समाकलन सूत्र (Integration Formulas) के द्वारा समाकलन ज्ञात करना सीखेंगे।समाकलन अवकलन की प्रतिलोम प्रक्रिया है।अवकलन गणित में हम दिए हुए फलनों के अवकल गुणांक ज्ञात करते हैं जबकि समाकलन गणित में हम वह फलन ज्ञात करते हैं जिसका अवकल गुणांक दिया होता है। इसलिए इसे प्रतिअवकलज (Antiderivative) या पूर्वग (Primitive) भी कहते हैं। समाकलन सूत्र (Integration Formulas),समाकलन सूत्र (Integration Formula)- अवकलनकेसूत्रसंगतसमाकलनसूत्र(1)dxd(c)=0⇒∫0⋅dx=c(2)dxd(xn)=nxn−1,n=0⇒∫xndx=n+1xn+1+c,n=−1(3)dxd(log∣x∣)=x1,x=0 ⇒∫x1dx=log∣x∣+c,x=0(4)dxd(ex)=ex⇒∫exdx=ex+c(5)dxd(ax)=axlogea⇒∫axdx=logcaax+c(6)dxd(sinx)=cosx⇒∫cosxdx=sinx+c(7)dxd(−cosx)=sinx⇒∫sinxdx=−cosx+c(8)dxd(tanx)=sec2x⇒∫sec2xdx=tanx+c(9)dxd(−cotx)=cosec2x⇒∫cosec2xdx=−cotx+c(10)dxd(secx)=secxtanx⇒∫secxtanxdx=secx+c(11)dxd(−cosecx)=cosecxcotx⇒∫cosecxcotxdx=−cosecx+c(12)dxd(sin−1x)=1−x21,(∣x∣<1)⇒∫1−x21dx=sin−1x+c(13)dxd(cos−1x)=1−x2−1,(∣x∣<1)⇒∫1−x2−1dx=cos−1x+c(14)dxd(tan−1x)=1+x21⇒∫1+x21dx=tan−1x+c(15)dxd(−cot−1x)=1+x21⇒∫1+x21dx=−cot−1x+c(16)dxd(sec−1x)=xx2−11⇒∫xx2−11dx=sec−1x+c(17)dxd(−cosec−1x)=xx2−11⇒∫xx2−11=−cosec−1x+c(18)dxd∣x∣=x∣x∣,(x=0)⇒∫x∣x∣dx=∣x∣+c,x=0(19)∫x2+a21dx=log∣∣x+x2+a2∣∣+c(20)∫x2−a21dx=log∣∣x+x2−a2∣∣+c(21)∫a2+x21dx=a1tan−1ax+c(22)∫a2−x21dx=sin−1ax+c(23)∫x2−a2dx=2a1log∣∣x+ax−a∣∣+c(x>a)(24)∫a2−x2dx=2a1log∣∣a−xa+x∣∣+c(x<a)(25)∫x2+a2dx=2xx2+a2+2a2log∣∣x+x2+a2∣∣+c=2xx2+a2+2a2sinh−1(ax)+c(26)∫x2−a2dx=2xx2−a2−2a2log∣∣x+x2−a2∣∣+c(27)∫a2−x2dx=2xa2−x2+2a2sin−1(ax)+c(29)∫tanxdx=log(secx)+c=−logcosx+c(30)∫cotxdx=logsinx+c=−logcosecx+c(30)secxdx=log(secx+tanx)+c=logtan(2x+4π)+c(31)cosecxdx=−log(cosecx+cotx)+c=logtan(2x)+cकुछउचितत्रिकोणमितीयप्रतिस्थापन: समाकल्यप्रतिस्थापन(i)x2+a2याx2+a21x=atanθ(ii)u−−x2याa2−x21x=asinθयाx=acosθ(iii)x2−a2याx2−a21x=asecθ(iv)a+xa−xयाa−xa+xx=acos2θयाx=acosθ(v)x+ax=acos2θयाx=acosθ(vi)2ax−x2x=2asin2θयाx=a(l−cos2θ)(vii)a2+x2a2−x2x2=a2cos2θ(viii)xx+aयाx+axx=atan2θ आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके ।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए ।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।
2.समाकलन सूत्र के उदाहरण (Integration Formulas Examples)-
निम्न समाकलों के मान ज्ञात कीजिए: Example-1.∫(5cosx−3sinx+cos2x2)dx Solution–∫(5cosx−3sinx+cos2x2)dxI=5∫cosxdx−3∫sinxdx+2∫sec2xdxI=5sinx+3cosx+2tanx+c Example-2.∫sec2xcosec2xdx Solution–I=∫sec2xcosec2xdxI=∫cos2x1⋅sin2x1dxI=4∫4sin2xcos2x1dxI=4∫(2sinxcosx)21dxI=4∫(sin2x)21dx=4∫cosec22xdx=4(−21)cot22xdx=−2cot22x+c निम्न फलनों का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए: Example-3.xexcosex Solution–xexcosex put ex=t2xexdx=dtI=2∫tcostdtI=2t∫costdt−2[∫dtd(t)∫costdt]dt=2tsint−2∫sintdt=2tsint+2cost+c=2⋅exsin(ex)+2cos(ex)+c Example-4.cosp+2xsinpx Solution–I=∫cosp+2xsinpxdx=∫cospx−cos2xsinpxdx=∫−tanpxsec2xdxputtanx=t⇒sec2xdx=dtI=∫tpdt=p+1tp+1+cI=p+11tanp+1x+c Example-5.sin3xsin2x Solution–I=∫sin3xsin2xdxI=21∫2sin3xsin2xdx=21∫(cosx−cos5x)dx=21∫cosxdx−21∫cos5xdx⇒I=21sinx−101sin5x+c Example-6.∫sinxcos3x1dx Solution–I=∫sinxcos3x1dx=∫(cosxsinx)cos4x1dx=∫tanxsec4xdx=∫tanx(1+tan2x)sec2xdxputtanx=t⇒sec2xdx=dtI=∫t(1+t2)dt=∫t1dt+∫tdt=logt+2t2+cI=log(tanx)+21tan2x+c
Example-7.sin(x−a)sinx Solution–I=sin(x−a)sinx Put x−a=t⇒dx=dt⇒I=∫sintsin(a+t)dt=∫sintsinacost+cosasintdt=∫sinasintcostdt+∫cosasintsintdt=sina∫cottdt+cosa∫tdt=sinalogsint+cosa⋅t+c=sinalogsin(x−a)∣+(x−a)cosa+cI=sinalog(sin∣x−a∣)+(x−a)cosa+c Example-8.∫a2−b2x21 Solution–I=∫a2−b2x21dxI=∫b(ba)2−x21dxI=b1sin−(a/bx)+cI=b1sin−1(abx)+c Example-9.∫tan2x+31+tan2xdx Solution–I=∫tan2x+31+tan2xdx=∫tan2x+3sec2xdx put tanx=t⇒sec2xdx=dtI=∫t2+(3)2dtI=log∣t+t2+3∣+C⇒I=log∣∣tanx+tan2x+3∣∣+C Example-10.x2+2ax+b21 Solution– I=∫x2+2ax+b2dx1⇒I=∫x2+2ax+a2+b2−a2dx1=∫(x+a)2+(b2−a2)21dxI=log∣x+a+x2+2ax+b2∣+c Example-11.∫(a2+x2)3/21 Solution–I=∫(a2+x2)3/21dx Put x=atanθ⇒dx=asec2θdθI=∫(a2+a2tan2θ)3/21 a see 2θdθ=∫a3(1+tan2θ)3/21⋅asec2θdθ=a21∫(sec2θ)3/21cec2θdθ=a21∫sec3θ1sec2θdθ=a21∫′secθ1dθ=a21∫cosθdθ=a21sinθ+c=a21sina2+x2x⇒I=a2a2+x2xdx+c Example-12.(x+1)(x−2)(x−3)x2 Solution–I=∫(x+1)(x−2)(x−3)x2dx(x+1)(x−2)(x−3)x2=(x+1)A+x−2B+x−3C⇒(x+1)(x−2)(x−3)x2=(x+1)(x−2)(x−3)A(x−2)(x−3)+3(x+1)(x−3)+c(x+1)(x−2)⇒x2=A(x−2)(x−3)+B(x+1)(x−0)+C(x+1)(x−2) put x=2⇒A(2+1)(2−3)=22⇒B(−3)=4⇒B=−34 put x=3⇒C(3+1)(3−2)=32⇒4C=9⇒C=49 put x=−1⇒A(−1−2)(−1−3)=(−1)2⇒12A=1⇒A=121I=∫[12(x+1)1−3(x−2)4+4(x−3)9]dxI=121∫x+11dx−34∫x−21dx+49∫x−31dx⇒I=121log∣x+1∣−34log∣x−2∣+49log∣x−3∣+c
Example-13.(x−1)2(x−2)1 Solution–I=∫(x−1)2(x−2)1dx(x+)2(x−2)1=x−1A+(x−1)2B+x−2c(x−1)2(x−2)1=(x−1)2(x−2)A(x−1)(x−2)+B(x−2)+C(x−1)2⇒1=A(x−1)(x−2)+B(x−2)+(x−1)2 Put x=1⇒B(1−2)=1⇒B=−1 put x=2⇒C(2−1)2=1⇒C=1 put x=0⇒2A−2B+C=1⇒2A−2(−1)+1=1⇒2A=−2⇒A=−1I=∫[−x−11−(x−1)21+x−21]dx=−∫x−11dx−∫(x−1)21dx+∫x−21dxI=−log∣x−1∣+x−11+log∣x−2∣+cI=log∣x−1x−2∣+x−11+c Example-14.(x+1)(x2+1)x−1 Solution–I=∫(x+1)(x2+1)x−1dx(x+1)(x2+1)x−1=x+1A+(x2+1)Bx+C⇒(x+1)(x2+1)x−1=(x+1)(x2+1)A(x2+1)+(Bx+C)(x+1)⇒x−1=A(x2+1)+(Bx+C)(x+1) put x=−1⇒A(1+1)=−2⇒A=−1 put x=0⇒A+C=−1⇒−1+c=−1⇒C=0 put x=1⇒A(2)+(B+C)(2)=0⇒−2+2B=0⇒B=1I=∫(−x+11+x2+1x)dxI=−∫x+11dx+∫x2+1xdx⇒I=−log∣x+1∣+21log∣∣x2+1∣∣+C⇒t=log∣x+1∣x2+1+c Example-15.sin2x+4sinx+5cosx Solution–I=∫sin2x+4sinx+5cosxdx put sinx=t⇒cosxdx=dtI=∫t2+4t+5dt=∫t2+4t+4+1dt⇒I=∫(t+2)2+121dt⇒I=tan−1(t+2)+c⇒I=tan−1(sinx+2)+c Example-16.x2+2x+2x+3 Solution–I=∫x2+2x+2x+3dxx+3=Adxd(x2+2x+2)+B⇒x+B=A(2x+2)+B⇒ put x=−1⇒B=2 put x=0⇒2A+B=3⇒ 2A+2=3 ⇒A=0I=∫x2+2x+221(2x+2)+2dxI=21∫x2+2x+22x+2dx+2∫x2+2x+21dxI=I1+I2....(1)I1=21∫x2+2x+22x+2dx put x2+2x+2=t⇒(2x+2)dx=dtI1=21∫tdt=21⋅2t=tI1=x2+2x+2I2=2∫x2+2x+21dxI1=x2+2x+2I2=2∫x2+2x+21dx=2∫x2+2x+1+11dxI2=2∫(x+1)2+121dx=2log1(x+1)+x2+2x+2I1वI2कामानसमीकरण (1) मेंरखनेपर- I=x2+2x+2+2log∣∣(x+1)+x2+2x+2∣∣+c Example-17.ex[log(secx+tanx)+secx] Solution–I=∫ex[log(secx+tanx)+secx]dxI=∫exlog(secx+tanx)dx+∫exsecxdx=∫exlog(secx+tanx)dx+exsecxdx−∫[dxdex∫secxdx]dx=∫exlog(secx+tanx)dx+exlog(secx+tanx)−∫exlog(secx+tanx)dx+cI=exlog(secx+tanx)+c Example-18.ex(1−cosx1−sinx) Solution–I=∫ex(1−cosx1−sinx)dxI=∫ex[1−(1−2sin22x)sin22x+cos22x−2sin2xcos2x]dxI=∫ex2sin22x(sinx−cos2x)2dxI=21∫ex(1−cot2x)2I=21∫exdx+∫excot2xdx+21∫excot22xdxI=21∫exdx−cot2x∫exdx+∫[dxd(cot2x)∫exdx]dx+21∫exdxI=21∫exdx−excot2x−21∫excosec22x+21∫excosec22xdx−21∫exdx+cI=−excot2x+c उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा समाकलन सूत्रों (Integration Formulas) को समझ सकते हैं।
3.समाकलन सूत्र की समस्याएं (Integration Formulas Problems)-
Answer:-(1)tan−1(x+3)+c(2)21log∣4x−1∣+x2−2x+1+c(3.)log∣x+2∣−21log(x2+4)+tan−1(x/2)+c(4.)log∣secx+tanx∣−2tan(2x)+c(5)61tan−1(23x−2)+c(6.)41log∣3−xx+1∣+c(7)21[xcos−1x−1−x2]+c(8)3x3tan−1x−6x6+61log(1+x2)+c उपर्युक्त सवालों को हल करने पर समाकलन सूत्रों (Integration Formulas) को ठीक से समझा जा सकता है।
4.समाकलन से हमारा क्या अभिप्राय है? (What do we mean by integration?),समाकलन का अर्थ हिन्दी में (Integration meaning in hindi),समाकलन हिन्दी में (Integration in hindi)-
समाकलन तब होता है जब अलग-अलग लोगों या चीजों को एक साथ लाया जाता है,जैसे कि नए मिडिल स्कूल में जिले के सभी प्राथमिक स्कूलों के छात्रों का समाकलन, या सभी स्की ढलानों पर स्नोबोर्डिंग का समाकलन।आप शब्द को अलग-अलग जान सकते हैं, जिसका अर्थ है “अवकलन करना।”समाकलन करना इसके विपरीत है।
5.गणित में समाकलन क्या है? (What is a integration in math?)-
समाकलन, गणित में, फ़ंक्शन g (x) को ज्ञात करने की तकनीक, जिसका अवकलज Dg (x),दिए गए फ़ंक्शन f (x) के बराबर है।यह समाकल संकेत “∫”,जैसा कि ∫f(x) में दर्शाया गया है,आमतौर पर फ़ंक्शन का अनिश्चितकालीन समाकल भाग कहा जाता है।
6.हम समाकलन का उपयोग क्यों करते हैं? (Why do we use integration?)-
इंटीग्रल्स ज्ञात करने की प्रक्रिया को इंटीग्रेशन कहा जाता है।अवकलन के साथ, समाकलन कैलकुलस की एक मौलिक प्रक्रिया है, और गणित और भौतिकी में समस्याओं को हल करने के लिए एक उपकरण के रूप में कार्य करता है जिसमें एक स्वेच्छ आकार, एक वक्र की लंबाई और एक ठोस का आयतन शामिल है।
7.आप समाकलन की गणना कैसे करते हैं? (How do you calculate integration?),समाकलन प्रतीक (Integration symbol)-
∫f (x) dx = F (x) + C, यदि F’x (x) = f (x)।इस परिभाषा में, ∫ को समाकल प्रतीक (integration symbol) कहा जाता है,f (x) को इंटीग्रांड कहा जाता है,x को समाकलन का चर कहा जाता है, dx को चर x का अवकलज कहा जाता है और C को समाकल का स्थिरांक कहा जाता है।
About my self
I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
We use cookies on our website to give you the most relevant experience by remembering your preferences and repeat visits. By clicking “Accept”, you consent to the use of ALL the cookies.
This website uses cookies to improve your experience while you navigate through the website. Out of these, the cookies that are categorized as necessary are stored on your browser as they are essential for the working of basic functionalities of the ...
Necessary cookies are absolutely essential for the website to function properly. This category only includes cookies that ensures basic functionalities and security features of the website. These cookies do not store any personal information.
Any cookies that may not be particularly necessary for the website to function and is used specifically to collect user personal data via analytics, ads, other embedded contents are termed as non-necessary cookies. It is mandatory to procure user consent prior to running these cookies on your website.