार्य है कि छात्र के लिए शिक्षा
  अनुकूलित कर सकते हैं ।

A learning progression for geometric transformation in mathematics

• ज्यामितीय रूपांतरणों का महत्व

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(3.)हम ज्यामितीय परिवर्तनों के लिए एक प्रस्तावित अधिगम प्रगति प्रस्तुत करते हैं (we present a proposed learning progression for geometric transformations):

• इस कागज में, हम ज्यामितीय परिवर्तनों के लिए एक प्रस्तावित अधिगम प्रगति प्रस्तुत करते हैं । एक ज्यामितीय रूपांतरण विमान से एक समारोह है, कि, एक समारोह एफ: R2 → R2 है । परिवर्तन है कि ज्यामिति के लिए मौलिक है कठोर गतियों-अनुवाद, प्रतिबिंब, और rotations और इन की रचनाएं-जो दूरी और कोण, dilations, जो विस्तार या अनुबंध (राष्ट्रीय राज्यपालों के साथ एक साथ संरक्षित सर्वोत्तम प्रथाओं के लिए एसोसिएशन केंद्र और मुख्य राज्य स्कूल अधिकारियों की परिषद [NGA/CCSSO], २०१०) । एक अनुवाद सही या छोड़ दिया और ऊपर या नीचे करने के लिए विमान परिवर्तन; उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन f (x, y) = (x + 2, y − 3) प्लेन दो इकाइयों को दाईं ओर और तीन इकाइयों को नीचे शिफ्ट कर देते हैं । प्रतिबिम्ब प्रतिबिंब की रेखा के प्रतिबिंब प्रतिबिम्ब का उत्पादन करता है; उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन f (x, y) = (x, − y) x-अक्ष के बारे में समतल दर्शाता है । एक घूर्णन एक निश्चित कोण (रोटेशन के कोण) के माध्यम से एक निश्चित बिंदु (रोटेशन के केंद्र) के आसपास विमान बदल जाता है । उदाहरण के लिए, फलन f (x, y) = (− y, x) विमान को ९० ° के कोण से उद्गम के बारे में घुमाता है । एक दृढ़ गति अनुवाद, प्रतिबिंब, और rotations के किसी भी अनुक्रम है । अंत में, एक फैलाव फैलता है या अनुबंध एक निश्चित बिंदु के संदर्भ के साथ विमान । उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन f (x, y) = (cx, cy) का विस्तार करता है या कॉंट्रैक्ट । उद्गम के संदर्भ में; विस्फार एक विस्तार है यदि ग झ 0 और यदि ग है तो संकुचन है ।
• इस कागज में हमारा ध्यान उच्च विद्यालय ज्यामिति में कवर के रूप में ज्यामितीय परिवर्तनों पर होगा, हालांकि हम 7 ग्रेड और पहले हमारे सीखने की प्रगति शुरू हो जाएगा । उच्च विद्यालय ज्यामिति पाठ्यक्रम में ज्यामितीय परिवर्तनों के महत्व को कुछ समय के लिए मांयता प्राप्त किया गया है (Daro एट अल., २०११; Hollebrands, २००३; पोर्नोय, ग्रूडमेयर, & Graham, २००६; Yanik और Flores, २००९) ।
  १९७१ में, Kort, अपने डॉक्टरेट थीसिस में, की सूचना दी है कि जो छात्रों के बजाय एक पारंपरिक पाठ्यक्रम के रूपांतरण-आधारित ज्यामिति पाठ्यक्रम लिया बेहतर प्रतिधारण था, 1 वर्ष के बाद, ऐसी अनुरूपता, समानता, और समरूपता के रूप में अवधारणाओं के और है कि वे करने में सक्षम थे स्थानांतरण क्या वे संबंधों और कार्यों के बारे में अंय पाठ्यक्रमों में सीख रहे थे करने के लिए रूपांतरण-आधारित ज्यामिति पाठ्यक्रम में सीखा था (के रूप में Hollebrands, २००३ में उद्धृत) । दो साल बाद, पीटरसन (१९७३) ने देखा कि ज्यामितीय रूपांतरण ज्यामिति के शिक्षण के लिए एक जोड़-तोड़ करने वाला दृष्टिकोण प्रदान करते हैं जिसमें छात्र भौतिक रूप से सामग्री में शामिल हो सकते हैं । जोन्स (२००२) ने देखा कि ट्रांस्फ़ॉर्मेशन का अध्ययन
• छात्रों को सर्वांगसमता और समानता की व्यापक अवधारणाओं को विकसित करने और उन्हें सभी आंकड़ों पर लागू करने की अनुमति देता है…. अध्ययन रूपांतरणों छात्रों को महसूस करने के लिए सक्षम कर सकते है.. । कि सभी परवलय समान है क्योंकि वे एक दूसरे पर मैप किया जा सकता है, कि y के रेखांकन = cos x और y = पाप एक्स अनुकूल हैं, कि matrices शक्तिशाली ज्यामितीय अनुप्रयोगों है, और इतने पर । (प. १३१)
• Hollebrands (२००३, p. ५५) उच्च विद्यालय के पाठ्यक्रम में ज्यामितीय परिवर्तनों को शामिल करने के लिए तीन कारण दिया:
  ज्यामितीय रूपांतरणों महत्वपूर्ण गणितीय अवधारणाओं के बारे में नए तरीके में सोचने के लिए अवसर के साथ छात्रों को प्रदान (उदाहरण के लिए, कार्य जिसका डोमेन और रेंज R2 रहे हैं).
  ज्यामितीय रूपांतरणों छात्रों को एक संदर्भ है जिसके भीतर वे एक परस्पर अनुशासन के रूप में गणित देख सकते है प्रदान करते हैं ।
  ज्यामितीय रूपांतरण छात्रों को विभिन्न प्रकार के अभ्यावेदनों का उपयोग करते हुए उच्च स्तरीय तर्क क्रियाओं
  में संलग्न होने के अवसर प्रदान करते हैं ।

A learning progression for geometric transformation in Mathematics (Howe Public Schools and Piedmont)

• गुवेन (२०१२) ने बताया कि
• रूपांतरण ज्यामिति छात्रों एक अनौपचारिक और सहज ज्ञान युक्त दृष्टिकोण के माध्यम से ज्यामितीय विचारों की जांच करने के लिए प्रोत्साहित करती है [] संवेदनशीलता, अनुमान, परिवर्तन और जिज्ञासा । रूपांतरणों सर्वांगसमता, समरूपता, समानता और parallelism के अमूर्त गणितीय अवधारणाओं के explorations के लिए छात्रों का नेतृत्व कर सकते हैं, समृद्ध छात्रों के ज्यामितीय अनुभव, सोचा और कल्पना; और इस तरह उनकी स्थानिक क्षमता में वृद्धि । (प. ३६६)
• Yanik (२०१४) के अनुसार, छात्रों “पैटर्न की खोज कर सकते हैं, generalizations निर्माण, और स्थानिक दक्षताओं और महत्वपूर्ण सोच विकसित ज्यामितीय परिवर्तनों का अध्ययन के माध्यम से” (p. ३३) ।
• इसके अलावा, ज्यामितीय रूपांतरणों के महत्व को गणित (CCSSM) में आम कोर राज्य के मानकों को गोद लेने के साथ काफी वृद्धि हुई है; CCSSM समरूपता, अनुरूपता की अवधारणाओं को परिभाषित करता है, और ज्यामितीय परिवर्तनों के संदर्भ में समानता (NGA/CCSSO, २०१०) । समरूपता प्रतिबिंब और घुमाव के संदर्भ में परिभाषित किया गया है; दो आंकड़ों के लिए अनुकूल हो परिभाषित कर रहे है अगर एक कठोर गतियों के एक अनुक्रम द्वारा अंय में तब्दील किया जा सकता है (अनुवाद, प्रतिबिंब, और rotations); और दो आंकड़ों के समान होना परिभाषित कर रहे है यदि एक dilations सहित ज्यामितीय परिवर्तनों के एक अनुक्रम द्वारा अंय में तब्दील किया जा सकता है । ज्यामितीय रूपांतरणों के गुण तो प्रमेयों को साबित करने के लिए उपयोग किया जाता है । उदाहरण के लिए, पक्षों की लंबाई और कोणों के उपायों का उपयोग करते हुए परिचित मापदंड (A) यह दिखाने के लिए कि दो त्रिकोण अनुकूल हैं (यानी, आसा, एसएएस, और SSS) का प्रदर्शन करके स्थापित कर रहे हैं कि, hypothesized शर्तों के तहत, वहां के एक अनुक्रम मौजूद है दृढ़ दूसरे में पहली त्रिकोण बदलने की गति । कैसे ज्यामिति CCSSM के अनुसार विकसित किया जा सकता है की एक विस्तृत गणितीय उपचार के लिए, वू (2013a, 2013a) देखें. क्योंकि हम शिक्षा का समर्थन करने के लिए हमारी सीखने की प्रगति चाहते हैं, हमारी प्रगति CCSSM के साथ गठबंधन करने के लिए डिज़ाइन किया गया है ।

(4.)परिवर्तनों और कार्यों की सापेक्ष कठिनाई:

• विभिन्न प्रकार की ज्यामितीय परिवर्तनों के सापेक्ष कठिनाई के विषय में साहित्य में सामान्य समझौता होता है । Schultz और ऑस्टिन (१९८३) ने कहा कि अनुवाद करने के लिए छात्रों के प्रदर्शन के लिए आसान रूपांतरणों लग रहे हो, और प्रतिबिंब आसान कर रहे है जब प्रतिबिंब की लाइन क्षैतिज या ऊर्ध्वाधर है (यानी, समंवय अक्षों में से एक के समांतर) । Turgut, Yenilmez, और Anapa (२०१४) ने पाया कि उनके कॉलेज के वरिष्ठ वर्ष में संभावित गणित शिक्षकों rotations प्रदर्शन कठिनाई जब रोटेशन के केंद्र आंकड़ा के बाहर था और है कि कई बार एक आंकड़ा वे अंय बनाया घूर्णन आकृति में परिवर्तन, जो इसके स्केल या ओरिएंटेशन को प्रभावित करता है । Dilations के लिए और अधिक मुश्किल से छात्रों के लिए दृढ़ गति परिवर्तनों के रूप में माना जाता है (Gülkilika, Uğurlu, और Yürük, २०१५) लगते हैं । गणित के सिद्धांतों और स्कूल गणित (राष्ट्रीय शिक्षक गणित, २०००) के लिए मानकों के शिक्षकों की राष्ट्रीय परिषद के अनुसार, कठोर गति रूपांतरणों अनौपचारिक ग्रेड में शुरू कर रहे है 3 – 5, जबकि dilations नहीं है 6-8 ग्रेड तक अनौपचारिक रूप से पेश किया ।
  Xistouri, पित्त-पैंटाजी, और Gagatsis (२०१४) ज्यामितीय परिवर्तनों को शामिल कार्यों के चार प्रकार की पहचान की, सबसे आसान से (प्रत्येक परिवर्तन के प्रकार के भीतर) मुश्किल से स्थान:
• विकल्पों की सूची में से किसी परिवर्तन की छवि को पहचानें । (निंनलिखित में से कौन है [preimage] के [परिवर्तन]?)
• विकल्पों की सूची में से किए गए परिवर्तन की पहचान करें । (जो निंनलिखित रूपांतरणों की [छवि] को प्राप्त करने के लिए [preimage] पर किया गया था?)
• किसी दिए गए परिवर्तन के पैरामीटर्स की पहचान करें ।
• रूपांतरण की छवि बनाएं ।
• जैसा कि हम देखेंगे, परिवर्तन प्रकार और परिवर्तन प्रकार के भीतर कार्य के प्रकार के सापेक्ष कठिनाई हमारे प्रस्तावित सीखने की प्रगति में उचित स्तर पर कार्य जगह इस्तेमाल किया जा सकता है । इन कार्यों बाद में सीखने की प्रगति को मांय या परिष्कृत करने के लिए एक अनुभवजंय अध्ययन के आधार के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है ।

विमान के कार्यों के रूप में ज्यामितीय परिवर्तनों को समझना

• ज्यामितीय परिवर्तनों के छात्रों की समझ के लिए एक महत्वपूर्ण कुंजी विमान की एक मानचित्रण के रूप में एक परिवर्तन को समझने की है और न ही विमान पर गति (Hollebrands, २००३; Yanik और Flores, २००९) । Hollebrands के अनुसार (२००३), छात्रों को जो समझते है कि एक ज्यामितीय परिवर्तन एक-से————————————————– परिवर्तन के बाहर ले जाने के बिना एक वस्तु पर, परिवर्तन के फिक्स्ड अंक से भ्रमित होने की संभावना कम कर रहे हैं, और बेहतर एक वस्तु के रूप में एक परिवर्तन ही देखने के लिए सक्षम हैं. पोर्नोय एट अल. (२००६) ने ड्यूबिन्स्की की प्रक्रियाओं और वस्तुओं के सिद्धांत (ड्यूबिन्स्की एंड मैकडोनाल्ड, २००१) को संदर्भित किया है, जब छात्रों के रूपांतरण को संक्रियात्मक रूप से देखने के लिए उन्हें संरचनात्मक दृष्टि से देखने का वर्णन करते हुए देखा कि उन्नत स्नातक ट्रांस्फ़ॉर्मेशन की एक ऑब्जेक्ट समझ के बिना छात्रों को और अधिक कठिन कार्य जैसे कि यूक्लिडियन ट्रांस्फ़ॉर्मेशन का सेट एक समूह प्रपत्र साबित करने में असमर्थ थे ।
• प्रक्रिया दृश्य से वस्तु को देखने के लिए इस प्रगति के लिए संबंधित है Sfard (१९९१) तीन चरणों के गणितीय विकास की रूपरेखा: interiorization, संघनन, और reification. Sfard के लिए, interiorization मंच है जिस पर एक प्रक्रिया को देखने से मेल खाती है; उदाहरण के लिए, इस अवस्था में, एक ज्यामितीय रूपांतरण को समतल में गति के रूप में देखा जाता है । संघनन उस अवस्था से मेल खाती है जिस पर एक उच्च स्तर की प्रक्रियाओं को देखने के लिए शुरू होता है; छात्र को विमान में वस्तुओं की एक मानचित्रण के रूप में एक ज्यामितीय रूपांतरण को देखने के लिए शुरू हो सकता है । अंत में, reification जिस पर छात्र एक वस्तु को देखने के लिए शुरू होता है मंच को संदर्भित करता है, विमान से एक समारोह के रूप में एक ज्यामितीय रूपांतरण को देखने के लिए हवाई जहाज़ ।
• कार्यों के रूप में ज्यामितीय परिवर्तनों को समझना छात्रों के लिए पहली बार में मुश्किल हो सकता है क्योंकि इन कार्यों वे पहले अनुभव किया है कार्यों से अलग हैं । छात्रों को अपने बीजगणित वर्गों से अनुभव किया है केवल वास्तविक एक वास्तविक चर के मूल्य कार्य, एफ: आर → आर । इस तरह के एक समारोह अपने ग्राफ से कल्पना की जा सकती है, सभी बिंदुओं का सेट (एक्स, वाई) ∈ R2 संपत्ति के साथ कि y = f (x) । लेकिन एक ज्यामितीय परिवर्तन टी है एक समारोह T: R2 → R2 जो प्रत्येक बिंदु (x, y) ∈ R2 बिंदु T (x, y) ∈ R2 करने के लिए असाइन करता है । इस तरह के एक समारोह का ग्राफ R4 का एक सबसेट है, सभी बिंदुओं का सेट (एक्स, वाई, जेड, डब्ल्यू) संपत्ति के साथ ∈ R4 कि टी (एक्स, वाई) = (जेड, डब्ल्यू) । इस तरह के एक सेट निश्चित रूप से एक ही रास्ता है कि एक असली-मूल्यवान वास्तविक समारोह के ग्राफ कल्पना की जा सकती में कल्पना नहीं की जा सकती है ।
• इसी तरह की लाइनों के साथ, Portnoy एट अल (२००६) ज्यामिति और रैखिक बीजगणित के क्षेत्रों में पाठ्यक्रम मॉड्यूल का एक सेट विकसित की है । मॉड्यूल मदद करने के लिए स्नातक छात्रों ज्यामिति, रेखीय बीजगणित, और अमूर्त बीजगणित के बीच संबंध बनाने के लिए डिजाइन किए गए थे और एक कनिष्ठ स्तर ज्यामिति preservice गणित शिक्षकों के लिए आवश्यक पाठ्यक्रम में पायलट थे । Portnoy एट अल. पाया गया कि अध्ययन में छात्रों के अधिकांश ज्यामितीय परिवर्तनों की एक प्रक्रिया को देखने के बजाय एक वस्तु दृश्य था; एक परिणाम के रूप में, वे कठिनाई-ज्यामितीय प्रमेयों के रूपांतरण-आधारित सबूत लिखने था । Yanik और Flores (२००९) चार शिक्षा छात्रों के अपने अध्ययन में इसी तरह के परिणाम मिले: दो वरिष्ठ स्नातक प्रारंभिक शिक्षा में पढ़ाई और गणित की शिक्षा में एक मास्टर कार्यक्रम में दो छात्रों । Mhlolo और schafer (२०१३) दक्षिण अफ्रीका में 11 वीं कक्षा के कक्षा के अध्ययन से निष्कर्ष निकाला है कि सबसे अधिक ज्यामितीय परिवर्तनों की एक प्रस्ताव विचार था और नहीं एक मानचित्रण विचार ।
• Hollebrands (२००३) ने पाया कि छात्रों के लिए एक महत्वपूर्ण आवश्यकता के लिए मैपिंग के रूप में ज्यामितीय परिवर्तनों को समझने के लिए है उनके लिए रूपांतरण के डोमेन की एक उचित अवधारणा है । उंहोंने पाया कि छात्रों को समझने के तीन स्तरों के माध्यम से आम तौर पर प्रगति:
• डोमेन, प्रेमटेज पर लेबल किए गए पॉइंट्स का सेट है
  डोमेन preimage पर सभी बिंदुओं का सेट है ।
• डोमेन विमान पर सभी बिंदुओं का सेट है ।
• इन स्तरों के पहले और दूसरे एक ज्यामितीय रूपांतरण के दृश्य के रूप में एक वस्तु के लिए एक वस्तु की एक मानचित्रण के रूप में संगत कर रहे हैं, जबकि तीसरे स्तर में छात्रों को विमान की एक मानचित्रण के रूप में एक परिवर्तन देखें ।
• छात्रों को भी एक ज्यामितीय रूपांतरण (Hollebrands, २००३) के मापदंडों की भूमिका को समझना चाहिए । वे क्या पैरामीटर हैं, कैसे पैरामीटर्स चर से अलग समझना चाहिए (भले ही वे भिन्न हो सकते हैं), और कैसे पैरामीटर्स परिवर्तित करने परिवर्तन को प्रभावित करता है । छात्रों को यह भी जानना आवश्यक है कि ज्यामितीय वस्तुओं के गुण विभिन्न प्रकार के ज्यामितीय परिवर्तनों द्वारा संरक्षित हैं । विशेष रूप से, जो छात्र कार्य जिसका डोमेन विमान है के रूप में ज्यामितीय रूपांतरणों समझ में नहीं आता है अक्सर कठिनाई तर्क के बारे में या तय अंक (Hollebrands, २००३) की पहचान है ।
• सारांश में, यह छात्रों के लिए महत्वपूर्ण है देखने के लिए कि परिवर्तनों विमान के कार्य कर रहे हैं । यह केवल उंहें बेहतर रूपांतरणों खुद को समझने के लिए मदद नहीं करेगा (जैसे, एक वस्तु या परिवर्तन के मापदंडों की भूमिका पर एक परिवर्तन की कार्रवाई), लेकिन यह भी मदद मिलेगी उंहें समारोह की अवधारणा की एक बेहतर समझ हासिल करने के लिए . समारोह की अवधारणा की समझ छात्रों के परिवर्तनों को समझने में मदद कर सकते हैं, और परिवर्तनों की एक समझ छात्रों को समारोह की अवधारणा को समझने में मदद कर सकते हैं ।

ज्यामितीय रूपांतरणों के बारे में आम गलतफहमी

• एक सीखने की प्रगति लेखन में, यह आम गलत धारणाओं का नोट करना महत्वपूर्ण है और प्रगति के क्या स्तर इन गलत धारणाओं का संकेत हो सकता है । Yanik (२०१४) ने कहा कि कुछ छात्रों को गलतफहमी है कि परिपत्र के आंकड़े अनुवाद नहीं किया जा सकता है, के रूप में वहां कोई कोनों को “संभालती है के रूप में कार्य कर रहे हैं.” अंय छात्रों को गलतफहमी है कि noncircular आंकड़े घुमाया नहीं जा सकता है क्योंकि रोटेशन आंकड़ा बदलता है (एक वर्ग हीरे के लिए बदल गया है, उदाहरण के लिए) । उन पंक्तियों के साथ, छात्रों का मानना है कि हो सकता है कि इसी तरह (या भी अनुकूल) आंकड़े है कि अलग तरीके से उंमुख (जैसे एक वर्ग और एक हीरे, जो वर्ग घुमाया ४५ ° है) एक ही आंकड़ा (Seago, निकुला, मत्स्सा, और याकूब, २०१२) नहीं कर रहे हैं । हमारे प्रस्तावित सीखने की प्रगति में, हमने प्रत्येक स्तर पर एक अनुभाग को शामिल किया है जो गलत धारणाओं या त्रुटियों को सूचीबद्ध करता है जो संकेत दे सकता है कि एक छात्र को उस स्तर पर रखा जाना चाहिए ।

ज्यामितीय रूपांतरणों के लिए मौजूदा अधिगम Progressions

• साहित्य की हमारी खोज में, हमने ज्यामितीय परिवर्तनों के संबंध में दो मौजूदा अधिगम प्रगति पाई है, जिनमें से कोई हमारी आवश्यकताओं के लिए पूर्णतया पर्याप्त नहीं था ।
• सीखने की प्रगति Xistouri, पित्त-पैंटाजी, और Gagatsis
• Xistouri एट अल. (२०१४) 4, 5 ग्रेड से १६६ छात्रों के प्रदर्शन का अध्ययन किया, और 6 रूपांतरण कार्यों के चार प्रकार के प्रत्येक के आइटम युक्त परीक्षण पर पहले उल्लेख (एक परिवर्तन की छवि पहचान, परिवर्तन की पहचान है कि प्रदर्शन किया, एक दिया परिवर्तन के मापदंडों की पहचान, और एक परिवर्तन की छवि का निर्माण) तीन दृढ़ गति रूपांतरणों में से प्रत्येक के साथ जोड़ा । अनुवाद और प्रतिबिंब के लिए, प्रत्येक कार्य के प्रकार के लिए कम से तीन कार्य थे: एक क्षैतिज गति पर केंद्रित, एक ऊर्ध्वाधर गति पर, और एक विकर्ण गति पर । उनके परिणामों के आधार पर, वे दृढ़ गति रूपांतरणों के बारे में समझ के पांच स्तरों की पहचान की और कार्य प्रकार के प्रत्येक संयोजन और एक स्तर पर परिवर्तन सौंपा । वर्णनकर्ता वे स्तर के लिए प्रदान की हमेशा उपयोगी नहीं हैं, लेकिन स्तरों के लिए अपने लेबल है Hollebrands (२००३) अनुसंधान के साथ गठबंधन कर रहे है और हमारे प्रस्तावित सीखने की प्रगति के लिए एक रूपरेखा प्रदान की ।
• स्तर 1 । समग्र छवि
• इस स्तर पर छात्रों के अनुवाद के एक भोले विचार है; वे “के लिए प्रत्यक्ष गर्भ धारण करने लगते हैं-नीचे और बाएँ-सही आंकड़ा के भीतर, कि असली दुनिया में मौजूद है, लेकिन समझ के बिना [या तो] परिवर्तन के गुण [या] ज्यामितीय आंकड़े का प्रतिनिधित्व किया” (p. १५७). छात्रों को अलग वस्तुओं के रूप में आकार की कल्पना नहीं है लेकिन पूरी छवि के भाग के रूप में ।
• स्तर 2 । किसी वस्तु की गति
• इस स्तर पर छात्रों को एक ज्यामितीय परिवर्तन (अनुवाद, रोटेशन, प्रतिबिंब, और dilations) अपनी छवि स्थान पर अपने preimage स्थान से एक वस्तु की गति के रूप में कल्पना करने में सक्षम हैं । छात्र ऑब्जेक्ट को अंतर्निहित समतल से अलग करते हैं ।
• स्तर 3 । किसी वस्तु का मानचित्रण
• इस स्तर पर, छात्रों छवि वस्तु के लिए preimage वस्तु से एक मानचित्रण के रूप में एक ज्यामितीय रूपांतरण देखने के लिए शुरुआत कर रहे हैं । वे लेबल वाले कोने के सेट के रूप में मानचित्रण के डोमेन के बारे में सोच हो सकता है (एक ‘ के लिए एक नक्शे ′, बी के लिए नक्शे b ′, आदि) । वे परिवर्तनों के गुणों के बारे में सोचना शुरू, और वे सरल स्थितियों में इन गुणों का उपयोग करने के लिए परिवर्तनों की छवियों का निर्माण कर सकते हैं ।
  स्तर 4 । विमान का मानचित्रण
• इस स्तर पर छात्रों को समझते है कि एक ज्यामितीय परिवर्तन एक-से-एक के लिए खुद पर विमान से मानचित्रण है ।
• स्तर 5 । विमान का स्व-विनियमित मानचित्रण
• यह स्पष्ट नहीं है क्या Xistouri एट अल (२०१४) इस लेबल से मतलब है । इस स्तर पर छात्रों को ज्यामितीय परिवर्तनों के साथ एक अधिक से अधिक सुविधा है और लगता है “जोड़ तोड़ और नियंत्रित करने में कुछ लचीलापन है [उनके] मानसिक छवियां और flexibly दृश्य और दृश्य रणनीतियों के figural इकाइयों के बीच बदल सकते है” (p. १५९) ।
• उनके परिणामों के आधार पर, Xistouri एट अल (२०१४) कार्य प्रकार और उनके अध्ययन में परिवर्तन के प्रत्येक संयोजन सौंपा उनके सीखने की प्रगति में एक स्तर पर (देखें तालिका 1) । उनके काम Schultz और ऑस्टिन (१९८३) के साथ संगत है अवलोकन है कि अनुवाद छात्रों को समझने के लिए परिवर्तनों का सबसे आसान कर रहे हैं, प्रतिबिंब के साथ और अधिक कठिन किया जा रहा rotations । यह भी पता चलता है कि छात्रों के स्तर के माध्यम से विभिंन परिवर्तनों के लिए एक अलग गति से आगे बढ़ सकते हैं: एक छात्र के एक स्तर पर अनुवाद के 3 समझ लेकिन केवल प्रतिबिंब या रोटेशन के एक स्तर 1 समझ हो सकता है । इस विचार पर आगे अनुसंधान के साथ कार्रवाई की जरूरत है ।

(i)तालिका 1. कार्य और परिवर्तन प्रकार के स्तर के द्वारा Xistouri एट अल. (एन. एन.) सीखना प्रगति

• कार्य और रूपांतरण प्रकार का अनुवाद करें घुमाएँ प्रतिबिंबित
• रूपांतरण स्तर 1 स्तर 3 स्तर 3 की छवि को पहचानें
• स्तर 2 स्तर 3 स्तर 3 किया गया था जो परिवर्तन पहचानें
• किसी दिए गए रूपांतरण स्तर 3 स्तर 4 स्तर 4 के मापदंडों की पहचान
• किसी रूपांतरण स्तर 3 स्तर 5 स्तर 5 के अंतर्गत छवि का निर्माण
• नोट. “प्राथमिक स्कूल के छात्रों की संरचना और क्षमता के स्तर से रूपांतरित ज्यामिति में अनुकूलित” X. Xistouri, डी. पित्त-पैंताजी, और ए Gagatsis, २०१४, Revista Latinoamericana de जांच Acion एन Matematica शैक्षिक, 17 (4), 149-164. कॉपीराइट २०१४ द्वारा ReLime ।
• हालांकि Xistouri एट अल के अनुसंधान (२०१४) प्राथमिक छात्रों पर ध्यान केंद्रित किया गया था, उनकी प्रगति के स्तर पर है Hollebrands (२००३) उच्च विद्यालय ज्यामिति के छात्रों के परिवर्तनों के बारे में अनुसंधान, विशेष रूप से स्तर 4 के साथ संगत कर रहे है विमान की मैपिंग के रूप में रूपांतरणों की समझ । इन स्तरों हमारे सीखने की प्रगति के लिए ढांचे की स्थापना में उपयोगी थे ।
• जल्द ही सीखने की प्रगति
• जल्द ही (१९८९) ज्यामितीय रूपांतरणों के लिए एक कुछ अलग सीखने की प्रगति, दीन और पियरे वैन Hiele द्वारा 1950 के दशक में विकसित सामांय में ज्यामिति के लिए एक सीखने की प्रगति के आधार पर विकसित की है । वेन Hiele मॉडल, के रूप में Guven (२०१२) द्वारा सारांशित, तालिका 2 में दिखाया गया है ।

(ii)तालिका 2 । ज्यामिति के लिए वैन Hiele लर्निंग प्रगति

• स्तर अवस्था परिभाषा
• स्तर 1 मांयता छात्र अपने वैश्विक रूप से ज्यामितीय आंकड़े पहचानता है, आंकड़ों के नाम की पहचान करता है, लेकिन स्पष्ट रूप से उनके गुणों की पहचान नहीं है ।
• स्तर 2 विश्लेषण छात्र अपने घटकों और संपत्तियों के संदर्भ में आंकड़े, संपत्ति और आकार के अनुभवकीय एक वर्ग के नियमों का पता चलता है, लेकिन स्पष्ट रूप से interrelate आंकड़े या गुण नहीं है ।
• स्तर 3 Predeductive छात्र तार्किक रूप से पहले खोजे गए गुणों और नियमों को अनौपचारिक तर्कों को देकर या उनका अनुसरण करके आपस में संबद्ध करते हैं ।
• स्तर 4 निगमनात्मक छात्र प्रमेय deductive साबित होता है, बयानों के दृश्यों का विकास करने के लिए एक और से एक बयान परिणाम निकालना, लेकिन अभी तक कठोरता के लिए की जरूरत नहीं पहचानता ।
• स्तर 5 कठोरता छात्र अलग स्वयंसिद्ध प्रणालियों और विश्लेषण में प्रमेय स्थापित करता है और इन प्रणालियों की तुलना.
• नोट. से अनुकूलित “गतिशील ज्यामिति सॉफ्टवेयर का उपयोग करने में सुधार के आठवें ग्रेड के छात्रों को परिवर्तन ज्यामिति की समझ,” बी Guyven द्वारा, २०१२, ऑस्ट्रलएशियाई शैक्षिक प्रौद्योगिकी के जर्नल, 28 (2), p. ३७० । ऑस्ट्रिया के शैक्षिक प्रौद्योगिकी के ऑस्ट्रेलियाई जर्नल द्वारा २०१२ कॉपीराइट ।

(iii)तालिका 3, guven (२०१२, पीपी. 370-371) में तालिका 3 से अनुकूलित, 

• जल्दी (१९८९) प्रगति के विभिंन स्तरों के वर्णनकर्ता दिया । यह स्पष्ट है कि भले ही दोनों सीखने progressions पांच स्तरों है लगता है, जल्द ही प्रगति में स्तर Xistouri एट अल में एक ही स्तर से अधिक उंनत कर रहे है (२०१४) प्रगति । विशेष रूप से, जल्द ही प्रगति के स्तर 1 Xistouri एट अल. प्रगति के स्तर 2 से मेल खाती है, और जल्द ही प्रगति के स्तर 2 को Xistouri एट अल. प्रगति के स्तर 3 के अनुरूप लगता है, हालांकि जल्द ही स्तर 2 डिस्क्रिप्टर “परिवर्तनों से संबंधित है निर्देशांक का उपयोग “Xistouri एट अल के करीब होने लगता है.. । जल्दी के स्तर के कुछ 3 वर्णनकर्ता (जैसे, “सरल परिवर्तनों की संरचना करता है”) Xistouri एट अल के अनुरूप है 4 स्तर, जबकि अंय जल्द ही स्तर 3 वर्णनकर्ता (जैसे, “का प्रतिनिधित्व करता है रूपांतरणों निर्देशांक और matrices का उपयोग कर)” के अनुरूप Xistouri एट अल. स्तर 5 । जल्द ही स्तर 4 स्पष्ट रूप से उच्च विद्यालय है, जबकि स्तर 5 पोस्ट उच्च विद्यालय है ।
  तालिका 3. रूपांतरणों के लिए जल्द ही सीखने की प्रगति के स्तर
• स्तर विशेषताएं: छात्र.. ।
• स्तर 1
• आंकड़ों और छवियों के सरल चित्र में और रोजमर्रा के अनुप्रयोगों के चित्रों में आंकड़ा में परिवर्तन के द्वारा रूपांतरणों की पहचान करता है ।
• वास्तविक गति निष्पादित करके रूपांतरणों की पहचान करता है ।
• मानक और अमानक नामों और लेबल्स का उचित उपयोग करके नाम या लेबल ट्रांस्फ़ॉर्मेशन ।
• परिवर्तनों के गुणों का उपयोग करने के बजाय संख्याओं या गति के परिवर्तनों पर प्रचालन द्वारा समस्याओं को हल करता है ।
• स्तर 2
• किसी दिए गए परिवर्तन की पूर्वछवि या छवि आरेखित करने के लिए परिवर्तनों के गुणों का उपयोग करता है ।
• किसी विशिष्ट परिवर्तक के परिणामस्वरूप होने वाले परिवर्तनों के गुणों का पता चलता है ।
• रूपांतरणों के गुणों के लिए उपयुक्त शब्दावली का उपयोग करता है ।
• प्रतिबिंब की धुरी का पता लगाने में सक्षम है, रोटेशन के केंद्र, अनुवाद वेक्टर, और इज़ाफ़ा के केंद्र ।
• निर्देशांक का उपयोग कर रूपांतरणों से संबंधित है.
• परिवर्तनों के ज्ञात गुणों का उपयोग कर समस्याओं को हल करती है ।
• स्तर 3
• सरल रूपांतरणों की संरचना करता है ।
• संयुक्त रूपांतरणों के बाद राज्यों (पूर्वछवि, छवि) में परिवर्तन का वर्णन करता है ।
• निर्देशांक और matrices का उपयोग कर रूपांतरणों का प्रतिनिधित्व करता है.
• रूपांतरण से उत्पंन होने वाले किसी चित्र में परिवर्तनों के गुणों को परस्पर संबद्ध करता है ।
• प्रारंभिक और अंतिम राज्यों को देखते हुए, एक परिवर्तन नाम कर सकते हैं ।
• प्रारंभिक और अंतिम राज्यों को देखते हुए, सरल परिवर्तनों की संरचना के रूप में किसी परिवर्तन को विघटित और पुनः संयोजित कर सकते हैं ।
• स्तर 4
• रूपांतरणों का उपयोग कर ज्यामितीय सबूत देता है ।
• निर्देशांक और matrices का उपयोग कर सबूत देता है.
• स्तर 5
• रूपांतरण की रचनाओं के संदर्भ में साहचर्य और संक्रमकता और पहचान और व्युत्क्रम परिवर्तन की धारणाओं को समझता है ।
• रूपांतरणों के समूहों की पहचान करता है और साबित होता है या यह है कि रूपांतरणों के सेट समूह संरचनाओं फार्म ।
• नोट. से अनुकूलित “गतिशील ज्यामिति सॉफ्टवेयर का उपयोग करने में सुधार के आठवें ग्रेड के छात्रों को परिवर्तन ज्यामिति की समझ,” बी Guyven द्वारा, २०१२, ऑस्ट्रलएशियाई शैक्षिक प्रौद्योगिकी के जर्नल, 28 (2), तालिका 3, p. ३७०, ३७१ । ऑस्ट्रिया के शैक्षिक प्रौद्योगिकी के ऑस्ट्रेलियाई जर्नल द्वारा २०१२ कॉपीराइट ।
• बहरहाल, जल्द ही (१९८९) प्रगति में वर्णनकर्ता के कुछ हमारे अपने प्रस्तावित प्रगति में वर्णनकर्ता प्रभावित किया है । उदाहरण के लिए, जल्द ही स्तर 2 डिस्क्रिप्टर “संबंधित रूपांतरणों का उपयोग निर्देशांक” हमारे स्तर 4 डिस्क्रिप्टर से मेल खाती है “छात्रों को शामिल समीकरणों से एक ज्यामितीय परिवर्तन का प्रतिनिधित्व कर सकते है निर्देशांक,” और जल्द ही स्तर 4 डिस्क्रिप्टर “देता है ज्यामितीय सबूत रूपांतरणों का उपयोग “हमारे स्तर 4 डिस्क्रिप्टर से मेल खाती है” छात्रों ज्यामितीय परिवर्तनों का उपयोग करने के लिए हमेशा की तरह सर्वांग और समानता त्रिकोण के बारे में प्रमेयों साबित कर सकते हैं. “

सामान्य कोर राज्य मानकों में अंतर्निहित अधिगम प्रगति

• वहां भी है एक सीखने की प्रगति आम कोर राज्य के मानकों में निहित । लेखकों के अनुसार, मानकों पर आधारित है “अनुसंधान आधारित अधिगम progressions का ब्यौरा क्या आज के बारे में जाना जाता है कैसे छात्र के गणितीय ज्ञान, कौशल, और समझ समय के साथ विकसित” (NGA/CCSSO, २०१०. p .4), हालांकि CCSSM नहीं विशिष्ट अधिगम progressions का उल्लेख । लेकिन ग्रेड के माध्यम से 7 के लिए मानक विचार है कि बाद में ज्यामितीय परिवर्तनों, सर्वांगसमता, और समानता के विचारों के आसपास एक साथ जुड़ जाएगा करने के लिए एक सावधान और क्रमिक परिचय प्रदान करते हैं । उदाहरण के लिए, किंडरगार्टन में, छात्रों को यह पहचानने के लिए कहा जाता है कि कोई आकृति जिसे घुमाया गया है, अभी भी वही आकृति है । ग्रेड 1 से 3 ग्रेड तक विस्तार मानकों के एक क्लस्टर हकदार “आकार और उनकी विशेषताओं के साथ कारण है.” ये मानक छात्रों को आकृतियों की विशेषताओं की पहचान करने और आकृतियों को अंय आकृतियों के रूप में संयोजित करने के लिए कहते हैं । इन गतिविधियों के पहले आकार है कि ज्यामितीय परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय है के गुणों के बाद एक चर्चा के लिए रास्ता तैयार करता है, और दूसरी बार शामिल होगा, स्पष्टतः, अनुवाद और rotations से पहले आकार संयुक्त किया जा सकता है । 4 ग्रेड में, छात्रों को समरूपता की एक पंक्ति को पहचानने के लिए कहा जाता है, स्पष्ट रूप से प्रतिबिंब की चर्चा के लिए जिस तरह की तैयारी । 6 ग्रेड में, छात्रों के समंवय विमान में बहुभुज आकर्षित, 7 ग्रेड है कि पैमाने पर चित्र है, जो बारी में 8 ग्रेड में dilations की चर्चा के लिए रास्ता तैयार शामिल में कार्य के लिए रास्ता तैयार ।
• 8 ग्रेड में, छात्रों के परिवर्तनों की एक अनौपचारिक समझ है, कम से कम Xistouri एट अल है. (२०१४) स्तर 2, हवाई जहाज़ पर एक आंकड़ा की गति के रूप में एक परिवर्तन देखने । छात्रों को भी समझ है कि दो आंकड़े अनुकूल है अगर एक कठोर गति परिवर्तनों के एक अनुक्रम द्वारा दूसरे के लिए ले जाया जा सकता है, और दो आंकड़े समान है अगर एक कठोर गति रूपांतरणों और dilations के एक अनुक्रम से दूसरे के लिए ले जाया जा सकता है । अंत में, उच्च विद्यालय में, छात्रों के विमान के कार्यों के रूप में परिवर्तनों को समझते हैं और अनुवाद, प्रतिबिंब, घुमाव, और dilations की सटीक परिभाषा देने में सक्षम हैं. छात्रों के परिवर्तनों की रचनाएं समझते हैं, और वे समझते है कि दो आंकड़े समान है यदि एक रूपांतरण के एक संयोजन के द्वारा दूसरे के लिए मैप किया जाता है और दो आंकड़े अनुकूल है अगर एक कठोर गति की एक संरचना द्वारा दूसरे के लिए मैप किया जाता है परिवर्तनों. छात्रों को इन परिभाषाओं का उपयोग करने के लिए अनुरूपता और समानता के बारे में प्रमेयों साबित कर रहे हैं ।
• क्योंकि हम ccssm के साथ हमारे प्रस्तावित सीखने की प्रगति गठबंधन किया है, हमारी प्रगति में वर्णनकर्ता के कई आम कोर मानकों से अनुकूलित कर रहे हैं ।
• समारोह की अवधारणा के लिए एक सीखने की प्रगति
• क्योंकि छात्रों को अंततः कार्य के रूप में ज्यामितीय परिवर्तनों को देखने चाहिए, हम भी Graf एट अल द्वारा विकसित समारोह की अवधारणा के लिए सीखने की प्रगति पर देखा (२०१८) । यह सीखने की प्रगति छह स्तर है, जिनमें से पहले पांच हमारे लिए ब्याज की यहां है (छठी समझ के एक पेशेवर गणितज्ञ स्तर का प्रतिनिधित्व करता है) ।
• स्तर 1 । मात्रा प्रत्यक्षण
• इस स्तर पर छात्रों को अभी तक समारोह की औपचारिक धारणा के लिए शुरू नहीं किया गया है, लेकिन वे एक आयाम में पैटर्न के एक सहज ज्ञान युक्त समझ है, पुनरावर्ती नियमों (उदाहरण के लिए, 3 जोड़ने रखने के लिए), और आनुपातिक तर्क.
• स्तर 2 । सूत्र के रूप में फ़ंक्शन
• इस स्तर पर छात्रों के कार्यों का एक प्रक्रिया दृश्य है, एक कंप्यूटेशनल फार्मूला के रूप में एक समारोह देखने । वे अलग कंप्यूटेशनल नियम है कि एक ही समारोह या एक ही समारोह के विभिंन प्रतिनिधित्व उपज के बीच कड़ी समझ में नहीं हो सकता है ।
• स्तर 3 । नियम के रूप में फ़ंक्शन
• इस स्तर पर, छात्रों को CCSSM में परिभाषित के रूप में एक समारोह के बारे में सोचना शुरू कर रहे हैं: “एक समारोह एक नियम है कि प्रत्येक इनपुट वास्तव में एक उत्पादन के लिए असाइन करता है” (NGA/CCSSO, २०१०, p. ५५), समझ है कि एक नियम एक सूत्र द्वारा दिए जाने की जरूरत नहीं है । छात्रों को समझते है कि अलग लेकिन समकक्ष अभ्यावेदन एक ही समारोह के अनुरूप हैं ।
• स्तर 4 । पूर्ण सहचर संबंध
• इस स्तर पर, छात्रों के रूप में कार्यों को समझने की मात्रा के बीच एक निर्भरता संबंध “(Graf एट अल., २०१८, p. ६४) । वे करने के लिए आदानों के सेट के रूप में डोमेन और सीमा को समझते हैं, और से outputs, एक समारोह, और वे कार्यों के गुणों पर ध्यान दे रहे हैं.
• स्तर 5 । वस्तु बोध
• इस स्तर पर छात्रों को एक समारोह के एक वस्तु दृश्य है । छात्रों समारोह संकेतन का उपयोग करें और कार्यों के वैश्विक गुणों के रूप में के रूप में अच्छी तरह से स्थानीय संपत्तियों पर ध्यान दे सकते हैं ।
• हालांकि इस सीखने की प्रगति के कुछ पहलुओं ज्यामितीय परिवर्तनों के लिए लागू नहीं कर रहे हैं (जैसे, कार्यों के लिए covariational दृष्टिकोण), अन्य पहलुओं हमारे सीखने प्रगति बनाने में उपयोगी थे. विशेष रूप से, हम स्तर 5 के रूप में हमारी प्रगति के स्तर 5 के रूप में अनुकूलित है, जिसमें छात्रों के परिवर्तनों के एक वस्तु दृश्य को प्राप्त (APOS के अर्थ में theory1
• ) और कार्य विश्व स्तर पर देखने के लिए शुरू करते हैं ।
• आम कोर के साथ गठबंधन ज्यामितीय रूपांतरणों के लिए एक सीखने की प्रगति
• हमारे सीखने की प्रगति के लेखन में, हम Xistouri एट अल की बुनियादी संरचना के साथ शुरू हुआ (२०१४) प्रगति, जल्द ही (१९८९) प्रगति और साहित्य से कुछ आम गलतफहमी से वर्णनकर्ता के कुछ जोड़ा, और में प्रगति लाया CCSSM और Graf एट अल (२०१८) समारोह सीखने की प्रगति की अवधारणा के साथ संरेखण । हम यह भी है कि उस स्तर की विशेषता है कि सोच के सबूत प्रदान कर सकते है कार्यों के प्रकार के प्रत्येक स्तर के नमूनों में शामिल थे । हमारे सीखने की प्रगति के पाँच स्तर हैं; तालिका 4 देखें । ETS शैली को ध्यान में रखते हुए, तालिका स्तर 5 से शुरू होकर स्तर 1 तक नीचे जाती है । 4 तालिका भी इंगित करता है कि कैसे हमारे सीखने की प्रगति के स्तर CCSSM के साथ संरेखित है और, जहां उपयुक्त हो, कैसे विशिष्ट कार्य CCSSM में विशिष्ट मानकों के साथ संरेखित करें । कुछ मामलों में, काम का एक उद्धरण है, या से एक उद्धरण, प्रासंगिक मानक । जब यह मामला है, विशिष्ट मानक के लिए एक संदर्भ प्रदान की जाती है ।

(iv)तालिका 4. ज्यामितीय रूपांतरणों के लिए सीखना प्रगति

• स्तर क्या छात्रों को इस स्तर के लिए उपयुक्त भ्रांतियां कार्य कर सकते है
• स्तर 5:
• किसी परिवर्तन का ऑब्जेक्ट दृश्य
• उंनत या पोस्ट
• हाई स्कूल
• इस स्तर पर छात्रों के परिवर्तनों के साथ एक अच्छी तकनीकी सुविधा है और विमान के कार्य के रूप में परिवर्तनों को समझते हैं ।
• छात्रों को एक मैट्रिक्स आपरेशन के रूप में एक ज्यामितीय रूपांतरण का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं; उदाहरण के लिए, मूल के बारे में ९० ° वामावर्त का घुमाव मैट्रिक्स ऑपरेशन f (X) = AX के लिए संगत है जहां
• .
• हालांकि छात्रों के परिवर्तनों के एक वस्तु को देखने के लिए होगा, APOS सिद्धांत के अर्थ में, वे इस तरह के एक समूह की अवधारणा के रूप में अमूर्त बीजगणित, से अवधारणाओं से परिचित नहीं होगा. वे एक समूह के तत्वों के रूप में रूपांतरणों को देखने का अनुभव नहीं होगा, और न ही वे साबित करने के लिए या कि रूपांतरणों के सेट को असत्य साबित करने में सक्षम हो जाएगा समूह प्रपत्र ।
• एक मैट्रिक्स आपरेशन के रूप में एक ज्यामितीय रूपांतरण का प्रतिनिधित्व करते हैं; उदाहरण के लिए, मूल के बारे में ९० ° वामावर्त का घुमाव मैट्रिक्स ऑपरेशन f (X) = AX के लिए संगत है जहां
  सरल रूपांतरणों की एक संरचना के रूप में एक परिवर्तन एक्सप्रेस और एक मैट्रिक्स आपरेशन जहां मैट्रिक्स सरल रूपांतरणों के साथ जुड़े matrices के उत्पाद है के रूप में रचित रूपांतरण व्यक्त करते हैं । उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स के लिए बिंदु (1, 2) के बारे में एक रोटेशन के अनुवाद के साथ मूल के बारे में एक रोटेशन की एक संरचना के रूप में व्यक्त द्वारा रोटेशन के लिए निर्धारित करते हैं ।
• स्तर 4:
• विमान का मानचित्रण
• हाई स्कूल
• छात्रों को विमान से विमान से कार्यों के रूप में अनुवाद, प्रतिबिंब, rotations, और dilations की सटीक परिभाषा समझ ।
• छात्रों को एक दिया परिवर्तन के मापदंडों की पहचान करने में सक्षम होना चाहिए (जैसे, प्रतिबिंब की धुरी, रोटेशन के डिग्री की संख्या, और फैलाव लगातार).
• छात्रों को ज्यामितीय परिवर्तनों का उपयोग करने के लिए हमेशा की तरह सर्वांगसमता और समानता प्रमेयों के बारे में साबित कर सकते हैं, SAS, आसा सहित त्रिकोण के सर्वांगसमता के लिए और एसएसएस मापदंड और त्रिकोण की समानता के लिए ए. ए. कसौटी ।
• छात्रों के समीकरणों को शामिल करके एक ज्यामितीय रूपांतरण का प्रतिनिधित्व कर सकते है निर्देशांक ।
• छात्रों को रूपांतरणों और matrices के बीच संबंध समझ में नहीं हो सकता है ।
• किसी दिए गए परिवर्तन के पैरामीटर्स की पहचान करें ।
• एक ज्यामितीय आंकड़ा और एक परिवर्तन को देखते हुए, परिवर्तन के तहत आंकड़ा की छवि आकर्षित । (G-CO-5)
• ट्रांस्फ़ॉर्मेशन के ज्यामितीय विवरणों का उपयोग किसी दिए गए चित्र पर दिए गए परिवर्तन के प्रभाव का पूर्वानुमान लगाने के लिए करें । (G-CO-6)
• निर्देशांक के संदर्भ में एक समारोह एफ: R2 → R2 के रूप में एक परिवर्तन की पहचान: f (x, y) =… । (G-CO-2)
• स्तर 3:
• किसी वस्तु का मानचित्रण
• हाई स्कूल के लिए संक्रमण
• छात्रों को एक आकार से दूसरे करने के लिए एक मानचित्रण के रूप में एक ज्यामितीय रूपांतरण देखने के लिए शुरू करते हैं ।
• इस स्तर पर छात्रों को ज्यामितीय परिवर्तनों की एक मजबूत समझ के साथ ग्रेड 8 छात्रों हो सकता है, या वे उच्च विद्यालय के छात्रों को जो अभी भी खुद पर विमान से एक समारोह के रूप में एक ज्यामितीय रूपांतरण की धारणा के साथ जूझ रहे हो सकता है । वैकल्पिक रूप से, कुछ छात्रों को इस स्तर पर पूरी तरह से छोड़ सकते है और 2 स्तर से सीधे स्तर 4 को प्रगति ।
• छात्रों को लगता है कि हो सकता है कि परिवर्तन के डोमेन आकार पर लेबल अंक के बजाय पूरे आकार (या पूरे विमान) का सेट है ।
• छात्र परिवर्तन के मापदंडों की भूमिकाओं को गलत समझ सकते हैं ।
• छात्रों को वास्तव में परिवर्तन के बाहर ले जाने के बिना एक वस्तु पर एक परिवर्तन की कार्रवाई का पूर्वानुमान करने में सक्षम नहीं हो सकता है ।
• स्टूडेंट्स को किसी बदलाव के तय अंक से उलझन हो सकती है ।
• छात्रों को एक परिवर्तन की प्रक्रिया को देखने के बजाय एक वस्तु दृश्य हो सकता है ।
• विकल्पों की सूची में से किसी परिवर्तन की छवि को पहचानें । (निंनलिखित में से कौन है [preimage] के [परिवर्तन]?)
• विकल्पों की सूची में से किए गए परिवर्तन की पहचान करें । (जो निंनलिखित रूपांतरणों की [छवि] को प्राप्त करने के लिए [preimage] पर किया गया था?)
• स्तर 2:
• किसी वस्तु की गति
• ग्रेड 8
• दृढ़ गति और सर्वांगसमता:
• छात्रों के अनुवाद, प्रतिबिंब की एक सहज ज्ञान युक्त समझ है, और ज्यामितीय परिवर्तनों के रूप में rotations कि एक और स्थान पर विमान के शीर्ष पर एक आकार ले ।
• छात्रों को आकार है कि कठोर गति से संरक्षित कर रहे है के गुणों के एक सहज ज्ञान युक्त समझ है ।
• छात्रों को कठोर गति के एक अनुक्रम प्रदर्शन कर सकते हैं ।
• छात्रों को समझते है कि दो आंकड़े अनुकूल है अगर एक कठोर गति के एक अनुक्रम द्वारा अंय के लिए ले जाया जा सकता है ।
• इस स्तर पर छात्रों को विमान से विमान में या विमान के एक सबसेट से हवाई जहाज़ के एक समारोह के रूप में नहीं है और हवाई जहाज पर एक आकार की गति के रूप में एक परिवर्तन के बारे में सोच सकते हैं ।
• उन आकृतियों के गुणों को पहचानें जिंहें दृढ़ गतियों द्वारा रक्षित किया गया है । (8. G .1)
• दो अनुकूल आकृतियों को देखते हुए, कठोर गतियों के अनुक्रम का वर्णन करें जो एक आकृति को दूसरे में ले जाता है । (8. G 2)
• निर्देशांक का उपयोग कर एक आकार में लेबल अंक पर एक ज्यामितीय रूपांतरण के प्रभाव का वर्णन. (8. G .3)
• दो समान आकृतियों को देखते हुए, ज्यामितीय परिवर्तनों के अनुक्रम का वर्णन करें जो एक आकृति को दूसरे में ले जाते हैं । (8. G .4)
• प्रमेयों के अनौपचारिक सबूत दें । (8. G .5)
• Dilations और समानता:
• छात्रों को विस्तारा की सहज समझ है ।
• छात्रों को समझते है कि दो आंकड़े समान है अगर एक अंय को ज्यामितीय परिवर्तनों के एक अनुक्रम द्वारा कठोर गति और dilations सहित ले जाया जा सकता है ।
• मूल प्रमेयों के सबूत:
• छात्रों को एक अनौपचारिक सबूत देने के लिए सक्षम होना चाहिए, परिवर्तनों के आधार पर, समान त्रिकोण के लिए कोण-कोण कसौटी (एए).
• छात्रों के लिए ए. ए. का उपयोग करने के लिए साबित होता है कि एक nonvertical लाइन की ढलान के लिए यह गणना करने के लिए इस्तेमाल किया अंक के विकल्प पर निर्भर नहीं करता है सक्षम होना चाहिए ।
• छात्रों के लिए ए. ए. का उपयोग करने के लिए साबित करना चाहिए कि एक त्रिकोण के कोणों का योग १८० ° बराबर है ।
• छात्रों को ए. ए. का उपयोग करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय साबित करने में सक्षम होना चाहिए ।
• स्तर 1:
• सहज ज्ञान युक्त समझ
• ग्रेड 7
  इस स्तर पर छात्रों को कुछ विमान भर में आकार चलती अनुभव था, स्पष्टतः अनुवाद और घुमाव लागू लेकिन परिवर्तन की धारणा formalizing के बिना ।
• छात्रों आकृतियों है कि संरक्षित कर रहे हैं जब आकार समतल में स्थानांतरित कर रहे हैं के गुणों की एक सहज ज्ञान युक्त समझ है, समरूपता की लाइनों सहित.
• छात्रों को कुछ आंकड़ों के पैमाने चित्र उत्पादन अनुभव पड़ा है ।
• इस स्तर पर छात्रों को अभी तक ज्यामितीय परिवर्तनों की औपचारिक समझ नहीं है ।
• छात्रों को कुछ आम गलतफहमी, जैसे कि विश्वास है कि एक वस्तु का अभिविंयास एक संपत्ति है कि एक आकार अलग है प्रदर्शन कर सकते हैं; उदाहरण के लिए, ऐसे छात्रों को लगता है कि एक हीरे एक वर्ग नहीं है, भले ही एक हीरे सिर्फ एक वर्ग है कि ४५ ° घुमाया गया है हो सकता है ।
• दूसरी ओर, छात्रों का मानना है कि हो सकता है कि एक वृत्त घुमाया नहीं जा सकता है क्योंकि यह अपरिवर्तित प्रतीत होता है जब घुमाया ।
• पैमाने के लिए तैयार कर रहे हैं कि वास्तविक परिधि और आकार के क्षेत्र (जैसे, त्रिकोण, आयत) की गणना. (7. G .1)
• किसी स्केल आरेखण को भिंन स्केल पर पुन: उत्पंन करना । (7. G .1)
• ड्रा (या आकर्षित करने का प्रयास) दिए गए पक्ष लंबाई या कोण उपायों के साथ त्रिकोण. इंगित करें कि दी गई लंबाई या उपाय एक अनंय त्रिभुज, एक से अधिक त्रिभुज, या कोई त्रिभुज निर्धारित करते हैं । (7. G .2)
• अंक के बारे में अंय जानकारी दी, एक आंकड़ा में एक कोण के अज्ञात उपाय के लिए पूछना है कि समस्याओं का समाधान । (7. G .5)
• उपर्युक्त आर्टिकल में ज्यामितीय रूपान्तरणों के लिए एक सीखने की प्रगति (A learning progression for geometric transformation in Mathematics ) के बारे में बताया गया है।