1.ग्रहों की गति के लिए केप्लर के नियम (Laws of Kepler for Planetary Motion),ग्रहों की गति के लिए केप्लर के नियम हिन्दी में (Laws of Kepler for Planetary Motion in hindi):

Laws of Kepler for Planetary Motion

ग्रहों की गति के लिए केप्लर के नियम (Laws of Kepler for Planetary Motion):सुप्रसिद्ध डेनिस ज्योतिषी केप्लर (1571-1630) ने सौर परिवार के ग्रहों की गति के लिए कुछ आनुभविक निम्न नियमों का प्रतिपादन किया:
(1.)केप्लर का प्रथम नियम(Kepler’s First Law):प्रत्येक ग्रहों की कक्षाएं दीर्घवृत्त के रूप की है जिनकी एक नाभि पर सूर्य स्थित है।
(Each planet describe an ellipse with the sun as one of the foci.)
(2.)केप्लर का द्वितीय नियम(Kepler’s Second Law):सूर्य से ग्रह तक खींची हुई ध्रुवान्तर रेखाओं की गति से कक्षा समतल में रचित क्षेत्रफल समान समयों में समान होता है।
(The areas described by the radii drawn from the planet to the sun in the same orbit,proportional to the times of describing them.)
(3.)केप्लर का तृतीय नियम(Kepler’s Third Law):विभिन्न ग्रहों के परिक्रमण काल का वर्ग उनकी कक्षाओं के दीर्घाक्षों के घन के समानुपाती होता।
(The Squares of the periodic times of the planets are proportional to the cubes of the semi major axis of their orbits.)
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2.ग्रहों की गति के लिए केप्लर के नियम के उदाहरण (Laws of Kepler for Planetary Motion Examples):

Example:1.एक दिए हुए दीर्घवृत्त (जिसका दीर्घाक्ष 2a है) में यदि किसी विशेष बिन्दु P पर वेग समान है, चाहे कक्षा की रचना एक नाभि के परित: परिक्रमण काल T हो या दूसरी नाभि S’ के परित: परिक्रमण काल T’ हो, सिद्ध करो कि

SP=\frac{\left(2 a T^{\prime}\right)}{\left(T+T^{\prime}\right)}, S^{\prime} P=\frac{(2 a T)}{\left(T+ T^{\prime}\right)}
(If the velocity in a given orbit (major axis 2a) is same at a certain point P whether the orbit is being described in periodic time T about one focus S or in periodic time T’ about the other focus S’, prove that

SP=\frac{\left(2 a T^{\prime}\right)}{\left(T+T^{\prime}\right)}, S^{\prime} P=\frac{(2 a T)}{\left(T+ T^{\prime}\right)}
Solution:यदि SP=r तब S’P=2a-r
S को फोकस लिया जाए तथा S’ को रिक्त फोकस तब

v^{2}=\mu \left[\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right]
तथा T=\frac{2 \pi}{\sqrt{\mu}} a^{\frac{3}{2}} \cdots (1)
पुनः S’ को फोकस तथा S’ को रिक्त फोकस लें तब
S’P=2a-r रखने पर

V^{2}=\mu^{\prime}\left[\frac{2}{2 a-r}-\frac{1}{a}\right]
तथा T^{\prime}=\frac{2 \pi}{\sqrt{\mu^{\prime}}} a^{\frac{3}{2}} \ldots(2)
वेग समान दिया हुआ है अर्थात् v^{2}=V^{2}

\mu\left[\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right]=\mu^{\prime}\left[\frac{2}{2 a-r}-\frac{1}{a}\right] \cdots(3)
अब  \mu=\frac{4 \pi^{2}}{T^{2}}  तथा \mu^{\prime}=\frac{4 \pi^{2}}{T^{\prime^{2}}} a^{3}
\mu तथा \mu^{\prime} का मान समीकरण (3) में रखने पर:

\frac{4 \mu^{2}}{T^{2}} a^{3}\left[\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right]=\frac{4 \pi^{2}}{T^{\prime^{2}}} a^{3}\left[\frac{2}{2 a-r}-\frac{1}{a}\right] \\ \Rightarrow \frac{1}{T^{2}} \cdot \frac{2 a-r}{a r}=\frac{1}{T^{\prime^{2}}} \cdot \frac{r}{a(2 a-r)} \\ \Rightarrow T^{\prime 2}\left(2 a-r\right)^{2}=T^{2} r^{2} \\ \Rightarrow T^{\prime^{2}}\left(2 a-r\right)^{2}=T^{2} r^{2} \\ \Rightarrow T^{\prime}(2 a-r)=T \cdot r \\ \Rightarrow 2 a \cdot T^{\prime}=r \left(T+T^{\prime}\right) \\ \Rightarrow S P=r=\frac{2 a T^{\prime}}{T+T^{\prime}} \\ \Rightarrow S^{\prime} P=2 a-r=2 a-\frac{2 a T^{\prime}}{T+T^{\prime}} \\ \Rightarrow S^{\prime} P=\frac{2 a T}{(T+T^{\prime})}

उपर्युक्त प्रश्न के उत्तर द्वारा ग्रहों की गति के लिए केप्लर के नियम (Laws of Kepler for Planetary Motion),ग्रहों की गति के लिए केप्लर के नियम हिन्दी में (Laws of Kepler for Planetary Motion in hindi) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते है।
Example:2.एक कण नाभि में स्थित बल केन्द्र के प्रति एक दीर्घवृत्त बनाता है।प्रदर्शित कीजिए कि इसके पथ के किसी भी बिन्दु पर दूसरी नाभि के सापेक्ष कोणीय वेग उस बिन्दु पर अभिलम्ब के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
(A particle describes about a centre of force at the focus.Show that at any point of its path the angular velocity about the other focus varies inversely as the square of the normal at that point.)
Solution:सकेन्द्र कक्षा के लिए

Laws of Kepler for Planetary Motion

vp=h=r^{2} \frac{d \theta}{d t}=SP^{2} \cdot \frac{d \theta}{d t}
जहाँ \frac{d \theta}{d t} फोकस S के सापेक्ष कोमीय वेग है।यदि फोकस H के सापेक्ष कोणीय वेग \omega है तो

vp=a=HP^{2} \omega \\ \Rightarrow v HZ=H P^{2} \cdot \omega \\ \Rightarrow v=\frac{h}{p}=\frac{h}{S Y} \\ \Rightarrow \frac{h}{SY} HZ=HP^{2} \omega \\ \Rightarrow w=\frac{h}{S Y} \cdot \frac{H Z}{H P^{2}} \\ \Rightarrow w=\frac{h}{SY \cdot H P} \cdot \frac{H Z}{H P} \cdots(1)
अब \triangle SPY तथा \triangle HPZ  में

\angle S P Y=\angle H P Z=\phi \\ \angle S Y P=\angle H Z P=\frac{\pi}{2}
कोण-कोण समरूपता गुणधर्म से (By AA Congruence Property)

\triangle S P Y \sim \triangle H P Z \\ \frac{H Z}{H P}=\frac{S Y}{S P} \cdots(2)
समीकरण (1) व (2) से:

\omega =\frac{h}{S Y \cdot H P} \cdot \frac{S Y}{SP} \\ =\frac{h}{SP \cdot H P} \\ =\frac{h}{(a+e x) \cdot (a-e x)} \\ \omega =\frac{h}{a^{2}-e^{2} x^{2}} \\ =\frac{h}{a^{2}-e^{2} a^{2} \cos ^{2} t}
[यदि बिन्दु ( a \cos t, b \sin t ) लिया जाए]

\Rightarrow w=\frac{h}{a^{2}-\left(a^{2}-b^{2}\right) \cos^{2} t} \\ w=\frac{h}{a^{2} \sin^{2} t+b^{2} \cos ^{2} t} \cdots(3)
बिन्दु P पर अभिलम्ब की समीकरण:

\frac{a x}{\cos t}-\frac{b y}{\sin t}=a^{2}-b^{2}
यह दीर्घाक्ष को G बिन्दु पर y=0 पर मिलता है जिसके निर्देशांक हैं
\left(\frac{a^{2}-b^{2}}{a} \cos t, 0\right)  तथा (a \cos t, b \sin t)
अभिलम्ब की लम्बाई का वर्ग

=P G^{2}=\left(a \cos t-\frac{a^{2}-b^{2}}{a} \cos t\right)^{2}+b^{2} \sin ^{2} t \\ =\frac{b^{4}}{a^{2}} \cos ^{2} t+b^{2} \sin ^{2} t \\ \Rightarrow P G^{2}=\frac{b^{2}}{a^{2}}\left(b^{2} \cos ^{2} t+a^{2} \sin^{2} t \right) \cdots (4) \\ PG^{2}=\frac{b^{2}}{a^{2}} \cdot \frac{h}{\omega} [समीकरण (3) व (4) से ]

w=\frac{b^{2}}{a^{2}} \cdot h \cdot \frac{1}{PG^{2}} \\ \omega \propto \frac{1}{PG^{2}}

उपर्युक्त प्रश्न के उत्तर द्वारा ग्रहों की गति के लिए केप्लर के नियम (Laws of Kepler for Planetary Motion),ग्रहों की गति के लिए केप्लर के नियम हिन्दी में (Laws of Kepler for Planetary Motion in hindi) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते है।

Example:3.यदि दीर्घाक्ष के निकटतम सिरे पर कोणीय वेग w है, तब सिद्ध कीजिए कि इसका परिक्रमण काल \frac{2 \pi}{\omega} \sqrt{\frac{1+e}{(1-e)^{3}}} होगा।
(If w be the angular velocity at the near end of the major axis, prove that its period is.)

\frac{2 \pi}{\omega} \sqrt{\frac{1+e}{(1-e)^{3}}}
Solution:A’ के निकटतम सिरे पर
r=SA'=a-ae=a(1-e) \\ r^{2} \frac{d \theta}{d t}=h=\sqrt{(\mu l)} \quad[\because h=\sqrt{\mu l}]\\ \Rightarrow a^{2}(1-e)^{2} \omega=\sqrt{\left(\mu \cdot \frac{b^{2}}{a}\right)}\\ =\sqrt{\left[\mu a\left(1-e^{2}\right)\right]}\\ \Rightarrow \sqrt{\mu}=\frac{a^{2}(1-e)^{2} \omega}{\sqrt{[a(1-e)(1+e)}} \\ \Rightarrow \sqrt{\mu}=\frac{a^{\frac{3}{2}}(1-e)^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{(1+e)}} \omega

यदि T आवर्तकाल हो तो 
T =\frac{2 \pi}{\sqrt{\mu}} a^{\frac{3}{2}} \\ \Rightarrow T =\frac{2 \pi}{\omega} \sqrt{\frac{1+e}{(1-e)^{3}}} [समीकरण (1) से]

उपर्युक्त प्रश्न के उत्तर द्वारा ग्रहों की गति के लिए केप्लर के नियम (Laws of Kepler for Planetary Motion),ग्रहों की गति के लिए केप्लर के नियम हिन्दी में (Laws of Kepler for Planetary Motion in hindi) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते है।
Example:4.किसी ग्रह का सूर्य के चारों ओर सकेन्द्र कक्षा में अधिकतम एवं न्यूनतम वेग क्रमशः 30 तथा 29.2 km/sec है।सकेन्द्र कक्षा की उत्केन्द्रता ज्ञात कीजिए।
(The greatest and least velocities of a certain planet in its orbit round the sun are 30 and 29.2 km/sec.Find the eccentricity of the orbit.)
Solution:माना कि सूर्य दीर्घवृत्त की नाभि S में स्थित है तथा ग्रह की सबसे पास स्थिति A’ पर है जहाँ
SA’=A’C-SC=a(1-e)
तथा ग्रह की सबसे दूर स्थिति A पर है जहाँ
SA=SC+CA=a(1+e)
पुनः ग्रह का पथ दीर्घवृत्त है,

Laws of Kepler for Planetary Motion

v^{2}=\mu \left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right) \\ \Rightarrow v_{1}^{2}=\mu\left[\frac{2}{a(1-e)}-\frac{1}{a}\right] \\ \Rightarrow 30^{2}=\frac{\mu}{a}\left(\frac{1+e}{1-e}\right) \quad\left[\because v_{1}=30\right] \\ \Rightarrow 900=\frac{\mu}{a}\left(\frac{1+e}{1-e}\right) \cdots(1) \\ v_{2}^{2}=\mu\left[\frac{2}{a(1+e)}-\frac{1}{a}\right] \\ (29.2)^{2}=\frac{\mu}{a}\left[\frac{1-e}{1+e}\right] \\ \Rightarrow 852.64=\frac{\mu}{9}\left(\frac{1-e}{1+e}\right) \cdots(2)
समीकरण (1) में (2) का भाग देने पर:

\frac{900}{852-64}=\frac{(1+e)^{2}}{(1-e)^{2}} \\ \Rightarrow \frac{30}{29.2}=\frac{1+e}{1-e} \\ \Rightarrow 30-30 e=29 \cdot 2+29 \cdot 2 e \\ \Rightarrow 29.2 e+30 e=30-29.2 \\ \Rightarrow 59.2 e=0.8 \\ \Rightarrow e=\frac{0.8}{59.2} \\ \Rightarrow e=\frac{1}{74}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा ग्रहों की गति के लिए केप्लर के नियम (Laws of Kepler for Planetary Motion) को समझ सकते हैं।

3.ग्रहों की गति के लिए केप्लर के नियम की समस्याएं (Laws of Kepler for Planetary Motion Problems):

(1.)एक कण दीर्घवृत्त में नाभि S की ओर केन्द्रित किसी बल के अधीन चलता है।जब कण लघुअक्ष के एक सिरे पर होता है तो गति की दिशा को बिना बदलते हुए इसकी गतिज ऊर्जा को दो गुना कर दिया जाता है।सिद्ध कीजिए कि ऐसा करने से कण एक परवलय में चलने लगेगा।
(A particle describes an ellipse under a force to the focus S.When the paricle is at one extremity of the minor axis, its kinetic energy is doubled without any change in the direction of motion.Prove that the paricle proceeds to describe a parabola.)
(2.)यदि तथा किसी ग्रह के रेखीय वेग हों जबकि वह सूर्य से क्रमशः न्यूनतम और अधिकतम दूरियों पर है तो सिद्ध कीजिए कि (1-e) v_{1}=(1+e) v_{2}
(If and are the velocities of a planet when it is respectively nearest farthest from the sun, prove that (1-e) v_{1}=(1+e) v_{2} )
(3.)एक कण नाभिका में स्थित बल केंद्र के प्रति एक दीर्घवृत्त निर्मित करता है जिसकी उत्केन्द्रता e है तो सुस्थापित (सामान्य संकेतों) में सिद्ध कीजिए:

v^{2}=\mu\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right), h^{2}=\mu a \left(1-e^{2}\right)
जब कण निकटतम स्तब्धिका पर आता है तब केन्द्र दूसरे नाभि पर स्थानान्तरण कर दिया जाता है।सिद्ध कीजिए कि नये सकेन्द्र कक्षा की उत्केन्द्रता [\frac{e(3+e)}{(1-e)}]
(A particle is describing an ellipse of eccentricity e about a centre force at a focus , prove with the usual notations:

v^{2}=\mu\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right), h^{2}=\mu a\left(1-e^{2}\right)
When the paricle is at the nearer apse, the centre of force is transferred to the other focus.Prove that the eccentricity of the new orbit is [\frac{e(3+e)}{(1-e)}])
उपर्युक्त प्रश्नों को हल करने पर ग्रहों की गति के लिए केप्लर के नियम (Laws of Kepler for Planetary Motion) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.ग्रहों की गति के लिए केप्लर के नियम (Laws of Kepler for Planetary Motion) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

Laws of Kepler for Planetary Motion

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा ग्रहों की गति के लिए केप्लर के नियम (Laws of Kepler for Planetary Motion),ग्रहों की गति के लिए केप्लर के नियम हिन्दी में (Laws of Kepler for Planetary Motion in hindi) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते है।