1.वास्तविक संख्याओं के लिए घातांक नियम (Law of Exponents for Real Numbers),रीयल नम्बर्स के लिए घातांक नियम (Law of Indices for Real Numbers):

Law of Exponents for Real Numbers

वास्तविक संख्याओं के लिए घातांक नियम (Law of Exponents for Real Numbers) सर्वप्रथम फ्रांसीसी गणितज्ञ रेने देकार्त ने ज्ञात किया था।सत्रहवीं शताब्दी में रेने देकार्त ने एक ही संख्या का कई बार गुणा करने पर प्राप्त गुणनफल को एक विशेष नियम द्वारा प्रतिपादित किया जिसे घातांक नियम (Law of Exponents) कहा गया तथा इसको विपरीत क्रम में लिखने के नियम को करणी कहा गया।
महत्त्वपूर्ण सूत्र (Important Formulas):
(1.)यदि किसी संख्या को उसी संख्या से n बार गुणा किया जाय तो निम्न प्रकार लिखा जा सकता है:
a \times a \times a \times \ldots \times a \text { (n बार) }=a^{n}
(i)यहाँ n व a वास्तविक संख्याएँ हैं।
(ii) a को आधार (base) कहते हैं।
(iii)n को घातांक (Indices) कहते हैं।
(2.)गुणा करने पर यदि आधार बराबर (समान) हो तो घातांकों को जोड़ दिया जाता है जैसे:

(i)a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}

(ii)x^{a} \times x^{b} \times x^{c}=x^{a+b+c}
(3.)यदि घातांक बराबर हो तो गुणा करने पर सभी को एक साथ घात लगा दिया जाता है:

(i)a^{m} \times b^{m} \times c^{m}=(a b c)^{m}=a^{m} b^{m} c^{m}
(4.)भाग करते समय यदि आधार बराबर हो तो बड़ी घात में से छोटी घात को घटा दिया जाता है:

\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n},m>n
(5.)यदि किसी पूर्णांक पर ऋणात्मक घातांक हो तो उसका स्थान परिवर्तित करने पर धनात्मक में परिवर्तित हो जाती है:

a^{-m}=\frac{1}{a^{m}} या \frac{1}{a^{-m}}=a^{m}
(6.)यदि घातांक के ऊपर घातांक ओर हो तो घातांकों को आपस में गुणा कर दिया जाता है:

(i)\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m n}

(ii)\left(a^{m}\right)^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{m}{n}}

(iii)\left \{ (a^{m})^{n} \right \}^{p}=a^{mnp}
(7.)यदि आधार भिन्न के रूप का हो तो घातांक को अंश के अंक व हर के अंक के ऊपर अलग-अलग लिखा जा सकता है:

\left(\frac{a}{b}\right)^{m}=\frac{a^{m}}{b^{m}}
(8.)किसी संख्या पर घातांक शून्य हो तो उसका मान हमेशा 1 होता है:

x^{0}=y^{0}=1,(100)^{0}=1,(1255)^{0}=1

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2.वास्तविक संख्याओं के लिए घातांक नियम के उदाहरण (Law of Exponents for Real Numbers Examples):

Example:1.ज्ञात कीजिए:

(i)64^{\frac{1}{2}}
Solution:64^{\frac{1}{2}} \\ =(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2)^{\frac{1}{2}} \\ = \left(2^{6}\right)^{\frac{1}{2}} [(a^{m})^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{m}{n}} से]

=2^{6 \times \frac{1}{2}}=2^{3} \\=2 \times 2 \times 2=8
(ii)32^{\frac{1}{5}}
Solution:32^{\frac{1}{5}} \\ =(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2)^{\frac{1}{5}} \\ =\left(2^{5}\right)^{\frac{1}{5}} \\ =2^{5 \times \frac{1}{5}} [(a^{m})^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{m}{n}} से]
=2
(iii)(125)^{\frac{1}{3}}
Solution:(125)^{\frac{1}{3}} \\=(5 \times 5 \times 5)^{\frac{1}{3}} \\=\left(5^{3}\right)^{\frac{1}{3}} \\ =5^{3 \times \frac{1}{3}} [(a^{m})^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{m}{n}} से]
=5
Example:2.ज्ञात कीजिए:
(i)9^{\frac{3}{2}}
Solution:9^{\frac{3}{2}} \\ =\left(3^{2}\right)^{\frac{3}{2}} \\ =3^{2 \times \frac{3}{2}} [(a^{m})^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{m}{n}} से]
=3^{3} \\=3 \times 3 \times 3 \\ =27
(ii)(32)^{\frac{2}{5}}
Solution:(32)^{\frac{2}{5}} \\=(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2)^{\frac{2}{5}} \\=\left(2^{5}\right)^{\frac{2}{5}}\\=2^{5 \times \frac{2}{5}} [(a^{m})^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{m}{n}} से]
=2^{2} \\ =2 \times 2=4
(iii)16^{\frac{3}{4}}
Solution:16^{\frac{3}{4}} \\ =(2 \times 2 \times 2 \times 2)^{\frac{3}{4}} \\ =\left(2^{4}\right)^{\frac{3}{4}} [(a^{m})^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{m}{n}} से]
=2^{3} \\=8
(iv)125^{-\frac{1}{3}}
Solution:125^{-\frac{1}{3}} \\ =(5 \times 5 \times 5)^{-\frac{1}{3}} \\ =\left(5^{3}\right)^{-\frac{1}{3}} \\ =5^{3 \times-\frac{1}{3}}[(a^{m})^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{m}{n}} से]
=5^{-1} \\ =\frac{1}{5}
Example:3.सरल कीजिए:
(i)2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{5}}
Solution:2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{5}} \\ =2^{\frac{2}{3}+\frac{1}{5}} [ a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n} से]
=2^{\frac{10+3}{15}} \\ =2^{\frac{13}{15}}
(ii)\left(\frac{1}{3^{3}}\right)^{7}
Solution:\left(\frac{1}{3^{3}}\right)^{7} \\ =\frac{1}{3^{3 \times 7}} [(a^{m})^{n}=a^{mn} से]
=\frac{1}{3^{21}} \\ =3^{-21}
(iii)\frac{11^{\frac{1}{2}}}{11^{\frac{1}{4}}}
Solution:\frac{11^{\frac{1}{2}}}{11^{\frac{1}{4}}} \\ =11^{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}} [ \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n} से]
=11^{\frac{2-1}{4}} \\ = 11^{\frac{1}{4}}
(iv)7^{\frac{1}{2}} \cdot 8^{\frac{1}{2}}
Solution:7^{\frac{1}{2}} \cdot 8^{\frac{1}{2}} \\ =(7 \times 8)^{\frac{1}{2}} [a^{m} \times b^{m}=(a b)^{m n} से]
=56^{\frac{1}{2}}

(v)2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{7}}

Solution:2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{7}} \\ 2^{\frac{2}{3}+\frac{1}{7}} [a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n} से]

=2^{\frac{14+3}{21}} \\ 2^{\frac{17}{21}}

Law of Exponents for Real Numbers

Example:4.x का मान ज्ञात कीजिए:

\left(\frac{3}{5}\right)^{x}\left(\frac{5}{3}\right)^{2 x}=\frac{125}{27}
Solution:\left(\frac{3}{5}\right)^{x}\left(\frac{5}{3}\right)^{2 x}=\frac{125}{27} \\ \Rightarrow \left(\frac{5}{3}\right)^{-x}\left(\frac{5}{3}\right)^{2 x}=\frac{5 \times 5 \times 5}{3 \times 3 \times 3} \\ \Rightarrow \left(\frac{5}{3}\right)^{2 x-x}=\left(\frac{5}{3}\right)^{3} \\ \Rightarrow \left(\frac{5}{3}\right)^{x}=\left(\frac{5}{3}\right)^{3} \\ \Rightarrow x=3
Example:5.मान ज्ञात कीजिए:

\left(\frac{65536}{43046721}\right)^{\frac{3}{16}}
Solution:\left(\frac{65536}{43046721}\right)^{\frac{3}{16}} \\ =\left[\left(\frac{2^{16}}{3^{16}}\right) \right]^{\frac{3}{16}}\left[2^{16}=65536,3^{16}=43046721\right] \\ =\frac{2^{16 \times \frac{3}{16}}}{3^{16 \times \frac{3}{16}}} [\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m n} से ]  
=\frac{2^{3}}{3^{3}} \\ =\frac{8}{27}
Example:6.निम्न को सरल कीजिए:

(9261)^{\frac{1}{3}} \times(441)^{\frac{2}{3}} \times(189)^{-\frac{4}{3}}
Solution:(9261)^{\frac{1}{3}} \times(441)^{\frac{2}{3}} \times(189)^{-\frac{4}{3}} \\ =(3 \times 3 \times 3 \times 7 \times 7 \times 7)^{\frac{1}{3}} \times(3 \times 3 \times 7 \times 7)^{\frac{2}{3}} \times(3 \times 3 \times 3 \times 7)^{-\frac{4}{3}} \\=\left(3^{3} \times 7^{3}\right)^{\frac{1}{3}} \times\left(3^{2} \times 7^{2}\right)^{\frac{2}{3}} \times\left(3^{3} \times 7\right)^{-\frac{4}{3}} \\ =3^{3 \times \frac{1}{3}} \times 7^{3 \times \frac{1}{3}} \times 3^{2 \times \frac{2}{3}} \times 7^{2 \times \frac{2}{3}} \times 3^{3 \times-\frac{4}{3}} \times 7^{-\frac{4}{3}} [ (a^{m})^{n}=a^{m n} से]
=3 \times 7 \times 3^{\frac{4}{3}} \times 7^{\frac{4}{3}} \times 3^{-4} \times 7^{-\frac{4}{3}} \\ =3^{1+\frac{4}{3}-4} \times 7^{1+\frac{4}{3}-\frac{4}{3}} \\ =3^{\frac{3+4-12}{3}} \times 7^{1} \\ =3^{-\frac{5}{3}} \times 7 \\ =\frac{7}{3^{\frac{5}{3}}} \\=\frac{7}{\sqrt[3]{3^{5}}}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा वास्तविक संख्याओं के लिए घातांक नियम (Law of Exponents for Real Numbers),रीयल नम्बर्स के लिए घातांक नियम (Law of Indices for Real Numbers) को समझ सकते हैं।

3.वास्तविक संख्याओं के लिए घातांक नियम के सवाल (Law of Exponents for Real Numbers Questions):

Law of Exponents for Real Numbers

(1.)सरल कीजिए:

\text{(i)}\left(\frac{1}{3^{5}}\right)^{4} \\ \text { (ii) } \frac{7^{\frac{1}{5}}}{7^{\frac{1}{3}}} \\ \text { (iii) } 13^{\frac{1}{5}} \cdot 17^{\frac{1}{5}}
(2.)ज्ञात कीजिए:

(i) (9261)^{\frac{1}{3}} (ii) (1331)^{\frac{2}{3}}
उत्तर (Answers):(1) (i) 3^{\frac{4}{5}} (ii) 7^{-\frac{2}{15}} (iii) (221)^{\frac{1}{5}}

(2.) (i) 21 (ii) 121
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर वास्तविक संख्याओं के लिए घातांक नियम (Law of Exponents for Real Numbers),रीयल नम्बर्स के लिए घातांक नियम (Law of Indices for Real Numbers) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.वास्तविक संख्याओं के लिए घातांक नियम (Law of Exponents for Real Numbers),रीयल नम्बर्स के लिए घातांक नियम (Law of Indices for Real Numbers) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

वास्तविक संख्याओं के लिए घातांक नियम (Law of Exponents for Real Numbers) सर्वप्रथम फ्रांसीसी गणितज्ञ
रेने देकार्त ने ज्ञात किया था।सत्रहवीं शताब्दी में रेने देकार्त ने एक ही संख्या का कई बार गुणा करने पर प्राप्त
गुणनफल को एक विशेष नियम द्वारा प्रतिपादित किया