1.त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के साथ समाकलन (Integration with Trig Identities),त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं द्वारा समाकलन (Integration by Trigonometric Identities):

Integration with Trig Identities

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के साथ समाकलन (Integration with Trig Identities ):कई बार समाकलन में ऐसे त्रिकोणमितीय फलन विद्यमान होते हैं जिन्हें त्रिकोणमिति सर्वसमिकाओं का उपयोग कर समाकलन योग्य बना लिया जाता है,फिर आवश्यकता अनुसार प्रतिस्थापन कर समाकलन किया जाता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके त्रिकोणमितीय फलनों से जुड़े कुछ इंटीग्रल का मूल्यांकन किया जा सकता है।ये इंटीग्रैंड को एक वैकल्पिक रूप में लिखने की अनुमति देते हैं जो समाकलन के लिए अधिक अनुकूल हो सकता है।sin2x cos2 x और sin3x cos4x के रूप के फलनों को समाकलन करने के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करें।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं (Trigonometric Identities):

(1) \sin (A \pm B)=\sin A \cos B \pm \sin B \cos A \\ (2) \cos (A \pm B)=\cos A \cos B \mp \sin A \sin B \\ (3) \tan (A \pm B)=\frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} \\ (4) \cot (A \pm B)=\frac{\cot A \cot B \pm 1}{\cot B \pm \cot A} \\ (5) 2 \sin A \cos B=\sin (A+B)+\sin (A-B) \\ (6) 2 \cos A \sin B=\sin (A+B)-\sin (A-B) \\ (7) 2 \cos A \cos B=\cos (A+B)+\cos (A-B) \\ (8) 2 \sin A \sin B=\cos (A-B)-\cos (A+B) \\ (9) \sin C+\sin D=2 \sin \left(\frac{C+D}{2}\right) \cdot \cos (\frac{C-D}{2}) \\ (10) \sin C-\sin D=2 \cos \left(\frac{C+D}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{C-D}{2}\right) \\ (11) \cos C+\cos D=2 \cos \left(\frac{C+D}{2}\right) \cos \left(\frac{C-D}{2}\right) \\ (12) \cos C-\cos D=2 \sin \left(\frac{C+D}{2}\right) \sin \left(\frac{D-c}{2}\right) \\ (13) \tan 3 A=\frac{3 \tan A-\tan ^{3} A} {1-3 \tan ^{2} A} \\ (14) \sin A=2 \sin \left(\frac{A}{2}\right) \cos \left(\frac{A}{2}\right) \\ (15) \cos A=\cos ^{2} \frac{A}{2}-\sin ^{2} \frac{A}{2}=2 \cos ^{2} \frac{A}{2}-1=1-2 \sin ^{2} \frac{A}{2} \\ (16) \tan A =\frac{2 \tan \frac{A}{2}}{1-\tan ^{2} \frac{A}{2}} \\ (17) \sin A =\frac{2 \tan \frac{A}{2}}{1+\tan ^{2} \frac{A}{2}} \\ (18) \cos A =\frac{1-\tan ^{2} \frac{A}{2}}{1+\tan ^{2} \frac{A}{2}}
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2.त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के साथ समाकलन के उदाहरण (Integration with Trig Identities Examples):

निम्नलिखित का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए:
(Integrate the following with respect to x):
Example:1. x \sin x^{2}
Solution: x \sin x^{2} \\ I=\int x \sin x^{2} d x\\ \text { Put } x^{2}=t \Rightarrow 2 x d x=d t\\ I=\frac{1}{2} \int \sin t d t \\ I=-\frac{1}{2} \cos t+c=-\frac{1}{2} \cos x^{2}+c
Example:2.x \sqrt{x^{2}+1}
Solution:x \sqrt{x^{2}+1} \\ I=\int x \sqrt{x^{2}+1} d x \\ \text { put } x=\tan \theta \Rightarrow d x=\sec ^{2} \theta d \theta \\ I=\int \tan \theta \sqrt{1+\tan ^{2} \theta} \sec ^{2} \theta \\ =\tan \theta \cdot \sec \theta \sec ^{2} \theta d \theta \\ =\int \sec ^{2} \theta(\sec \theta \tan \theta) d \theta \\ \text { Put } \sec \theta=u \Rightarrow \sec \theta \tan \theta d \theta=d u \\ I=\int u^{2} d u \\ \Rightarrow I=\frac{1}{3} u^{3}+c \\ I=\frac{1}{3} \sec ^{3} \theta+c \\ I= \frac{1}{3}\left(1+x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}+c
Example:3.\frac{e^{x}}{\sqrt{\left(1+e^{x}\right)}}
Solution:\frac{e^{x}}{\sqrt{1+e^{x}}} \\ I=\int \frac{e^{x}}{\sqrt{1+e^{x}}} \\ \text { put } 1+e^{x}=t \\ e^{x} d x=d t \\ I =\int \frac{1}{\sqrt{t}} d t \\ =\int t^{-\frac{1}{2}} d t \\ =2 \sqrt{t}+c \\ =2 \sqrt{1+e^{x}}+c
Example:4.\sqrt{e^{x}+1}
Solution:I=\int \sqrt{e^{x}+1} d x\\ \text { Put } e^{x}+1=t^{2} \Rightarrow e^{x} d x=2 t d t\\ =\int \sqrt{t^{2}} \cdot \frac{2 t d t}{e^{x}}\\ =\int \frac{2 t^{2}}{t^{2}-1} d t\\ =\int\left(2+\frac{2}{t^{2}-1}\right) d t\\ =\int 2 d t+\int \frac{2}{t^{2}-1} d t\\ =2 t+\frac{2}{2} \log \left(\frac{t-1}{t+1}\right)+c \\ =2 \sqrt{e^{x}+1}+\log \left(\frac{\sqrt{e^{x} +1} -1}{\sqrt{e^{x}+1}+1}\right)+c\\ =2 \sqrt{e^{x}+1}+\log \frac{\left(\sqrt{e^{x} +1}-1\right)\left( \sqrt{e^{x}+1}+ 1\right)}{\left(\sqrt{e^{x}+1}+1\right)\left(\sqrt{e^{x}+1}+1\right)} \\ \Rightarrow I=2 \sqrt{e^{x}+1}+\log \left( \frac{e^{x} +1-1}{e^{x}+1}\right)+c \\ \Rightarrow I=2 \sqrt{e^{x}+1}+\log \left(\frac{e^{x}}{e^{x}+2}\right)+c
Example:5.\frac{(1+\log x)^{3}}{x} 
Solution:\frac{(1+\log x)^{3}}{x} \\ I=\int \frac{(1+x \log x)^{3}}{x} d x \\ \text{put } (1+\log x)=t \Rightarrow x d x=d t \\ I=\int t^{3} d t \\ I=\frac{t^{4}}{4}+c \\ I=\frac{1}{4}(1+\log x)^{4}+c
Example:6.\frac{1}{\sqrt{1+\cos 2 x}}
Solution:\frac{1}{\sqrt{1+\cos 2 x}} \\ \text { I }=\int \frac{1}{\sqrt{1+\cos 2 x}} dx \\ =\int \frac{1}{\sqrt{2 \cos ^{2} x}} d x \\ =\frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{1}{\sqrt{\cos ^{2} x}} d x \\ =\frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{1}{\cos x} d x \\ =\frac{1}{\sqrt{2}} \int \sec x d x \\ I=\frac{1}{\sqrt{2}} \log \mid \sec x+\tan x \mid +c

Integration with Trig Identities

Example:7.\frac{1+\cos x}{\sin x \cos x}
Solution:\frac{1+\cos x}{\sin x \cos x}\\ I=\int \frac{1+\cos x}{\sin x \cos x} d x\\ =\int \frac{2}{2 \sin x \cos x} d x+\frac{\cos x}{\sin x \cos x} d x\\ =2 \int \frac{1}{\sin 2 x} d x+\int \frac{1}{\sin x} d x\\ =2 \int \operatorname{cosec} 2x d x+\int \operatorname{cosec} x d x\\ =2 \log |\operatorname{cosec} 2 x-\cot 2 x|+\log \mid \operatorname{cosec} x - \cot x \mid +c\\ I=2 \log |\operatorname{cosec} 2 x-\cot 2 x|+\log |\operatorname{cosec} x-\cot x|+c
Example:8.\sqrt{1-\sin x}
Solution: \sqrt{1-\sin x}\\ I=\int \sqrt{1-\sin x} d x\\ =\int \sqrt{\sin ^{2} \frac{x}{2}+\cos^{2} \frac{x}{2}-2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} } dx \\ =\int \sqrt{\left(\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}\right)^{2}} d x\\ I=\int\left(\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}\right) d x \\ \Rightarrow I =\int \sin \frac{x}{2} d x-\int \cos \frac{x}{2} d x \\ I=-2 \cos \frac{x}{2}-2 \sin \frac{x}{2}+c \\ I =\pm 2\left(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right)+c
Example:9.\int \cos^{4} x dx
Solution:\int \cos^{4} x dx \\ I=\int\left(\cos ^{2} x\right)^{2} d x\\ =\int\left(\frac{1+\cos 2 x}{2}\right)^{2} d x\\ =\frac{1}{4} \int\left(1+2 \cos 2 x+\cos ^{2} 2 x\right) d x \\ =\frac{1}{4} \int 1 d x+\frac{1}{2} \int \cos 2 x d x+\frac{1}{4} \int \cos ^{2} 2x d x \\ =\frac{1}{4} x+\frac{1}{4} \sin 2 x+\frac{1}{4} \int \frac{1+\cos 4 x}{2} d x\\ =\frac{x}{4}+\frac{\sin 2 x}{4}+\int \frac{1}{8} d x+\frac{1}{8} \int \cos 4 x d x\\ =\frac{x}{4}+\frac{x}{8}+\frac{\sin 2 x}{4}+\frac{1}{32} \sin 4 x+c\\ I=\frac{3 x}{8}+\frac{\sin 2 x}{4}+\frac{1}{32} \sin 4 x+c
Example:10.\int \sin ^{3} x d x
Solution:\int \sin ^{3} x d x\\ I=\int \sin ^{3} x d x \\ I=\int\left(\frac{3 \sin x-\sin 3 x}{4}\right) d x \\ =\frac{3}{4} \int \sin x dx-\frac{1}{4} \int \sin 3 x d x \\ \Rightarrow I=-\frac{3}{4} \cos x+\frac{1}{12} \cos 3 x+c
Example:11.\frac{(1+x) e^{x}}{\cos ^{2}\left(x e^{x}\right)}
Solution:\frac{(1+x) e^{x}}{\cos ^{2}\left(x e^{x}\right)} \\ I=\int \frac{(1+x) e^{x}}{\cos ^{2}\left(x e^{x}\right)} d x \\ \text { put } x e^{x}=t \\ \left(e^{x}+x e^{x}\right) d x=d t \\ \Rightarrow e^{x}(1+x) d x=d t \\ I=\int \frac{d t}{ \cos ^{2} t} \\ I=\int \sec ^{2} t d t \\ I=\tan t+c \\ I=\tan \left(x e^{x}\right)+c
Example:12.\frac{1}{1-\tan x}
Solution:\frac{1}{1-\tan x} \\ I=\int \frac{1}{1-\tan x} d x \\ =\int \frac{\cos x}{\cos x-\sin x} d x \\ =\frac{1}{2} \int \frac{2 \cos x}{\cos x-\sin x} d x \\ =\frac{1}{2} \int \frac{\cos x-\sin x+\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x} dx \\ =\frac{1}{2} \int \frac{\cos x-\sin x}{\cos x-\sin x} d x+\int \frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x} d x \\ =\frac{1}{2} \int 1 d x+\int \frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x} d x \\ \text { put } \cos x-\sin x=t \\ (-\sin x-\cos x) d x=d t \\ I=\frac{x}{2} + \int \frac{1}{t} d t \\ I=\frac{x}{2}-\log t+c \\ I=\frac{x}{2}-\log |\cos x-\sin x|+c
Example:13.\frac{1}{1+\cot x}
Solution:I =\int \frac{1}{1+\cot x} d x \\ = \int \frac{\sin x}{\sin x+\cos x} d x \\ = \frac{1}{2} \int \frac{2 \sin x}{\sin x+\cos x} d x \\ = \frac{1}{2} \int \frac{\sin x+\cos x+\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x} d x \\ =\frac{1}{2} \int \frac{\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x} dx + \int \frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x} d x \\ =\frac{1}{2} \int 1 d x+\int \frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x} d x \\ \text { put } \sin x+\cos x=t \\ (\cos x-\sin x) d x=d t \\ =\frac{1}{2} x+\int \frac{d t}{t} \\ =\frac{1}{2} x-\log t \\ I=\frac{1}{2} x-\log |\sin x+\cos x|+c
Example:14.\frac{1-\tan x}{1+\tan x}
Solution:\frac{1-\tan x}{1+\tan x} \\ I=\int \frac{1-\tan x}{1+\tan x} d x \\ =\int \frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x} d x \\ \text{ put } \cos x+\sin x=t \\ (-\sin x+\cos x) d x=d t \\ I=\int \frac{1}{t} d t \\ =\log t+c \\ I= \log |\sin x+\cos x|+c
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के साथ समाकलन (Integration with Trig Identities ) को समझ सकते हैं।

3.त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के साथ समाकलन की समस्याएं (Integration with Trig Identities Problems):

Integration with Trig Identities

निम्नलिखित का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए:
(Integrate the following with respect to x):

(1) \int \cos 3 x \cos 4 x d x \\ (2) \sin ^{2} x \\ (3) \sin ^{4} x \\ (4) \cos ^{3} x d x
उत्तर (Answers):(1) \frac{1}{2}\left[\frac{\sin 7 x}{7}+\sin x\right]+c \\ (2) \frac{1}{2}\left[x-\frac{\sin 2 x}{2}\right] +c \\ (3) \frac{1}{8}[3 x+\frac{\sin  4x}{4}-2 \sin 2 x]+c \\ (4) \frac{1}{4}\left[\frac{\sin 3 x}{3}+3 \sin x\right]+c
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के साथ समाकलन (Integration with Trig Identities ) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के साथ समाकलन (Integration with Trig Identities ) के बारे में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

Integration with Trig Identities

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के साथ समाकलन (Integration with Trig Identities ),त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं द्वारा समाकलन (Integration by Trigonometric Identities) के बारे में ओर विशेष जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।