1.किसी वक्र और उसकी अनन्तस्पर्शियों का प्रतिच्छेदन (Intersection of Curve and Asymptotes),अवकलन गणित में किसी वक्र और उसकी अनन्तस्पर्शियों का प्रतिच्छेदन (Intersection of Curve and Its Asymptotes in Differential Calculus):

Intersection of Curve and Asymptotes

किसी वक्र और उसकी अनन्तस्पर्शियों का प्रतिच्छेदन (Intersection of Curve and Asymptotes) से तात्पर्य है कि एक सरल रेखा nवें घात के वक्र को व्यापक रूप में (in general) n बिन्दुओं में काटती है।एक अनन्तस्पर्शी एक स्पर्श रेखा है तथा वक्र को अनन्त पर स्पर्श करती है जहाँ दो प्रतिच्छेद बिन्दु सम्पाती (coincide) होकर स्पर्श बिन्दु बन जाता है।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके । यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए । आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:-How to Find Asymptotes Algebraically?

2.किसी वक्र और उसकी अनन्तस्पर्शियों का प्रतिच्छेदन पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Intersection of Curve and Asymptotes):

Example:1.वक्र 4\left(x^4+y^4\right)-17 x^2 y^2-4 x \left(4 y^2-x^2\right)+2\left(x^2-2\right)=0 के अनन्तस्पर्शी ज्ञात कीजिए तथा सिद्ध कीजिए कि वे वक्र तथा दीर्घवृत्त x^2+4 y^2=4 के प्रतिच्छेद बिन्दुओं से गुजरते हैं।
(Find the asymptotes of the curve 4\left(x^4+y^4\right)-17 x^2 y^2-4 x \left(4 y^2-x^2\right)+ 2\left(x^2-2\right)=0 and Show that they pass through the point of intersection of the curve with the ellipse x^2+4 y^2=4 .)
Solution:दिए हुए वक्र का समीकरण हैः

4 x^4+4 y^4-17 x^2 y^2-16 x y^2+4 x^3+2 x^2-4=0 \cdots(1)
उपर्युक्त में x=1 तथा y=m रखने परः
\phi_4(m)=4+4 m^4-17 m^2, \phi_3(m)=-16 m^2+4 \\ \phi_4(m)=4 m^4-16 m^2-m^2+4 \\ =4 m^2 \left(m^2-4\right)-1\left(m^2-4\right) \\ =\left(m^2-4\right)\left(4 m^2-1\right) \\ \phi_4(m)=(m-2)(m+2)(2 m-1)(2 m+1) \\ \phi_4(m)=0 से

\Rightarrow(m-2)(m+2)(2m-1)(2m+1)=0 \\ \Rightarrow m= 2,-2,\frac{1}{2},-\frac{1}{2}
पुनः c के मान के ज्ञात करने के लिए

c=-\frac{\phi_3(m)}{\phi_4^{\prime}(m)} \\ =-\frac{\left(-16 m^2+4\right)}{16 m^3-34 m} \\ \Rightarrow c=\frac{16 m^2-4}{16 m^2-17 m}
जब m=2 तो c=\frac{16 \times 2^2-4}{16 \times 2^3-34 \times 2} \\ =\frac{60}{128-68} \\ =\frac{60}{60} \\ \Rightarrow c=1
जब m=-2 तो c=\frac{16 \times(-2)^2-4}{16 \times(-2)^3-34 \times-2} \\ =\frac{64-4}{-128+68} \\ =\frac{60}{-60} \\ \Rightarrow c=-1
जब m=\frac{1}{2}  तो c=\frac{16 \times\left(\frac{1}{2}\right)^2-4}{16 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3-34 \times \frac{1}{2}} \\ =\frac{4-4}{2-17} \\ =\frac{0}{-15} \\ =0 \\ \Rightarrow c=0
जब m=-\frac{1}{2} तो c=\frac{16 \times(-\frac{1}{2})^2-4}{16 \times(-\frac{1}{2})^3-34 \times- \frac{1}{2}} \\ =\frac{4-4}{-2+17} \\ =\frac{0}{15} \\ \Rightarrow c=0
अतः अनन्तस्पर्शियों के समीकरण होंगेः
y=2 x+1 \Rightarrow y-2x-1=0 \\ y=2 x-1=0 \Rightarrow y+2x+1=0 \\ y=\frac{1}{2} x+0 \Rightarrow 2 y-x=0 \\ y=-\frac{1}{2} x+0 \Rightarrow 2 y+x=0

प्राप्त होता है जिस पर प्रतिछेदन  बिन्दु स्थित होंगे 

\begin{array}{rrrrr} \Rightarrow (y-2 x-1)(y+2 x+1)(2 y-x)(2 y+x)=0 \\ \Rightarrow 4 x^4+4 y^4-17 x^2 y^2-16 x y^2+4 x^3+x^2-4 y^2=0 \cdots(2) \\ 4 x^4+4 y^2-17 x^2 y^2-16 x y^2+4 x^3+2 x^2-4=0 \cdots(1)\\ - \quad \quad - \quad \quad \quad \quad \quad + \quad \quad \quad \quad + \quad \quad - \quad \quad \quad - \quad \quad \quad + \text{घटाने पर } \\ \hline \end{array} \\ \Rightarrow-x^2-4 y^2+4=0 \\ \Rightarrow x^2+4 y^2=4
प्राप्त होता है जिस पर प्रतिच्छेदन बिन्दु स्थित होंगे।
Example:2.वक्र x^2 y-x y^2+x y+y^2+x-y=0 की अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात कीजिए और सिद्ध कीजिए कि वे वक्र को फिर तीन बिन्दुओं में काटती है जो रेखा x+y=0 पर स्थित है।
(Find the asymptotes of the curve x^2 y-x y^2+x y+y^2+x-y=0 and prove that the cut the curve again in three points which lies on the straight line x+y=0.)
Solution:दिए हुए वक्र का समीकरण हैः

x^2 y-x y^2+x y+y^2+x-y=0 \cdots(1)
उपर्युक्त में x=1 तथा y=m रखने परः

\phi_3(m)=m-m^2
तथा \phi_2(m)=m+m^2 \\ \phi_3(m)=m(1-m) \\ \phi_3(m)=0 से

\Rightarrow m(1-m)=0 \\ \Rightarrow m=0 , 1
पुनः c के मान के लिए

c=\frac{-\phi_2(m)}{\phi_3^{\prime}(m)} \\ \Rightarrow c=-\frac{\left(m+m^2\right)}{(1-2 m)}
जब m=0 तो c=-\frac{\left(0+0^2\right)}{1-2 \times 0} \\ \Rightarrow c=0
जब m=1 तो c=-\frac{\left(1+1^2\right)}{(1-2 \times 1)} \\ =\frac{-2}{-1} \\ \Rightarrow c=2
अतः अनन्तस्पर्शियों के समीकरण होंगेः
y=0,x=1,y=x+2
इनका संयुक्त समीकरण होगाः
(y)(x-1)(y-x-2)=0 \\ \Rightarrow xy^2-x^2 y-x y-y^2+2 y=0 \cdots(2)
समीकरण (1) में (2) को जोड़ने परः
\begin{array}{rrrrr} x^2 y-x y^2+x y+y^2+x-y=0 \cdots(1) \\ -x^2 y+x y^2-x y-y^2+2y=0 \\ \hline \end{array} \\ x+y=0
प्राप्त होता है जिस पर प्रतिच्छेदन बिन्दु स्थित है तथा (2),(1) को n(n-2)=3(3-2)=3 बिन्दुओं पर काटती हैं।
Example:3.सिद्ध कीजिए कि चतुर्घाती \left(x^2-4 y^2\right)\left(x^2-9 y^2\right)+5 x^2 y-5 x y^2-30 y^3+x y+7 y^2-1=0  के अनन्तस्पर्शी वक्रों को आठ बिन्दुओं पर काटते हैं जो एक वृत्त पर स्थित हैं।
(Show that there are 8 points of intersection of the biquadratic curve \left(x^2-4 y^2\right)\left(x^2-9 y^2\right)+5 x^2 y-5 x y^2-30 y^3+x y+7 y^2-1=0  and its asymptotes which lie on a circle.)
Solution:दिए हुए वक्र का समीकरणः

(x-2 y)(x+2 y)(x-3 y)(x+3 y)+5 x^2 y-5 x y^2-30 y^3+x y+7 y^2-1=0 \ldots(1)
अनन्तस्पर्शियाँ (x-2y),(x+2y),(x-3y),(x+3y) के समान्तर हैं।
(1) को x^{3} से भाग देने तथा x-2y को ऐसा ही रहने देने परः

(x-2 y)\left(1+\frac{2 y}{x}\right)(1-3 y)\left(1+ \frac{3y}{x}\right)+\frac{5y}{x}-\frac{5 y^2}{x^2}- \frac{30 y^3}{x^3}+\frac{y}{x^2}-\frac{7 y^2}{x^3}-\frac{1}{x^3}=0
अब जब x \rightarrow \infty , तब x-2 y=0 \Rightarrow \frac{y}{x}=\frac{1}{2} सीमा लेने परः

(x-2 y)\left(1+2 \times \frac{1}{2}\right)\left(1-3 \times \frac{1}{2}\right)\left(1+3 \times \frac{1}{2}\right) +5 \times \frac{1}{2}-5 \times\left(\frac{1}{2}\right)^2-30\left(\frac{1}{2}\right)^3+0-7(0)-0=0 \\ \Rightarrow (x-2 y)(2)\left ( -\frac{1}{2} \right )\left(\frac{5}{2}\right)+\frac{5}{2}-\frac{5}{4}-\frac{30}{8}=0 \\ \Rightarrow-\frac{5(x-2 y)}{2}+\frac{5}{2}-\frac{5}{4}-\frac{15}{4}=0 \\ \Rightarrow \frac{-10 x+20 y+10-5-15}{4}=0 \\ \Rightarrow-10 x+20 y-10=0 \\ \Rightarrow x-2 y+1=0
अतः x-2y के समान्तर अनन्तस्पर्शी x-2y+1=0 होगी
x+2y के समान्तर अनन्तस्पर्शीः
(1) में x+2y को ऐसा ही रहने दें तथा शेष को से भाग देने परः

\left(1-\frac{2y}{x}\right)(x+2 y)\left(1-\frac{3y}{x}\right)\left(1+\frac{3y}{x}\right)+\frac{5y}{x}-5\left(\frac{y}{x}\right)^2-30\left(\frac{y}{x}\right)^3+\frac{y}{x^2}+ \frac{7y^2}{x^3}-\frac{1}{x^3}=0
अब जब x \rightarrow \infty तब x+2 y=0 \Rightarrow \frac{y}{x}=-\frac{1}{2} सीमा लेने परः

\left ( 1-2 x-\frac{1}{2} \right )(x+2 y)\left ( 1-3 x-\frac{1}{2}\right)\left(1+3 x-\frac{1}{2} \right)+5(-\frac{1}{2})-5\left (\frac{1}{2}\right)^2-30(-\frac{1}{2})^3+0+7(0)-0=0 \\ \Rightarrow (1+1)(x+2 y) \left(\frac{5}{2}\right)\left (-\frac{1}{2} \right )-\frac{5}{2}-\frac{5}{4}+\frac{30}{8}=0 \\ \Rightarrow (x+2 y)(5)\left( -\frac{1}{2} \right)-\frac{5}{2}-\frac{5}{4}+\frac{15}{4}=0 \\ \Rightarrow \frac{-10 x-20 y-10-5+15}{4}=0 \\ \Rightarrow -10 x-20 y=0 \Rightarrow x+2y=0
x-3y के समान्तर अनन्तस्पर्शीः
(1) में x-3y को ऐसा ही रहने दे तथा शेष को x^{3} से भाग देने परः

\left(1-\frac{2 y}{x}\right)\left(1+\frac{2 y}{x}\right)(x-3 y)\left(1+\frac{3y}{x}\right)+5\left(\frac{y}{x}\right) -5\left(\frac{y}{x}\right)^2-30\left(\frac{y}{x}\right)^3+\frac{y}{x^2}+ \frac{7y^2}{x^3}-\frac{1}{x^3}=0 \\ x-3y=0 \Rightarrow \frac{y}{x}=\frac{1}{3}
अब जब x \rightarrow \infty तब \frac{y}{x} \rightarrow \frac{1}{3} सीमा लेने परः

\left(1-2 \times \frac{1}{3}\right)\left(1+2 \times \frac{1}{3}\right)(x-3 y)(1+3 \times \frac{1}{3})+ 5 \times \frac{1}{3}-5\left(\frac{1}{3}\right)^2-30\left(\frac{1}{3}\right)^3+0+7(0)-0=0 \\ \Rightarrow \left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{5}{3}\right)(x-3 y)(2)+\frac{5}{3}-\frac{5}{9}-\frac{30}{27}=0 \\ \Rightarrow \frac{10}{9}(x-3 y)+\frac{5}{3}-\frac{5}{9}-\frac{10}{9}=0 \\ \Rightarrow \frac{10 x-30 y+15-5-10}{9}=0 \\ \Rightarrow 10 x-30 y=0 \\ \Rightarrow x-3 y=0
x+3y के समान्तर अनन्तस्पर्शीः
(1) में x+3y को ऐसा ही रहने दें तथा शेष को x^{3} से भाग देने परः

\left(1-\frac{2 x}{x}\right)\left(1+\frac{2 y}{x}\right)\left(1- \frac{3y}{x}\right)(x+3 y)+ 5\left(\frac{y}{x}\right) -5\left(\frac{y}{x}\right)^2-30\left(\frac{y}{x}\right)^3+\frac{y}{x^2}+\frac{7y^2}{x^3}-\frac{1}{x^{3}}=0 \\ x+3 y=0 \Rightarrow \frac{y}{x}=-\frac{1}{3}
अब जब x \rightarrow \infty तब \frac{y}{x} \rightarrow -\frac{1}{3} सीमा लेने परः

\left( 1-2 \times-\frac{1}{3}\right)\left( 1+2 x-\frac{1}{3} \right)(1-3 x-\frac{1}{3})(x+3 y)+5\left(-\frac{1}{3}\right)-5\left(-\frac{1}{3}\right)^2-30(-\frac{1}{3})^3+0+7(0)-0=0 \\ \Rightarrow \left(\frac{5}{3}\right) \left(\frac{1}{3}\right)(2+1)(x+3 y)-\frac{5}{3}-\frac{5}{9}+\frac{30}{27}=0 \\ \Rightarrow \frac{10(x+3 y)}{9}-\frac{5}{3}-\frac{5}{9}+\frac{10}{9}=0 \\ \Rightarrow \frac{10 x+30 y-15-5+10}{9}=0 \\ \Rightarrow 10 x+30 y-10=0 \\ \Rightarrow x+3 y-1=0
अतः x+3y के समान्तर अनन्तस्पर्शी x+3y-1=0 होगी।
अतः अनन्तस्पर्शियों के समीकरण होंगेः
x-2y+1=0,x+2y=0,x-3y=0,x+3y-1=0
इनका संयुक्त समीकरण होगाः
(x-2 y+1)(x+2 y)(x-3 y)(x+3 y-1)=0 \\ \Rightarrow x^4+36 y^4-13 x^2 y^2+5 x^2 y^2-5 x y^2-30 y^3 +x y+6 y^2-x^2=0 \ldots(2)
समीकरण (2) में से (1) घटाने परः
x^2+y^2=1 जो कि एक वृत्त का समीकरण है तथा (2),(1) को n(n-2)=4(4-2)=8 बिन्दुओं पर काटती है।
Example:4.प्रदर्शित कीजिए कि वक्र \left(x^2-y^2\right)\left(y^2-4 x^2\right)+6 x^3-5 x^2 y-3 x y^2+2 y^3-x^2+3 x y-1=0  के चार अनन्तस्पर्शी वक्र को पुनः आठ बिन्दुओं पर काटेंगे जो वृत्त x^2+y^2=1 पर स्थित हैं।
(Show that four asymptotes of the curve cut the curve \left(x^2-y^2\right)\left(y^2-4 x^2\right)+6 x^3-5 x^2 y-3 x y^2+2 y^3-x^2+3 x y-1=0  again in eight points which lie on the circle x^2+y^2=1.)
Solution:दिए हुए वक्र का समीकरण

-y^4-4 x^4+5 x^2 y^2+6 x^3-5 x^2 y-3 x y^2+2 y^2-x^2+3 x y-1=0 \cdots(1)
उपर्युक्त में x=1 तथा y=m रखने परः

\phi_4(m)=-m^4-4+5 m^2
तथा \phi_3(m) =6-5 m-3 m^2+2 m^3
अब \phi_4(m) =-m^4+4 m^2+m^2-4 \\ =-m^2\left(m^2-4\right)+1\left(m^2-4\right) \\ \Rightarrow \phi_4(m) =\left(m^2-4\right)\left(1-m^2\right) \\ =(m-2)(m+2)(1-m)(1+m) \\ \phi_4(m)=0 से

\Rightarrow (m-2)(m+2)(1-m)(1+m) \\ \Rightarrow m=2,-2,1,-1 \\ \phi_{4}(m)=-4 m^3+10 m
पुनः c के मान के लिए

c=-\frac{\phi_3(m)}{\phi_{4}^{\prime}(m)} \\ =\frac{-\left(6-5 m-3 m^2+2 m^3 a\right)}{-4 m^3+10 m} \\ \Rightarrow c=\frac{6-5 m-3 m^2+2 m^3}{4 m^3-10 m}
जब m=2 तब c=\frac{6-5 \times 2-3 \times 2^2+2(2)^3}{4\left(2\right)^3-10 \times 2} \\ \Rightarrow c=\frac{6-10-12+16}{32-20} \\ =0
जब m=-2 तब c=\frac{6-5 \times -2-3(-2)^2+2(-2)^3}{4(-2)^3-10 \times-2} \\ \Rightarrow c=\frac{6+10-12-16}{-32+20} \\ \Rightarrow c=\frac{-12}{12}=1
जब m=1 तब c=\frac{6-5 \times 1-3 \times 1^2+2(1)^3}{4(1)^3-10 \times 1} \\ =\frac{6-5-3+2}{4-10} \\ \Rightarrow c =0
जब m=-1 तब c =\frac{6-5 \times-1-3(-1)^2+2(-1)^3}{4(-1)^3-10 \times -1} \\ \Rightarrow c=\frac{6+5-3-2}{-4+10} \\ \Rightarrow c=\frac{6}{6}=1
अतः अनन्तस्पर्शियों के समीकरण होंगेः
y=2x,y=-2x+1,y=x,y=-x+1
इनका संयुक्त समीकरण होगाः
(y-2 x)(y+2 x-1)(y-x)(y+x-1)=0 \\ y^4+4 x^4-5 x^2 y^2-6 x^3+5 x^2 y+3 x y^2-2 y^3 +2 x^2-3 x y+y^2=0 \cdots(2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने परः
x^2+y^2-1=0 \Rightarrow x^2+y^2=1 जो कि एक वृत्त की समीकरण है जिस पर (1) व (2) के प्रतिच्छेद बिन्दु स्थित हैं तथा (2),(1) को n(n-2)=4(4-2)=8 बिन्दुओं पर काटती है।

Intersection of Curve and Asymptotes

Example:5.सिद्ध कीजिए कि वक्र x^4-5 x^2 y^2+4 y^4+x^2-y^2+x+y+1=0 तथा इसके अनन्तस्पर्शी के आठ प्रतिच्छेद बिन्दु एक अतिपरवलय पर स्थित है।
(Show that the eight points of intersection of the curve x^4-5 x^2 y^2+4 y^4+x^2-y^2+x+y+1=0 and its asymptotes lie on the rectangular hyperbola.)
Solution:दिए हुए वक्र का समीकरण

x^4-5 x^2 y^2+4 y^4+x^2-y^2+x+y+1=0 \cdots(1)
उपर्युक्त में x=1 तथा y=m रखने परः

\phi_4(m)=1-5 m^2+4 m^4
तथा \phi_3(m)=0
अब \phi_4(m)=1-4 m^2-m^2+4 m^4 \\ =1\left(1-4 m^2\right)-m^2\left(1-4 m^2\right) \\ \Rightarrow \phi_4(m)=\left(1-m^2\right)\left(1-4 m^2\right) \\ \phi_4(m)=0 से

\left(1-m^2\right)\left(1-4 m^2\right)=0 \\ \Rightarrow(1-m)(1+m)(1-2 m)(1+2 m)=0 \\ \Rightarrow m=1,-1,\frac{1}{2},-\frac{1}{2} \\ \phi_4^{\prime}(m)=-10 m+16 m^3
पुनः c के मान के लिए

c=-\frac{\phi_3(m)}{\phi_{4}^{\prime}(m)}=\frac{-0}{\phi_4^{\prime}(m)}=0
अतः जब  m=1,-1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} तब c=0
अतः अनन्तस्पर्शियों के समीकरण होंगेः
y=x, y=-x, 2y=x,2y=-x
अनन्तस्पर्शियों का संयुक्त समीकरण होगाः
(y-x)(y+x)(2 y-x)(2 y+x)=0 \\ 4 y^4-5 x^2 y^2+x^4=0 \cdots(2)
समीकरण (1) में से समीकरण (2) घटाने परः

\Rightarrow x^2-y^2+x+y+1=0 \\ \Rightarrow \left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=-1
जो कि एक अतिपरवलय का समीकरण है जिस पर (1) व (2) के प्रतिच्छेद बिन्दु स्थित हैं तथा (2),(1) को n(n-2)=4(4-2)=8 बिन्दुओं पर काटती है।
Example:6.सिद्ध कीजिए कि वक्र x y\left(x^2-y^2\right)+25 y^2+9 x^2-144=0 के चारों अनन्तस्पर्शी वक्र को आठ बिन्दुओं पर काटते हैं जो \frac{4}{5} उत्केन्द्रता वाले दीर्घवृत्त पर स्थित है।
(Show that the four asymptotes of the curve x y\left(x^2-y^2\right)+25 y^2+9 x^2-144=0 cut it again in eight points lying on an ellipse whose eccentricity is \frac{4}{5}.)
Solution:दिए हुए वक्र का समीकरण

x y\left(x^2-y^2\right)+25 y^2+9 x^2-144=0 \\ x y(x+y)(x-y)+25 y^2+9 x^2-144=0 \cdots(1)
जो F_4+F_2=0 के रूप का है।अतः निरीक्षण मात्र से स्पष्ट है कि वक्र की अनन्तस्पर्शियाँ F_4=0 से प्राप्त होंगी।अर्थात्
xy(x+y)(x-y)=0
\Rightarrow x=0,y=0,x+y=0,x-y=0
अनन्तस्पर्शियों का संयुक्त समीकरण होगाः
xy(x+y)(x-y)=0 ….. (2)
अब (1) में से (2) को घटाने परः

9 x^2+25 y^2-144=0
जिस पर (1) तथा (2) के प्रतिच्छेद बिन्दु स्थित हैं तथा (2),(1) को n(n-2)=4(4-2)=8 बिन्दुओं पर काटती है।

\frac{9 x^2}{144}+\frac{25 y^2}{144}=1 \\ \Rightarrow \frac{x^2}{\frac{144}{9}}+\frac{y^2}{\frac{14 y}{25}}=1 \\ a^2=\frac{144}{9}, b^2=\frac{144}{25} \\ b^2=a^2\left(1-e^2\right) \Rightarrow \frac{144}{25}=\frac{144}{9}\left(1-e^2\right) \\ \Rightarrow \frac{9}{25}=\left(1-e^2\right) \Rightarrow e^2=1-\frac{9}{25} \\ \Rightarrow e^2=\frac{16}{25} \Rightarrow e=\frac{4}{5}
अतः उत्केन्द्रता \frac{4}{5} है।
Example:7.उस त्रिघात का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके अनन्तस्पर्शी x+a=0,y-a=0,x+y+a=0 तथा जो x-अक्ष को मूलबिन्दु पर स्पर्श करता है तथा बिन्दु (-2a,-2a) से गुजरता है।
(Find the equation of the cubic curve whose asymptotes are x+a=0;y-a=0 and x+y+a=0 and which touches the axis of x at the origin and passes through the point (-2a,-2a).)
Solution:वक्र का समीकरण जिसके अनन्तस्पर्शी F_3=0 ; F_3+P_1=0 होता है जहाँ P_1 एकघाती व्यंजक है।इसलिए वक्र का समीकरण होगा।
F_3+A x+B y+C=0 \\ (x+a)(y-a) \cdot(x+y+a)+A x+B y+C=0 \cdots(1)
(1) मूलबिन्दु से गुजरती है इसलिए c=a^3
मूलबिन्दु पर स्पर्श रेखा का समीकरण न्यूनतम घात के पदों को शून्य के बराबर रखने पर प्राप्त होता है।अर्थात् -2a^2 x+A x+B y=0
परन्तु दिया हुआ है कि x-अक्ष मूलबिन्दु पर स्पर्शरेखा है अर्थात् y=0

\Rightarrow -2 a^2 x+A x=0 \Rightarrow A=2 a^2
अब c=a^3, A=2 a^2 रखने पर वक्र का समीकरण होगाः

(x+a)(y-a)(x+y+a)+B y+2 a^2x+a^3=0
यह भी दिया हुआ है कि वक्र (-2a,-2a) से गुजरता है

(-2 a+a)(-2 a-a)(-2 a-2 a+a)+B(-2 a)+2 a^2(-2a)+a^3=0 \\ \Rightarrow(-a)(-3 a)(-3 a)-4 a^3+a^3-2 a B=0 \\ -9 a^3-4 a^3+a^3=2aB \\ \Rightarrow B=-6 a^2
अतः अभीष्ट वक्र का समीकरण

(x+a)(y-a)(x+y+a)+2 a^2 x-6 a^2 y+a^3=0 \\ \Rightarrow x y(x+y)+a\left(y y^2-x^2+x y\right)-6 a^2 y=0
Example:8.उस त्रिघात का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके अनन्तस्पर्शी वही है जो वक्र x^3-6 x^2 y+11 x y^2-6 y^3+4 x+5 y+7=0 के हैं तथा जो (0,0),(2,0) और (0,2) से होकर जाता है।
(Find the equation of the cubic which has the same asymptotes as the curve x^3-6 x^2 y+11 x y^2-6 y^3+4 x+5 y+7=0 and which passes through the points (0,0),(2,0) and (0,2).)
Solution:दिए हुए वक्र का समीकरण

x^3-6 x^2 y+11 x y^2-6 y^3+4 x+5 y+7=0 \\ \Rightarrow x^2-x^2 y-5 x^2 y+5 x y^2+6 x y^2-6 y^3+4 x+5 y+1=0 \\ \Rightarrow x^2(x-y)-5 x y(x-y)+6 y^2(x-y)+4 x+5 y+7=0 \\ \Rightarrow(x-y)\left(x^2-5 x y+6 y^2\right)+4 x+5 y+7=0 \\ \Rightarrow(x-y)\left[x^2-3 x y-2 x y+6 y^2\right]+4 x+5 y+7=0 \\ \Rightarrow(x-y)[x(x-3 y)-2 y(x-3 y)]+4 x+5 y+7=0 \\ \Rightarrow(x-y)(x-2 y)(x-3 y)+4 x+5 y+7=0
दिए हुए वक्र का समीकरण F_3+F_1=0 रूप में है।साथ ही F_3 के गुणनखण्ड अनावृत्त एकघाती है।

F_3=(x-y)(x-2 y)(x-3 y)
अतः निरीक्षण मात्र से स्पष्ट है कि वक्र के अनन्तस्पर्शी का समीकरण F_3=0 होगा।
किसी भी वक्र का समीकरण जिसके अनन्तस्पर्शी F_3=0, F_3+P_{1}=0 होता है जहाँ P_{1} एकघाती व्यंजक है।इसलिए का समीकरण होगाः

F_3+a x+b y+c=0 \\ \Rightarrow (x-y)(x-2 y)(x-3 y)+a x+b y+c=0 \cdots(1)
(1) मूलबिन्दु से गुजरती है इसलिए c=0
अतः (x-y)(x-2y)(x-3y)+ax+by=0 …. (2)
समीकरण (2),(2,0) व (0,2) से गुजरती है अतः
(2-0)(2-0)(2-0)+2a+0=0
\Rightarrow a=-4
(0-2)(0-2×2)(0-3×2)+0+b(2)=0
\Rightarrow b=24
a,b,c का मान समीकरण (1) में रखने परः
(x-y)(x-2 y)(x-3 y)-4 x+24 y=0 \\ \Rightarrow x^3-6 x^2 y+11 x y^2-6 y^3-4 x+24 y =0
जो कि अभीष्ट वक्र का समीकरण है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा किसी वक्र और उसकी अनन्तस्पर्शियों का प्रतिच्छेदन (Intersection of Curve and Asymptotes),अवकलन गणित में किसी वक्र और उसकी अनन्तस्पर्शियों का प्रतिच्छेदन (Intersection of Curve and Its Asymptotes in Differential Calculus) को समझ सकते हैं।

3.किसी वक्र और उसकी अनन्तस्पर्शियों का प्रतिच्छेदन पर आधारित सवाल (Questions Based on Intersection of Curve and Asymptotes):

Intersection of Curve and Asymptotes

(1.)प्रदर्शित कीजिए कि वक्र के अनन्तस्पर्शी वक्र x\left(x^2-y^2\right)-2 x(y-1)-y=0 को पुनः काटते हैं जो रेखा y=3x पर स्थित है।
(Show that the asymptotes of the curve x\left(x^2-y^2\right)-2 x(y-1)-y=0 cut the curve in points which lie on the line y=3x.)
(2.)उस त्रिघात वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके अनन्तस्पर्शी वही है जो वक्र x^2-6 x^2 y+11 x y^2-6 y^3-x+6 y=0 के हैं तथा जो y-अक्ष को मूलबिन्दु पर स्पर्श करता है तथा बिन्दु (3,2) से गुजरता है।
(Find the equation of the cubic which has the same asymptotes as the curve x^2-6 x^2 y+11 x y^2-6 y^3-x+6 y=0 and which touches the axis of y at the origin and passes the point (3,2).)

Solution:- (2.) x^3-6 x^2 y+11 x y^2-6 y^3-x=0
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर किसी वक्र और उसकी अनन्तस्पर्शियों का प्रतिच्छेदन (Intersection of Curve and Asymptotes),अवकलन गणित में किसी वक्र और उसकी अनन्तस्पर्शियों का प्रतिच्छेदन (Intersection of Curve and Its Asymptotes in Differential Calculus) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:-Finding Asymptotes of Algebraic Curves

4.किसी वक्र और उसकी अनन्तस्पर्शियों का प्रतिच्छेदन (Frequently Asked Questions Related to Intersection of Curve and Asymptotes),अवकलन गणित में किसी वक्र और उसकी अनन्तस्पर्शियों का प्रतिच्छेदन (Intersection of Curve and Its Asymptotes in Differential Calculus) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

किसी वक्र और उसकी अनन्तस्पर्शियों का प्रतिच्छेदन (Intersection of Curve and Asymptotes)
से तात्पर्य है कि एक सरल रेखा nवें घात के वक्र को व्यापक रूप में (in general) n बिन्दुओं में काटती है।