1.कार्ल पियर्सन सहसम्बन्ध गुणांक (Karl Pearson Correlation Coefficient),कार्ल पियर्सन का सहसम्बन्ध गुणांक (Karl Pearson Coefficient of Correlation):

Karl Pearson Correlation Coefficient

कार्ल पियर्सन सहसम्बन्ध गुणांक (Karl Pearson Correlation Coefficient) सहविचरण (covariance) का ही गुणांक (सापेक्ष माप) है।सहविचरण एक निरपेक्ष माप है।इसे गुणांक में परिवर्तन करने के लिए दोनों श्रेणियों के प्रमाप विचलनों (Standard Deviation) के गुणनफल का भाग दे दिया जाता है।इस प्रकार उपलब्ध अनुपात ही सहसम्बन्ध गुणांक कहलाता है।सूत्रानुसार

\frac{\Sigma d x d y}{N} \times \frac{1}{\sigma_{x} \sigma_{y}}
or \frac{\text { Covariance of  X and Y}}{\sqrt{\sigma_{x}^{2} \times \sigma_{y}^{2}}}
or  \frac{\Sigma d x d y}{N \sigma_x \sigma_y}
उपर्युक्त सूत्र कार्ल पियर्सन के सहसम्बन्ध गुणांक का मूल (Original) सूत्र है।
प्रत्यक्ष रीति (Direct Method):
प्रत्यक्ष रीति से सहसम्बन्ध गुणांक ज्ञात करने की निम्न प्रक्रिया हैः
(1.)दोनों श्रेणियों का समान्तर माध्य (\bar{X} तथा \bar{Y}) ज्ञात कर लेते हैं।
(2.)दोनों श्रेणियों के तत्सम्बन्धी समान्तर माध्य से विभिन्न मूल्यों के विचलन dx तथा dy निकाल लेते हैं।यहाँ dx=(X-\bar{X}) तथा dy=(Y-\bar{Y}) हैं।
(3.)दोनों समंक श्रेणियों के परस्पर सम्बन्धित विचलनों (Corresponding Deviation) को गुणा करके उन गुणाओं का योग (\Sigma dxdy) ज्ञात कर लेते हैं।
(4.)दोनों श्रेणियों के विचलनों के वर्ग (Square) पृथक-पृथक ज्ञात कर उनके प्रमाप विचलन निम्न सूत्रों द्वारा ज्ञात कर लेते हैंः

\sigma_x=\sqrt{\frac{\Sigma d^2 x}{N}} ; \sigma_y=\sqrt{\frac{\Sigma d^2 y}{N}}
(5.)अन्त में सहसम्बन्ध गुणांक ज्ञात करने हेतु निम्न सूत्र का प्रयोग किया जाता हैः
r=\frac{\Sigma d x d y}{N \cdot \sigma_{x} \cdot \Sigma_{y}}(प्रथम सूत्र)
जहाँ r=कार्ल पियर्सन का सहसम्बन्ध गुणांक (Coefficient of correlation)
\Sigma dx dy=X तथा Y श्रेणियों के वास्तविक समान्तर माध्यों (Means) से तत्सम्बन्धी (corresponding) विचलनों के गुणनफल का योग
\sigma_x \text { व } \sigma_y =X तथा Y श्रेणियों के प्रमाप विचलन (S.D.)
N=पद-युग्मों की संख्या (Number of pairs of Items)
प्रत्यक्ष रीति का सरलीकरणः
उपर्युक्त प्रथम सूत्र में दोनों श्रेणियों के अलग-अलग प्रमाप विचलन ज्ञात करने पड़ते हैं जिससे गणन क्रिया में काफी समय लग जाता है।उपर्युक्त मूल सूत्र में  \sigma_{x} \text{ तथा } \sigma_{y} के स्थान पर निम्न प्रकार उन्हें ज्ञात करने के सूत्र रखकर इस रीति को सरल बनाया जा सकता हैः
r=\frac{\Sigma d x d y}{N \sqrt{\frac{\sum d^2 x}{N}} \times \sqrt{\frac{\sum d^2 y}{N}}} (द्वितीय सूत्र) or  r=\frac{\Sigma d x d y}{N \sqrt{\frac{\sum d^2 x}{N} \times \frac{\sum d^2 y}{N}}} \\ \text{or } r=\frac{\Sigma dx \cdot d y}{\frac{N}{N} \sqrt{\Sigma d^2 x \times \Sigma d^2 y}} \text { or } \frac{\Sigma d x d y}{\sqrt{\Sigma d^2 x \Sigma d^2 y}} (तृतीय सूत्र)
उपर्युक्त सभी सूत्रों में तृतीय सूत्र सबसे सरल है,अतः व्यवहार में इसी सूत्र का प्रयोग करना चाहिए।
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2.कार्ल पियर्सन सहसम्बन्ध गुणांक के साधित उदाहरण (Karl Pearson Correlation Coefficient Solved Examples):

Example:1.निम्नलिखित समंकों से X तथा Y श्रेणियों में सहसम्बन्ध गुणांक (Coefficient of Correlation) का परिकलन कीजिएः

Solution:-N_x=15, N_y=15 \\ \bar{X} =25, \bar{Y}=18 \\ d^2 x =(X-\bar{X})^2=136, d^2 y=(Y-\bar{Y})^2 =138 \\ \Sigma d x d y =122 \\ r=\frac{\Sigma d x d y}{N \sqrt{\frac{\Sigma d^2 x}{N}} \times \sqrt{ \frac{\Sigma d^2 y}{N}}} \\ =\frac{122}{15 \sqrt{\frac{136}{15} \times \sqrt{\frac{138}{15}}}} \\ =\frac{122}{15 \times 3.01109 \times 3.03315} \\ =\frac{122}{136.9963145} \\ =0.890534 \\ r \approx 0.89
Example:2.निम्न समंकों से सहसम्बन्ध गुणांक (r) की गणना कीजिए:

Solution:- N=8,\bar{X}=74.5 ,A_{x}=69.0 , \sigma_x=13.07 \\ \bar{Y}=125, A_{y}=112.0, \sigma_y=15.85 \\ \Sigma dx dy=2176 \\ r=\frac{\Sigma d x d y-N(\bar{X}-A_{x})(\bar{Y}-A_{y})}{N \sigma_x \cdot \sigma_y} \\ =\frac{2176-8 \times(74.5-65.0)(125.5-112)}{8 \times 13.07 \times 15.85} \\ =\frac{2176-8 \times 5.5 \times 13.5}{1657.276} \\ =\frac{2176-594}{1657.276} \\ =\frac{1582}{1657.276} \\ =0.95457 \\ r \approx +0.955
Example:3.सहसम्बन्ध गुणांक का परिकलन कीजिए।

Solution:- N=1000, \sigma_x=4.5, \sigma_y=3.6 ,\Sigma dx d y=+4800 \\ r=\frac{\Sigma d x d y}{N \sigma_x \sigma_y} \\ =\frac{4800}{1000 \times 4.5 \times 3.6} \\ =\frac{4800}{16200} \\ =0.296296 \\ r \approx 0.2962
Example:4.निम्न सारणी में 10 विद्यार्थियों के लेखाकर्म एवं सांख्यिकी विषयों में प्राप्तांकों को प्रस्तुत किया गया है, सहसम्बन्ध गुणांक की परिगणना कीजिएः
(Marks obtained by 10 students in Accountancy and Statistics are given in the following table,calculate coefficient of correlation):

Solution:Calculation Table of Karl Pearson Coefficient of Correlation

Marks ontained 

Karl Pearson Correlation Coefficient

Example:5.निम्नलिखित श्रेणियों में सहसम्बन्ध गुणांक की परिगणना कीजिएः
(Find coefficient of correlation between the following series):

Solution:Calculation Table of Karl Pearson Coefficient of Correlation

r=\frac{\Sigma d x d y \cdot N-(\Sigma d x \cdot \Sigma d y)}{\sqrt{\left[\Sigma d^2 x \cdot N-(\Sigma d x)^2\right] \left[\Sigma d^2 y \cdot N-(\Sigma d y)^2\right]}} \\ =\frac{2807 \times 8-(40 \times 58)}{\sqrt{\left[1222 \times 8-(40)^{2}\right]\left[6564 \times 8-(98)^2\right]}} \\ =\frac{22456-3920}{\sqrt{(9776-1600)(52352-9604)}} \\ =\frac{18536}{\sqrt{8176 \times 42748}} \\ =\frac{18536}{\sqrt{349507648}} \\ =\frac{18536}{18695.12364} \\=0.991488 \\ \approx +0.9915
Example:6.निर्वाह व्यय तथा मजदूरी में निम्न सूचनाओं से कार्ल पियर्सन के सहसम्बन्ध गुणांक का परिकलन कीजिएः
(Calculate karl pearson’s coefficient of correlation between cost of living and wages from the following data):

Solution:Calculation Table of Karl Pearson Coefficient of Correlation

r=\frac{\Sigma d x d y \cdot N-\left(\Sigma d x \cdot \Sigma d y\right)}{\sqrt{\left[\Sigma d^2 x \cdot N-\left(\Sigma d x\right)^2\right]\left[\Sigma d^2 y \cdot N-(\Sigma d y)^2\right]}} \\ =\frac{462 \times 10-(110)(-16)}{\sqrt{\left[1860 \times 10-(110)^2\right]\left[1150 \times 10-(-16)^2\right]}} \\ =\frac{4620+1760}{\sqrt{(18600-12100)(11500-256)}} \\ =\frac{6380}{\sqrt{6500 \times 11244}} \\ =\frac{6380}{\sqrt{73086000}} \\=\frac{6380}{8549.035033} \\ =0.746283 \\ r \approx 0.7463
Example:7.मजदूरी तथा निर्वाह व्यय सम्बन्धी निम्न सूचनाओं से सहसम्बन्ध गुणांक की परिगणना कीजिएः
(Calculate coefficient of correlation between wages and cost of living from the following data):

Solution:Calculation Table of Karl Pearson Coefficient of Correlation

r=\frac{\Sigma d x d y \cdot N-\left(\Sigma dx-\Sigma d y\right)}{\sqrt{\left[\Sigma d^2 x \cdot N-\left(\Sigma d x\right)^2\right]\left[\Sigma d^2 y \cdot N-\left(\Sigma d y\right)^2\right]}} \\=\frac{65 \times 10-(-9)(0)}{\sqrt{\left[69 \times 10-(-9)^2\right]\left[96 \times 10-(0)^2\right]}} \\ =\frac{650}{\sqrt{(690-81)(960)}} \\ =\frac{650}{\sqrt{609 \times 960}} \\=\frac{650}{\sqrt{584640}} \\ =\frac{650}{764.61755} \\ =0.850098 \\ r \approx +0.85r=\frac{\Sigma d x d y \cdot N-\left(\Sigma dx-\Sigma d y\right)}{\sqrt{\left[\Sigma d^2 x \cdot N-\left(\Sigma d x\right)^2\right]\left[\Sigma d^2 y \cdot N-\left(\Sigma d y\right)^2\right]}} \\=\frac{65 \times 10-(-9)(0)}{\sqrt{\left[69 \times 10-(-9)^2\right]\left[96 \times 10-(0)^2\right]}} \\ =\frac{650}{\sqrt{(690-81)(960)}} \\ =\frac{650}{\sqrt{609 \times 960}} \\=\frac{650}{\sqrt{584640}} \\ =\frac{650}{764.61755} \\ =0.850098 \\ r \approx +0.85
Example:8.निम्न समंक पिता और पुत्रों की लम्बाई से सम्बन्धित हैं, सहसम्बन्ध गुणांक ज्ञात कीजिएः
(Find out correlation coefficient from the following data in respect of height (in inches) of father and sons):

Solution:Calculation Table of Karl Pearson Coefficient of Correlation

r=\frac{\Sigma dx dy \cdot N-(\Sigma d x-\Sigma dy)}{\sqrt{\left[\Sigma d^2x \cdot N-(\Sigma d x)^2\right]\left[\Sigma d^2 y \cdot N-(\Sigma d y)^2\right]}} \\ =\frac{69 \times 12-(-22)(-17)}{\sqrt{\left[130 \times 12-(-22)^2\right]\left[63 \times 12-(-17)^2\right]}} \\ =\frac{828-374}{\sqrt{(1560-484)(756-289)}} \\ =\frac{454}{\sqrt{1076 \times 467}} \\ =\frac{454}{\sqrt{502492}} \\ =\frac{454}{708.8667} \\ =0.64045 \\ r \approx+0.64
Example:9.एक फैक्ट्री में कार्यानुसार मजदूरी पर कार्यरत श्रमिकों की आय तथा व्यय के मध्य सहसम्बन्ध गुणांक ज्ञात कीजिएः
(Find out the correlation between the Income and Expenditure of wages-earners on piece-rate system working in a factory):

Solution:Calculation Table of Karl Pearson Coefficient of Correlation

3.कार्ल पियर्सन सहसम्बन्ध गुणांक पर आधारित सवाल (Questions Based on Karl Pearson Correlation Coefficient):

Karl Pearson Correlation Coefficient

(1.)किसी फर्म के उत्पादन में से 5 वस्तुओं का एक प्रतिदर्श लिया गया।पाँचों वस्तुओं की लम्बाई तथा भार निम्नांकित हैः
(A sample of 5 items was taken from the output of a firm.Lengths and weights of all items are as under):

उपर्युक्त प्रतिदर्श में लम्बाई तथा भार के बीच सहसम्बन्ध गुणांक ज्ञात कीजिएः
(Find correlation coefficient between length and weight in the above sample):
(2.)निम्न समंकों से पूँजी तथा लाभ में कार्ल पियर्सन का सहसम्बन्ध गुणांक ज्ञात कीजिए।
(From the following data, find Karl pearson’s coefficient of correlation between capital and profit):

उत्तर (Answers):(1.) r=+0.94 (2.)r=+0.96

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4.कार्ल पियर्सन सहसम्बन्ध गुणांक (Frequently Asked Questions Related to Karl Pearson Correlation Coefficient),कार्ल पियर्सन का सहसम्बन्ध गुणांक (Karl Pearson Coefficient of Correlation) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः

कार्ल पियर्सन सहसम्बन्ध गुणांक (Karl Pearson Correlation Coefficient) सहविचरण
(covariance) का ही गुणांक (सापेक्ष माप) है।सहविचरण एक निरपेक्ष माप है।