1.ग्रहों की गति के लिए केप्लर के नियम (Kepler Laws for Planetary Motion):

Kepler Laws for Planetary Motion

ग्रहों की गति के लिए केप्लर के नियम (Kepler Laws for Planetary Motion):सुप्रसिद्ध डेनिस ज्योतिषी केप्लर (1571-1630) ने सौर परिवार के ग्रहों की गति के लिए कुछ आनुभविक निम्न नियमों का प्रतिपादन किया:
(1.) प्रत्येक ग्रहों की‌ कक्षाएं दीर्घवृत्त के रूप की है जिनकी एक नाभि पर सूर्य स्थित है।
(Each planet describe an ellipse with the sun as one of the foci.)
(2.)सूर्य से ग्रह तक खींची हुई ध्रुवान्तर रेखाओं की गति से कक्षा समतल में रचित क्षेत्रफल समान समयों में समान होता है।
(The areas described by the radii drawn from the planet to the sun in the same orbit, proportional to the times of describing them.)
(3.)विभिन्न ग्रहों के परिक्रमण काल का वर्ग उनकी कक्षाओं के दीर्घाक्षों ‌के घन के ‌समानुपाती होता है।
(The squares of the periodic times of the planets are proportional to the cubes of the semi major axis of their orbits.)
केप्लर के नियमों से न्यूटन द्वारा किए गए निगमन:
(1.)प्रथम नियम से सभी ग्रहों की कक्षाएं दीर्घवृत्ताकार है इसलिए यह निष्कर्ष निकालते हैं कि प्रत्येक ग्रह का त्वरण अर्थात् इस पर कार्यशील बल सूर्य से दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
(2.)द्वितीय नियम से स्पष्ट है कि क्षेत्रीय वेग (Areal Velocity) अचर रहता है अर्थात्
r^{2} \dot{\theta}=अचर \Rightarrow \frac{1}{r} \frac{d}{d t}\left(r^{2} \dot{\theta}\right)=0
जिससे ग्रहों का अनुप्रस्थ त्वरण (Transverse acceleration) शून्य होता है अर्थात् प्रत्येक ग्रह सर्वदा कक्षा के ध्रुव (नाभि) जिस पर सूर्य स्थित है,की ओर आकर्षित होता है।
(3.)यदि किसी ग्रह का कार्यशील बल प्रति इकाई संहति \frac{\mu}{r^{2}} हो,परिक्रमण काल T हो और दीर्घवृत्तीय कक्षा का अर्द्ध दीर्घाक्ष a हो तो हम जानते हैं कि

T=\frac{2 \pi}{\sqrt{\mu}} a^{\frac{3}{2}} \\ \Rightarrow T^{2}=\frac{4 \pi^{2}}{\mu} \cdot a^{3}
अब केप्लर के तृतीय नियम के अनुसार ग्रह के लिए \frac{4 \pi^{2}}{\mu} अचर है।अतः प्रत्येक ग्रह के लिए \mu (सूर्य से इकाई दूरी पर त्वरण) अचर है।अतः सिद्ध होता है कि विभिन्न ग्रहों पर सूर्य का आकर्षण बल उन ग्रहों की गति की संहति के समानुपाती (Proportional) होते हैं।
न्यूटन ने लगभग एक शताब्दी बाद केप्लर के नियमों से सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियम (Universal Law of Gravitation) का निगमन किया।जिसका प्रकथन है कि समष्टि (Universe) में प्रत्येक कण प्रत्येक अन्य कण को एक ऐसे बल से आकर्षित करता है जो उन कणों की संहतियों के गुणनफल के समानुपाती तथा उनके बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है अर्थात् यदि दो कणों की संहतियां क्रमशः m_{1}  तथा m_{2}  है तथा उनके बीच दूरी r हो तो उनके बीच का आकर्षण बल \gamma=\frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} ; जहां \gamma अचर है जिसे गुरुत्वाकर्षण अचरांक कहते हैं।
दीर्घवृत्त के लिए कुछ महत्त्वपूर्ण परिणाम (Some Important Results of Ellipse):
(1.) दीर्घवृत्त पर स्थित किसी बिन्दु P की नाभिक दूरियों का योग अचर होता है तथा यह दीर्घाक्ष की लम्बाई (=2a) के बराबर होता है अर्थात्

Kepler Laws for Planetary Motion

SP+HP=2a
यदि SP=r,तब HP=2a-r
(2.)यदि दीर्घवृत्त के किसी बिन्दु पर खींची गई स्पर्शरेखा पर उसकी दोनों नाभियों से डाले गए लम्बों का गुणनफल अचर होता है तथा अर्द्ध लघुअक्ष के वर्ग के बराबर होता है।

PP'=SY.HZ=b^{2}
(3.)CZ समान्तर SP
(4.) दीर्घवृत्त का नाभिलम्ब=\frac{2 b^{2}}{a}=2 l जहां, b^{2}=a^{2}\left(1-e^{2}\right) ,जहां a अर्द्ध-दीर्घाक्ष,b अर्द्ध-लघुअक्ष तथा e उत्केन्द्रता है।
(5.)CH=CS=se
(6.) \angle YPS=\angle ZPH या \angle GPS=\angle GPH जहां बिन्दु P पर YPZ स्पर्शरेखा तथा PG अभिलम्ब है।
(7.)A(a,0),A'(-a,0),B(0,b),B'(0,-b),S(-ae,0),H(ae,0)

H B^{2}=a^{2} e^{2}+b^{2}=a^{2} \Rightarrow H B=a
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2.ग्रहों की गति के लिए केप्लर के नियम के उदाहरण (Kepler Laws for Planetary Motion Examples):

Example:1.सूर्य के चारों ओर घूमने में पृथ्वी की कक्षा की उत्केन्द्रता \frac{1}{60} है;प्रदर्शित करो कि सूर्य से पृथ्वी की दूरी,कक्षा की अर्ध-दीर्घाक्ष  की लम्बाई से अर्द्ध-वर्ष से लगभग दो दिन अधिक तक ज्यादा रहेगी।
(The eccentricity of the earth’s orbit round the sun is \frac{1}{60}; show that the earth’s distance from the sun exceeds the length of the semi major axis of the orbit during about 2 days more than half the year.)
Solution:-h=r^{2} \frac{d \theta}{d r}=2 (संकेन्द्र कक्षा क्षेत्रफल निर्माण की दर अचर)
यदि t त्रिज्या खण्डीय क्षेत्रफल SB’ABS के निर्माण में लिया गया समय हो अर्थात् सूर्य द्वारा B’AB से आधा
क्षेत्रफल निर्माण की दर=\frac{\text{Area SB'ABS}}{t} \cdots(1)
पुनः पृथ्वी सूर्य के चारों ओर दीर्घवृत्त में एक वर्ष में पूरा एक चक्कर लगाती है
अतः क्षेत्रफल निर्माण की दर=\frac{\text{Area of ellipse}}{\text{one Year}} \cdots(2)

Kepler Laws for Planetary Motion

क्षेत्रफल निर्माण की दर अचर है इसलिए समीकरण (1) व (2) से-

\frac{\text{Area SB'ABS}}{t}=\frac{\text{Area of ellipse}}{\text{one Year}}
SB’ABS का क्षेत्रफल=ABB’ का क्षेत्रफल+\triangle SBB' \text{ का क्षेत्रफल } \\ =\frac{\pi a b}{2}+\frac{1}{2}(2 b)(a e)\cdots(3)
[दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल=\pi a b]
समीकरण (3) से-

t =\frac{\frac{\pi a b}{2}+\text { abe }}{\pi a b} \times \text { oneyear } \\ =\left(\frac{1}{2}+\frac{e}{\pi}\right) \text { one year } \\ =\frac{1}{2} \text { year } +\frac{1}{60} \cdot \frac{7}{22} \times 365 \text { days } \\ \Rightarrow t =\frac{1}{2} \text { year }+2 \text { day nearly }
Example:2.यदि एक कण नाभि से r दूरी पर है,इसका वेग v की दिशा ध्रुवान्तर रेखा से कोण बनाती है तो सिद्ध कीजिए कि

e^{2} \mu^{2}=\left(v^{2} r-\mu\right)^{2} \sin ^{2} \phi +\mu^{2} \cos ^{2} \phi
(Prove that if when the particle is at a distance r from the focus,its velocity is v in a direction making an angle with the radius vector,then prove that

e^{2} \mu^{2}=\left(v^{2} r-\mu\right)^{2} \sin ^{2} \phi +\mu^{2} \cos ^{2} \phi
Solution:जब p= r \sin \phi तो vp=h

v r \sin \phi=h \cdots(1) \\ \Rightarrow h^{2}=\mu l=\mu \frac{b^{2}}{a} \\ \Rightarrow h^{2} =\mu a \left(1-e^{2}\right) \cdots(2)
समीकरण (1) व (2) से-

v^{2} r^{2} \sin ^{2} \phi=\mu a\left(1-e^{2}\right) \\ \Rightarrow \frac{1}{a}=\frac{\mu\left(1-e^{2}\right)}{v^{2} r^{2} \sin ^{2} \phi} \cdots(3) \\ v^{2}=\mu\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right) \cdots(4)
समीकरण (3) से \frac{1}{a} का मान समीकरण (4) में रखने पर-

v^{2}=\frac{2 \mu}{r}-\mu \cdot \frac{\mu\left(1-e^{2}\right)}{v^{2} r^{2} \sin ^{2} \phi} \\ \Rightarrow \left(\frac{v^{2} r-2 \mu}{r}\right) v^{2} r^{2} \sin ^{2} \phi=-\mu^{2}+\mu^{2} e^{2} \\ \Rightarrow e^{2} \mu^{2} =\left(v^{4} r^{2}-2 \mu v^{2} r\right) \sin^{2} \phi+\mu^{2}\left(\cos ^{2} \phi+\sin ^{2} \phi\right) \\ =\left(v^{4} r^{2}-2 \mu v^{2} r+\mu^{2}\right) \sin ^{2} \phi+\mu^{2} \cos ^{2} \phi \\ =\left(v^{2} r-\mu \right)^{2} \sin ^{2} \phi+\mu^{2} \cos ^{2} \phi \\ \Rightarrow e^{2} \mu^{2} =\left(v^{2} r-\mu\right)^{2} \sin ^{2} \phi+\mu^{2} \cos ^{2} \phi
Example:3.यदि किसी ग्रह को अपनी कक्षा (वृत्तीय माने जाने वाली) में एकाएक रोक दी जाए,तो सिद्ध कीजिए कि वह ग्रह के परिक्रमण काल \frac{\sqrt{2}}{8} के गुणा समय में सूर्य के अन्दर गिर जाएगा।
(If a planet was suddenly stopped in the orbit, supposed circular,show that if would fall into the sun in a time which is \frac{\sqrt{2}}{8} times the period of the planet's revolution.)
Solution:माना कण के सापेक्ष वृत्तीय कक्षा में घूम रहा है तथा अचानक P पर रूक जाता है ताकि इसका वेग घटकर शून्य हो जाए तथा अब यह S की तरफ चलना प्रारम्भ करता है जहां PS सरल रेखा है।

Kepler Laws for Planetary Motion

गति का समीकरण
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-\frac{\mu}{x^{2}} (x घट रहा है)

\Rightarrow \frac{d v}{d x}=-\frac{\mu}{x^{2}} \\ \Rightarrow v d v=-\frac{\mu}{x^{2}} d x \\ \Rightarrow \int v d v=-\int \frac{\mu}{x^{2}} d x \\ \Rightarrow v^{2}=\frac{2 \mu}{x}+A
जब x=a तो ग्रह P पर है तब v=0

A=-\frac{2 \mu}{a} \\ v^{2} =2 \mu\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{a}\right) \\ =2 \mu\left(\frac{a-x}{a x}\right) \\ \Rightarrow v=\frac{d x}{d t}= -\sqrt{(2 \mu)} \sqrt{\frac{(a-x)}{a x}} \\ \Rightarrow \int_{a}^{0} \sqrt{\left(\frac{ax}{a-x}\right)} d x=\int_{t=0}^{t} \sqrt{(2 \mu)} d t \cdots (1)
सीमाएं-      t=0 तब x=a=SP
           जब t=t. तब x=0 अर्थात् ग्रह S पर है।

\text { putting } x=a \cos ^{2} \theta \Rightarrow d x=-2 a \cos \theta \sin \theta d \theta \\ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{a} \frac{\cos \theta}{\sin \theta} 2 a \cos \theta \sin \theta d \theta=\sqrt{(2 \mu)}t \\ \Rightarrow 2 a^{\frac{3}{2}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2} \theta d \theta=\sqrt{(2 \mu)} t \\ \Rightarrow t=\frac{2 a^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{(2 \mu)}} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}
ग्रह का आवर्तकाल T है तब

T=\frac{2 \pi}{\sqrt{\mu}} a^{\frac{3}{2}} \\ \Rightarrow t=\frac{1}{4 \sqrt{2}} T \Rightarrow t=\left(\frac{\sqrt{2}}{8}\right) T
Example:4.यदि किसी ग्रह का परिक्रमण काल 365 दिन है और उत्केन्द्रता e=\frac{1}{60} हो तो सिद्ध करो कि उन अर्ध भागों की रचना करने के समय जो बलकेन्द्र से गुजरने वाली नाभिलम्ब द्वारा परिबद्ध होते हैं,लगभग \frac{365}{2}\left[1 \pm \frac{1}{15 \pi}\right] होंगे।
(If the period of planet be 365 days and the eccentricity e is \frac{1}{60} ;show that the times of describing the two halves of the orbit,bounded by the latus rectum passing through the centre of force are \frac{365}{2}\left[1 \pm \frac{1}{15 \pi}\right]
Solution:किसी दीर्घवृत्तीय चाप LAL' के निर्माण में लगा समय

Kepler Laws for Planetary Motion

T=\frac{2 a^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{\mu}}\left[2 \tan^{-1} \sqrt{\left(\frac{1-e}{1+e}\right)} \tan \frac{\theta}{2}-e \sqrt{1-e^{2}} \frac{\sin \theta}{1+e \cos \theta}\right]
नाभिलम्ब पर \theta=90^{\circ}

T_{1}=\frac{2 a^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{\mu}}\left[2 \tan^{-1} \sqrt{\left(\frac{1-e}{1+e}\right)}- e \sqrt{\left(1-e^{2}\right)}\right]
e=\frac{1}{60} बहुत छोटा है अतः e की उच्चतम घातों को उपेक्षणीय मानने पर
आवर्तकाल T=\frac{2 \pi}{\sqrt{\mu}} a^{\frac{3}{2}}=365 दिन 

T_{1} =\frac{T}{\pi}\left[2 \tan ^{-1} (1-e)^{\frac{1}{2}}\left(1+e\right)^{-\frac{1}{2}}-e\left(1-e^{2}\right)^{\frac{1}{2}}\right]\\ =\frac{T}{\pi}\left[2 \tan^{-1} \left(1-\frac{1}{2} e \cdot \cdots\right)\left(1-\frac{1}{2} e \cdots\right)-e\left(1-\frac{1}{2} e^{2} \cdots\right)\right] \\ =\frac{T}{\pi}\left[2 \tan ^{-1}(1-e)-e\right] \\ \tan^{-1} (1)=\frac{\pi}{4} \Rightarrow \tan ^{-1}(1-e)=\frac{\pi}{4}-z जहां z छोटा है

1-e=\tan \left(\frac{\pi}{4}-z\right)=\frac{1-\tan z}{1+\tan z} \\ \Rightarrow 1-e =(1-\tan z)(1+\tan z)^{-1} \\ =(1-\tan z)(1-\tan z \cdots) \\ =(1-2 \tan z \cdots) \\ \tan z =\frac{e}{2}=\frac{1}{120} \\ \therefore z =\tan^{-1} \left(\frac{1}{120}\right)=\frac{1}{120}(लगभग )

T_{1} =\frac{T}{\pi}\left[2\left(\frac{\pi}{4}-z\right)-\frac{1}{60}\right] \\ =\frac{T}{\pi}\left[\frac{\pi}{2}-\frac{1}{60}-\frac{1}{60}\right] \\ T_{1} =\frac{T}{2}\left(1-\frac{1}{15 \pi}\right)(लगभग )

T_{2} चाप L'A'L है अतः 

T_{2}=T-T_{1}=T-\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{15 \pi}\right) \\ \Rightarrow T_{2}=\frac{T}{2}\left(1+\frac{1}{15 \pi}\right)

अतः T_{1} तथा T_{2} का मान 

\frac{T}{2}\left(1 \pm \frac{1}{15 \pi}\right)=\frac{365}{2}\left(1 \pm \frac{1}{15 \pi} \right)
Example:5.प्रदर्शित कीजिए कि यदि एक कण केन्द्रीय बल के अधीन गति करता है जो कि दूरी के वर्ग व्युत्क्रमानुपाती है तो किसी भी त्रिज्या वाली वृत्तीय कक्षा में किसी बिन्दु पर वेग और उसी बल के अधीन अनन्त दूरी से उस बिन्दु तक गिरने से प्राप्त वेग का अनुपात 1: \sqrt{2} है।
(Show that if a particle moves under a central force inversely proportional to the square of distance,the velocity at any point of a circular orbit of any radius and under the same force the velocity acquired in falling from infinity so that point are in the ratio 1: \sqrt{2})
Solution:एक वृत्त के निर्माण में वेग v_{2} हो तब
\frac{v_{2}^{2}}{R}=Normal acceleration (अभिलाम्बिक त्वरण)=\frac{2 \mu}{R^{2}}

\Rightarrow v_{2}^{2}=\frac{\mu}{R}=\frac{1}{2} \cdot\left(\frac{2 \mu}{R}\right) \\ \Rightarrow v_{2}^{2}=\frac{1}{2} v_{1}^{2}\left[\because v_{2}=\frac{2 \mu}{R}\right] \\ \Rightarrow v_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}} v_{1} \\ \Rightarrow v_{2}: v_{1}=1: \sqrt{2}
Example:6.यदि पृथ्वी का वेग उसकी कक्षा (वृत्तीय मानकर) के किसी बिन्दु पर लगभग आधा और बढ़ा दिया जाए तो सिद्ध करो कि वह सूर्य को नाभि मानकर एक परवलय में चलेगी।
(If the velocity of the earth of any point of its orbit assumed that it would describe a parabola about the sun as focus)
Solution:यदि लघुअक्ष के किनारे पर वेग v है

Kepler Laws for Planetary Motion

SB=a तब V^{2}=\mu \left(\frac{2}{a}-\frac{1}{a}\right)=\frac{\mu}{a} \cdots(1)

जब गतिज ऊर्जा (K.E.) दुगुनी है तो माना वेग v है  

तब \frac{1}{2} m v^{2}=2\left(\frac{1}{2} m V^{2}\right) \\ \Rightarrow v^{2}=2 V^{2} \\ \Rightarrow v^{2}=2 \frac{\mu}{a} [(1) से ]
परन्तु हम जानते हैं परवलय कक्षा के लिए v^{2}=\frac{2 \mu}{r}=\frac{2 \mu}{a} (\because r=a)
अतः कण एक परवलय कक्षा का निर्माण करता है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा ग्रहों की गति के लिए केप्लर के नियम (Kepler Laws for Planetary Motion) को समझ सकते हैं।

3.ग्रहों की गति के लिए केप्लर के नियम की समस्याएं (Kepler Laws for Planetary Motion Problems):

(1.)एक कण एक बल जो कि \frac{\mu}{\text{ दूरी}^{2}} है और नाभि की ओर है,के अधीन एक दीर्घवृत्त का निर्माण करता है।यदि इसे एक नियत बिन्दु से,जिसकी दूरी बलकेन्द्र से r है,v वेग से प्रक्षिप्त किया गया हो तो सिद्ध कीजिए कि इसका आवर्तकाल होगा:
(A particle descibes an ellipse under a force \frac{\mu}{\text{distance }^{2}} towards the focus;if it was projected with velocity V from a point distant r from the centre of force, show that its periodic time is:)

\frac{2 \pi}{\sqrt{\mu}}\left[\frac{2}{r}-\frac{V^{2}}{\mu}\right]^{-\frac{3}{2}}
(2.) एक कण केन्द्रीय त्वरण \frac{\mu}{r^{2}} से गतिमान है इसे R दूरी पर V वेग से प्रक्षिप्त किया जाता है,यदि प्रक्षेप कोण निम्न हो:
(A particle moving with a central acceleration \frac{\mu}{r^{2}} is projected with velocity V at a distance R show that the path is a rectangular hyperbola if the angle of projection is:

\sin^{-1}\left[\frac{\mu}{V R\left(v^{2}-\frac{2 \mu}{R}\right)^{\frac{1}{2}}}\right]
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर ग्रहों की गति के लिए केप्लर के नियम (Kepler Laws for Planetary Motion) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.ग्रहों की गति के लिए केप्लर के नियम (Kepler Laws for Planetary Motion) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न: