1.गणित में खण्डश: समाकलन (Integration by Parts in Mathematics)-

Integration by Parts in Mathematics

गणित में खण्डश: समाकलन (Integration by Parts in Mathematics) की थ्योरी का वर्णन पूर्व में खण्डश: समाकलन वाले आर्टिकल में किया जा चुका है। इसलिए इस आर्टिकल को पढ़ने से पूर्व उस आर्टिकल को पढ़ना चाहिए।इस आर्टिकल में गणित में खण्डश: समाकलन (Integration by Parts in Mathematics) को कुछ सवालों को हल करके समझेंगे। गणित में खण्डश: समाकलन (Integration by Parts in Mathematics) में प्रथम व द्वितीय फलन का चयन करना होता है। इसके लिए हम ILATEC के आधार पर प्रथम व द्वितीय फलन का चयन करेंगें।
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2.गणित में खण्डश: समाकलन (Integration by Parts in Mathematics) पर आधारित सवाल-

निम्न फलनों का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए-
Question-1.{ x }^{ 3 }{ \left( \log { x } \right) }^{ 3 }
Solution-I=\int { { x }^{ 3 }{ \left( \log { x } \right) }^{ 3 } } dx\\ I={ \left( \log { x } \right) }^{ 3 }\int { { x }^{ 3 } } dx-\int { \left[ \frac { d }{ dx } { \left( \log { x } \right) }^{ 3 }\int { { x }^{ 3 } } dx \right] } dx\\ I={ \left( \log { x } \right) }^{ 3 }.\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } -\int { \frac { 3{ \left( \log { x } \right) }^{ 2 } }{ x } .\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } } dx\\ I=\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } .{ \left( \log { x } \right) }^{ 3 }-\frac { 3 }{ 4 } \int { { x }^{ 3 }{ \left( \log { x } \right) }^{ 2 } } dx\\ I=\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } .{ \left( \log { x } \right) }^{ 3 }-\frac { 3 }{ 4 } { \left( \log { x } \right) }^{ 2 }\int { { x }^{ 3 } } dx+\frac { 3 }{ 4 } \int { \left[ \frac { d }{ dx } { \left( \log { x } \right) }^{ 2 }\int { { x }^{ 3 } } dx \right] } dx\\ I=\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } .{ \left( \log { x } \right) }^{ 3 }-\frac { 3 }{ 4 } { \left( \log { x } \right) }^{ 2 }.\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } +\frac { 3 }{ 4 } \int { \frac { 2\left( \log { x } \right) }{ x } .\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } } dx\\ I=\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } .{ \left( \log { x } \right) }^{ 3 }-\frac { 3 }{ 16 } { x }^{ 4 }{ \left( \log { x } \right) }^{ 2 }+\frac { 3 }{ 8 } \int { { x }^{ 3 }\left( \log { x } \right) } dx\\ I=\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } .{ \left( \log { x } \right) }^{ 3 }-\frac { 3 }{ 16 } { x }^{ 4 }{ \left( \log { x } \right) }^{ 2 }+\frac { 3 }{ 8 } \log { x } \int { { x }^{ 3 } } dx-\frac { 3 }{ 8 } \int { \left[ \frac { d }{ dx } \log { x } \int { { x }^{ 3 } } dx \right] } dx\\ I=\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } .{ \left( \log { x } \right) }^{ 3 }-\frac { 3 }{ 16 } { x }^{ 4 }{ \left( \log { x } \right) }^{ 2 }+\frac { 3 }{ 8 } \log { x } .\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } -\frac { 3 }{ 8 } \int { \frac { 1 }{ x } } .\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } dx\\ I=\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } .{ \left( \log { x } \right) }^{ 3 }-\frac { 3 }{ 16 } { x }^{ 4 }{ \left( \log { x } \right) }^{ 2 }+\frac { 3 }{ 32 } { x }^{ 4 }.\log { x } -\frac { 3 }{ 32 } \int { { x }^{ 3 } } dx\\ I=\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } .{ \left( \log { x } \right) }^{ 3 }-\frac { 3 }{ 16 } { x }^{ 4 }{ \left( \log { x } \right) }^{ 2 }+\frac { 3 }{ 32 } { x }^{ 4 }.\log { x } -\frac { 3 }{ 32 } .\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } +c\\ I=\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } .{ \left( \log { x } \right) }^{ 3 }-\frac { 3 }{ 16 } { x }^{ 4 }{ \left( \log { x } \right) }^{ 2 }+\frac { 3 }{ 32 } { x }^{ 4 }.\log { x } -\frac { 3 }{ 128 } { x }^{ 4 }+c\\ I=\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } \left[ { \left( \log { x } \right) }^{ 3 }-\frac { 3 }{ 4 } { \left( \log { x } \right) }^{ 2 }+\frac { 3 }{ 8 } \log { x } -\frac { 3 }{ 32 } \right] +c

Question-2.\tan ^{ -1 }{ \left( \sqrt { \frac { 1-x }{ 1+x } } \right) }
Solution-I=\int { \tan ^{ -1 }{ \left( \sqrt { \frac { 1-x }{ 1+x } } \right) } dx }
putx=cos\theta \quad \Rightarrow \theta =\cos ^{ -1 }{ x } \\ dx=-sin\theta d\theta \\ I=\int { \tan ^{ -1 }{ \left( \sqrt { \frac { 1-cos\theta }{ 1+cos\theta } } \right) } .\left( -sin\theta \right) } d\theta \\ I=-\int { \tan ^{ -1 }{ \left( \sqrt { \frac { 1-\left( 1-2{ sin }^{ 2 }\frac { \theta }{ 2 } \right) }{ 1+2{ cos }^{ 2 }\frac { \theta }{ 2 } -1 } } \right) } sin\theta } d\theta \\ I=-\int { \tan ^{ -1 }{ \left( \sqrt { \frac { { sin }^{ 2 }\frac { \theta }{ 2 } }{ { cos }^{ 2 }\frac { \theta }{ 2 } } } \right) } sin\theta } d\theta \\ I=-\int { \tan ^{ -1 }{ \left( \tan { \frac { \theta }{ 2 } } \right) } sin\theta } d\theta \\ I=-\int { \frac { \theta }{ 2 } .sin\theta } d\theta \\ I=-\frac { \theta }{ 2 } \int { sin\theta d\theta } +\frac { 1 }{ 2 } \int { \left[ \frac { d }{ d\theta } \left( \theta \right) \int { sin\theta d\theta } \right] } d\theta \\ I=\frac { \theta }{ 2 } .cos\theta -\frac { 1 }{ 2 } \int { cos\theta d\theta } \\ I=\frac { \cos ^{ -1 }{ x } }{ 2 } .cos\left( \cos ^{ -1 }{ x } \right) -\frac { 1 }{ 2 } sin\theta +c\\ I=\frac { x }{ 2 } \cos ^{ -1 }{ x } -\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } +c

Question-3.\frac { x.\sin ^{ -1 }{ x } }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } }
Solution-I=\int { \frac { x.\sin ^{ -1 }{ x } }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } } dx\\ I=x\int { \frac { \sin ^{ -1 }{ x } }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } dx } -\int { \left[ \frac { d }{ dx } \left( x \right) \int { \frac { \sin ^{ -1 }{ x } }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } dx } \right] } dx

put \sin ^{ -1 }{ x } =t\quad \Rightarrow \frac { 1 }{ { \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } } dx=dt\\ I=x\int { t } dt-\int { \left[ 1.\int { t } dt \right] } dx\\ I=x.\frac { { t }^{ 2 } }{ 2 } -\int { \frac { { t }^{ 2 } }{ 2 } dx } \\ I=\frac { 1 }{ 2 } x{ \left( \sin ^{ -1 }{ x } \right) }^{ 2 }-\frac { 1 }{ 2 } \int { { \left( \sin ^{ -1 }{ x } \right) }^{ 2 } } dx

put x=sin\theta \quad \Rightarrow \theta =\sin ^{ -1 }{ x } \\ dx=cos\theta d\theta \\ I=\frac { 1 }{ 2 } x{ \left( \sin ^{ -1 }{ x } \right) }^{ 2 }-\frac { 1 }{ 2 } \int { { \left( \theta \right) }^{ 2 } } cos\theta d\theta \\ I=\frac { 1 }{ 2 } x{ \left( \sin ^{ -1 }{ x } \right) }^{ 2 }-\frac { 1 }{ 2 } { \theta }^{ 2 }\int { cos\theta d\theta } +\frac { 1 }{ 2 } \int { \left[ \frac { d }{ d\theta } { \theta }^{ 2 }\int { cos\theta d\theta } \right] } d\theta \\ I=\frac { 1 }{ 2 } x{ \left( \sin ^{ -1 }{ x } \right) }^{ 2 }-\frac { { \theta }^{ 2 } }{ 2 } sin\theta +\frac { 1 }{ 2 } \int { 2\theta .sin\theta } d\theta \\ I=\frac { 1 }{ 2 } x{ \left( \sin ^{ -1 }{ x } \right) }^{ 2 }-\frac { 1 }{ 2 } x{ \left( \sin ^{ -1 }{ x } \right) }^{ 2 }+\theta \int { sin\theta } d\theta -\int { \left[ \frac { d }{ d\theta } { \theta }\int { sin\theta d\theta } \right] d\theta } \\ I=-\theta .cos\theta +\int { cos\theta } d\theta \\ I=-\sin ^{ -1 }{ x } .cos\left( \sin ^{ -1 }{ x } \right) +sin\theta +c\\ I=-\sin ^{ -1 }{ x } .\left( \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \right) +x+c\\ I=-\left( \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \right) .\sin ^{ -1 }{ x } +x+c

Integration by Parts in Mathematics

Question-4.{ e }^{ x }\left( cotx+logsinx \right)
Solution-I=\int { { e }^{ x }\left( cotx+logsinx \right) dx } \\ I=\int { { e }^{ x }cotxdx } +\int { { e }^{ x }logsinx } dx\\ I={ e }^{ x }\int { cotxdx } -\int { \left[ \frac { d }{ dx } \left( { e }^{ x } \right) \int { cotx } dx \right] } dx+\int { { e }^{ x }logsinx } dx\\ I={ e }^{ x }\log { sinx } -\int { { e }^{ x }logsinx } dx+\int { { e }^{ x }logsinx } dx+c\\ I={ e }^{ x }\log { sinx } +c

Question-5.{ e }^{ x }{ \left( \frac { 1-x }{ 1+{ x }^{ 2 } } \right) }^{ 2 }
Solution-I=\int { { e }^{ x }{ \left( \frac { 1-x }{ 1+{ x }^{ 2 } } \right) }^{ 2 }dx } \\ I=\int { { e }^{ x }\left[ \frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } -\frac { 2x }{ { \left( 1+{ x }^{ 2 } \right) }^{ 2 } } \right] dx } \\ I=\int { { e }^{ x }.\frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } dx } -\int { { e }^{ x }.\frac { 2x }{ { \left( 1+{ x }^{ 2 } \right) }^{ 2 } } dx } \\ I=\frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } \int { { e }^{ x }dx } -\int { \left[ \frac { d }{ dx } \left( \frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } \right) \int { { e }^{ x }dx } \right] dx } -\int { { e }^{ x }.\frac { 2x }{ { \left( 1+{ x }^{ 2 } \right) }^{ 2 } } dx } \\ I=\frac { { e }^{ x } }{ 1+{ x }^{ 2 } } +\int { { e }^{ x }.\frac { 2x }{ { \left( 1+{ x }^{ 2 } \right) }^{ 2 } } dx } -\int { { e }^{ x }.\frac { 2x }{ { \left( 1+{ x }^{ 2 } \right) }^{ 2 } } dx } +c\\ I=\frac { { e }^{ x } }{ 1+{ x }^{ 2 } } +c

Integration by Parts in Mathematics

Question-6.{ e }^{ x }\left[ \log { x } +\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \right]
Solution-I=\int { { e }^{ x }\left[ \log { x } +\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \right] dx } \\ I=\int { { e }^{ x }\log { x } dx } +\int { { e }^{ x }.\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } dx } \\ I=\log { x } \int { { e }^{ x }dx } -\int { \left[ \frac { d }{ dx } \left( \log { x } \right) \int { { e }^{ x }dx } \right] dx } +\int { \frac { { e }^{ x } }{ { x }^{ 2 } } dx } \\ I={ e }^{ x }\log { x } -\int { \frac { 1 }{ x } .{ e }^{ x }dx } +\int { \frac { { e }^{ x } }{ { x }^{ 2 } } dx } \\ I={ e }^{ x }\log { x } -\frac { 1 }{ x } \int { { e }^{ x }dx } +\int { \left[ \frac { d }{ dx } \left( \frac { 1 }{ x } \right) \int { { e }^{ x }dx } \right] } +\int { \frac { { e }^{ x } }{ { x }^{ 2 } } dx } \\ I={ e }^{ x }\log { x } -\frac { { e }^{ x } }{ x } -\int { \frac { { e }^{ x } }{ { x }^{ 2 } } dx } +\int { \frac { { e }^{ x } }{ { x }^{ 2 } } dx } +c\\ I={ e }^{ x }\log { x } -\frac { { e }^{ x } }{ x } +c\\ I={ e }^{ x }\left( \log { x } -\frac { 1 }{ x } \right) +c
Question-7.cos2\theta .\log { \left( \frac { cos\theta +sin\theta }{ cos\theta -sin\theta } \right) }
Solution-cos2\theta .\log { \left( \frac { cos\theta +sin\theta }{ cos\theta -sin\theta } \right) }
I=\int { cos2\theta .\log { \left( \frac { cos\theta +sin\theta }{ cos\theta -sin\theta } \right) } d\theta } \\ I=\log { \left| \frac { cos\theta +sin\theta }{ cos\theta -sin\theta } \right| } \int { cos2\theta d\theta } -\int { \left[ \frac { d }{ d\theta } \log { \left( \frac { cos\theta +sin\theta }{ cos\theta -sin\theta } \right) } \int { cos2\theta } d\theta \right] d\theta } \\ I=\frac { 1 }{ 2 } sin2\theta .\log { \left| \frac { cos\theta +sin\theta }{ cos\theta -sin\theta } \right| } -\int { \left[ \frac { 2 }{ { \left( cos\theta -sin\theta \right) }^{ 2 } } .\frac { cos\theta -sin\theta }{ cos\theta +sin\theta } .\frac { 1 }{ 2 } sin2\theta \right] d\theta }

because \frac { d }{ d\theta } \log { \left( \frac { cos\theta +sin\theta }{ cos\theta -sin\theta } \right) } =\frac { cos\theta -sin\theta }{ cos\theta +sin\theta } .\frac { \left( cos\theta -sin\theta \right) \left( -sin\theta +cos\theta \right) -\left( -sin\theta -cos\theta \right) \left( cos\theta +sin\theta \right) }{ { \left( cos\theta -sin\theta \right) }^{ 2 } }

=\frac { cos\theta -sin\theta }{ cos\theta +sin\theta } .\frac { { cos }^{ 2 }\theta +{ sin }^{ 2 }\theta -2sin\theta cos\theta +{ sin }^{ 2 }\theta +{ cos }^{ 2 }\theta +2sin\theta cos\theta }{ { \left( cos\theta -sin\theta \right) }^{ 2 } } \\ =\frac { cos\theta -sin\theta }{ cos\theta +sin\theta } .\frac { 2 }{ { \left( cos\theta -sin\theta \right) }^{ 2 } } \\ I=\frac { 1 }{ 2 } sin2\theta .\log { \left| \frac { cos\theta +sin\theta }{ cos\theta -sin\theta } \right| } -\int { \frac { 1 }{ { cos }^{ 2 }\theta -{ sin }^{ 2 }\theta } sin2\theta d\theta } \\ I=\frac { 1 }{ 2 } sin2\theta .\log { \left| \frac { cos\theta +sin\theta }{ cos\theta -sin\theta } \right| } -\int { \frac { sin2\theta }{ cos2\theta } d\theta } \\ I=\frac { 1 }{ 2 } sin2\theta .\log { \left| \frac { cos\theta +sin\theta }{ cos\theta -sin\theta } \right| } -\int { tan2\theta d\theta } \\ I=\frac { 1 }{ 2 } sin2\theta .\log { \left| \frac { cos\theta +sin\theta }{ cos\theta -sin\theta } \right| } +\frac { 1 }{ 2 } \log { \left( cos2\theta \right) } +c

Question-8.{ e }^{ x }\left( sinx+cosx \right) { sec }^{ 2 }x
Solution-{ e }^{ x }\left( sinx+cosx \right) { sec }^{ 2 }x\\ { e }^{ x }\left( sinx.{ sec }^{ 2 }x+cosx.{ sec }^{ 2 }x \right) \\ { e }^{ x }\left( secx.tanx+secx \right) \\ I=\int { { e }^{ x }\left( secx.tanx+secx \right) dx } \\ I=\int { { e }^{ x }secxdx } +\int { { e }^{ x }secx.tanxdx } \\ I=secx\int { { e }^{ x }dx } -\int { \left[ \frac { d }{ dx } secx\int { { e }^{ x }dx } \right] dx } +\int { { e }^{ x }secx.tanxdx } \\ I={ e }^{ x }secx-\int { { e }^{ x }secx.tanxdx } +\int { { e }^{ x }secx.tanxdx } +c\\ I={ e }^{ x }secx+c

Question-9.\cos ^{ -1 }{ x }
Solution:-I=\int { \cos ^{ -1 }{ x } dx }
putx=sec\theta \quad \quad \Rightarrow \theta =\sec ^{ -1 }{ x } \\ dx=sec\theta .tan\theta d\theta \\ I=\int { \cos ^{ -1 }{ \left( \frac { 1 }{ sec\theta } \right) } } sec\theta .tan\theta d\theta \\ I=\int { \theta .sec\theta .tan\theta d\theta } \\ I=\theta \int { sec\theta .tan\theta d\theta } -\int { \left[ \frac { d }{ d\theta } \left( \theta \right) \int { sec\theta .tan\theta d\theta } \right] d\theta } \\ I=\theta .sec\theta -\int { sec\theta d\theta } \\ I=\sec ^{ -1 }{ x } .x-\log { \left| sec\theta +tan\theta \right| } +c\\ I=x.\sec ^{ -1 }{ x } -\log { \left| sec\theta +tan\theta \right| } +c

उपर्युक्त सवालों के हल द्वारा गणित में खण्डश: समाकलन (Integration by Parts in Mathematics) को ठीक से समझा जा सकता है।

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