1.कर्ट गोडेल और गणित की सीमाएं का परिचय (Introduction to Kurt Gödel and Limits of Mathematics)-

• कर्ट गोडेल और गणित की सीमाएं (Kurt Gödel and Limits of Mathematics) के बारे में बताया गया है कि गणित में भी विरोधाभास है। बहुत कम व्यक्ति कर्ट गोडेल के बारे में जानते हैं।कर्ट गोडेल ने गणित में प्रथम अपूर्णता प्रमेय तथा द्वितीय अपूर्णता प्रमेय के गणित में विरोधाभास बारे में लिखा है।
• संसार में कुछ लोग विशिष्ट कार्य कर जाते हैं परंतु इस दुनिया की नजरों से ओझल ही रह जाते हैं। हालांकि हम गणित में अपूर्णता प्रमेय के बारे में तो जानते हैं परंतु इसके बारे में कर्ट गोडेल ने जो लिखा उसके बारे में नहीं जानते हैं।
  इस आर्टिकल में कर्ट गोडेल और गणित की सीमाएं का विस्तृत वर्णन किया गया है।अपूर्णता प्रमेय,रसेल के समुच्चय सिद्धांत में विरोधाभास के समान ही है।
• रसेल के विरोधाभास की तरह ही अपूर्णता प्रमेय के द्वारा उन्होंने बताया कि गणित में एक वाक्य है जो यदि सुसंगत है तो इसे गणित से प्राप्त नहीं किया जा सकता है।यदि यह सुसंगत है तो इसे गणित से प्राप्त किया जा सकता है।
  कर्ट गोडेल ने बहुत ही महत्त्वपूर्ण विरोधाभास दर्शाया है परंतु डार्विंग, न्यूटन ,आइंस्टीन और अरस्तू जैसे बुद्धिजीवियों की तरह वे लोकप्रिय और प्रसिद्ध नहीं हो पाए हैं।
• वस्तुतः कोई भी महान व्यक्ति अपनी प्रसिद्धि पाने के लिए कोई भी महान कार्य नहीं करता है और न ही वह उसका ढिंढोरा पीटता है।
• इस प्रकार के व्यक्तित्व की पहचान उनके द्वारा किए गए कार्यों से होती है।इस प्रकार के व्यक्ति की मृत्यु हो जाती है तो मरणोपरांत उनके कार्य की पहचान दुनिया के सामने आती है। हालांकि ऐसे व्यक्ति की देह समाप्त हो जाती है परंतु उनका व्यक्तित्व अर्थात् कार्य अमर रहता है। महान् कार्यों के द्वारा ही वे अमर रहते हैं।
• हर विषय की सीमाएं होती है जिसे अपवाद के नाम से जाना जाता है।कर्ट गोडेल और गणित की सीमाएं (Kurt Gödel and Limits of Mathematics) के द्वारा गणित में विरोधाभास तथा उसकी सीमा के बारे में बताया गया है।वस्तुतः कर्ट गोडेल और गणित की सीमाएं (Kurt Gödel and Limits of Mathematics) अद्भुत है।
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2.कर्ट गोडेल और गणित की सीमाएँ (Kurt Gödel and Limits of Mathematics)-

• पिछले हफ्ते, मैंने कर्ट गोडेल के बारे में मार्क कोलयवन के व्याख्यान और गणित की सीमाओं को एक बार देखा।
• मुझे लगता है कि कर्ट गोडेल, हालांकि शायद इतने बड़े विचारकों के रूप में प्रसिद्ध नहीं हैं, जो डार्विन, न्यूटन, आइंस्टीन और अरस्तू जैसे बड़े बुद्धिजीवियों में से हैं, जो ऐसे बौद्धिक कैलिबर के पुरुषों में से एक हैं।  मुख्य कारण यह है कि यह समझना मुश्किल है कि एक गणितज्ञ क्या करता है।  आप लोगों को डार्विन या न्यूटन के मूल विचारों की व्याख्या कर सकते हैं – हालांकि आइंस्टीन थोड़े अधिक जटिल हैं – क्योंकि हमारे पास कई अच्छे प्रसिद्ध विज्ञान लेखक हैं जो मुख्य रूप से भौतिकी पर ध्यान केंद्रित करते हैं।  इस प्रकार, बहुत से लोगों को कम से कम एक अच्छा विचार है कि मूल बातें आइंस्टीन और न्यूटन के कुछ कार्यों में से क्या हैं।  हालांकि, गणितज्ञ अक्सर उनके योगदान के लिए अनदेखा हो जाते हैं, और दुर्भाग्य से, कर्ट गोडेल कोई अपवाद नहीं है।

Kurt Gödel and Limits of Mathematics (Kurt Godel and Albert Einstein)

• मुझे लगता है कि अपूर्णता प्रमेय का विचार, जो वास्तव में आधुनिक विचारों के क्रांतिकारी विचारों में से एक है, तर्क में प्रभावशाली परिणामों में से एक है।  कई लोगों ने कहा है कि कर्ट गोडेल अरस्तू के साथ वहीं हैं, और अरस्तू के बाद से अपूर्णता के परिणाम तर्क में पहला महत्वपूर्ण परिणाम थे, जो धारणा को पृथ्वी-बिखरता है।  इसमें थोड़ा सा तर्क और गणित शामिल होगा, लेकिन मैं तकनीकी विवरण के माध्यम से अपने तरीके से नेविगेट करने का अपना सर्वश्रेष्ठ प्रयास करूँगा।
• गोडेल के विचार को चुनने का कारण यह है कि यह किसी भी चीज़ के विपरीत है और यह अवधारणा स्वयं सीधी है।अपूर्णता प्रमेय जो हमें शीघ्र ही मिलेगा वह बहुत ही सहज और सरल विचार है।यहाँ कर्ट गोडेल है।

Kurt Gödel and Limits of Mathematics (Kurt Godel)

• गोडेल का जन्म 1906 में ब्रून के ऑस्ट्रो-हंगेरियन शहर – अब ब्रनो के चेक गणराज्य शहर में हुआ था।उन्होंने 1924 में ब्रून में जिमनैजियम से स्नातक किया और फिर वियना विश्वविद्यालय में भौतिकी, गणित और दर्शन का अध्ययन किया।
• उन्होंने डी. फिल के साथ स्नातक किया।गणित में 1929 में एक शानदार थीसिस के साथ और वियना विश्वविद्यालय में काम करना जारी रखा जब तक कि यूएसए के लिए प्रस्थान नहीं हुआ।इसके बाद उन्होंने प्रिंसटन इंस्टीट्यूट फॉर एडवांस्ड स्टडी में एक अच्छे दोस्त, अल्बर्ट आइंस्टीन के साथ एक पद संभाला।उन्होंने अपना ज्यादातर समय आइंस्टीन के साथ घूमने और बातचीत करने में बिताया।
• वह 1976 में प्रिंसटन इंस्टीट्यूट फॉर एडवांस्ड स्टडी में समाप्त हुआ और कुछ साल बाद भुखमरी और थकावट से मर गया।आप सोच सकते हैं कि यह इतने महान जीवन का एक दुखद अंत है, लेकिन अगर आप एक रॉक स्टार हैं और एक विमान दुर्घटना में मर गए हैं जैसे कि लिनिर्ड स्किनीर्ड, बडी होली, ओटिस रेडिंग या जिमी हेंड्रिक्स, तो आप अभी भी एक रॉक स्टार हैं, और यही मायने रखता है।एक गणितज्ञ और तर्कशास्त्री के रूप में भुखमरी और थकावट के कारण उनकी मृत्यु लगभग दुर्भाग्यपूर्ण है क्योंकि एक व्यक्ति की उल्टी होती है।
• 1929 में, उन्होंने प्रथम-क्रम तर्क की पूर्णता पर अपने डॉक्टरेट शोध प्रबंध को दिया, जो 23 वर्ष की आयु में एक महत्वपूर्ण उपलब्धि थी। परिणाम बाद में 25 वर्ष की आयु में विकसित पहले और दूसरे अपूर्णता प्रमेयों में योगदान करेंगे।सेट थ्योरी में कुछ ज़बरदस्त काम किया, जिसे उन्होंने अपने पूरे करियर में काम करना जारी रखा, भले ही उनके काम का सबसे महत्वपूर्ण घटक 1940 में प्रकाशित किए गए परिणाम थे। 1949 में, उन्होंने आइंस्टीन के क्षेत्र समीकरण के नए समाधान खोजे, जो देता है,आप कर्ट गोडेल ने जिन चीजों पर काम किया है उनकी विविधता के बारे में कुछ जानकारी।यद्यपि वह मुख्य रूप से एक गणितज्ञ थे जिन्होंने अपने निष्कर्षों से लोगों को मंत्रमुग्ध कर दिया, साथ ही उन्होंने सामान्य सापेक्षता में भी महत्वपूर्ण योगदान दिया।
• किसी भी बड़े विचारक के साथ, आपको उस समय की समझ हासिल करने की आवश्यकता है जो वे अंदर थे। कर्ट गोडेल गणित और तर्क के लिए आकर्षक समय पर आए थे।20 वीं शताब्दी की शुरुआत में, गणित की नींव संकट में थी (उस समय गणित की स्थिति के गुरुत्वाकर्षण का वर्णन करना मुश्किल है)।बर्ट्रेंड रसेल ने दिखाया था कि सेट सिद्धांत असंगत था।सेट सिद्धांत सभी के लिए आशा था क्योंकि यह गणितीय सिद्धांत था जो बाकी गणित को कमतर करेगा।यह वास्तव में एक कठोर स्वयंसिद्ध प्रणाली थी जिसने गणित के भविष्य में बहुत आत्मविश्वास पैदा किया।फिर भी, बर्ट्रेंड रसेल ने दिखाया कि यह असंगत था।यह सिर्फ एक छोटी हिचकी नहीं है, यह उतना ही बुरा है जितना कि गणितज्ञ के लिए इस अर्थ में कि यह उस काम के लिए एक तरह का सर्वनाश है।
• इसके विपरीत, कैंटर ने साबित किया कि अगर हमारे पास एक अनंत सेट है, जैसे;प्राकृतिक संख्याएं – गिनती संख्या 1, 2, 3, 4, 5, 6,… – और निश्चित रूप से हम करते हैं क्योंकि कम से कम हमारे पास प्राकृतिक संख्याएं हैं, तो असीम रूप से कई अनंत सेट हैं जिन्हें सभी क्रम में क्रमबद्ध किया जा सकता है।तो यह केवल अनंत सेटों का एक पूरा गुच्छा नहीं है, जिसमें सभी का आकार समान है, लेकिन कई अलग-अलग शिशुओं में अनंत हैं।गणित में जाने के बिना अपने सिर को चारों ओर लपेटना कठिन है।हालांकि, यह मानक सेट सिद्धांत के एक प्राकृतिक परिणाम के रूप में नोट किया जा सकता है, साथ ही इस धारणा के साथ कि एक अनंत सेट है।

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• वे भयानक परिणाम थे लेकिन दोनों अपने तरीके से पेचीदा थे।यह देखते हुए कि एक ओर, गणित असंगत है।जबकि दूसरी ओर, गणित सुसंगत रहा है, और शास्त्रीय तर्क के साथ जिसे हम यहां उपयोग करने वाले हैं, आप साबित कर सकते हैं कि 2 + 2 = 5 या मैं एल्विस प्रेस्ली हूं।  आप अपनी मर्ज़ी से कुछ भी साबित कर सकते हैं।
• रीमैन परिकल्पना गणित में सबसे उत्कृष्ट परिणामों में से एक है और एक असंगत सिद्धांत के साथ पांच लाइनों में साबित हो सकता है।इसलिए यह भयानक है कि आप हर तरह की चीजों को सही साबित कर सकते हैं, जो सच भी है, लेकिन उन चीजों के लिए भी जो सच नहीं हैं।आप हर दूसरे विरोधाभास को भी साबित कर सकते हैं।एक तर्क पहले विरोधाभास पर गिरने के लिए प्रवण है, और यह स्पष्ट कारणों के लिए चिंताजनक है।
• अनंत सामग्री अधिक सूक्ष्म कारणों से चिंताजनक है।यह अभी स्पष्ट नहीं था कि क्या लोगों की अच्छी पकड़ थी कि अनंत क्या था और क्या असीम रूप से कई अलग-अलग शिशु हो सकते हैं।यदि एक अनंत पहले अनंत से बड़ा है, तो छोटे अनंत नहीं हो सकते हैं, क्या यह हो सकता है?इसलिए लोग चिंतित थे कि क्या उनकी भी अच्छी पकड़ थी, जो किसी भी तरह की कई वस्तुओं का असीम अर्थ रखते थे।लोग एक निरंतर सेट सिद्धांत को खोजने की कोशिश कर रहे थे, और एक ही समय में, कई लोग अनंत पर कैंटर के काम से सावधान थे।गोटलॉब फ्रीज ने दृढ़ आधार पर चीजों को सेट करने का प्रयास किया।  उसने सोचा,
•  “कोई आश्चर्य नहीं कि हम अनंत के बारे में यह सब व्यवसाय नहीं समझते हैं जब हम नंबर दो को भी नहीं समझते हैं।  पृथ्वी पर नंबर दो क्या है?  नंबर तीन क्या है?  प्राकृतिक संख्या के बारे में क्या हैं?  हमें उनका उपयोग करना था, और हम जानते हैं कि 2 + 2 = 4 जैसी चीजों को कैसे कहा जाए, लेकिन वे क्या हैं? ”
•  वह उस बारे में लगातार चिंतित थे, और निश्चित रूप से, अन्य लोग उसकी स्पष्ट मूर्खता पर नाराज थे।  उन्होंने इस विश्वास के आधार पर आशंका जताई कि उन्होंने यह समझा कि यह गणित की समस्याओं का एक बड़ा कारण है और लोगों को इस बात की पूरी जानकारी नहीं है कि गणित क्या था।  इसलिए उन्होंने चीजों को एक पर्याप्त आधार पर स्थापित किया, मान्यताओं को निर्धारित किया, चीजों को गति में सेट किया, और बुनियादी अंकगणित का उपयोग किया।  जैसा कि अक्सर होता है, एक बार जब आप बहुत स्पष्ट हो जाते हैं, तो समस्याएँ आपके ऊपर आ जाती हैं।  और यही हाल गोटलोब फ्रेज और बर्ट्रेंड रसेल के साथ हुआ।

Kurt Gödel and Limits of Mathematics (Gottlob Frege)

•  फ्रीज के काम ने रसेल को गहराई से प्रभावित किया।  वह फ्रीज पढ़ रहा था और महसूस किया कि फ्रीज की प्रणाली में एक विसंगति थी।  उन्होंने एक फ्रेंडली, विनम्र पत्र लिखा और अपने स्मारकीय कार्य से खुद फ्रीज में जाने से पहले इसे फ्रीज में दे दिया।
•  “प्रिय प्रोफेसर फ्रीज, क्या मैं इतना बोल्ड हो सकता हूं कि यह सुझाव दे सकूं कि आपके सिद्धांत में असंगतता है …”
•  फ्रीज ने इसे तुरंत देखा और महसूस किया कि यह विनाशकारी था।  वह क्या नहीं जानता था कि यह केवल फ्रीज से संबंधित एक मुद्दा नहीं था, यह एक पूरे के रूप में गणित के लिए मायने रखता था।  यह उस समय गणित के लिए एक समस्या थी।  और इसलिए उन्होंने इस बात पर अपनी पकड़ बनाई कि विरोधाभास क्या था।
• एक बहुत पुरानी दार्शनिक पहेली को झूठा विरोधाभास कहा जाता है, जो सिर्फ “यह वाक्य झूठा है।”  यदि आप एक पल के लिए उस वाक्य के बारे में सोचते हैं, तो दो संभावनाएं हैं: या तो यह सच है, या यह गलत है।  तो अगर यह सच है, तो यह क्या कहता है।  तो जो कहता है, वह झूठा है।  तो अगर यह सच है, यह गलत है, जो बुरा है।  लेकिन अगर यह गलत है, तो यही कहता है।  यह कहता है कि यह गलत है।  तो यह सच है।  अगर यह सच है, यह गलत है, और यह गलत है, यह सच है।  अंतर्विरोध!
•  आपको लगता है कि दार्शनिकों के पास करने के लिए बहुत कुछ नहीं है, और वे इस तरह की चीजों के बारे में चिंता करते हैं।  फिर भी दार्शनिकों ने कुछ हज़ार वर्षों से इसकी चिंता की है, और फिर भी, वे किसी समाधान के अधिक निकट नहीं हैं।
• रसेल ने देखा कि गणित के साथ-साथ यह समस्या सामान्य थी।  इसलिए मैं विवरण में नहीं जाऊंगा, लेकिन विचार सीधा है।  आप बस एक सेट पर विचार करें।  तो आप एक सेट प्राप्त कर सकते हैं जो सिर्फ चीजों का एक संग्रह है।  उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं का समूह, उन लोगों का समूह जो इसे पढ़ रहे हैं, जिन कुर्सियों पर आप बैठे हैं उनका सेट सभी चीजों के संग्रह का सेट है।  आपके पास सेट का एक सेट है।
•  तो रसेल ने कहा, “उन सेटों के बारे में क्या जो स्वयं के सदस्य नहीं हैं?”  यदि आपने थोड़ा गणित या तर्क किया है, तो आप देखेंगे कि यह सिर्फ एक निर्धारित सिद्धांत रूप में है।  तो एक बार जब आप इस सेट को बनाते हैं, तो आप सवाल पूछते हैं: क्या वह सेट खुद का सदस्य है, या यह नहीं है?  अगर यह है, तो यह नहीं है;  यदि यह नहीं है, तो यह है।  आप झूठा विरोधाभास के साथ के रूप में एक ही समस्या हो।
•  रसेल का सेट खुद का सदस्य साबित हो सकता है और खुद का सदस्य नहीं।  गणित को उन प्रकार की चीजों को लाइसेंस देने के लिए नहीं माना जाता है।  रसेल ने उसके बाद अपने परिणामों को फ्रेज को समझाया।  यह फ्रीज के लिए एक समस्या थी, लेकिन यह सामान्य रूप से सेट सिद्धांत के लिए भी एक समस्या थी।  एक तरह से, फ्रीज ने समस्या को पारदर्शी बना दिया था क्योंकि वह अपनी मान्यताओं के बारे में इतना स्पष्ट था।
•  अब जैसा कि इनफिनिटीज के लिए होता है, यहां पर कैंटर किसी और चीज के साथ घूम रहा था।  सेट पर महत्वपूर्ण संचालन शक्ति सेट है।  एक बार जब आपको चीजों का एक सेट मिल जाता है, तो आप पावर सेट को सभी सबसेट के सेट के रूप में सोचते हैं।  सेट सिद्धांत के अनुसार, आप हमेशा पावर सेट बना सकते हैं।  यदि आपको एक सेट मिला है, तो आप इसे सेट कर सकते हैं।  यहाँ एक उदाहरण है: वह सेट जिसमें केवल 0 और 1 होते हैं, और इसके पावर सेट में खाली सेट होता है, जो हमेशा किसी भी सेट का सबसेट होता है।  तो यह 0, 1, और दोनों 0 और 1 से मिलकर बनता है। इसलिए पावर सेट में चार चीजें होती हैं।

Kurt Gödel and Limits of Mathematics (Georg Cantor)

•  एक सेट की कार्डिनैलिटी सेट का आकार है।  दूसरे शब्दों में, सेट कितना बड़ा है या इसमें कितने तत्व हैं।  इसलिए यदि दो सेटों में समान कार्डिनैलिटी है, तो इसका मतलब है कि एक के तत्वों को दूसरे के साथ एक-से-एक पत्राचार में रखा जा सकता है।  तो इसका क्या मतलब है कि आपको चीजों को गिनना नहीं है।  आपको बस यह देखना है कि क्या आप उन्हें एक-से-एक पत्राचार में डाल सकते हैं।  उदाहरण के लिए, मुझे यह देखने के लिए कोई गिनती करने की ज़रूरत नहीं है कि एक कमरे में अधिक सीटें हैं जहां लोग हैं।  मुझे बस यह जानने की जरूरत है कि प्रत्येक व्यक्ति को एक सीट के साथ जोड़ा जाता है और अगर कुछ बचा है।  यदि कुर्सियों के सेट की कार्डिनैलिटी अधिक है, तो भी मुझे कुर्सियों की गिनती करने की आवश्यकता नहीं है।  मुझे केवल लोगों को गिनने और ध्यान देने की आवश्यकता है कि साझा तत्वों की संख्या लोगों की संख्या से अधिक है।  मैं वन-टू-वन पत्राचार कर सकता हूं।
• इसके बारे में दिलचस्प यह है कि यह अनंत सेटों के लिए काम करेगा।  आपको उन्हें तब तक गिनने की ज़रूरत नहीं है जब तक आप उन्हें बाँध सकते हैं।  लेकिन यह कैसे कार्डिनैलिटी अवधारणा को याद रखने के लिए सत्ता में वापस आता है?  मूल विचार काफी सरल है!  पावर सेट का आकार 1, 2, 3 और 4 से बना सेट का आकार है, जिसे हमने पहले ही स्थापित किया था।  तो यहाँ स्थापित शक्ति की कार्डिनैलिटी हमारे पिछले उदाहरण से चार है।  हमने जो सेट 0 और 1 के सेट के साथ शुरू किया था, उस की कार्डिनैलिटी 2 है। इसलिए पावर सेट की कार्डिनैलिटी power है, जो 2 से अधिक है।

3.यह एक असाधारण सामान्य परिणाम है जो कैंटर के प्रमेय को सामने लाता है (This is an exceptionally general result that brings out Cantor’s theorem)-

•  कैंटर का प्रमेय हमें बताता है कि यदि एक अनंत सेट है, तो अनंत सेट का एक अनंत क्रम है, प्रत्येक पिछले की तुलना में बड़ा है।  हमने बस उस एक छोटे से उदाहरण में देखा।  क्या होगा यदि पहला सेट अनंत है, और प्राकृतिक संख्या 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,… के सभी प्रकार अनंत तक बिजली सेट बनाता है?  उनमें से कई हैं, और प्राकृतिक संख्याओं का पावर सेट अनंत है, लेकिन वे स्वयं प्राकृतिक संख्याओं के सेट की तुलना में एक बड़ी अनंतता हैं।
•  पिछले दो में से किसी एक और अनन्तता का पावर सेट लें, और आपको लगातार एक बड़ा और बड़ा पावर सेट मिलता है, जो अनंत का उच्च क्रम है)।  पावर सेट ऑपरेशन को हमेशा गणित में लाइसेंस दिया जाता है।  आप किसी भी सेट का पावर सेट हमेशा ले सकते हैं।  यदि आपके पास एक अनंत सेट है, तो आपके पास असीम रूप से कई पावर सेट हैं, और वे असीम रूप से कई सेटों में फैलते हैं, प्रत्येक बड़ा और दूसरे की तुलना में बड़ा होता है।  और यह सभी प्रकार की अजीब पहेली की ओर जाता है।
•  मैं उनमें नहीं जाऊंगा, लेकिन लोग इस बारे में चिंतित थे।  असीम रूप से कई शिशुओं के पूरे विचार पहले से ही काफी परेशान कर रहे हैं, और इस तरह के अस्तित्व में प्राकृतिक संख्या की वास्तविक मात्रा के रूप में गूढ़ प्रश्न जोड़ना इसे एक बड़ा संज्ञानात्मक दुःस्वप्न बनाता है।
•  प्राकृतिक संख्याएँ कितनी हैं?  उनमें से कम हैं, है ना?  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,…।  अनंत और अब हर दूसरे को आप उनमें से आधे से बाहर छोड़ रहे हैं;  2, 4, 6, 8,…।  अब उनमें से कितने हैं?  वे दोनों अनंत सेट हैं, लेकिन ऐसा नहीं है जो एक सेट को दूसरे से बड़ा बनाता है।  उदाहरण के लिए, आधे तत्वों को छोड़ने से एक सेट दूसरे से बड़ा नहीं होता है।  यह कुछ और है।  पावर सेट ऑपरेशन ऐसा करता है।
•  कल्पना कीजिए कि आपको एक अनंत होटल मिल गया है, जिसमें कई कमरे हैं, और यह भरा हुआ है।  व्यापार अच्छा है।  कोई व्यक्ति दिखाता है और कहता है, “मुझे एक कमरा पसंद था।”  यह कहना ललचाता है, “क्षमा करें, हम आपको अंदर नहीं ले जा सकते;  हमारे पेट भर गए हैं।”  लेकिन तब मालिक कहता है, “नहीं, हम कर सकते हैं!  हम कमरे में एक व्यक्ति को कमरे में दो में स्थानांतरित कर सकते हैं, और फिर हम कमरे में व्यक्ति को कमरे में तीन में स्थानांतरित कर सकते हैं, फिर हम कमरे में व्यक्ति को कमरे में चार में स्थानांतरित कर सकते हैं, और इसी तरह… ”अब आपके पास एक अतिरिक्त कमरा है  ।  तुम यह कर सकते हो।  यह एक ऐसा अजीब परिणाम है जो आपको अनंत के साथ मिलता है।  आप हमेशा दूसरे के लिए जगह बना सकते हैं।
•  इस पृष्ठभूमि को देखते हुए, मुझे उस समय की गणितीय संस्कृति की अनुमति देने वाली समस्याओं की व्याख्या करने की अनुमति दें: विभिन्न प्रतिक्रियाएं।  ऐसा ही एक उत्तर सर्वकालिक महान गणितज्ञों में से एक से आया था: डेविड हिल्बर्ट।
•  हिल्बर्ट का यह कार्यक्रम गणित को सीधे सेट करने के लिए था क्योंकि हर कोई चिंतित था।  तो वह जो सोचता था वह परिमित सेट जैसे अधिक समझदार चीजों के लिए असीम रूप से कई शिशुओं के बारे में पागल सामान को प्रतिबंधित करना था।  प्रत्येक परिमित सेट के लिए, एक बड़ा परिमित सेट होगा, लेकिन अधूरा अधूरापन।  हिल्बर्ट को यह पसंद नहीं था, और वह प्यार करता था जो कैंटर ने किया था।  वह अनंत गणित से प्यार करता था।  यह आश्चर्यजनक था और मानव विचारों द्वारा उत्पन्न सबसे बड़ी अवधारणाओं में से एक था।  वह उसे खोना नहीं चाहता था।
•  इसलिए उन्होंने परिमित गणित (जो कि इसे समझने के लिए इतना सहज है) को आधार बनाकर अनंत गणित (हालांकि इसे थोड़ा अलग तरीके से समझा जाता है) के आधार पर एक दृढ़ समझ स्थापित करने के बारे में सोचा। अनंत सामान बस असतत परिमित गणित के शीर्ष पर औपचारिक ढोंग का एक प्रकार बन जाएगा।  जब आपके पास एक प्रतीक होता है, तो आप इसे दूसरे प्रतीक से बदल सकते हैं।  वह सिर्फ गणित का नियम है।  इसलिए हम इसे एसे कर सकते हैं जैसे हम शतरंज के नियम बनाते हैं।
•  शतरंज में क्या होता है?  यह उस चीज के अलावा और कुछ नहीं था जो कि बदमाश की भूमिका निभाता है।  कुछ नियम इसे नियंत्रित करते हैं।  इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह लकड़ी, कागज, या चीनी मिट्टी के बरतन से बना है।  एक बदमाश सिर्फ एक वस्तु है जो नियमों द्वारा दिए गए सभी विशेषताओं के होते हुए टुकड़े की भूमिका निभाता है।
•  तो गणित का खेल शतरंज की तरह कैसे है?  भले ही आप गणित में प्रतीकों के पीछे के अर्थों को कैसे बदल दें, परिणाम समान है।  गणित एक तरह का तार्किक परिणाम है।  यही सब आप कर रहे हैं: तार्किक परिणामों को दूर करना, जिसने बर्ट्रेंड रसेल को यह कहने के लिए प्रेरित किया: “गणित को उस विषय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसमें हम कभी नहीं जानते कि हम किस बारे में बात कर रहे हैं, और न ही हम जो कह रहे हैं वह सच है।”
•  यह सिर्फ एक हेरफेर प्रतीक है।  आप एक औपचारिक खेल खेल रहे हैं।  हिल्बर्ट गणित के अनंत समृद्ध चरित्र को संरक्षित करना चाहते थे।  जैसा कि मैंने कहा, वह किसी भी तरह से छुटकारा पाने के लिए नहीं जा रहा था।  उसे एक कहानी के साथ आने की जरूरत थी कि कैसे अनंत सामान उसमें फिट बैठता है।  हिल्बर्ट ने प्रसिद्ध रूप से एक बार कहा था: “कोई भी हमें उस स्वर्ग से निष्कासित नहीं करेगा जो कैंटर ने हमारे लिए बनाया है।”
•  गणित को सीमित करने की थोड़ी सी भी धारणा नहीं होने से उसका कोई पता नहीं चल पाया।  हिल्बर्ट ने गणित की संपूर्णता का सम्मान किया, लेकिन ऐसा करने के लिए, उन्हें यह साबित करने की आवश्यकता थी कि गणित सुसंगत और पूर्ण था।  आप इस विधि से सब कुछ कर सकते हैं।  यदि आप इसे एक औपचारिक खेल मानते हैं, तो आप इस औपचारिक खेल को खेलकर प्रमेयों को क्रैंक कर पाएंगे।  आपको बस इतना ही करना है।  कटौती से गुजरने के अलावा गणित के सत्य तक कोई अन्य पहुंच नहीं है, और उन कटौती से गुजरना आपको परेशानी में नहीं डालेगा।  आपको लगातार प्रमाण की आवश्यकता है।
•  बर्ट्रेंड रसेल विरोधाभास के संकट के बाद, सेट सिद्धांत पर हैकिंग करने वाले आधुनिक लोग उन समस्याओं को तैयार करने की कोशिश कर रहे हैं जो बेहतर तरीके से उत्पन्न हुए हैं, अभी तक रसेल के रूप में सफल नहीं हुए हैं।  इस प्रकार हिल्बर्ट का कार्यक्रम महत्वपूर्ण था।  इसमें सफल होने के लिए, हिल्बर्ट को अनंत गणित के लिए आवश्यक स्थिरता स्थापित करने के लिए अपने साक्ष्यों की पूर्णता के लिए पूरी तरह से बारीक गणित पर भरोसा करने की आवश्यकता थी।

4.गोडेल का अपूर्णता प्रमेय (Gödel’s incompleteness theorem)-

•  1931 में, गोडेल ने दिखाया कि जब गणित में कोई वाक्य होता है, यदि प्रणाली सुसंगत है, तो वह वाक्य एक प्रमेय नहीं है, और न ही यह एक प्रमेय है।  तो इसका क्या मतलब है कि एक अंधा स्थान है।  गणित में एक वाक्य है जो यदि सुसंगत है, तो इसे गणित से प्राप्त नहीं किया जा सकता है।  यदि यह सुसंगत नहीं है, तो यह हो सकता है।  हालाँकि, यह एक और समस्या बन गया है।
•  गोडेल ने इस सामान को एक सरल तरीके से तैयार किया।  उन्होंने गणित के हर वाक्य को कोड करने और उन्हें गणित के सभी प्रस्तावों के लिए कुछ संख्यात्मक मूल्य देने का एक तरीका बनाया।  आप बस हर चीज के लिए एक नाम प्रदान करते हैं, लेकिन यदि आपके पास उनमें से कई हैं, तो आपको इस बात के बारे में बहुत सावधान रहने की आवश्यकता है कि आप नामों को कैसे असाइन करते हैं।  गोडेल ने जो कुछ किया, उसमें वह बहुत ही चालाक था।  वह सिर्फ एक तकनीकी भाषाओं में से एक थी जिसे उन्होंने अपने सिस्टम को स्थापित करने के लिए आवश्यक किया।  लेकिन एक बार आपने जो कुछ भी किया है, वह सिर्फ “मैं सिद्ध नहीं हूं।” के रूप में एक वाक्य है।
•  फिर से, हमें झूठे विरोधाभास पर विचार करने की आवश्यकता है, और गोडेल ने एक झूठा के बारे में भी चिंता की।  मैं सिद्ध नहीं हूं।  यदि यह सिद्ध हो तो क्या होगा?  तब यह झूठा होना चाहिए क्योंकि यह कहता है कि यह सिद्ध नहीं है।  तो यह प्रणाली में एक असंगतता है।  इसलिए यदि आप उस वाक्य को प्राप्त कर सकते हैं और यदि आप उस वाक्य को सिद्ध कर सकते हैं, तो आपके सिस्टम असंगत हैं।
•  दूसरी ओर, अगर यह साबित नहीं होता है तो क्या होगा?  फिर जो कहता है वह सत्य है पर सिद्ध नहीं।  यह एकमात्र विकल्प है जो यहां खड़ा है।  यह वाक्य सही है लेकिन सिस्टम के अनुकूल नहीं है अगर सिस्टम सुसंगत है।
•  गोडेल का मूल विचार बहुत सरल है।  हालांकि, यह मुख्य विचार है, और इसके लिए काम करने के लिए बहुत सारे चर हैं।  लेकिन मूल विचार केवल सरल है;  वह झूठा विरोधाभास के बारे में सोच रहा था।  हिल्बर्ट के लिए यह एक समस्या थी।  हिल्बर्ट को लगा कि इस औपचारिक खेल को खेलकर सभी को गणित को फिर से प्राप्त करने में सक्षम होना चाहिए।  औपचारिक खेल से, उसने जो इरादा किया था वह नियमों के माध्यम से प्रतीकों में हेरफेर कर रहा था।
•  गोडेल ने हमें क्या दिखाया कि अंधे धब्बे होंगे।  यही गणित है, और यह चीजों को याद करने वाला है।  हिल्बर्ट के लिए यह असुविधाजनक हो सकता है, लेकिन हिल्बर्ट “उदासीनता से हर किसी के लिए बुरा है” के उदासीन रवैये के साथ स्थिति का सामना कर सकता है।

5.हिल्बर्ट के लिए दूसरी समस्या: गोडेल की दूसरी अपूर्णता प्रमेय (The second problem for Hilbert: Gödel’s second incompleteness theorem)-

•  गोडेल ने दिखाया कि कोई सुसंगत प्रणाली नहीं है और इसलिए इसकी स्थिरता साबित हुई।गणित की एक निश्चित मात्रा के साथ कोई सुसंगत सिद्धांत इसकी स्थिरता साबित नहीं कर सकता है।  यह विनाशकारी है।  सदमे की लहरों ने गणित और गणित का उपयोग करने वाले सभी लोगों को मारा।  यह फिर कभी नहीं होने की जरूरत है।
•  इस तरह की विसंगतियों के कारण कभी भी नए सिद्धांतों को काम करना ठीक नहीं था क्योंकि लोगों ने माना कि मूल राय स्वीकार्य थी, हालांकि कोई भी पूरी तरह से आश्वस्त नहीं था जब तक कि रसेल साथ नहीं आया और उस सभी को चुनौती दी।  ऐसा लग रहा था जैसे सबकुछ हंकी-डोरी था, लेकिन ऐसा नहीं था।  इसलिए उन्होंने आशा व्यक्त की कि नया सिद्धांत सुसंगत था हालांकि एक निश्चित था।  जो लोग चाहते थे वह सबूत था जो सुसंगत था।  गोडेल ने दिखाया कि ऐसा कोई जानवर नहीं है।  संगति जैसी कोई चीज नहीं है जब तक आपने साबित नहीं किया है कि कुछ असंगत है।  तभी आप कह सकते हैं कि यह सुसंगत है, फिर भी यह बेकार है।
•  तो मूल विचार यह है कि यदि टी सुसंगत है, तो जी टी में व्युत्पन्न नहीं है। इसलिए टी केवल आपका गणितीय सिद्धांत है।  यदि यह सिद्धांत सुसंगत है, तो जी, जो “मैं व्युत्पन्न नहीं हूं”, जिसका अर्थ है कि जी टी में व्युत्पन्न नहीं है। यदि आपके पास टी का लगातार प्रमाण हो सकता है, तो आप गोडेल के वाक्य को प्राप्त करेंगे, जिसे हम पहले से ही जानते हैं।  आप प्राप्त नहीं कर सकते।  इसलिए आपके पास एक सुसंगत प्रमाण नहीं हो सकता है।
•  परिणामों का महत्व केवल गणित और तर्क के लिए है।  लेकिन गोडेल के परिणामों का क्या?  रसेल द्वारा साबित की गई विसंगति के साथ संकट के विपरीत, यह तय किया जाना था।  जब आप असंगत होते हैं तो आप गणित के साथ नहीं जा सकते।  फिर भी, यह संकट केवल सिद्धांत निर्धारित करने से संबंधित था, सिर्फ इसलिए कि सेट सिद्धांत संकट में था, इसका मतलब यह नहीं था कि गणित की संपूर्णता एक पीस पड़ाव पर आ गई।  जब हम सिद्धांत सेट करने की बात करते हैं, तो हम मुश्किल में पड़ जाते हैं, लेकिन यह बाकी गणित की तरह नहीं होता है।  यकीनन आपको क्वांटम यांत्रिकी में संकट हो सकता है क्योंकि, वर्तमान में, क्वांटम यांत्रिकी की व्याख्या गहराई से समस्याग्रस्त है।  हालांकि, क्या इसका मतलब यह है कि पारिस्थितिकविदों को तब तक काम करना बंद कर देना चाहिए जब तक कि क्वांटम भौतिक विज्ञानी चीजों को छांट न लें  नहीं!  पारिस्थितिकी और अन्य जगहों पर चीजें सामान्य रूप से चलती हैं।
• तो गणित के लिए, बहुत से गणितज्ञ अपने व्यवसाय के बारे में हमेशा की तरह चले गए, लेकिन उनके भौंह पर पसीने की बूंदें थीं।  गोडेल के परिणाम उस तरह की चीजें नहीं हैं जिन्हें तय करने की आवश्यकता है।  ये सिस्टम के बारे में सिर्फ तथ्य हैं।  यह गणित के बारे में सिर्फ एक तथ्य है कि इसमें अंधे धब्बे होंगे।  आप उस प्रणाली की स्थिरता प्राप्त नहीं कर सकते हैं जो सिस्टम के भीतर गणित के लिए पर्याप्त समृद्ध है।  आप सिस्टम के हर सत्य को प्राप्त नहीं कर सकते।  इस तरह के अंधे धब्बे होंगे।  इसके बारे में क्या करने जा रहा है?  इसके साथ जियो।  इसलिए यह इस तरह का चौंकाने वाला परिणाम है।  ये गणित के बारे में गणितीय प्रमेय हैं, जबकि हमारे पास अब मेटामेटामेटिकल प्रमेय हैं, जो सांसारिक गणित से ऊपर एक स्तर हैं।
•  हमें बस उनके साथ काम करना है।  इसलिए वे गणित और तर्क जैसे सभी प्रकार के स्थानों के लिए महत्वपूर्ण निहितार्थ हैं, लेकिन कंप्यूटिंग के लिए भी।  आप सोचते हैं कि कंप्यूटर क्या है और यह कहना है कि यह एक तरह की प्रोग्रामिंग मशीन है जो नियमों का एक गुच्छा क्रैंक करती है।  कंप्यूटर क्या करते हैं?  कंप्यूटर गोडेल की प्रणाली की एक तरह की तात्कालिकता है।  अंधे धब्बे होंगे।  यह कुछ लोगों को लगता है कि “ठीक है, ये परिणाम सिर्फ गणितीय परिणाम नहीं हैं।”  फिर वे मशीन सोच की गणना या प्रकृति की प्रकृति में आवश्यक अंतर्दृष्टि के लिए ड्राइव करते हैं।
•  क्या इंसान की सोच और कम्प्यूटेशनल मशीन की सोच में अंतर है?  तो मुझे बस एक तर्क के माध्यम से जल्दी से चलो, जिसे बहुत अधिक प्रेस प्राप्त हुआ है।  यह भी एक कारण है कि गोडेल के परिणाम उतने ही प्रसिद्ध हैं जितने कि इन परिणामों का उतना ही महत्व है जितना कि मानव मन को समझने के लिए।  इसलिए, गोडेल, यह दर्शाता है कि गणित में “अंधा धब्बे” (असत्य सत्य) हैं।  लेकिन गोडेल के वाक्य “यह वाक्य अकारण है” का सत्य स्पष्ट और स्पष्ट है।
•  इसे पढ़ने वाला हर व्यक्ति देख सकता है कि यह सच है।  हमें यह सोचने में कुछ मिनट लगे कि यह सच क्यों है, लेकिन यह भी स्पष्ट है कि यह वाक्य सही होना चाहिए।  इसलिए एक सच्चा वाक्य यह भी है जो गणित में व्युत्पन्न नहीं है।
•  तो एक अंधे स्थान के साथ, किसी भी प्रकार की एल्गोरिदमिक कम्प्यूटेशनल प्रणाली पकड़ी जाती है, जबकि हम इंसान असंगतियों को सीधे सच मान सकते हैं।  तो यह विचार की एक बहुत ही स्वाभाविक रेखा है कि ऐसा लगता है कि मनुष्य के सोचने के तरीके और मशीनों के सोचने के तरीके के बीच मौलिक रूप से कुछ अलग है।  यह आश्चर्य की बात नहीं है।  आप उस लोकप्रिय दृष्टिकोण को याद कर सकते हैं कि मानव मस्तिष्क सिलिकॉन की बजाय सिर्फ एक प्रकार का फैंसी कंप्यूटर है।  बस इतना ही।  यह केवल एक फैंसी कंप्यूटर है।  विचार की यह पंक्ति बताती है,
•  “ठीक है, ऐसा लगता है कि मशीन की सोच के बारे में मौलिक रूप से कुछ अलग है, जिसमें ये गोडेल अंधा धब्बे हैं, जबकि बहुत अंधे धब्बे जो प्रदर्शित किए गए हैं, वे मनुष्यों के लिए कोई अंधे धब्बे नहीं हैं।”
•  तो क्या यह कंप्यूटर और मानव मन के बीच के अंतर के बारे में कुछ गहरा और दिलचस्प कहता है?  मुझे ऐसा नहीं लगता, लेकिन फिर भी यह एक आकर्षक सोच है।  मैं उस पल के बारे में सोच रहा हूं, चाहे गोडेल परिणाम दिखाता है, और हमें बताता है कि मनुष्यों और मशीनों के बारे में कुछ अलग है।
•  मुझे क्यों नहीं लगता कि यह हमें मतभेदों के बारे में उल्लेखनीय कुछ भी बताता है?  सबसे पहले, हम उस तरह की मशीन की तरह काम नहीं करते हैं जो गोडेल के दिमाग में था, क्योंकि शुरुआत के लिए, हम संभाव्य तर्क का उपयोग करते हैं।  हमें प्रमाण की आवश्यकता नहीं है क्योंकि हम इसे देख सकते हैं।
•  हमारे लिए मनुष्य, जब तर्क और तर्क के साथ काम करते हैं, तो हमारे पास चीजों का मूल्यांकन करने के विभिन्न तरीके होते हैं, जिनके बीच हम अंतर नहीं करते हैं जिसमें सरल अवलोकन, संभाव्य तर्क, विनम्रता, आंत की भावनाएं, छठी इंद्रिय, इत्यादि शामिल हैं।  जब आप लॉजिक पेपर की तरह कुछ अधिक कठोर होते हैं, जिसे आप शायद ही कभी तर्क के बाहर ले जाते हैं, तो यह आश्चर्य की बात नहीं है कि मनुष्य मशीनों के विपरीत हैं।  लेकिन ऐसा नहीं है कि दावा क्या है।  दावा यह है कि यदि आपने एक मानव मन की रचना करने की कोशिश की है, तो यह सिर्फ एक अंधा स्थान नहीं होगा, जो कि पेचीदा है क्योंकि एक मशीन करता है।
•  एक सरल उत्तर है जो आश्चर्य की बात नहीं है क्योंकि हम जटिल हैं।  अगर हम एक तरह के कंप्यूटर (हमारे दिमाग) होते, तो हम एक असाधारण श्रेणी की चीजें करने में सक्षम होते और उनमें तर्क करने की एक विशाल श्रृंखला होती।  हालाँकि, गोडेल का तर्क अलग है।
•  लेकिन यहाँ अधिक रोमांचक जवाब की तरह है।  गोडेल परिणाम क्या दिखाता है कि इस धारणा के साथ कि प्रणाली सुसंगत है, अंधा धब्बे होंगे।  यह नहीं कहता कि प्रणालियों में अंधे धब्बे हैं।  यह सिर्फ यह कह रहा है कि यदि प्रणाली सुसंगत है, तो अंधे धब्बे होंगे।
•  इसलिए अगर मैं कहता हूं कि आप जो कुछ भी मानते हैं वह सुसंगत है, और आपकी प्रणाली सुसंगत है, तो यह कितना प्रशंसनीय है?  हर्गिज नहीं।  हम सभी के पास विभिन्न प्रकार की चीजों के बारे में असंगत धारणाएं हैं।  मैं आपको अपने विश्वास प्रणालियों के बारे में सोचने के लिए आमंत्रित करता हूं।
•  जब आप एक तर्क कक्षा में होते हैं, और शिक्षक बात कर रहे होते हैं, तो आप कई बार भ्रमित हो जाते हैं और खो जाते हैं और आपके सोचने का तरीका बदल जाता है।  हालांकि, ज्यादातर लोग कक्षा से बाहर कदम रखते ही अपने डिफ़ॉल्ट तरीके से सोचने पर वापस लौट जाते हैं।  हम जिस शहर में रहते हैं, उसके बारे में हम सभी की असंगत धारणा है। मैं अपने स्थानीय पड़ोस को जानता हूं, और मेरे पास उस स्थानीय पड़ोस का एक प्रकार का मानसिक मानचित्र है और साथ ही पास के दूसरे पड़ोस का मानसिक मानचित्र भी है।  ये नक्शे ओवरलैप होते हैं।  एक व्यापक घटना यह सोचने के लिए है कि आप जानते हैं कि एक सड़क उत्तर-दक्षिण चलती है क्योंकि यह लगभग उत्तर-दक्षिण दिशा में है, और फिर आप सड़क के किनारे की सड़क के बारे में सोचते हैं जिसे आप यह महसूस किए बिना जानते हैं कि यह एक ही सड़क नहीं है  ।  उदाहरण के लिए, कमोबेश पूर्व-पश्चिम में चलने वाली सोच।  यह एक बहुत ही सामान्य गलती है जब लोग अपने शहर के स्थानीय नक्शे रखते हैं, और इन अतिव्यापी मानसिक मानचित्रों में विसंगतियां हैं।
•  इसलिए मैंने जो किया जब मैंने कहा कि यह देखने के लिए स्पष्ट है, आपके सिर में झूठी धारणा डाल रहा था कि सिस्टम सुसंगत है।  यह बहुत अच्छा कारण है कि अविश्वसनीय और वास्तव में अविश्वसनीय है, क्योंकि गोडेल ने हमें बताया कि यह प्रणाली की स्थिरता को साबित नहीं कर सकता है।  इसलिए प्रभावी रूप से, मैंने जो किया है वह प्रणाली की स्थिरता में विवेकपूर्ण रूप से नहीं डाला गया है, लेकिन आपने यह भी मान लिया है कि प्रणाली सुसंगत है।  हालाँकि, आप ऐसी कोई बात नहीं जानते हैं। गोडेल की अपूर्णता प्रमेय, एक तरह से, यह सुनिश्चित करता है कि ऐसा न हो।  फिर भी, यह एक रोमांचक विचार है।  मानव मन और मशीनों के बीच एक बुनियादी अंतर है।  अब, मैं सिर्फ अधूरा सामान एक तरफ छोड़ना चाहता हूं और गोडेल के कम-ज्ञात परिणामों में से एक के बारे में कुछ कहना चाहता हूं।
•  गोडेल 1950 के दशक में अक्सर प्रिंसटन में आइंस्टीन के साथ आते और जाते रहते थे।  आइंस्टीन के साथ विभिन्न वार्तालापों पर कोई संदेह नहीं है, गोडेल गति के लिए उठे।  वह एक चतुर व्यक्ति था।  उन्होंने गणितीय भौतिकी में काम नहीं किया था, लेकिन वे इस मामले में सामान्य सापेक्षता पर गति करने के लिए पर्याप्त चतुर थे, जहां वे सापेक्षता के क्षेत्र में चौंकाने वाले परिणाम प्रकाशित कर सकते थे।
•  इसलिए उन्होंने पाया कि आइंस्टीन के समीकरणों का एक विषम मॉडल था।  आइंस्टीन के समीकरण वे समीकरण हैं जो अंतरिक्ष-समय के तरीके का वर्णन करते हैं।  जिस तरह से यह हो सकता है।  विवरण पदार्थ के वितरण पर निर्भर करते हैं, और वे बड़े वैश्विक अवरोध हैं और अंतरिक्ष-समय कैसे संरचित होता है।  गोडेल ने जो दिखाया वह यह था कि ऐसे असामान्य समाधान थे जिनकी किसी को तलाश नहीं थी क्योंकि वे उन समाधानों की तलाश में थे जो उस ब्रह्मांड से संबंधित थे, जिसमें हम रहते हैं। जो गोदेल प्रदान करता था वह आइंस्टीन के समीकरणों का एक मॉडल था जिसमें ब्रह्मांड का एक बड़ा घूर्णन था।  डिस्क और जिसमें टाइम-लाइन दुनिया की लाइनें बंद थीं।
•  एक विश्व रेखा अंतरिक्ष-समय के माध्यम से एक कण के प्रक्षेपवक्र की तरह है।  बंद का मतलब है यह अपने आप वापस आ जाता है।  यदि आप मेरी विश्व रेखा के बारे में सोचते हैं, तो यह किसी जगह पर शुरू हुआ, और जैसे-जैसे मैं अंतरिक्ष में घूमता गया और जैसे-जैसे समय बीतता गया मैं इस तरह के प्रक्षेपवक्र पर पहुँच गया।  एक बंद समय-रेखा जो दिखती है, वह एक विश्व रेखा है जो लौकिक आयाम में स्वयं पर वापस आती है, जो संक्षेप में, समय की एक यात्रा के रूप में होती है।
•  यह ऐसा है जैसे कि अंतरिक्ष-समय के पास सही प्रकार की संरचना है, जहां यदि आप एक रॉकेट को सही दिशा में शूट करने के लिए पर्याप्त चालाक हैं, तो आप पहले के समय में खुद पर वापस आ सकते हैं।  गणितीय तर्क पर काम करते हुए, गोडेल ने सामान्य सापेक्षता पर तेजी से काम किया और कहा, आइंस्टीन:
•  “बड़ी विशाल घूर्णन डिस्क के बारे में क्या होगा यदि आप पर्याप्त तेज़ी से चलते हैं (प्रकाश की गति से अधिक), तो आप अंततः समाप्त हो जाएंगे जहां आपने समय-रेखा की विश्व लाइनों की अवधारणा के कारण शुरू किया था।
•  यह दिलचस्प क्यों है?  यह वास्तव में बहुत महत्वपूर्ण दार्शनिक है क्योंकि ऐसे तर्क हैं जो लोगों को यह सुझाव देने के लिए सामने रखते हैं कि समय यात्रा तार्किक रूप से असंभव है।  आपने अक्सर कहा है कि दार्शनिक हलकों में कहा जाता है।  ऐसा इसलिए है क्योंकि यदि आपके पास समय-यात्रा है तो तार्किक विरोधाभास हैं।  उदाहरण के लिए, आप वापस जा सकते हैं और एक बच्चे के रूप में खुद को मार सकते हैं।  पर्याप्त उम्र बढ़ने का यह विरोधाभास है कि आप एक समय मशीन का निर्माण कर सकते हैं जिसका उपयोग आप वापस जाने और अतीत में खुद को शूट करने के लिए कर सकते हैं।  उस मामले में, क्या आपने हत्या की, या आपने नहीं की?  समान रूप से अभी तक नामांकित दादा विरोधाभास में आमतौर पर एक के दादा की हत्या शामिल है और यह सवाल उठाता है कि क्या यह एक गर्भाधान को रोक देगा।
•  कुछ के अनुसार, समय यात्रा तार्किक रूप से असंभव है।  यह एक तार्किक विरोधाभास को जन्म देता है।  आइंस्टीन के समीकरण के गोडेल के समाधान के बारे में क्या?  उन्होंने दिखाया था कि यह हमारे सर्वश्रेष्ठ भौतिक सिद्धांत के अनुरूप है और सामान्य सापेक्षता के साथ इस अर्थ में सुसंगत है कि बंद समय-रेखा विश्व रेखाएं हैं।  ये सिर्फ तार्किक संभावनाएँ नहीं हैं।  ये वास्तविक संभावनाएं हैं जो बहुत मजबूत हैं।  तो यह कहना नहीं है कि हम ऐसे ब्रह्मांड में रहते हैं;  समय यात्रा का दावा बहुत भयानक नहीं है।  बस यह निश्चित रूप से शारीरिक रूप से संभव है कि हम ऐसी दुनिया में रह सकें जो आइंस्टीन के सिद्धांत के अनुरूप है, और अगर हम ऐसे ब्रह्मांड में नहीं रहते, तो ये प्रक्षेपवक्र होते।
•  इसलिए यह उन लोगों पर दबाव डालता है जो दावा करते हैं कि समय यात्रा तार्किक रूप से असंभव है।  आप अभी भी उस दृश्य का बचाव कर सकते हैं और गोडेल के मामलों की खामियों को इंगित कर सकते हैं, लेकिन गोडेल की तस्वीर अभी भी एक बहुत ही पेचीदा विचार है।
• उपर्युक्त विवरण में  कर्ट गोडेल और गणित की सीमाएं (Kurt Gödel and Limits of Mathematics) के बारे में बताया गया है।