Karl Pearson Correlation Coefficient
1.कार्ल पियर्सन सहसम्बन्ध गुणांक (Karl Pearson Correlation Coefficient),कार्ल पियर्सन का सहसम्बन्ध गुणांक (Karl Pearson Coefficient of Correlation):
कार्ल पियर्सन सहसम्बन्ध गुणांक (Karl Pearson Correlation Coefficient) सहविचरण (covariance) का ही गुणांक (सापेक्ष माप) है।सहविचरण एक निरपेक्ष माप है।इसे गुणांक में परिवर्तन करने के लिए दोनों श्रेणियों के प्रमाप विचलनों (Standard Deviation) के गुणनफल का भाग दे दिया जाता है।इस प्रकार उपलब्ध अनुपात ही सहसम्बन्ध गुणांक कहलाता है।सूत्रानुसार
NΣdxdy×σxσy1
or σx2×σy2 Covariance of X and Y
or NσxσyΣdxdy
उपर्युक्त सूत्र कार्ल पियर्सन के सहसम्बन्ध गुणांक का मूल (Original) सूत्र है।
प्रत्यक्ष रीति (Direct Method):
प्रत्यक्ष रीति से सहसम्बन्ध गुणांक ज्ञात करने की निम्न प्रक्रिया हैः
(1.)दोनों श्रेणियों का समान्तर माध्य (Xˉ तथा Yˉ) ज्ञात कर लेते हैं।
(2.)दोनों श्रेणियों के तत्सम्बन्धी समान्तर माध्य से विभिन्न मूल्यों के विचलन dx तथा dy निकाल लेते हैं।यहाँ dx=(X−Xˉ) तथा dy=(Y−Yˉ) हैं।
(3.)दोनों समंक श्रेणियों के परस्पर सम्बन्धित विचलनों (Corresponding Deviation) को गुणा करके उन गुणाओं का योग (Σdxdy) ज्ञात कर लेते हैं।
(4.)दोनों श्रेणियों के विचलनों के वर्ग (Square) पृथक-पृथक ज्ञात कर उनके प्रमाप विचलन निम्न सूत्रों द्वारा ज्ञात कर लेते हैंः
σx=NΣd2x;σy=NΣd2y
(5.)अन्त में सहसम्बन्ध गुणांक ज्ञात करने हेतु निम्न सूत्र का प्रयोग किया जाता हैः
r=N⋅σx⋅ΣyΣdxdy(प्रथम सूत्र)
जहाँ r=कार्ल पियर्सन का सहसम्बन्ध गुणांक (Coefficient of correlation)
Σdxdy=X तथा Y श्रेणियों के वास्तविक समान्तर माध्यों (Means) से तत्सम्बन्धी (corresponding) विचलनों के गुणनफल का योग
σx व σy =X तथा Y श्रेणियों के प्रमाप विचलन (S.D.)
N=पद-युग्मों की संख्या (Number of pairs of Items)
प्रत्यक्ष रीति का सरलीकरणः
उपर्युक्त प्रथम सूत्र में दोनों श्रेणियों के अलग-अलग प्रमाप विचलन ज्ञात करने पड़ते हैं जिससे गणन क्रिया में काफी समय लग जाता है।उपर्युक्त मूल सूत्र में σx तथा σy के स्थान पर निम्न प्रकार उन्हें ज्ञात करने के सूत्र रखकर इस रीति को सरल बनाया जा सकता हैः
r=NN∑d2x×N∑d2yΣdxdy (द्वितीय सूत्र) or r=NN∑d2x×N∑d2yΣdxdyor r=NNΣd2x×Σd2yΣdx⋅dy or Σd2xΣd2yΣdxdy (तृतीय सूत्र)
उपर्युक्त सभी सूत्रों में तृतीय सूत्र सबसे सरल है,अतः व्यवहार में इसी सूत्र का प्रयोग करना चाहिए।
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2.कार्ल पियर्सन सहसम्बन्ध गुणांक के साधित उदाहरण (Karl Pearson Correlation Coefficient Solved Examples):
Example:1.निम्नलिखित समंकों से X तथा Y श्रेणियों में सहसम्बन्ध गुणांक (Coefficient of Correlation) का परिकलन कीजिएः
X series | Y series | |
पदयुग्मों की संख्या (No. of Items) | 15 | 15 |
समान्तर माध्य (Arithmetic Mean) | 25 | 18 |
समान्तर माध्य से विचलनों के वर्गों का योग (Sum of squares of deviations from means) | 136 | 138 |
X तथा Y श्रेणी में अपने-अपने समान्तर माध्य से लिए गए विचलनों का गुणनफल का योग (summation of product of deviations from respective means of X and Y series) | +122 |
Solution:-Nx=15,Ny=15Xˉ=25,Yˉ=18d2x=(X−Xˉ)2=136,d2y=(Y−Yˉ)2=138Σdxdy=122r=NNΣd2x×NΣd2yΣdxdy=1515136×15138122=15×3.01109×3.03315122=136.9963145122=0.890534r≈0.89
Example:2.निम्न समंकों से सहसम्बन्ध गुणांक (r) की गणना कीजिए:
X तथा Y श्रेणियों में पद युग्मों की संख्या (No. of pairs of observations of X & Y series) | 8 |
समान्तर माध्य X श्रेणी (Arithmetic mean of X series) | 74.5 |
कल्पित माध्य X श्रेणी (Assumed mean of X series) | 69 |
प्रमाप विचलन X श्रेणी (S.D. of X series) | 13.07 |
समान्तर माध्य Y श्रेणी (Arithmetic mean of Y series) | 125.5 |
कल्पित माध्य Y श्रेणी (Assumed mean of Y series) | 112 |
प्रमाप विचलन Y श्रेणी (S.D. of Y series) | 15.85 |
तदनुरूपी विचलनों के गुणनफल का योग (Sum of products of X & Y series from their respective assumed means, i.e. (Σdxdy) | 2176 |
Solution:- N=8,Xˉ=74.5,Ax=69.0,σx=13.07Yˉ=125,Ay=112.0,σy=15.85Σdxdy=2176r=Nσx⋅σyΣdxdy−N(Xˉ−Ax)(Yˉ−Ay)=8×13.07×15.852176−8×(74.5−65.0)(125.5−112)=1657.2762176−8×5.5×13.5=1657.2762176−594=1657.2761582=0.95457r≈+0.955
Example:3.सहसम्बन्ध गुणांक का परिकलन कीजिए।
X series | Y series | |
पदों की संख्या (Number of observations) | 1000 | 1000 |
प्रमाप विचलन (standard deviation) | 4.5 | 3.6 |
X तथा Y श्रेणियों के तदनुरूपी विचलनों के गुणनफल का योग (Sum of product of corresponding deviation of X and Y series) | +4800 |
Solution:- N=1000,σx=4.5,σy=3.6,Σdxdy=+4800r=NσxσyΣdxdy=1000×4.5×3.64800=162004800=0.296296r≈0.2962
Example:4.निम्न सारणी में 10 विद्यार्थियों के लेखाकर्म एवं सांख्यिकी विषयों में प्राप्तांकों को प्रस्तुत किया गया है, सहसम्बन्ध गुणांक की परिगणना कीजिएः
(Marks obtained by 10 students in Accountancy and Statistics are given in the following table,calculate coefficient of correlation):
Roll Nos. | Accountancy | statistics |
1 | 45 | 35 |
2 | 10 | 90 |
3 | 65 | 70 |
4 | 30 | 40 |
5 | 90 | 95 |
6 | 40 | 40 |
7 | 50 | 60 |
8 | 75 | 80 |
9 | 85 | 80 |
10 | 60 | 50 |
Solution:Calculation Table of Karl Pearson Coefficient of Correlation
Mark in Accountancy | Mark in Statistics | product | ||||
Marks | Deviation | Square of Deviation | Marks | Deviation | Square of Deviation | of Deviation |
(X) | dx | d2x | (Y) | dy | d2y | dxdy |
45 | -10 | 100 | 35 | -29 | 841 | 290 |
10 | -45 | 2025 | 90 | 26 | 676 | -1170 |
65 | 10 | 100 | 70 | 6 | 36 | 60 |
30 | -25 | 625 | 40 | -24 | 576 | 600 |
90 | 35 | 1225 | 95 | 31 | 961 | 1085 |
40 | -15 | 225 | 40 | -24 | 576 | 360 |
50 | -5 | 25 | 60 | -4 | 16 | 20 |
75 | 20 | 400 | 80 | 16 | 256 | 320 |
85 | 30 | 900 | 80 | 16 | 256 | 480 |
69 | 5 | 25 | 50 | -14 | 196 | -70 |
550 | 640 | 4390 | 1975 |
Marks ontained
Xˉ=NΣX=10550=55,Yˉ=NΣY=10640=64r=Σd2x×Σd2yΣdxdy=5650×43901975=248035001975=4980.3112351975=0.39656r≈0.40Example:5.निम्नलिखित श्रेणियों में सहसम्बन्ध गुणांक की परिगणना कीजिएः
(Find coefficient of correlation between the following series):
Fertilizer(metric tonnes) | productivity(metric tonnes) |
15 | 85 |
18 | 93 |
20 | 95 |
24 | 105 |
30 | 120 |
35 | 130 |
40 | 150 |
50 | 160 |
Solution:Calculation Table of Karl Pearson Coefficient of Correlation
Fertilizer | Productivity | Product | ||||
Deviation | Square of Deviation | Deviation | Square of Deviation | of Deviation | ||
X | dx | d2x | Y | dy | d2y | dxdy |
15 | -9 | 81 | 85 | -20 | 400 | 180 |
18 | -6 | 36 | 93 | -12 | 144 | 72 |
20 | -4 | 16 | 95 | -10 | 100 | 40 |
24 | 0 | 0 | 105 | 0 | 0 | 0 |
30 | 6 | 36 | 120 | 15 | 225 | 90 |
35 | 11 | 121 | 130 | 25 | 625 | 275 |
40 | 16 | 256 | 150 | 45 | 2025 | 720 |
50 | 26 | 676 | 160 | 55 | 3025 | 1430 |
Total | 40 | 1222 | 98 | 6544 | 2807 |
r=[Σd2x⋅N−(Σdx)2][Σd2y⋅N−(Σdy)2]Σdxdy⋅N−(Σdx⋅Σdy)=[1222×8−(40)2][6564×8−(98)2]2807×8−(40×58)=(9776−1600)(52352−9604)22456−3920=8176×4274818536=34950764818536=18695.1236418536=0.991488≈+0.9915
Example:6.निर्वाह व्यय तथा मजदूरी में निम्न सूचनाओं से कार्ल पियर्सन के सहसम्बन्ध गुणांक का परिकलन कीजिएः
(Calculate karl pearson’s coefficient of correlation between cost of living and wages from the following data):
Year | Index of cost of living | Index of Wages |
1991-92 | 100 | 100 |
1992-93 | 105 | 107 |
1993-94 | 104 | 115 |
1994-95 | 106 | 115 |
1995-96 | 99 | 115 |
1996-97 | 96 | 121 |
1997-98 | 107 | 125 |
1998-99 | 112 | 128 |
1999-00 | 118 | 133 |
2000-01 | 123 | 135 |
Solution:Calculation Table of Karl Pearson Coefficient of Correlation
Index of cost | Index of | ||||||
of living | Wages | ||||||
Year | X | dx | d2x | Y | dy | d2y | dxdy |
1991-92 | 100 | 4 | 16 | 100 | -21 | 441 | -84 |
1992-93 | 105 | 9 | 81 | 107 | -14 | 196 | -126 |
1993-94 | 104 | 8 | 64 | 115 | -6 | 36 | -48 |
1994-95 | 106 | 10 | 100 | 115 | -6 | 36 | -60 |
1995-96 | 99 | 3 | 9 | 115 | -6 | 36 | -18 |
1996-97 | 96 | 0 | 0 | 121 | 0 | 0 | 0 |
1997-98 | 107 | 11 | 121 | 125 | 4 | 16 | 44 |
1998-99 | 112 | 16 | 256 | 128 | 7 | 49 | 112 |
1999-00 | 118 | 22 | 484 | 133 | 12 | 144 | 264 |
2000-01 | 123 | 27 | 729 | 135 | 14 | 196 | 378 |
Total | 110 | 1860 | -16 | 1150 | 462 |
r=[Σd2x⋅N−(Σdx)2][Σd2y⋅N−(Σdy)2]Σdxdy⋅N−(Σdx⋅Σdy)=[1860×10−(110)2][1150×10−(−16)2]462×10−(110)(−16)=(18600−12100)(11500−256)4620+1760=6500×112446380=730860006380=8549.0350336380=0.746283r≈0.7463
Example:7.मजदूरी तथा निर्वाह व्यय सम्बन्धी निम्न सूचनाओं से सहसम्बन्ध गुणांक की परिगणना कीजिएः
(Calculate coefficient of correlation between wages and cost of living from the following data):
Wages | cost of living |
100 | 98 |
101 | 99 |
103 | 99 |
102 | 97 |
100 | 95 |
99 | 92 |
97 | 95 |
98 | 94 |
96 | 90 |
95 | 91 |
Solution:Calculation Table of Karl Pearson Coefficient of Correlation
Wages | cost of living | |||||
X | dx | d2x | Y | dy | d2y | dxdy |
100 | 0 | 0 | 98 | 3 | 9 | 0 |
101 | 1 | 1 | 99 | 4 | 16 | 4 |
103 | 3 | 9 | 99 | 4 | 16 | 12 |
102 | 2 | 4 | 97 | 2 | 4 | 4 |
100 | 0 | 0 | 95 | 0 | 0 | 0 |
99 | -1 | 1 | 92 | -3 | 9 | 3 |
97 | -3 | 9 | 95 | 0 | 0 | 0 |
98 | -2 | 4 | 94 | -1 | 1 | 2 |
96 | -4 | 16 | 90 | -5 | 25 | 20 |
95 | -5 | 25 | 91 | -4 | 16 | 20 |
Total | -9 | 69 | 0 | 96 | 65 |
r=[Σd2x⋅N−(Σdx)2][Σd2y⋅N−(Σdy)2]Σdxdy⋅N−(Σdx−Σdy)=[69×10−(−9)2][96×10−(0)2]65×10−(−9)(0)=(690−81)(960)650=609×960650=584640650=764.61755650=0.850098r≈+0.85r=[Σd2x⋅N−(Σdx)2][Σd2y⋅N−(Σdy)2]Σdxdy⋅N−(Σdx−Σdy)=[69×10−(−9)2][96×10−(0)2]65×10−(−9)(0)=(690−81)(960)650=609×960650=584640650=764.61755650=0.850098r≈+0.85
Example:8.निम्न समंक पिता और पुत्रों की लम्बाई से सम्बन्धित हैं, सहसम्बन्ध गुणांक ज्ञात कीजिएः
(Find out correlation coefficient from the following data in respect of height (in inches) of father and sons):
Father | Sons |
65 | 68 |
63 | 66 |
67 | 68 |
64 | 65 |
68 | 69 |
62 | 66 |
70 | 68 |
66 | 67 |
68 | 71 |
67 | 67 |
63 | 68 |
71 | 70 |
Solution:Calculation Table of Karl Pearson Coefficient of Correlation
Father | Sons | |||||
X | dx | d2x | Y | dy | d2x | dxdy |
65 | -3 | 9 | 68 | -1 | 1 | 3 |
63 | -5 | 25 | 66 | -3 | 9 | 15 |
67 | -1 | 1 | 68 | -1 | 1 | 1 |
64 | -4 | 16 | 65 | -4 | 16 | 16 |
68 | 0 | 0 | 69 | 0 | 0 | 0 |
62 | -6 | 36 | 66 | -3 | 9 | 18 |
70 | 2 | 4 | 68 | -1 | 1 | -2 |
66 | -2 | 4 | 67 | -4 | 16 | 8 |
68 | 0 | 0 | 71 | -2 | 4 | 0 |
67 | -1 | 1 | 67 | -2 | 4 | 2 |
63 | -5 | 25 | 68 | -1 | 1 | 5 |
71 | 3 | 9 | 70 | 1 | 1 | 3 |
Total | -22 | 130 | -17 | 63 | 69 |
r=[Σd2x⋅N−(Σdx)2][Σd2y⋅N−(Σdy)2]Σdxdy⋅N−(Σdx−Σdy)=[130×12−(−22)2][63×12−(−17)2]69×12−(−22)(−17)=(1560−484)(756−289)828−374=1076×467454=502492454=708.8667454=0.64045r≈+0.64
Example:9.एक फैक्ट्री में कार्यानुसार मजदूरी पर कार्यरत श्रमिकों की आय तथा व्यय के मध्य सहसम्बन्ध गुणांक ज्ञात कीजिएः
(Find out the correlation between the Income and Expenditure of wages-earners on piece-rate system working in a factory):
Month | Income | Expenses |
oct | 46 | 36 |
Nov | 54 | 40 |
Dec | 56 | 49 |
Jan | 56 | 54 |
Feb | 58 | 42 |
Mar | 60 | 58 |
Apr | 62 | 54 |
May | 66 | 58 |
Solution:Calculation Table of Karl Pearson Coefficient of Correlation
Month | Income | Expenses | |||||
X | dx | d2x | Y | dy | d2x | dxdy | |
oct | 46 | -12 | 144 | 36 | -6 | 36 | 72 |
Nov | 54 | -4 | 16 | 40 | -2 | 4 | 8 |
Dec | 56 | -2 | 4 | 49 | 7 | 49 | -14 |
Jan | 56 | -2 | 4 | 54 | 12 | 144 | -24 |
Feb | 58 | 0 | 0 | 42 | 0 | 0 | 0 |
Mar | 60 | 2 | 4 | 58 | 16 | 256 | 32 |
Apr | 62 | 4 | 16 | 54 | 12 | 144 | 48 |
May | 66 | 8 | 64 | 58 | 16 | 256 | 128 |
-6 | 252 | 55 | 889 | 250 |
3.कार्ल पियर्सन सहसम्बन्ध गुणांक पर आधारित सवाल (Questions Based on Karl Pearson Correlation Coefficient):
(1.)किसी फर्म के उत्पादन में से 5 वस्तुओं का एक प्रतिदर्श लिया गया।पाँचों वस्तुओं की लम्बाई तथा भार निम्नांकित हैः
(A sample of 5 items was taken from the output of a firm.Lengths and weights of all items are as under):
Length(Inches) | 3 | 4 | 6 | 7 | 10 |
Weight | 9 | 11 | 14 | 15 | 16 |
उपर्युक्त प्रतिदर्श में लम्बाई तथा भार के बीच सहसम्बन्ध गुणांक ज्ञात कीजिएः
(Find correlation coefficient between length and weight in the above sample):
(2.)निम्न समंकों से पूँजी तथा लाभ में कार्ल पियर्सन का सहसम्बन्ध गुणांक ज्ञात कीजिए।
(From the following data, find Karl pearson’s coefficient of correlation between capital and profit):
Capital(000 rs) | Profit Earned(000 Rs.) |
100 | 30 |
90 | 22 |
80 | 20 |
70 | 14 |
60 | 15 |
50 | 10 |
40 | 5 |
30 | 8 |
20 | 4 |
10 | 2 |
उत्तर (Answers):(1.) r=+0.94 (2.)r=+0.96
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4.कार्ल पियर्सन सहसम्बन्ध गुणांक (Frequently Asked Questions Related to Karl Pearson Correlation Coefficient),कार्ल पियर्सन का सहसम्बन्ध गुणांक (Karl Pearson Coefficient of Correlation) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः
प्रश्नः1.सहसम्बन्ध का अर्थ बताइए। (State the Meaning of Correlation):
उत्तर:जब दो समंक श्रेणियों में इस प्रकार का सम्बन्ध हो कि एक समंक श्रेणी में परिवर्तन होने पर दूसरी समंक श्रेणी में भी उसी दिशा में या विपरीत दिशा में परिवर्तन हो जाए तो इस सहपरिवर्तन के गणितीय माप को सहसम्बन्ध कहेंगे।
प्रश्न:2.धनात्मक सहसम्बन्ध व ऋणात्मक सहसम्बन्ध में अन्तर बताइए।
(Differentiate Between Positive and Negative Correlation):
उत्तर:जब चरों में परिवर्तन एक ही दिशा में हो अर्थात् एक चर में वृद्धि होने पर दूसरे चर में भी वृद्धि हो तथा एक चर में कमी होने पर दूसरे चर में भी कमी हो तो ऐसे सहसम्बन्ध को धनात्मक सहसम्बन्ध (positive correlation) कहते हैं।जैसे मूल्य बढ़ने पर पूर्ति का बढ़ना,पिता की आयु बढ़ने से पुत्र की आयु बढ़ना,अधिक विनियोग पर अधिक लाभ की प्रत्याशा आदि।
धनात्मक सहसम्बन्ध के विपरीत जब दो चरों में परिवर्तन विपरीत दिशा में हो अर्थात् एक चर में वृद्धि होने पर दूसरे चर में कमी हो अथवा एक चर में कमी होने पर दूसरे में वृद्धि हो तो ऐसे सहसम्बन्ध को ऋणात्मक सहसम्बन्ध (Negative Correlation) कहते हैं।उदाहरणार्थ मूल्य बढ़ने पर माँग कम होना तथा मूल्य कम होने पर माँग बढ़ना।अतः मूल्य तथा माँग में ऋणात्मक सहसम्बन्ध है।
प्रश्न:3.सरल सहसम्बन्ध क्या होता है? (What is Simple Correlation?):
उत्तर:दो चर मूल्यों (जिनमें एक स्वतन्त्र तथा आश्रित हो) के मध्य सहसम्बन्ध ‘सरल सहसम्बन्ध’ (Simple correlation) कहलाता है।इस प्रकार के सहसम्बन्ध में स्वतन्त्र चर (जिसे अनाश्रित या प्रधान चर भी कहते हैं) का प्रभाव आश्रित चर पर पड़ता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा कार्ल पियर्सन सहसम्बन्ध गुणांक (Karl Pearson Correlation Coefficient),कार्ल पियर्सन का सहसम्बन्ध गुणांक (Karl Pearson Coefficient of Correlation) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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Karl Pearson Correlation Coefficient
कार्ल पियर्सन सहसम्बन्ध गुणांक
(Karl Pearson Correlation Coefficient)
Karl Pearson Correlation Coefficient
कार्ल पियर्सन सहसम्बन्ध गुणांक (Karl Pearson Correlation Coefficient) सहविचरण
(covariance) का ही गुणांक (सापेक्ष माप) है।सहविचरण एक निरपेक्ष माप है।
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