1.कार्ल पिर्यसन का विषमता गुणक (Karl Pearson Coefficient of Skewness),कार्ल पिर्यसन का गुणक (Karl Pearson’s Coefficient):

Karl Pearson Coefficient of Skewness

कार्ल पिर्यसन का विषमता गुणक (Karl Pearson Coefficient of Skewness) के इस आर्टिकल में समान्तर माध्य तथा बहुलक या समान्तर माध्य व मध्यका पर आधारित विषमता गुणक के सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.कार्ल पिर्यसन का विषमता गुणक के उदाहरण (Karl Pearson Coefficient of Skewness Illustrations):

Illustration:2(a).निम्न समंकों से चतुर्थक विचलन तथा विषमता गुणक ज्ञात कीजिए:
(Compute Quartile Deviation and the coefficient of skewness from the following data):

Q_1=14.6^{\prime \prime } ; Q_2=18.8^{\prime \prime}, Q_3=25.2^{\prime \prime}
Solution: Q_1=14.6^{\prime \prime}, Q_2=M=18.8, Q_3=25.2

चतुर्थक विचलन
(Q.D.)=\frac{Q_3-Q_1}{2} \\ =\frac{25.2-14.6}{2} \\ \Rightarrow \text{Q.D.}=5.3
बाउले का विषमता गुणक

J_Q=\frac{Q_3+Q_1-2 M}{Q_3-Q_1} \\ =\frac{25.2+14.6-2 \times 18.8}{25.2-14.6} \\ =\frac{39.8-37.6}{10.6} \\ =\frac{2.2}{10.6} \\ =0.2075 \\ \Rightarrow J_Q \approx 0.208
Illustration:2(b).यदि दो चतुर्थकों का अन्तर 8,उनका योग 22 तथा मध्यका 10.5 है तो विषमता गुणक ज्ञात कीजिए।
(In a distribution the difference of the two quartiles is 8,their sum is 22 and the median is 10.5,find the coefficient of skewness.)
Solution: Q_3-Q_1=8, Q_3+Q_1=22, M=10.5
बाउले का विषमता गुणक

J_Q=\frac{Q_3+Q_1-2 M}{Q_3-Q_1} \\ =\frac{22-2 \times 10.5}{8} \\ =\frac{22-21}{8} \\ =\frac{1}{8} \\ \Rightarrow J_Q =+0.125
Illustration:2(c).यदि बाउले का विषमता गुणक 0.133;प्रथम चतुर्थक 25.83 व मध्यका 36.04 है तो अपकिरण का चतुर्थक गुणक क्या है?
(If Bowley’s coefficient of skewness is=0.133; Q_1=25.83 and M=36.04,find Quartile coefficient of dispersion.)
Solution: J_Q=0.133, Q_1=25.83, Q_3=?
C of Q.D= ?, M=36.04 \\ J_Q=\frac{Q_3+Q_1-2 M}{Q_3-Q_1} \\ \Rightarrow 0.133=\frac{Q_3+25.83-2 \times 36.04}{Q_3-25.83} \\ \Rightarrow 0.133 \left(Q_3-25.83\right)=Q_3+25.83-72.08 \\ \Rightarrow 0.133 Q_3-3.43539=Q_3-46.25 \\ \Rightarrow 0.133 Q_3-Q_3=3.43539-46.25 \\ \Rightarrow-0.867 Q_3=-42.81461 \\ \Rightarrow Q_3=\frac{42.81461}{0.867} \\ \Rightarrow Q_3=49.382 \\ \Rightarrow Q_3\approx 49.38
Coefficient of Q.D. =\frac{Q_3-Q_1}{Q_3+Q_1} \\ =\frac{49.38-25.83}{49.38+25.83} \\ =\frac{23.55}{75.21} \\ =0.3131
\Rightarrow Coefficient of Q.D. \approx 0.31
Illustration:2(d).यदि केली का विषमता गुणक +0.23,प्रथम दशमक \left(D_1\right) 5.812 तथा पंचम दशमक \left(D_5\right) 7.906 है तो 9वें दशमक का मूल्य ज्ञात कीजिए।
(If Kelly’s coefficient of skewness is +0.23,first Decile \left(D_1 \right)=5.812 and decile five \left(D_5\right)=7.906,find out the value of Deciles \left(D_9\right).)
Solution: J_K=+0.23, D_1=5.812, D_5=7.906, \quad D_9= ?
केली का विषमता गुणक

J_K=\frac{D_9+D_1-2D_5}{D_9-D_1} \\ \Rightarrow 40.23 =\frac{D_9+5.812-7.906 \times 2}{D_9-5.812} \\ \Rightarrow+0.23(D_9-5.812)=D_9+5.812-15.812 \\ \Rightarrow 0.23 D_9-1.33676=D_9-10 \\ \Rightarrow 0.23 D_9-D_9=1.33676-10 \\ \Rightarrow -0.77 D_9=-8.66324 \\ \Rightarrow D_9=\frac{8.66324}{0.77} \\ =11.2509 \\ \Rightarrow D_9 \approx 11.25
Illustration:2(e).एक आंशिक रूप से विषमता वितरण का समान्तर माध्य \overline{X}=160,बहुलक (Z)=157 तथा प्रमाप विचलन (\sigma)=50 है।विचरण गुणांक,कार्ल पिर्यसन का विषमता गुणक तथा मध्यका ज्ञात कीजिए।
(For a moderatory skewed distribution,arithmetic mean=160,mode=157 and standard deviation=50.Find coefficient of variation of skewness and median.)
Solution:\overline{X}=160, Z=157, \sigma=50
C.of V=?, J=?, M=?, \sigma=50

कार्ल पिर्यसन का विषमता गुणक

J=\frac{\overline{X}-Z}{\sigma} \\ \Rightarrow J =\frac{160-157}{50} \\ =\frac{3}{50} \\ =0.06
विचरण गुणक

C of V=\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 \\ =\frac{50}{160} \times 100 \\ =31.25 \\ J=\frac{3(\overline{X}-M)}{\sigma} \\ \Rightarrow 0.06=\frac{3(160-M)}{50} \\ \frac{0.06 \times 50}{3}=160-M \\ \Rightarrow M=160-1 \\ \Rightarrow M=159

Karl Pearson Coefficient of Skewness

Illustration:1.निम्न समंकों से विचरण गुणांक और विषमता गुणांक ज्ञात कीजिए:
(From the following data calculate the coefficient of variation and coefficient of skewness):

\begin{array}{|cc|} \hline \text { Year } & \text { price } \\ & \text{indices } \\ \hline 1910 & 83 \\ 1911 & 87 \\ 1912 & 93 \\ 1913 & 109 \\ 1914 & 124\\ 1915 & 126 \\ 1916 & 130 \\ 1917 & 118 \\ 1918 & 106 \\ 1919 & 104 \\ \hline \end{array}
Solution:Calculation Table of Karl Pearson’s Coefficient of Skewness

\begin{array}{|cccc|} \hline \text { Year } & \text { price } & d x & d^2 x \\ & \text{indices } & (A=124) & \\ \hline 1910 & 83 & -41 & 1681 \\ 1911 & 87 & -37 & 1369 \\ 1912 & 93 & -31 & 961 \\ 1913 & 109 & -15 & 225 \\ 1914 & 124 & 0 & 0 \\ 1915 & 126 & 2 & 4 \\ 1916 & 130 & 6 & 36 \\ 1917 & 118 & -6 & 36 \\ 1918 & 106 & -18 & 324 \\ 1919 & 104 & -20 & 400 \\ \hline \text{Total} & & -160 & 5036 \\ \hline \end{array}
मध्यका

M =\frac{N+1}{2} th item
=\frac{10+1}{2} th item
=\frac{11}{2} th item
=5.5 th item
M=\frac{106+109}{2} \\ =\frac{215}{2} \\ \Rightarrow M=107.5
समान्तर माध्य

(\overline{X})=A+\frac{\Sigma d x}{N} \\ =124-\frac{160}{10} \\ =124-16 \\ \Rightarrow \overline{X}=108 \\ \sigma =\sqrt{\frac{\Sigma d x^2}{N}-\left(\frac{\Sigma d x}{N}\right)^2} \\ =\sqrt{\frac{5036}{10}-\left(\frac{-160}{10}\right)^2} \\=\sqrt{503.6-256} \\ =\sqrt{247.6} \\ \Rightarrow \sigma =15.7353 \\ \Rightarrow \sigma =15.74
C. of V =\frac{\sigma}{\overline{X}} \times 100 \\ =\frac{15.74}{108} \times 100 \\ =14.57 \% \\ \approx 14.6 \%
कार्ल पिर्यसन का विषमता गुणक

J=\frac{3(\overline{X}-M)}{\sigma} \\ =\frac{3(108-107-5)}{15.74} \\ =\frac{3 \times 0.5}{15.74} \\ =\frac{1.5}{15.74} \\ =0.0952 \\ \Rightarrow J \approx 0.095
Illustration:2.निम्न समंकों के आधार पर कार्ल पिर्यसन की रीति द्वारा विषमता-गुणांक ज्ञात कीजिए:
(On the basis of following data calculate Karl Pearson’s coefficient of skewness):

\begin{array}{|cc|} \hline \text{size of} & \text{Frequency} \\ \text{item} & \\ \hline 58 & 10 \\ 59 & 18\\ 60 & 30 \\ 61 & 42 \\ 62 & 35 \\ 63 & 28 \\ 64 & 16 \\ 65 & 8 \\ \hline \end{array}
Solution:Calculation of Karl Pearson’s Coefficient of Skewness

\begin{array}{|ccccc|} \hline \text{size of} & \text{Frequency} & \text{Deviation} & \text{Product of} & \text{Product of} \\ \text{item} & (f) & from A=61 & f \times d x & f d x \times d x \\ (x) & & (d x) & (fd x) & \left(fd^2 x\right) \\ \hline 58 & 10 & -3 & -30 & 90 \\ 59 & 18 & -2 & -36 & 72 \\ 60 & 30 & -1 & -30 & 30 \\ 61 & 42 & 0 & 0 & 0 \\ 62 & 35 & 1 & 35 & 35 \\ 63 & 28 & 2 & 56 & 112 \\ 64 & 16 & 3 & 48 & 144 \\ 65 & 8 & 4 & 32 & 128 \\ \hline \text{Total} & 187 & 4 & 75 & 611 \\ \hline \end{array}
समान्तर माध्य

(\overline{X})=A+\frac{\Sigma f d x}{N} \\ =61+\frac{75}{187} \\ =61+0.401 \\ \Rightarrow \overline{X} \approx 61.40
सबसे अधिक बारम्बारता मद 61 की 42 है अतः बहुलक
Z=61 \\ \sigma=\frac{1}{N} \sqrt{\Sigma f d^2 x \times N-\left(\Sigma f d x\right)^2} \\ =\frac{1}{187} \sqrt{611 \times 187-(75)^2} \\ =\frac{1}{187} \sqrt{114257-5625} \\ =\frac{1}{187} \sqrt{108632} \\ =\frac{1}{187} \times 329.5936 \\ =1.7625 \\ \Rightarrow \sigma \approx 1.763
कार्ल पिर्यसन का विषमता गूणक

J=\frac{\overline{X}-Z}{\sigma} \\ =\frac{61.40-61}{1.763} \\ =\frac{0.40}{1.763} \\ \Rightarrow J=0.2268 \\ \Rightarrow J \approx 0.227
Illustration:3.निम्नलिखित सारणी से चतुर्थक विचलन तथा विषमता-गुणांक,चतुर्थकों तथा मध्यका से मालूम करके,निकालिए:
(From the following table, calculate the coefficient of quartile deviation and coefficient of quartile skewness with the help of median and quartiles):

\begin{array}{|cc|} \hline \text{Measurement} & \text{Frequency} \\ \hline 4-8 & 6 \\ 8-12 & 10 \\ 12-16 & 18 \\ 16-20 & 30 \\ 20-24 & 15 \\ 24-28 & 12 \\ 28-32 & 10 \\ 32-36 & 6 \\ 36-40 & 2 \\ \hline \end{array}
Solution:Calculation Table of Bowley’s Coefficient of Skewness

\begin{array}{|ccc|} \hline \text{Measurement} & \text{Frequency} & cf \\ \hline 4-8 & 6 & 6 \\ 8-12 & 10 & 16 \\ 12-16 & 18 & 34 \\ 16-20 & 30 & 64 \\ 20-24 & 15 & 79 \\ 24-28 & 12 & 91 \\ 28-32 & 10 & 101 \\ 32-36 & 6 & 107 \\ 36-40 & 2 & 109 \\ \hline \text { Total } & 109 & \\ \hline \end{array}
m=size of \frac{N}{2} th item
= size of \frac{109}{2} th item
= 54.5 th item
Which lies in 16-20 group
l_{1}=16,i=20-16=4,f=30,c=34
मध्यका (M)=l_1+\frac{i}{f} \text { (m-c) } \\ =16+\frac{4}{30}(54.5-34) \\ =16+\frac{2}{15} \times 20.5 \\=16+\frac{41}{15} \\ =16+2.733 \\ \Rightarrow M \approx 18.73 \\ q_1=\frac{N}{4}=\frac{109}{4} \\ \Rightarrow q_1=27.25
Which lies in 12-16 group
l_1=12, i=16-12=4, f=18, c=16 \\ Q_1=l_1+\frac{i}{f}\left(q_1-c\right) \\ =12+\frac{4}{18}(27.25-16) \\ =12+\frac{2}{9}(11.25) =12+2.50 \\=14.50 \\ \Rightarrow Q_1=14.50 \\ q_3=\frac{3 N}{4}=\frac{3 \times 109}{4} \\ \Rightarrow q_3=81.75
It falls in 24-28 group
l_1=24, i=28-24=4, f=12, c=79 \\ Q_3=l_1+\frac{i}{f}\left(q_3-c\right) \\ =24+\frac{4}{12}(81.75-79) \\ =24+\frac{1}{3} \times 2.75 \\=24+0.91666 \\ \Rightarrow Q_3 = 24.92
चतुर्थक विचलन (Q. D.) =\frac{Q_3-Q_1}{2} \\ =\frac{24.92-14.50}{2} \\ =\frac{10.42}{2} \\ \Rightarrow \text{Q.D.}=5.21
बाउले का विषमता गुणक

J_Q=\frac{Q_3+Q_1-2 M}{Q_3-Q_1} \\ =\frac{24.92+14.50-2 \times 18.73}{24.92-14.56} \\=\frac{39.42-37.46}{10.42} \\ =\frac{1.96}{10.42} \\ =0.18809 \\ \Rightarrow J_Q \approx 0.1881
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कार्ल पिर्यसन का विषमता गुणक (Karl Pearson Coefficient of Skewness),कार्ल पिर्यसन का गुणक (Karl Pearson’s Coefficient) को समझ सकते हैं।

3.कार्ल पिर्यसन का विषमता गुणक के सवाल (Karl Pearson Coefficient of Skewness Questions):

Karl Pearson Coefficient of Skewness

(1.)निम्न सारणी से अपकिरण-गुणांक और विषमता-गुणांक ज्ञात कीजिए:
\begin{array}{|c|c|} \hline \text{ मजदूरी (रु.) } & \text{ व्यक्तियों की संख्या} \\ \hline 70-80 & 12 \\ 80-90 & 18 \\ 90-100 & 35 \\ 100-110 & 42 \\ 110-120 & 50 \\ 120-130 & 45 \\ 130-140 & 20 \\ 140-150 & 8 \\ \hline \end{array}
(2.)125 व्यक्तियों के निम्न आयु-वितरण के विचरण गुणक (C.V.) तथा कार्ल पिर्यसन के विषमता गुणक (coefficient of skewness) की गणना कीजिए:
\begin{array}{|c|c|} \hline \text{ Age under } & \text{ व्यक्तियों की संख्या} \\ \text{(in years) } & \text{ No. of persons} \\ \text{ (से कम आयु वर्षों में)} & \text{ (व्यक्तियों की संख्या)} \\ \hline 10 & 5 \\ 20 & 15 \\ 30 & 30 \\ 40 & 50 \\ 50 & 80 \\ 60 & 100 \\ 70 & 120 \\ 80 & 125 \\ \hline \end{array}
उत्तर (Answers):(1.)C of S. D.=0.156,J=-0.331
(2.)C.V.=41.07%,J=-0.113
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर कार्ल पिर्यसन का विषमता गुणक (Karl Pearson Coefficient of Skewness),कार्ल पिर्यसन का गुणक (Karl Pearson’s Coefficient) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.कार्ल पिर्यसन का विषमता गुणक (Frequently Asked Questions Related to Karl Pearson Coefficient of Skewness),कार्ल पिर्यसन का गुणक (Karl Pearson’s Coefficient) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

कार्ल पिर्यसन का विषमता गुणक (Karl Pearson Coefficient of Skewness) के इस आर्टिकल
में समान्तर माध्य तथा बहुलक या समान्तर माध्य व मध्यका पर आधारित विषमता गुणक के
सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।