1.त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन (Integration with trigonometric substitution,Integration by trigonometric substitution)-

Integration with trigonometric substitution

• त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन  (Integration with trigonometric substitution) के बारे में इस आर्टिकल में बताया गया है।कुछ फलनों में चरों के स्थान पर त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन से समाकलन सरलता से ज्ञात किए जा सकते हैं।
• नीचे अनुभव के आधार पर कुछ उचित त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन सुझाए गए हैं।लेकिन इनके अतिरिक्त अन्य फलनों में अपने विवेक के आधार पर त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का चुनाव करना होता है।
  धीरे-धीरे अभ्यास और अनुभव से यह समझ आ जाता है कि किस प्रकार के फलन में कौनसा त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन रखना उचित होगा।
• कुछ त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन की सूची नीचे आर्टिकल में दी गई है।त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन (Integration with trigonometric substitution) को समझाने के लिए कुछ प्राब्लम को हल किया गया है,उनसे त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन (Integration with trigonometric substitution) आसानी से समझ में आ जाएगा।
  
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2.त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन (Integration with trigonometric substitution,Integration by trigonometric substitution) के लिए कुछ उचित प्रतिस्थापन-

Integration with trigonometric substitution

• (1.)त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन सूत्रों द्वारा समाकलन (Integration by trig substitution formulas)
  (2.)त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन सूत्र (Trigonometric substitution formulas)
  (3.)त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन (Trig substitution)
  (4.)त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन (Trig substitution)
         समाकल्य                                              प्रतिस्थापन
• (1.)\sqrt { { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } }or \frac { 1 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } }  \quad \qquad x=a\tan { \theta }
• (2.)\sqrt { { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } or \frac { 1 }{ \sqrt { { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } }  \quad  \quad x=a\sin { \theta } or x=a\cos { \theta }
• (3.)\sqrt { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } or \frac { 1 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } }  \qquad x=a\sec { \theta }
• (4.)\sqrt { \frac { a-x }{ a+x } } or \sqrt { \frac { a+x }{ a-x } }  \qquad \quad x=a\cos { 2\theta } or x=a\cos { \theta }
• (5.) ‌\sqrt { x+a }   \qquad \qquad \quad x=a\cos { 2\theta } or x=a\cos { \theta }
• (6.) \sqrt { 2ax-{ x }^{ 2 } } \quad \quad \quad \quad x=2a\sin ^{ 2 }{ \theta } or x=a(1-\cos { 2\theta } )
• (7.)\sqrt { \frac { { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 }+{ x }^{ 2 } } }   \qquad \qquad \quad { x }^{ 2 }={ a }^{ 2 }\cos { 2\theta }
• (8.)\sqrt { \frac { x+a }{ x } } or \sqrt { \frac { x }{ x+a } }  \quad \quad \quad \quad x=a\tan ^{ 2 }{ \theta }

3.त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन के उदाहरण और हल (Integration by trigonometric substitution examples and solutions)-

Example-1.\frac { 1 }{ { a }^{ 2 }+{ x }^{ 2 } }
Solution-I=\int { \frac { 1 }{ { a }^{ 2 }+{ x }^{ 2 } } dx } \\ put\quad x=a\tan { \theta } \Rightarrow dx=a\sec ^{ 2 }{ \theta } d\theta \\ \theta =\tan ^{ -1 }{ (\frac { x }{ a } ) } \\ I=\int { \frac { 1 }{ { a }^{ 2 }+{ a }^{ 2 }\tan ^{ 2 }{ \theta } } a\sec ^{ 2 }{ \theta } d\theta } \\ I=\int { \frac { 1 }{ { a }^{ 2 }(1+\tan ^{ 2 }{ \theta } ) } a\sec ^{ 2 }{ \theta } d\theta } \\ I=\frac { 1 }{ a } \int { \frac { 1 }{ \sec ^{ 2 }{ \theta } } } .\sec ^{ 2 }{ \theta } d\theta \\ I=\frac { 1 }{ a } \int { d\theta } \\ I=\frac { 1 }{ a } \theta +c\\ I=\frac { 1 }{ a } \tan ^{ -1 }{ (\frac { x }{ a } ) } +c

Example-2.\frac { 1 }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ x }^{ 2 } } }
Solution–\frac { 1 }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ x }^{ 2 } } } \\ I=\int { \frac { 1 }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ x }^{ 2 } } } dx } \\ put\quad x=a\tan { \theta } \Rightarrow dx=a\sec ^{ 2 }{ \theta } d\theta \\ \tan { \theta } =\frac { x }{ a } \\ \Rightarrow \tan ^{ 2 }{ \theta } =\frac { { x }^{ 2 } }{ { { a }^{ 2 } } } \\ \Rightarrow 1+\tan ^{ 2 }{ \theta } =1+\frac { { x }^{ 2 } }{ { { a }^{ 2 } } } \\ \sec ^{ 2 }{ \theta } =\frac { { a }^{ 2 }+{ x }^{ 2 } }{ { { a }^{ 2 } } } \\ \sec { \theta } =\frac { \sqrt { { a }^{ 2 }+{ x }^{ 2 } } }{ a } \\ I=\int { \frac { 1 }{ \sqrt { { { a }^{ 2 }+{ a }^{ 2 }\tan ^{ 2 }{ \theta } } } } a\sec ^{ 2 }{ \theta } d\theta } \\ I=\int { \frac { a\sec ^{ 2 }{ \theta } }{ \sqrt { { { a }^{ 2 }(1+\tan ^{ 2 }{ \theta } ) } } } } d\theta \\ I=\int { \frac { a\sec ^{ 2 }{ \theta } }{ \sqrt { { { a }^{ 2 }\sec ^{ 2 }{ \theta } } } } } d\theta \\ I=\int { \sec { \theta } } d\theta \\ I=\log { |\sec { \theta } +\tan { \theta } | } +{ c }_{ 1 }\\ I=\log { |\frac { \sqrt { { a }^{ 2 }+{ x }^{ 2 } } }{ a } +\frac { x }{ a } | } +{ c }_{ 1 }\\ I=\log { |x+\sqrt { { a }^{ 2 }+{ x }^{ 2 } } | } -\log { a } +{ c }_{ 1 }\\ I=\log { |x+\sqrt { { a }^{ 2 }+{ x }^{ 2 } } | } +c जहाँ c={ c }_{ 1 }-\log { a }
Example-3.\frac { 1 }{ 50+2{ x }^{ 2 } } dx
Solution-I=\int { \frac { 1 }{ 50+2{ x }^{ 2 } } dx } \\ I=\int { \frac { 1 }{ 2(25+{ x }^{ 2 }) } dx } \\ I=\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { 1 }{ { 5 }^{ 2 }+{ x }^{ 2 } } } \\ I=\frac { 1 }{ 2 } .\frac { 1 }{ 5 } \tan ^{ -1 }{ (\frac { x }{ 5 } ) } +c\qquad \qquad [\because \int { \frac { 1 }{ { a }^{ 2 }+{ x }^{ 2 } } dx } =\frac { 1 }{ a } \tan ^{ -1 }{ (\frac { x }{ a } ) } ]\\ I=\frac { 1 }{ 10 } \tan ^{ -1 }{ (\frac { x }{ 5 } ) } +c
Example-4.\frac { { e }^{ x } }{ { e }^{ 2x }+2{ e }^{ x }\cos { \alpha } +1 }
Solution-I=\int { \frac { { e }^{ x } }{ { e }^{ 2x }+2{ e }^{ x }\cos { \alpha } +1 } } dx\\ { e }^{ x }=t\qquad \Rightarrow { e }^{ x }dx=dt\\ I=\int { \frac { dt }{ { t }^{ 2 }+2t\cos { \alpha } +1 } } \\ I=\int { \frac { dt }{ { t }^{ 2 }+2t\cos { \alpha } +\cos ^{ 2 }{ \alpha } +1-\cos ^{ 2 }{ \alpha } } } \\ I=\int { \frac { dt }{ { (t+\cos { \alpha } ) }^{ 2 }+\sin ^{ 2 }{ \alpha } } } \\ I=\frac { 1 }{ \sin { \alpha } } \tan ^{ -1 }{ (\frac { t+\cos { \alpha } }{ \sin { \alpha } } ) } +c\\ I=\frac { 1 }{ \sin { \alpha } } \tan ^{ -1 }{ (\frac { { e }^{ x }+\cos { \alpha } }{ \sin { \alpha } } ) } +c
Example-5.\frac { \sin { x } +\cos { x } }{ \sqrt { \sin { 2x } } }
Solution-I=\int { \frac { \sin { x } +\cos { x } }{ \sqrt { \sin { 2x } } } dx } \\ I=\int { \frac { \sin { x } +\cos { x } }{ \sqrt { 1-1+\sin { 2x } } } dx } \\ I=\int { \frac { \sin { x } +\cos { x } }{ \sqrt { 1-(1-\sin { 2x } ) } } dx } \\ I=\int { \frac { \sin { x } +\cos { x } }{ \sqrt { 1-(\sin ^{ 2 }{ x } +\cos ^{ 2 }{ x } -2\sin { x } \cos { x } ) } } dx } \\ I=\int { \frac { \sin { x } +\cos { x } }{ \sqrt { 1-(\sin ^{ 2 }{ x } +\cos ^{ 2 }{ x } -2\sin { x } \cos { x } ) } } dx } \\ I=\int { \frac { \sin { x } +\cos { x } }{ \sqrt { 1-{ (\sin { x } -\cos { x } ) }^{ 2 } } } dx } \\ put\quad \sin { x } -\cos { x } =t\Rightarrow (\cos { x } +\sin { x } )dx=dt\\ I=\int { \frac { dt }{ \sqrt { 1-{ t }^{ 2 } } } } \\ I=\sin ^{ -1 }{ t } +c\\ I=\sin ^{ -1 }{ (\sin { x } -\cos { x } ) } +c
Example-6.\frac { 1 }{ \sqrt { (x-\alpha )(\beta -x) } }
Solution-I=\frac { 1 }{ \sqrt { (x-\alpha )(\beta -x) } } dx\\ I=\int { \frac { 1 }{ \sqrt { x\beta -{ x }^{ 2 }-\alpha \beta +\alpha x } } dx } \\ I=\int { \frac { 1 }{ \sqrt { -({ x }^{ 2 }-x\beta -\alpha x)-\alpha \beta } } dx } \\ I=\int { \frac { 1 }{ \sqrt { -({ x }^{ 2 }-(\alpha +\beta )x)-\alpha \beta } } dx } \\ I=\int { \frac { 1 }{ \sqrt { -[{ x }^{ 2 }-(\alpha +\beta )x+{ (\frac { \alpha +\beta }{ 2 } ) }^{ 2 }]+{ (\frac { \alpha +\beta }{ 2 } ) }^{ 2 }-\alpha \beta } } dx } \\ I=\int { \frac { 1 }{ \sqrt { -[{ x }^{ 2 }-(\alpha +\beta )x+{ (\frac { \alpha +\beta }{ 2 } ) }^{ 2 }]+\frac { { \alpha }^{ 2 }+{ \beta }^{ 2 }+2\alpha \beta }{ 4 } -\alpha \beta } } dx } \\ I=\int { \frac { 1 }{ \sqrt { -[{ x }^{ 2 }-(\alpha +\beta )x+{ (\frac { \alpha +\beta }{ 2 } ) }^{ 2 }]+\frac { { \alpha }^{ 2 }+{ \beta }^{ 2 }+2\alpha \beta -4\alpha \beta }{ 4 } } } dx } \\ I=\int { \frac { 1 }{ \sqrt { -[{ (x-\frac { \alpha +\beta }{ 2 } ) }^{ 2 }]+\frac { { \alpha }^{ 2 }+{ \beta }^{ 2 }-2\alpha \beta }{ 4 } } } dx } \\ I=\int { \frac { 1 }{ \sqrt { -[{ (x-\frac { \alpha +\beta }{ 2 } ) }^{ 2 }]+\frac { { (\alpha -\beta ) }^{ 2 } }{ 4 } } } dx } \\ I=\int { \frac { 1 }{ \sqrt { { (\frac { \alpha -\beta }{ 2 } ) }^{ 2 }-{ (x-\frac { \alpha +\beta }{ 2 } ) }^{ 2 } } } dx } \\ I=\sin ^{ -1 }{ (\frac { x-\frac { \alpha +\beta }{ 2 } }{ \frac { \alpha -\beta }{ 2 } } ) } +c\\ I=\sin ^{ -1 }{ (\frac { 2x-\alpha -\beta }{ \alpha -\beta } ) } +c
Example-7.\frac { \sqrt { x } }{ \sqrt { { a }^{ 3 }-{ x }^{ 3 } } }
Solution-I=\int { \frac { \sqrt { x } }{ \sqrt { { a }^{ 3 }-{ x }^{ 3 } } } dx } \\ I=\int { \frac { \sqrt { x } }{ \sqrt { { { \left( { a }^{ \frac { 3 }{ 2 } } \right) }^{ 2 }-{ \left( { x }^{ \frac { 3 }{ 2 } } \right) }^{ 2 } } } } dx } \\ put\quad { x }^{ \frac { 3 }{ 2 } }=t\Rightarrow \frac { 3 }{ 2 } { x }^{ \frac { 1 }{ 2 } }dx=dt\\ \Rightarrow \sqrt { x } dx=dt\\ I=\frac { 2 }{ 3 } \int { \frac { dt }{ { \left( { a }^{ \frac { 3 }{ 2 } } \right) }^{ 2 }-{ t }^{ 2 } } } \\ I=\frac { 2 }{ 3 } \sin ^{ -1 }{ \left( \frac { t }{ { a }^{ \frac { 3 }{ 2 } } } \right) } +c\\ I=\frac { 2 }{ 3 } \sin ^{ -1 }{ \left( \frac { { x }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { a }^{ \frac { 3 }{ 2 } } } \right) } +c\\ I=\frac { 2 }{ 3 } \sin ^{ -1 }{ { \left( \frac { x }{ a } \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } } +c
Example-8.\sqrt { \frac { a+x }{ a-x } }
Solution-I=\int { \sqrt { \frac { a+x }{ a-x } } dx } \\ put\quad x=a\cos { 2\theta } \Rightarrow dx=-2a\sin { 2\theta } d\theta \\ I=\int { \sqrt { \frac { a+a\cos { 2\theta } }{ a-a\cos { 2\theta } } } -2a\sin { 2\theta } d\theta } \\ I=-2a\int { \sqrt { \frac { 1+\cos { 2\theta } }{ 1-\cos { 2\theta } } } \sin { 2\theta } d\theta } \\ I=-2a\int { \sqrt { \frac { 1+2\cos ^{ 2 }{ \theta } -1 }{ 1-(1-2\sin ^{ 2 }{ \theta } ) } } 2\sin { \theta } \cos { \theta } d\theta } \\ I=-4a\int { \sqrt { \frac { 2\cos ^{ 2 }{ \theta } }{ 2\sin ^{ 2 }{ \theta } } } \sin { \theta } \cos { \theta } d\theta } \\ I=4a\int { \frac { \cos { \theta } }{ \sin { \theta } } .\sin { \theta } \cos { \theta } d\theta } \\ I=\int { \cos ^{ 2 }{ \theta } d\theta } \\ I=-4a\int { \frac { 1+\cos { 2\theta } }{ 2 } d\theta } \\ I=-4a[\frac { 1 }{ 2 } \int { d\theta } +\frac { 1 }{ 2 } \int { \cos { 2\theta } d\theta } ]\\ I=-2a\theta -a\sin { 2\theta } +c\\ I=-a\cos ^{ -1 }{ \left( \frac { x }{ a } \right) } -a\sqrt { 1-\frac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } } +c\\ I=-a\cos ^{ -1 }{ \left( \frac { x }{ a } \right) } -\sqrt { { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } +c
इस प्रकार उपर्युक्त उदाहरणों तथा उनके हल द्वारा त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन (Integration with trigonometric substitution,integration by trigonometric substitution) को समझ सकते हैं।

4.त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन द्वारा बीजीय फलनों का समाकलन (Integration of algebraic functions by trigonometric substitution)-

Integration with trigonometric substitution

• TRIGONOMETRIC SUBSTITUTION की विधि का उपयोग करते हुए खोजकर्ता।दिए गए सही त्रिभुज और पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करके, हम θ के किसी भी त्रिकोणमितीय मूल्य को निर्धारित कर सकते हैं।त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन की विधि का उपयोग करते समय, हम हमेशा उपर्युक्त प्रसिद्ध त्रिकोणमितीय पहचानों में से एक का उपयोग करेंगे।

5.प्रतिस्थापन त्रिकोणमितीय फलनों द्वारा समाकलन (Integration by substitution trigonometric functions)-

• त्रिकोणमितीय फलनों से जुड़े कुछ समाकल का मूल्यांकन त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करके किया जा सकता है।ये इंटीग्रैंड को एक वैकल्पिक रूप में लिखने की अनुमति देते हैं जो समाकलन के लिए अधिक उत्तरदायी हो सकता है।अवसरों पर एक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन एक समाकल का मूल्यांकन करने में सक्षम होगा।

6.त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन नियमों द्वारा समाकलन (Integration by trigonometric substitution rules)-

• त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन विकल्प का सारांश
• वापस x में परिवर्तित करने के लिए, x=a tanθ प्राप्त करने के लिए अपने प्रतिस्थापन का उपयोग करें, और एक समकोण त्रिभुज को विपरीत भुजा x, समीपवर्ती भुजा a और कर्ण \sqrt { { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } के साथ खींचें।जब { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } को इंटीग्रैंड में एम्बेड किया जाता है, तो x = asin (θ) का उपयोग करें। (संकेत: 1-{ x }^{ 2 },\sin ^{ -1 }{ x } के अवकलज में प्रकट होता है।) फिर dx = acos (θ) dθ।

7.प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन (Integration by substitution)-

Integration with trigonometric substitution

• “प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन” (जिसे “यू-सब्सटीट्यूशन” या “रिवर्स चेन नियम” भी कहा जाता है) एक समाकल को खोजने के लिए एक विधि है, लेकिन केवल जब इसे एक विशेष तरीके से स्थापित किया जा सकता है।यह समाकल जाने के लिए अच्छा है!
• यदि इसके बारे में अधिक जानना चाहते हैं तो प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन का एक आर्टिकल पोस्ट किया हुआ है उससे देखें।Also Read This Article:-Linear Differential Equation