Inverse Trigonometric Function
1.प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (Inverse Trigonometric Function),प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन कक्षा 12 (Inverse Trigonometric Functions Class 12):
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (Inverse Trigonometric Function) में हम प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के गुणधर्म,प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों पर आधारित उदाहरणों तथा मुख्यमान इत्यादि का अध्ययन कर चुके हैं।इस लेख में कुछ ओर विशिष्ट उदाहरणों का अध्ययन करेंगे।
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2.प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Inverse Trigonometric Function):
निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिएः
Example:1. \cos ^{-1}\left(\cos \frac{13 \pi}{6}\right)
Solution: \cos ^{-1}\left(\cos \frac{13 \pi}{6}\right) \\ \frac{13 \pi}{6} \notin[0, \pi]
अतः \cos ^{-1}\left[\cos \left(2 \pi+\frac{\pi}{6}\right)\right] \\ =\cos ^{-1}\left(\cos \frac{\pi}{6}\right) \\=\frac{\pi}{6}
Example:2. \tan ^{-1}\left(\tan \frac{7 \pi}{6}\right)
Solution: \tan ^{-1}\left(\tan \frac{7 \pi}{6}\right) \\\frac{7 \pi}{6} \notin\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)
अतः \tan ^{-1}\left[\tan \left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)\right] \\= \tan^{-1} \left[\tan \frac{\pi}{6}\right]=\frac{\pi}{6}
सिद्ध कीजिएः
Example:3. 2 \sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{24}{7}\right)
Solution: 2 \sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{24}{7}\right) \\ \text { L.H.S. } 2 \sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \\ =\sin ^{-1} 2 \times \frac{3}{5} \sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2} \\ \left[ \because 2 \sin ^{-1} x=\sin ^{-1}\left(2 x \sqrt{1-x^2}\right)\right] \\ =\sin ^{-1} \frac{6}{5} \sqrt{1-\frac{9}{25}} \\ =\sin ^{-1} \frac{6}{5} \sqrt{\frac{25-9}{25}} \\ =\sin ^{-1} \frac{6}{5} \sqrt{\frac{16}{25}} \\ =\sin ^{-1}\left(\frac{6}{5} \times \frac{4}{5}\right) \\ =\sin ^{-1}\left(\frac{24}{25}\right)
लम्ब=24,कर्ण=25
आधार =\sqrt{(25)^2-(24)^2} \\ =\sqrt{625-576} \\ =\sqrt{49} \\ =7\\ \sin^{-1} \left(\frac{24}{25}\right) =\tan^{-1} \left(\frac{24}{7}\right)=\text { R.H.S }
Example:4. \sin ^{-1}\left(\frac{8}{17}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{77}{36}\right)
Solution: \sin ^{-1}\left(\frac{8}{17}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{77}{36}\right) \\ \text { L.H.S. } \sin ^{-1}\left(\frac{8}{17}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{8}{15}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) \\ \left[\because \sin ^{-1}\left(\frac{8}{17}\right)=\tan^{-1} \left(\frac{8}{15}\right), \sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)=\tan^{-1} \left(\frac{3}{4}\right)\right] \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{8}{15}+\frac{3}{4}}{1-\frac{8}{15} \times \frac{3}{14}}\right) \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{32+45}{60}}{\frac{60-24}{60}}\right) \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{77}{60}}{\frac{36}{60}}\right) \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{77}{36}\right)=\text { R.H.S. }
Example:5. \cos^{-1} \left(\frac{4}{5}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)=\cot ^{-1} \left(\frac{33}{65}\right)
Solution: \cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)=\cos ^{-1} \left(\frac{33}{65}\right) \\ \text{L.H.S. } \cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right) \\ =\cos ^{-1}\left[\frac{4}{5} \times \frac{12}{13}-\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2} \sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^2}\right] \\ \left[\because \cos ^{-1} x+\cos ^{-1} y=\cos ^{-1}\left(x y-\sqrt{1-x^2} \sqrt{1-y^2}\right)\right] \\ =\cos^{-1} \left[\frac{48}{65}-\sqrt{1-\frac{16}{25}} \sqrt{1-\frac{144}{169}}\right] \\ =\cos^{-1} \left[\frac{48}{65}-\sqrt{\frac{25-16}{25}} \sqrt{\frac{(169-144}{169}}\right] \\ =\cos^{-1} \left[\frac{48}{65}-\sqrt{\frac{9}{25}} \sqrt{\left(\frac{25}{169}\right)}\right] \\ =\cos^{-1} \left[\frac{48}{65} - \frac{3}{5} \times \frac{5}{13}\right] \\ =\cos^{-1}\left[\frac{48}{65}-\frac{15}{65}\right] \\ =\cos^{-1} \left(\frac{33}{65}\right)=\text { R.H.S. }
Example:6. \cos ^{-1} \frac{12}{13}+\sin ^{-1} \frac{3}{5}=\sin ^{-1} \frac{56}{65}
Solution: \cos ^{-1} \frac{12}{13}+\sin ^{-1} \frac{3}{5}=\sin ^{-1} \frac{56}{65} \\ \text{L.H.S. } \cos^{-1} \frac{12}{13}+\sin ^{-1} \frac{3}{5} \\ =\sin ^{-1} \frac{5}{13}+\sin ^{-1} \frac{3}{5} \\ \left[\because \cos^{-1} \frac{12}{13}=\sin ^{-1} \frac{5}{13}\right] \\ =\sin ^{-1}\left[\frac{5}{13} \sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}+\frac{3}{5} \sqrt{1-\left(\frac{5}{13}\right)^2}\right] \\ =\sin ^{-1}\left[\frac{5}{13} \sqrt{1-\frac{9}{25}}+\frac{3}{5} \sqrt{1-\frac{25}{165}}\right] \\ =\sin ^{-1}\left[\frac{5}{13} \sqrt{\frac{25-9}{25}}+\frac{3}{5} \sqrt{\frac{169-25}{169}}\right] \\ =\sin ^{-1}\left[\frac{5}{13} \times \sqrt{\frac{16}{25}}+\frac{3}{5} \times \sqrt{\frac{144}{169}}\right] \\ =\sin ^{-1}\left[\frac{5}{13} \times \frac{4}{5}+\frac{3}{5} \times \frac{12}{13}\right] \\ =\sin ^{-1}\left[\frac{20}{65}+\frac{36}{65}\right] \\ =\sin ^{-1} \left(\frac{56}{25}\right)=\text { R.H.S. }
Example:7. \tan^{-1} \frac{63}{16}=\sin ^{-1} \frac{5}{13}+\cos ^{-1} \frac{3}{5}
Solution: \tan ^{-1} \frac{63}{16}=\sin ^{-1} \frac{5}{13}+\cos ^{-1} \frac{3}{5} \\ \text{R.H.S. } \sin^{-1} \frac{5}{13}+\cos^{-1} \frac{3}{5} \\ \tan ^{-1}\left(\frac{5}{12}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \\ \left[\because \sin ^{-1}\left(\frac{5}{13}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{5}{12}\right), \cos ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)=\tan^{-1} \left(\frac{4}{3}\right)\right] \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{5}{12}+\frac{4}{3}}{1-\frac{5}{12} \times \frac{4}{3}}\right) \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{15+48}{36}}{\frac{36-20}{36}}\right) \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{63}{16}\right)=\text{L.H.S.}
Example:8. \tan^{-1} \left(\frac{1}{5}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)+\tan \left(\frac{1}{3}\right) +\tan^{-1} \frac{1}{8}=\frac{\pi}{4}
Solution: \tan ^{-1} \frac{1}{8}+\tan ^{-1} \frac{1}{7}+\tan^{-1} \frac{1}{3}+\tan^{-1} \frac{1}{8}=\frac{\pi}{4} \\ \text{L.H.S. } \tan ^{-1} \frac{1}{8}+\tan ^{-1} \frac{1}{7}+\tan ^{-1} \frac{1}{3}+\tan ^{-1} \frac{1}{8} \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{1}{5}+\frac{1}{7}}{1-\frac{1}{5} \times \frac{1}{7}}\right)+\tan^{-1} \left(\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{8}}{1-\frac{1}{3} \times \frac{1}{8}}\right) \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{7+5}{35}}{\frac{35-1}{35}}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{8+3}{24}}{\frac{24-1}{24}}\right) \\ =\tan^{-1} \left(\frac{\frac{12}{35}}{\frac{34}{35}}\right)+\tan^{-1} \left(\frac{\frac{11}{24}}{\frac{23}{24}}\right) \\ =\tan^{-1} \left(\frac{12}{34}\right)+\tan^{-1} \left(\frac{11}{23}\right) \\ =\tan^{-1} \left(\frac{\frac{12}{34}+\frac{11}{23}}{1-\frac{12}{34} \times \frac{11}{23}}\right) \\ =\tan^{-1} \left(\frac{\frac{276+374}{782}}{\frac{782-132}{782}}\right) \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{650}{650}\right) \\ =\tan ^{-1}(1) \\ =\frac{\pi}{4}=\text { R.H.S. }
सिद्ध कीजिएः
Example:9. \tan^{-1} \sqrt{x}=\frac{1}{2} \cos ^{-1}\left(\frac{1-x}{1-x}\right),x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)
Solution: \tan^{-1} \sqrt{x}=\frac{1}{2} \cos ^{-1}\left(\frac{1-x}{1-x}\right) \\ \text{Put } x=\tan ^2 \theta \Rightarrow \theta=\tan^{-1} \sqrt{x} \\ \text{R.H.S. } \frac{1}{2} \cos ^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right) \\ =\frac{1}{2} \cos ^{-1}\left(\frac{1-\tan ^2 \theta}{1+\tan ^2 \theta}\right) \\ =\frac{1}{2} \cos ^{-1}(\cos 2 \theta) \quad\left[\because \frac{1-\tan ^2 \theta}{1+\tan ^2 \theta}=\cos 2 \theta\right] \\ =\frac{1}{2} \times 2 \theta \\ =\theta \\ =\tan^{-1} \sqrt{x}=\text{L.H.S.}
Example:10. \cot ^{-1}\left[\frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}\right] =\frac{x}{2} ,x \in \left ( 0,\frac{\pi}{4} \right)
Solution: \cot ^{-1}\left[\frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}\right]=\frac{x}{2} \\ \cot^{-1} \left[\frac{\sqrt{\cos ^2 \frac{x}{2}+\sin ^2 \frac{x}{2}+2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}+\sqrt{\sin ^2 \frac{x}{2}+\cos ^2 \frac{x}{2}}-2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{\sqrt{\sin ^2 \frac{x}{2}+\cos ^2 \frac{x}{2}+2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}-\sqrt{\sin^{2} \frac{x}{2}+\cos ^2 \frac{x}{2}-2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}} \right ] \\ =\cot^{-1} \left[\frac{\sqrt{\left(\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}\right)^2+} \sqrt{\left(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}\right)^2}}{\sqrt{\left(\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}\right)^2}-\sqrt{\left(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}\right)^2}}\right] \\ =\cot^{-1} \left[\frac{\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}}\right] \\ =\cot^{-1} \left[\frac{2 \cos \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2}}\right] \\ =\cot ^{-1}\left[\cot \frac{x}{2}\right] \\ =\frac{x}{2}=\text { R.H.S. }
Example:11. \tan^{-1} \left[\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\right]=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2} \cos ^{-1} x , -\frac{1}{\sqrt{2}}<x \leq 1
Solution: \tan^{-1} \left[\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\right]=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2} \cos ^{-1} x \\ \text{L.H.S.}= \tan^{-1} \left[\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\right] \\ \text{Put } x=\cos \theta \Rightarrow \theta=\cos ^{-1} x \\ = \tan^{-1} \left[\frac{\sqrt{1+\cos \theta}-\sqrt{1-\cos \theta}}{\sqrt{1+\cos \theta}+\sqrt{1-\cos \theta}}\right] \\ =\tan ^{-1}\left[\frac{\sqrt{1+2 \cos ^2 \frac{\theta}{2}-1}-\sqrt{1-\left(1-2 \sin ^2 \frac{\theta}{2}\right)}}{\sqrt{1+2 \cos ^2 \theta-1}+\sqrt{1-\left(1-2 \sin ^2 \frac{\theta}{2}\right)}}\right] \\ =\tan^{-1} \left[\frac{\sqrt{2 \cos ^2 \frac{\theta}{2}}-\sqrt{1-1+2 \sin ^2 \frac{\theta}{2}}}{\sqrt{2 \cos ^2 \frac{\theta}{2}}+\sqrt{1-1+2 \sin ^2 \frac{\theta}{2}}}\right] \\ =\tan^{-1} \left[\frac{\cos \frac{\theta}{2}-\sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2}+\sin \frac{\theta}{2}}\right] \\ =\tan^{-1} \left[\frac{1-\tan \frac{\theta}{2}}{1+\tan \frac{\theta}{2}}\right] \\ =\tan^{-1} \left[\frac{\tan \frac{\pi}{4}-\tan \frac{\theta}{2}}{1+\tan \frac{\pi}{4} \tan \frac{\theta}{2}}\right] \\ =\tan ^{-1}\left[\tan \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}\right)\right] \\ =\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2} \\ =\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2} \cos ^{-1} x=\text { R.H.S. }
Example:12. \frac{9 \pi}{8}-\frac{9}{4} \sin ^{-1} \frac{1}{3}=\frac{9}{4} \sin ^{-1} \frac{2 \sqrt{2}}{3}
Solution: \frac{9 \pi}{8}-\frac{9}{4} \sin ^{-1} \frac{1}{3}=\frac{9}{4} \sin ^{-1} \frac{2 \sqrt{2}}{3} \\ \text { L.H.S. } \frac{9 \pi}{8}-\frac{9}{4} \sin ^{-1} \frac{1}{3} \\ =\frac{9}{4}\left[\frac{\pi}{2}-\sin ^{-1} \frac{1}{3}\right] \\ =\frac{9}{4} \cos ^{-1} \frac{1}{3}\left[\because 2 \sin ^{-1} x+\cos ^{-1} x=\frac{\pi}{2}\right]
आधार=1,कर्ण=3
लम्ब=\sqrt{(3)^2-(1)^2}=\sqrt{9-1}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2} \\ =\frac{9}{4} \sin (2 \sqrt{2})\left[\because \cos ^{-1} \frac{1}{3}=\sin ^{-1}(2 \sqrt{2})\right] \\ =\text{R.H.S.}
निम्नलिखित समीकरणों को सरल कीजिएः
Example:13. 2 \tan ^{-1}(\cos x)=\tan ^{-1}(2 \operatorname{cosec} x)
Solution: 2 \tan ^{-1}(\cos x)=\tan ^{-1}(2 \operatorname{cosec} x) \\ \Rightarrow \tan^{-1} \left(\frac{2 \cos x}{1-\cos x}\right)=\tan^{-1} (2 \operatorname{cosec} x) \\ \Rightarrow \frac{2 \cos x}{1-\cos ^2 x}=2 \operatorname{cosec} x \\ \Rightarrow \frac{\cos x}{\sin ^2 x}=\operatorname{cosec} x \\ \Rightarrow \cos x=\operatorname{cosec} x \cdot \sin ^2 x \\ \Rightarrow \cos x=\sin x \\
\Rightarrow \tan x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}
Example:14. \tan ^{-1} \frac{1-x}{1+x}=\frac{2}{2} \tan ^{-1} x,(x>0)
Solution: \tan ^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)=\frac{1}{2} \tan ^{-1} x \\ 2 \tan ^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)=\tan ^{-1} x \\ \Rightarrow 2 \tan ^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)-\tan ^{-1} x=0 \\ \Rightarrow \tan ^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)+\tan ^{-1}\left[\frac{\frac{1-x}{1+x}-x}{1+\left(\frac{1-x}{1+x}\right)x}\right]=0 \\ \Rightarrow \tan^{-1} \left(\frac{1-x}{1+x}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{ 1-x-x-x^2}{1+x}}{\frac{1+x+x-x^{2}}{1+x}}\right)=0 \\ \Rightarrow \tan ^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1-2 x-x^2}{1+2x-x^2}\right)=0 \\ \Rightarrow \tan ^{-1}\left[\frac{\frac{1-x}{1+x}+\frac{1-2 x-x^2}{1+2x-x^2}}{1-\left(\frac{1-x}{1+x}\right)\left(\frac{1-2 x-x^2}{1+2 x-x^2}\right)}\right]=0 \\ \Rightarrow \frac{1-x}{1+x}+\frac{1-2 x-x^2}{1+2 x-x^2}=0 \\ \Rightarrow 1+2 x-x^2-x-2 x^2+x^3+12 x-x^2+x-2 x^2 -x^3=0 \\ \Rightarrow-6 x^2+2=0 \Rightarrow x^2=\frac{2}{6} \Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt{3}}
Example:15. \sin \left(\tan ^{-1} x\right),|x|<1 बराबर होता है:
(A) \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} (B) \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} (C) \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} (D) \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}
Solution: \sin \left(\tan ^{-1} x\right) \\ \Rightarrow \sin \left[\sin ^{-1} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right] \\ =\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}
अतः विकल्प (D) सही है।
Example:16.यदि \sin ^{-1}(1-x)-2 \tan ^{-1} x=\frac{\pi}{2}, तो x का मान बराबर हैः
(A) 0, \frac{1}{2} (B)1,\frac{1}{2} (C) 0 (D) \frac{1}{2}
Solution: \sin ^{-1}(1-x)-2 \tan ^{-1} x=\frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow-2 \tan ^{-1} x=\frac{\pi}{2}-\sin ^{-1}(1-x) \\ \Rightarrow-2 \tan ^{-1} x=\cos ^{-1}(1-x)\left[\because \sin ^{-1} x+\cos ^{-1} x=\frac{\pi}{2}\right] \\ \Rightarrow-\tan^{-1} \left(\frac{-2 x}{1-x^2}\right )=\tan^{-1} \left(\frac{\sqrt{1-x^2+2 x}}{1-x}\right) \\ \Rightarrow \frac{-2 x}{1-x^2}=\frac{\sqrt{1-x^2+2 x}}{1-x} \\ \Rightarrow 4 x^2=-x^2-2 x^3-x^4+2 x+4 x^2+2 x^{3} \\ \Rightarrow x^4+x^2-2 x=0 \\ \Rightarrow x\left(x^3+x-2\right)=0 \\ \Rightarrow x=0
अतः विकल्प (C) सही है।
Example:17. \tan ^{-1}\left(\frac{x}{y}\right)-\tan ^{-1}\left(\frac{x-y}{x+y}\right) का मान हैः
(A) \frac{\pi}{2} (B) \frac{\pi}{3} (c) \frac{\pi}{4} (D)-\frac{3 \pi}{4}
Solution: \tan ^{-1}\left(\frac{x}{y}\right)-\tan ^{-1}\left(\frac{x-y}{x+y}\right) \\ \Rightarrow \tan^{-1} \left[\frac{\left(\frac{x}{y}\right)-\frac{x-y}{x+y}}{1+\frac{x}{y}\left(\frac{x-y}{x+y}\right)}\right] \\ \Rightarrow \tan^{-1}\left[\frac{x^2+x y-x y+y^2}{x y+y^2+x^2-x y}\right] \\ \Rightarrow \tan ^{-1} \left(\frac{x^2+y^2}{y^2+x^2}\right) \\ \Rightarrow \tan ^{-1}(1)=\frac{\pi}{4}
अतः विकल्प (C) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (Inverse Trigonometric Function),प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन कक्षा 12 (Inverse Trigonometric Functions Class 12) को समझ सकते हैं।
3.प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन के सवाल (Inverse Trigonometric Function Questions):
(1.) \sin 2\left[\cos ^{-1}\{\cot (2 \tan^{-1} x)\}\right]=0
(2.) \sin ^{-1} x+\sin ^{-1} y=\frac{2 \pi}{3} ; \cos ^{-1} x-\cos ^{-1} y=\frac{\pi}{3}
उत्तर (Answers): (1.) x= \pm 1, \pm(1 \pm \sqrt{2})
(2.) x=\frac{1}{2}, y=1
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (Inverse Trigonometric Function),प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन कक्षा 12 (Inverse Trigonometric Functions Class 12) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (Frequently Asked Questions Related to Inverse Trigonometric Function),प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन कक्षा 12 (Inverse Trigonometric Functions Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.sine के प्रतिलोम के अस्तित्व के लिए क्या प्रतिबन्ध है? (What is the Restriction for Existence of sine Inverse?):
उत्तर:sine फलन का प्रान्त वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है तथा इसका परिसर संवृत अन्तराल [-1,1] है।यदि हम इसके प्रान्त \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] में सीमित (प्रतिबन्धित) कर दें तो यह परिसर [-1,1] वाला एक एकैकी तथा आच्छादक फलन हो जाता है।वास्तव में, sine फलन, अन्तरालों \left[-\frac{3 \pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right],\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right],\left[\frac{\pi}{2},\frac{3 \pi}{2}\right] इत्यादि में से किसी में भी सीमित होने से,परिसर [-1,1] वाला एक एकैकी आच्छादक फलन हो जाता है।अतः हम इनमें से प्रत्येक अन्तराल में, sine फलन के प्रतिलोम फलन को \sin^{-1} द्वारा निरूपित करते हैं।अतः \sin^{-1} (arc sine function) एक फलन है जिसका प्रान्त [-1,1] है जिसका परिसर \left[-\frac{3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}\right],\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] या \left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right] इत्यादि में से कोई भी अन्तराल हो सकता है।इस प्रकार के प्रत्येक अन्तराल के संगत हमें फलन \sin^{-1} की एक शाखा (Branch) प्राप्त होती है जबकि परिसर के रूप में अन्य अन्तरालों से \sin^{-1} की भिन्न-भिन्न शाखाएँ मिलती है।जब हम फलन का उल्लेख करते हैं,तब हम इसे प्रान्त [-1,1] तथा परिसर \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] वाला फलन समझते हैं।इसे \sin^{-1} : [-1, 1] \rightarrow \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] लिखते हैं।
प्रश्न:2.cosine के प्रतिलोम के अस्तित्व के लिए क्या प्रतिबन्ध है? (What is the Restriction for Existence of cosine Inverse?):
उत्तर:cosine फलन भी एक ऐसा फलन है जिसका प्रान्त वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है तथा जिसका परिसर समुच्चय [-1,1] है।यदि हम cosine फलन के प्रान्त को अन्तराल \left[0,\pi\right] में सीमित (प्रतिबन्धित) कर दें तो यह परिसर [-1,1] वाला एक एकैकी तथा आच्छादक फलन हो जाता है।वस्तुतः cosine फलन, अन्तरालों \left[-\pi,0 \right], \left[0,\pi\right] ,\left[\pi ,2 \pi\right] इत्यादि में से किसी में भी सीमित होने से,परिसर [-1,1] वाला एक एकैकी आच्छादक (Bijection) फलन हो जाता है।अतः हम इनमें से प्रत्येक अन्तराल में, cosine फलन के प्रतिलोम फलन को परिभाषित कर सकते हैं।हम cosine फलन के प्रतिलोम फलन को \cos^{-1} (arc cosine function) द्वारा निरूपित करते हैं।अतः एक फलन है जिसका प्रान्त [-1,1] है और परिसर \left[-\pi,0 \right], \left[0,\pi\right] ,\left[\pi ,2 \pi\right] इत्यादि में से कोई भी अन्तराल हो सकता है।इस प्रकार के प्रत्येक अन्तराल के संगत हमें फलन \cos^{-1} की एक शाखा प्राप्त होती है।वह शाखा जिसका परिसर \left[0,\pi\right] है,मुख्य शाखा (मुख्य मान शाखा) कहलाती है और हम लिखते हैं किः \cos^{-1} : [-1,1] \rightarrow \left[0,\pi\right]
प्रश्न:3.प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन किसे कहते हैं? (What is Inverse Trigonometric Function?):
उत्तर:प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन वह त्रिकोणमितीय व्यंजक है जो किसी कोण को उसके सम्बन्धित मान के रूप में व्यक्त करता है।
जैसे यदि \sin \theta=x \ \Rightarrow \theta=\sin ^{-1} x
अतः \theta वह कोण है जिसके sine का मान x है अर्थात् ‘प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन’ ‘कोण’ होते हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (Inverse Trigonometric Function),प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन कक्षा 12 (Inverse Trigonometric Functions Class 12) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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Inverse Trigonometric Function
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन
(Inverse Trigonometric Function)
Inverse Trigonometric Function
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (Inverse Trigonometric Function) में हम प्रतिलोम त्रिकोणमितीय
फलनों के गुणधर्म,प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों पर आधारित उदाहरणों तथा मुख्यमान इत्यादि का
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Satyam
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