Integral Belonging to CF by Inspection
1.निरीक्षण द्वारा पूरक-फलन में विद्यमान समाकल ज्ञात करना (Integral Belonging to CF by Inspection),द्वितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations of Second Order):
निरीक्षण द्वारा पूरक-फलन में विद्यमान समाकल ज्ञात करके (Integral Belonging to CF by Inspection) अवकल समीकरण का पूर्ण हल ज्ञात किया जाता है।इसे निम्नलिखित उदाहरणों द्वारा समझा जा सकता है।
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2.निरीक्षण द्वारा पूरक-फलन में विद्यमान समाकल ज्ञात करना के साधित उदाहरण (Integral Belonging to CF by Inspection Solved Examples):
निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
Example:1. \frac{d^2 y}{d x^2}-\cot x \frac{d y}{d x}-(1-\cot x) y=e^{x} \sin x
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}-\cot x \frac{d y}{d x}-(1-\cot x) y=e^{x} \sin x \cdots(1)
यहाँ P=-\cot x, Q=-1+\cot x
निरीक्षण द्वारा स्पष्ट है कि 1+P+Q=0
1-\cot x-1+\cot x=0
अतः y=e^x पूरक फलन (C.F.) का का एक भाग है।
अब माना कि y=v e^x
समीकरण (1) का पूर्ण हल है।
y=v e^x का अवकलन करने परः
\frac{d y}{d x}=v e^x+e^x \frac{d v}{d x}
तथा \frac{d^2 y}{d x^2}=v e^x+2 e^x \frac{d v}{d x}+e^x \frac{d^{2} v}{d x^{2}}
अब y, \frac{d y}{d x} तथा \frac{d^2 y}{d x^2} के मान (1) में प्रतिस्थापित करने परः
v e^x+2 e^x \frac{d v}{d x}+e^x \frac{d^2 v}{d x^2}-\cot x\left(v e^x+e^x \frac{d y}{d x}\right) -(1-\cot x) v e^x=e^x \sin x \\ \Rightarrow e^x \frac{d^{2} v}{d x^2}+e^x(2-\cot x) \frac{d v}{d x}+(1-\cot x-1+\cot x)e^x=e^x \sin x \\ \Rightarrow \frac{d^2 v}{d x^2}+(2-\cot x) \frac{d v}{d x}=\sin x \cdots(2)
पुनः माना कि \frac{d v}{d x}=p अब \frac{d^2 v}{d x^2}=\frac{d p}{d x}
(2) सेः \frac{d p}{d x}+(2-\cot x) p=\sin x \cdots(3)
जो कि p में प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है जिसका
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int(2-\cot x) d x} \\ =e^{2 x-\log \sin x} \\ =\frac{e^{2 x}}{\sin x}
अतः (3) का हल होगाः
p \frac{e^x}{\sin x}=\int \frac{e^x}{\sin x} \cdot \sin x d x+c_{1} \\ \Rightarrow p \cdot \frac{e^x}{\sin x}=\int e^x d x+4 \\ \Rightarrow p \frac{e^x}{\sin x}=e^x+c_{1} \\ \Rightarrow p=\sin x+\sin x \quad e^{-x} c_{1} \\ \frac{d v}{d x}=\sin x+\sin x e^{-x} c_{1} \\ \Rightarrow d v=\sin x d x+c_{1} \sin x e^{-x} d x
पुनः समाकलन करने परः
\int d v=\int \sin x d x+c_{1} \int \sin x \cdot e^{-x} d x+c_2 \\ \Rightarrow v=-\cos x-\frac{c_{1}}{2} \sin x e^{-x}-\frac{c_{1}}{2} \cos e^{-x}+c_2
अतः दिए हुए समीकरण का पूर्ण हल निम्न हैः
y=v e^x \\ \Rightarrow y =-e^x \cos x-\frac{c_{1}}{2} \sin x-\frac{c_{1}}{2} \cos x+c_{2} e^x \\ \Rightarrow y =-e^x \cos x-\frac{c_{1}}{2}(\sin x+\cos x)+c_{2} e^x
Example:2. \left(x-x^2\right) \frac{d^2 y}{d x^2}-(1-2 x) \frac{d y}{d x}+\left(1-3 x+x^2 \right)y=(1-x)^3
Solution: \left(x-x^2\right) \frac{d^2 y}{d x^2}-(1-2 x) \frac{d y}{d x}+\left(1-3 x+x^2 \right)y=(1-x)^3
दिए हुए समीकरण को मानक रूप में लिखने परः
\frac{d^2 y}{d x^2}+\left(\frac{-1+2 x}{x(1-x)}\right) \frac{d y}{d x}+\left(\frac{1-3 x+x^2}{x(1-x)} \right) y=\frac{(1-x)^2}{x} \cdots(1)
यहाँ P=\frac{-1+2 x}{x(1-x)}, Q=\frac{1-3 x+x^2}{x(1-x)}
निरीक्षण द्वारा स्पष्ट है कि 1+P+Q=0
1+\left(\frac{-1+2 x}{x(1-x)}\right)+\frac{1-3 x+x^2}{x(1-x)} \\ =\frac{x-x^2-1+2 x+1-3 x+x^2}{x(1-x)}=0
अतः y=e^x पूरक फलन (C.F.) का का एक भाग है।
अब माना कि y=v e^x समीकरण (1) का पूर्ण हल है।
y=v e^x का अवकलन करने परः
\frac{d y}{d x}=v e^x+e^x \frac{d v}{d x}
तथा \frac{d^2 y}{d x^2}=v e^x+2 e^x \frac{d v}{d x}+e^x \frac{d^2 v}{d x^2}
अब y, \frac{d y}{d x} तथा \frac{d^2 y}{d x^2} के मान (1) में प्रतिस्थापित करने परः
v e^x+2 e^x \frac{d v}{d x}+e^x \frac{d^2 v}{d x^2}+\left(\frac{-1+2 x}{x(1-x)}\right)\left(v e^x+e^x \frac{d v}{d x}\right) +\left(\frac{1-3 x+x^2}{x(1-x)}\right) v e^x=\frac{(1-x)^2}{x} \\ \Rightarrow e^x \frac{d^2 v}{d x^2}+e^x\left(2+\frac{(-1+2 x)}{x(1-x)}\right) \frac{d v}{d x}+\left(\frac{1+(-1+2 x)}{x(1-x)}+\frac{1-3 x+x^2}{x(1-x)}\right) v e^x=\frac{(1-x)^2}{x} \\ \Rightarrow \frac{d^2 v}{d x^2}+\left(\frac{2 x-2 x^2-1+2 x}{x(1-x)}\right) \frac{d v}{d x}=\frac{(1-x)^2}{x} e^{-x} \\ \Rightarrow \frac{d^2 v}{d x^2}+\left(\frac{-2 x^2+4 x-1}{x(1-x)}\right) \frac{d v}{d x}=\frac{(1-x)^2}{x} e^{-x} \cdots(2)
पुनः माना कि \frac{d v}{d x}=p अब \frac{d^2 v}{d x^2}=\frac{d V}{d x}
(2) सेः \frac{d p}{d x}+\left(\frac{-2 x^2+4 x-1}{x(1-x)}\right) p=\frac{(1-x)^2}{x} e^{-x} \cdots(3)
जो कि p में प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है जिसका
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int \frac{-2 x^2+4 x-1}{x(1-x)} d x} \\ =e^{\int\left[2-\frac{(1-2 x)}{x(1-x)}\right] d x} \\ =e^{2 x-\log x(1-x)} \\ \Rightarrow \text { I.F } =\frac{e^{2 x}}{x(1-x)}
अतः (3) का हल होगाः
p \cdot \frac{e^{2 x}}{x(1-x)} =\int \frac{e^{2 x}}{x(1-x)} \cdot \frac{(1-x)^2}{x} e^{-x} d x+c_{1} \\ =\int \frac{1-x}{x^2} e^x d x \\ =\int\left(\frac{e^x}{x^2}-\frac{e^x}{x}\right) d x+c_{1} \\ =-\int e^x \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right) d x+c_{1} \\ \Rightarrow p-\frac{e^{2 x}}{x(1-x)}=-\frac{e^x}{x}+c_{1} \\ \Rightarrow p=-(1-x) e^{-x}+c_{1} x(1-x) e^{-2 x} \\ \frac{d v}{d x}=(x-1) e^{-x}+c_{1} x(1-x) e^{-2 x} \\ d v=(x-1) e^{-x} dx+c_{1} x(1-x) e^{-2 x} dx
पुनः समाकलन करने परः
\int d v=\int (x-1)e^{-x}x d x+c_{1} \int\left(x-x^2\right) e^{-2 x} d x+c_{2} \\ v=-x e^{-x}-\frac{1}{2} c_1 x^2 e^{-2 x}+c_2
अतः दिए हुए समीकरण का पूर्ण हल निम्न हैः
y=v e^x \\ \Rightarrow y=\left(-x e^{-x}-\frac{1}{2} c_{1} x^2 e^{-2 x}+c_{2}\right) e^x \\ \Rightarrow y=-x-\frac{1}{2} c_{1} x^2 e^{-2x}+c_{2} e^x
Example:3. (x \sin x+\cos x) \frac{d^2 y}{d x^2}-x \cos x \frac{d y}{d x}+y \cos x=\sin x(x \sin x+\cos x)
Solution: (x \sin x+\cos x) \frac{d^2 y}{d x^2}-x \cos x \frac{d y}{d x}+y \cos x=\sin x(x \sin x+\cos x)
दिए हुए समीकरण को मानक रूप में लिखने परः
\frac{d^2 y}{d x^2}-\frac{x \cos x}{x \sin x+\cos x} \frac{d y}{d x}+\frac{y \cos x}{x \sin x+\cos x}=\sin x(x \sin x+\cos x) \cdots(1)
यहाँ P=-\frac{x \sin x}{x \sin x+\cos x} ,Q=\frac{\cos x}{x \sin x+\cos x}
निरीक्षण द्वारा स्पष्ट है कि P+Qx=0
-\frac{x \cos x}{x \sin x+\cos x}+\frac{x \cos x}{x \sin x+\cos x}=0
अतः y=x पूरक फलन (C.F.) का का एक भाग है।
अब माना कि y=vx समीकरण (1) का पूर्ण हल है।तब
\frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} तथा \frac{d^2 y}{d x^2}=2 \frac{d v}{d x}+x \frac{d^2 v}{d x^2}
अब y, \frac{d y}{d x} तथा \frac{d^2 y}{d x^2} के मान (1) में प्रतिस्थापित करने तथा सरल करने परः
2 \frac{d v}{d x}+x \frac{d^{2} v}{d x^{2}}-\frac{x \cos x}{x \sin x+\cos x}\left(v+x \frac{d v}{d x}\right)+ \frac{v x \cos x}{x \sin x+\cos x}=\sin x(x \sin x+\cos x) \\ \Rightarrow x \frac{d^{2} v}{d x^{2}}+\left(2-\frac{x^2 \cos x}{x \sin x+\cos x}\right) \frac{d v}{d x}+\frac{v x \cos x}{x \sin x+\cos x} -\frac{v x \cos x}{x \sin x+\cos x}=\sin x(x \sin x+\cos x) \\ \Rightarrow x \frac{d^{2} v}{d x^2}+\left[\frac{2(x \sin x+\cos x)-x^2 \cos x}{x \sin x+\cos x}\right] \frac{d v}{d x}=\sin x(x \sin x+\cos x) \\ \Rightarrow \frac{d^{2}v}{d x^2}+\left[\frac{2(x \sin x+\cos x)-x^2 \cos x}{x(x \sin x+\cos x)}\right] \frac{d v}{d x}= \frac{\sin x(x \sin x+\cos x)}{x} \ldots(2)
पुनः माना \frac{d v}{d x}=p कि अब \frac{d^2 v}{dx^2}=\frac{d p}{d x}
(2) सेः \frac{d p}{d x}+\left[\frac{2(x \sin x+\cos x)-x^2 \cos x}{x(x \sin x+\cos x)}\right]p=\frac{\sin x(x \sin x+\cos x)}{x} \ldots(3)
जो कि p में प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है जिसका
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int \left[\frac{2}{x}-\frac{x \cos x}{x \sin x+\cos x}\right] d x} \\=e^{2 \log x-\log (x \sin x+\cos x)} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=\frac{x^2}{x \sin x+\cos x}
अतः (3) का हल होगाः
p \cdot \frac{x^2}{x \sin x+\cos x}=\int \frac{x^2}{x \sin x+\cos x} \times \frac{\sin x(x \sin x+\cos x)}{x} d x+c_{1} \\ \Rightarrow \frac{p x^2}{x \sin x+\cos x}=\int x \sin x d x+c_{1} \\ =-x \cos x+\sin x+c_{1} \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}=(c_{1}-x \cos x+\sin x)\left(\frac{x \sin x+\cos x}{x^2}\right) \\ \Rightarrow dv= [c_{1}\left(\frac{1}{x} \sin x+\frac{1}{x^2} \cos x\right)-\sin x \cos x-\frac{1}{x} \cos ^2 x+\frac{1}{x} \sin ^2 x+\frac{1}{x^2} \sin x \cos x] d x
पुनः समाकलन करने परः
\int d v=c_{1}\int x^{-1} \sin x d x+\int x^{-2} \cos x d x -\frac{1}{2} \int \sin 2 x d x-\frac{1}{2} \int x^{-1} \cos 2 x d x+\frac{1}{2} \int x^{-2} \sin 2 x d x+c_2 \cdots(4) \\ \int x^{-2} \cos x d x=\left(-x^{-1}\right) \cos x-\int \sin x \cdot \left(x^{-1}\right) d x \\ \Rightarrow \int x^{-2} \cos x d x=-x^{-1} \cos x-\int x^{-1} \sin x d x \cdots(5) \\ \Rightarrow \int x^{-2} \sin 2 x=\left(-x^{-1}\right) \sin 2 x-\int(2 \cos 2 x)(-x^{-1}) d x \\ \Rightarrow \int x^{-2} \sin 2 x d x=-x^{-1} \sin 2 x+2 \int (\cos 2 x) x^{-1} d x \cdots(6)
(5) व (6) का मान (4) में रखने परः
v=c_{1} \left[\int x^{-1} \sin x d x-x^{-1} \cos x-\int x^{-1} \sin x d x\right]+\frac{1}{4} \cos 2 x-\int x^{-1} \cos 2 x d x+\frac{1}{2}\left[-x^{-1} \sin 2x+2 \int x^{-1} \cos 2 x d x\right]+c_2 \\ \Rightarrow v =-c_{1} x^{-1} \cos x+\frac{1}{4} \cos 2 x-\frac{1}{2} x^{-1} \sin 2 x+c_2
अतः दिए हुए समीकरण का पूर्ण हल निम्न हैः
y =v x \\ \Rightarrow y =-c_{1} \cos x+\frac{1}{4} x \cos 2 x-\frac{1}{2} \sin 2 x+c_{2} x
Example:4. x(x \cos x-2 \sin x) \frac{d^2 y}{d x^2}+\left(x^2+2\right) \sin x \frac{d y}{d x}-2(x \sin x+\cos x) y=0
Solution: x(x \cos x-2 \sin x) \frac{d^2 y}{d x^2}+\left(x^2+2\right) \sin x \frac{d y}{d x}-2(x \sin x+\cos x) y=0
दिए हुए समीकरण को मानक रूप में लिखने परः
\frac{d^2 y}{d x^2}+\frac{\left(x^2+2\right) \sin x}{x(x \cos x-2 \sin x)} \frac{d y}{d x}-\frac{2(x \sin x+\cos x)}{x(x \cos x-2 \sin x)} y=0 \cdots(1)
यहाँ P=\frac{\left(x^2+2\right) \sin x}{x(x \cos x-2 \sin x)}, Q=\frac{-2(x \sin x+\cos x)}{x(x \cos x-2 \sin x)}
निरीक्षण द्वारा स्पष्ट है कि 2+2Px+Qx^{2}=0 \\ \Rightarrow 2+\frac{2 x\left(x^2+2\right) \sin x}{x(x \cos x-2 \sin x)}-\frac{2 x^2(x \sin x+\cos x)}{x(x \cos x-2 \sin x)}=0 \\ \Rightarrow \frac{2 x^2 \cos x-4 \sin x+2 x^3 \sin x+4x \sin x-2 x^3 \sin x-2 x^2 \cos x}{x(x \cos x-2 \sin x)}=0
अतः y=x^{2} पूरक फलन (C.F.) का का एक भाग है।
अब माना कि y=v x^{2} तब
\frac{d y}{d x}=2 v x+x^2 \frac{d v}{d x} तथा \frac{d^2 y}{d x^2}=2 v+4 x \frac{d v}{d x}+ x^2 \frac{d^2 v}{d x^2}
अब y, \frac{d y}{d x} तथा \frac{d^2 y}{d x^2} के मान (1) में प्रतिस्थापित करने तथा सरल करने परः
2 v+4 x \frac{d v}{d x}+x^2 \frac{d^2 v}{d x^2}+\frac{\left(x^2+2\right) \sin x}{x(x \cos 2x-2 \sin x)}\left(2 v x+x^2 \frac{d v}{d x}\right)-\frac{2(x \sin x+\cos x)}{x(x \cos x-2 \sin x)} vx^2=0 \\ \Rightarrow x^2 \frac{d^2 v}{d x^2}+\left(4 x+\frac{x^2\left(x^2+2\right) \sin x}{x(x \cos x-2 \sin x)}\right) \frac{d v}{d x}+\left[2+\frac{2\left(x^2+2\right) \sin x}{x(x \cos x+2 \sin x)}-\frac{2 x^2(x \sin x+\cos x)}{x(x \cos x-2 \sin x)}\right]v=0 \\ \Rightarrow \frac{d^2 v}{d x^2}+\left(\frac{4}{x}+\frac{\left(x^2+2\right) \sin x}{x(x \cos x-2 \sin x)}\right) \frac{d v}{d x}=0 \cdots(2)
पुनः माना कि \frac{d v}{d x}=p अब \frac{d^2 v^2}{d x^2}=\frac{d p}{d x}
(2) सेः \frac{d p}{d x}+\left(\frac{4}{x}+\frac{\left(x^2+2\right) \sin x}{x(x \cos x-2 \sin x)}\right) p=0
समाकलन करने परः
\Rightarrow \int \frac{d p}{p}+\left[\frac{4}{x}-\left\{\frac{-\left(x^2+2\right) \sin x}{x^2 \cos x \cdot 2 x \sin x}\right\}\right] d x=0 \\ \Rightarrow \Rightarrow \log p+4 \log x-\log \left(x^2 \cos x-2 x \sin x\right)= \log c_{1} \\ \Rightarrow \frac{p x^4}{x^2 \cos x-2 x \sin x}=c_{1} \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}=c_{1} \frac{x^2 \cos x-2 x \sin x}{x^4} \\ \Rightarrow d v=c_{1} \frac{x^2 \sin x-2 x \sin x}{x^4} d x
पुनः समाकलन करने परः
\Rightarrow \int d v=c_{1} \int\left(\frac{\sin x}{x^2}-\frac{2 \sin x}{x^3}\right) d x \\ \Rightarrow v=c_{1} \frac{\sin x}{x^2}+c_2
अतः दिए हुए समीकरण का पूर्ण हल निम्न हैः
Example:5.हल कीजिए (Solve):
x^2 \frac{d^2 y}{d x^2}+x \frac{d y}{d x}-9 y=0
दिया हुआ है कि y=x^{2} इसका एक हल है
(Given that y=x^{2} is its one solution)
Solution: x^2 \frac{d^2 y}{d x^2}+x \frac{d y}{d x}-9 y=0
दिए हुए समीकरण को मानक रूप में लिखने परः
x^2 \frac{d^2 y}{d x^2}+x \frac{d y}{d x}-9 y=0 \cdots(1)
दिया हुआ है कि y=x^{2} पूरक फलन (C.F.) का एक भाग है।
अतः माना कि y=vx^{2} समीकरण (1) का पूर्ण हल है तब
\frac{d y}{d x}=3 v x^2+x^3 \frac{d v}{d x} तथा \frac{d^2 y}{d x^2}=6 vx+6 x^{2}\frac{d v}{d x}+x^3 \frac{d^2 v}{d x^2}
अब y, \frac{d y}{d x} तथा \frac{d^2 y}{d x^2} के मान (1) में प्रतिस्थापित कर सरल करने परः
6v x+6 x^2 \frac{d v}{d x}+x^3 \frac{d^2 v}{d x^2}+\frac{1}{x}\left(3 v x^2+x^{3} \frac{d v}{d x}\right) = -\frac{9 v x^2}{x^2}=0 \\ \Rightarrow x^3 \frac{d^2 v}{d x^2}+\left(6 x^2+x^2\right) \frac{d v}{d x}+(6+3-9) v x=0 \\ \Rightarrow x^3 \frac{d^2 v}{d x^2}+7 x^2 \frac{d v}{d x}=0 \\ \Rightarrow \frac{d^2 v}{d x^2}+\frac{7}{x} \frac{d v}{d x}=0 \cdots(2)
पुनः माना कि \frac{d v}{d x}=p अब \frac{d^2 v}{d x^2}=\frac{d p}{d x}
(2) सेः \frac{d p}{d x}+\frac{7}{x} p=0 \\ \Rightarrow \frac{d p}{p}+ \frac{7}{x} d x=0
समाकलन करने परः
\Rightarrow \int \frac{d p}{p}+\int \frac{7}{x} d x=0 \\ \Rightarrow \log p+7 \log x=\log c_{1} \\ \Rightarrow p x^7=c_1 \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}=\frac{c_1}{x^7} \\ \Rightarrow d v=c_1 x^{-7} d x
पुनः समाकलन करने परः
\int d v=c_{1} \int x^{-7} d x \\ \Rightarrow v=-\frac{c_{1}}{6} x^{-6}+c_{2}
अतः दिए हुए समीकरण का पूर्ण हल निम्न हैः
y=v x^3 \\ \Rightarrow y=-\frac{c_{1}}{6} x^{-3}+c_{2} x^3
Example:6.हल कीजिए (Solve):
x^2 \frac{d^2 y}{d x^2}+x \frac{d y}{d x}-y=0
दिया हुआ है कि x+\frac{1}{x} इसका एक हल है (Given that x+\frac{1}{x} is its one solution.)
Solution: x^2 \frac{d^2 y}{d x^2}+x \frac{d y}{d x}-y=0
दिए हुए समीकरण को मानक रूप में लिखने परः
\frac{d^2 y}{d x^2}+\frac{1}{x} \frac{d y}{d x}-\frac{y}{x^2}=0 \cdots(1)
दिया हुआ है कि y=x+\frac{1}{x} पूरक फलन (C.F.) का का एक भाग है।
अतः माना कि y=v\left ( x+\frac{1}{x} \right ) समीकरण (1) का पूर्ण हल है तब
\frac{d y}{d x}=\left(1-\frac{1}{x^2}\right) v+\left(x+\frac{1}{x}\right) \frac{d v}{d x}
तथा \frac{d^2 y}{d x^2}=\frac{2}{x^3} v+2\left(1-\frac{1}{x^2}\right) \frac{d v}{d x}+\left(x+\frac{1}{x}\right)\frac{d^2 v}{d x^2}
अब y, \frac{d y}{d x} तथा \frac{d^2 y}{d x^2} के मान (1) में प्रतिस्थापित कर सरल करने परः
पुनः माना कि \frac{d v}{d x}=p अब \frac{d^2 v}{d x^2}=\frac{d p}{d x}
(2) सेः \left(x+\frac{1}{x}\right) \frac{d p}{d x}+\left(3-\frac{1}{x^2}\right) p=0 \\ \Rightarrow \frac{d p}{p}=\frac{3-\frac{1}{x^2}}{x+\frac{1}{x}} \\ \Rightarrow \frac{d p}{p}=\frac{1-3 x^2}{x(x^{2}+1)} d x
समाकलन करने परः
\int \frac{d p}{p}=\int\left[\frac{1}{x}-\frac{4 x}{x^2+1}\right] d x \\ \log p=\log x-2 \log \left(x^2+1\right) +\log c_{1} \\ \Rightarrow p=\frac{c_{1} x}{\left(x^2+1\right)^2} \\ \frac{d v}{d x}=\frac{c_{1} x}{\left(x^2+1\right)^2}
पुनः समाकलन करने परः
\int d v=c_{1} \int \frac{x}{\left(x^2+1\right)^2} d x \\ \Rightarrow v=c_{2}-\frac{1}{2} \frac{c_{1}}{x^2+1}
अतः दिए हुए समीकरण का पूर्ण हल निम्न हैः
y=v\left (x+\frac{1}{x}\right )=\left(c_2-\frac{1}{c_{1}( x^2+1)}\right)\left (x+\frac{1}{x}\right )\\ \Rightarrow y=-\frac{c_{1}}{2 x}+c_2\left(x+\frac{1}{x}\right)
Example:7.हल कीजिए (Solve):
\frac{d^2 y}{d x^2}-a x \frac{d y}{d x}+a^2(x-1) y=0
जिसका एक हल (Of which is its one solution):
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}-a x \frac{d y}{d x}+a^2(x-1) y=0 \cdots(1)
दिया हुआ है कि y=e^{a x} पूरक फलन (C.F.) का का एक भाग है।
अतः माना कि y=v e^{a x} समीकरण (1) का पूर्ण हल है तब
\frac{d y}{d x}=a v e^{a x}+e^{a x} \frac{d v}{d x}
तथा \frac{d^2 y}{d x^2}=a^2 v e^{a x}+2 a \frac{d v}{x} e^{a x} +e^{a x} \frac{d^2 v}{d x^2}
अब y, \frac{d y}{d x} तथा \frac{d^2 y}{d x^2} के मान (1) में प्रतिस्थापित कर सरल करने परः
a^2 v e^{a x}+e^{a x} 2 a \frac{d v}{d x}+e^{a x} \frac{d^2 v}{d x^2}-a x\left(a v e^{a x}+e^{a x} \frac{d v}{d x}\right) +a^2(x-1) v e^{a x}=0 \\ \Rightarrow e^{a x} \frac{d^2 v}{d x^2}+e^{a x}(2 a-a x) \frac{d v}{d x}+\left(a^2-a^2 x+ a^2 x-a^2\right) v e^{a x}=0 \\ \Rightarrow \frac{d^2 v}{d x^2}+(2 a-a x) \frac{d v}{d x}=0 \cdots(2)
पुनः माना कि \frac{d v}{d x}=p अब \frac{d^2 v}{d x^2}=\frac{d p}{d x}
(2) सेः \Rightarrow \frac{d p}{d x}+(2 a-a x) p=0\\ \Rightarrow \frac{d p}{p}=(a x-2 a) d x
समाकलन करने परः
\int \frac{d p}{p}=\int(a x -2a) d x \\ \Rightarrow \log p=\left(\frac{a x^2}{2}-2 a x\right)+\log c_{1} \\ \Rightarrow p=c_{1} e^{\left(\frac{a x^2}{2}-2 a x\right)} \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}=c_{1} e^{\left(\frac{a x^2}{2}-2 a x\right)} \\ \Rightarrow d v=c_1 e^{\left(\frac{a x^2}{2}-2 a x\right)} dx
पुनः समाकलन करने परः
\int d v=c_{1} \int e^{\left(\frac{a x^2}{2}-2 a x\right)} d x \\ v=c_{1} \int e^{\left(\frac{a x^2}{2}-2 a x\right)} d x+c_{2}
अतः दिए हुए समीकरण का पूर्ण हल निम्न हैः
y =v e^{a x} \\ \Rightarrow y =c_{1} e^{ax} \int e^{\left(\frac{a x^2}{2}-2 a x\right)} d x+c_2 e^{a x}
Example:8.हल कीजिए (Solve):
\frac{d^2 y}{d x^2}+\left(1+\frac{2}{x} \cot x-\frac{2}{x^2}\right) y=x \cos x
दिया हुआ है कि \frac{\sin x}{x} इसके पूरक फलन का एक भाग है (Given that \frac{\sin x}{x} is a part of C.F.).
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}+\left(1+\frac{2}{x} \cot x-\frac{2}{x^2}\right) y=x \cos x \cdots(1)
दिया हुआ है कि y= \frac{\sin x}{x} पूरक फलन (C.F.) का का एक भाग है।
अतः माना कि y=v \frac{\sin x}{x} समीकरण (1) का पूर्ण हल है तब
\frac{d y}{d x}=\left(\frac{\cos x}{x}-\frac{\sin x}{x^2}\right) v+\frac{\sin x}{x} \cdot \frac{d v}{d x}
तथा \frac{d^2 y}{d x^2} =\left(-\frac{\sin x}{x}-\frac{2 \cos x}{x^2}+\frac{2 \sin x}{x^3}\right) v +2\left(\frac{\cos x}{x}-\frac{\sin x}{x^2}\right) \frac{d v}{d x}+\frac{\sin x}{x} \frac{d^2 v}{d x^2}
अब y, \frac{d y}{d x} तथा \frac{d^{2} y}{d x^2} के मान (1) में प्रतिस्थापित कर सरल करने परः
\left(-\frac{\sin x}{x}-\frac{2 \cos x}{x^2}+\frac{2 \sin x}{x^3}\right) v+2\left(\frac{\cos x}{x}-\frac{\sin x}{x}\right)\frac{d v}{d x}+\frac{\sin x}{x} \frac{d^2 v}{d x^2}+\left(1+\frac{2}{x} \cot x-\frac{2}{x^{2}}\right) v \frac{\sin x}{x}=x \cos x \\ \Rightarrow \frac{\sin x}{x} \frac{d^2 v}{d x^2}+\left(\frac{2 \cos x}{x}-\frac{2 \sin x}{x^2}\right) \frac{d v}{d x}+\left(-\frac{\sin x}{x}-\frac{2 \cos x}{x^2}+\frac{2 \sin x}{x^3}+\frac{\sin x}{x}+\frac{2 \cos x}{x^2}-\frac{2 \sin x}{x^{3}}\right)=x \cos x \\ \Rightarrow \frac{\sin x}{x} \frac{d^2 v}{d x^{2}}+\left(\frac{2 \cos x}{x}-\frac{2 \sin x}{x^2}\right) \frac{d v}{d x}=x \cos x \\ \frac{d^{2}v}{d x}+2\left(\cot x-\frac{1}{x}\right) \frac{d v}{d x}=x^2 \cot x \cdots(2)
पुनः माना कि \frac{d v}{d x}=p अब \frac{d^2 v}{d x^2}=\frac{d p}{d x}
(2) सेः \frac{d p}{d x}+2(\cot x-\frac{1}{x}) p=x^2 \cot x \cdots(3)
जो कि p में प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है जिसका
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int 2(\cot x-\frac{1}{x}) d x } \\ =e^{2 \log \sin x-2 \log x} \\ \Rightarrow \text{I.F.} =\frac{\sin ^2 x}{x^2}
अतः (3) का हल होगाः
\Rightarrow p \cdot \frac{\sin ^2 x}{x^2}=\int \frac{\sin ^2 x}{x^2} \cdot x^2 \cot x d x+c_{1} \\ \Rightarrow p \cdot \frac{\sin ^2 x}{x^2}=\frac{1}{2} \sin ^2 x+c_{1} \\ \Rightarrow \frac{dv}{dx} \frac{\sin ^2 x}{x^2}=\int \sin x \cos x dx+c_{1} \\ \Rightarrow d v=\left(\frac{1}{2} x^2+c_1 x^2 \operatorname{cosec}^2 x \right) \cdot d x
पुनः समाकलन करने परः
\int dv=\frac{1}{2} \int x^{2} dx+c_{1} \int x^{2} cosec^{2} x dx \\ \Rightarrow v=\frac{1}{4} x^3+c_{1} \left[x^2(-\cot x)-\int 2 x(-\cot x) dx \right] \\ \Rightarrow v=\frac{1}{4} x^{3} +c_{1}\left[-x^2 \cot x+2 x \log \sin x-2 \int \log \sin x dx\right] \\ \Rightarrow v=\frac{1}{6} x^3+c_{1}\left[-x^2 \cot x+2 x \log \sin x-2 \int \log \sin x dx+4 x\right]+c_{2}
अतः दिए हुए समीकरण का पूर्ण हल निम्न हैः
y=v \frac{\sin x}{x} \\ y=\frac{\sin x}{x} [\frac{1}{6} x^3+c_{1}(-x^2 \cot x+2 x \log \sin x-2 \int \log (\sin x) d x) +c_2]
Example:9.हल कीजिए (Solve):
\left(2x^3-a\right) \frac{d x^2}{dx^2}-6 x^2 \frac{d y}{d x}+6 x y=0
जिसका एक हल y=x है (Of which y=x is its one solution.)
Solution: \left(2x^3-a\right) \frac{d x^2}{dx^2}-6 x^2 \frac{d y}{d x}+6 x y=0
दिए हुए समीकरण को मानक रूप में लिखने परः
\frac{d^2 y}{d x^2}-\frac{6 x^2}{\left(2 x^3-a\right)} \frac{d y}{d x}+\frac{6 x y}{2 x^3-a}=0
दिया हुआ है कि y=x पूरक फलन (C.F.) का का एक भाग है।
अतः माना कि y=vx समीकरण (1) का पूर्ण हल है तब
\frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} तथा \frac{d^2 y}{d x^2}=2 \frac{d v}{d x}+x \frac{d^2 v}{d x^2}
अब y,\frac{d y}{d x} तथा \frac{d^2 y}{d x^2} के मान (1) में प्रतिस्थापित कर सरल करने परः
2 \frac{d v}{d x}+x \frac{d^2 v}{d x^2}-\frac{6 x^2}{\left(2 x^2-a\right)}\left(v+x \frac{d v}{d x}\right)+ \frac{6 x \cdot v x}{2 x^3-a}=0 \\ \Rightarrow x \frac{d^2 v}{d x^2}+\left(2-\frac{6 x^3}{2 x^3-a}\right) \frac{d v}{d x}+\left(-\frac{6 v x^2}{2 x^3-a}+\frac{6 v x^2}{2 x^3-a}\right)=0 \\ \Rightarrow \frac{d^2 v}{d x^2}+\left(\frac{2}{x}-\frac{6 x^2}{2 x^3-a}\right) \frac{d v}{d x}=0 \ldots(2)
पुनः माना कि \frac{d v}{d x}=p अब \frac{d^2 v}{d x^2}=\frac{d p}{d x}
(2) सेः \frac{d p}{d x}+\left(\frac{2}{x}-\frac{6 x^2}{2 x^3-a}\right) p=0
समाकलन करने परः
\int \frac{d p}{p}=\int \frac{6 x^2}{2 x^3-a} d x-\int \frac{2}{x} d x \\ \Rightarrow \log p=\log \left(2 x^3-a\right)-2 \log x+\log c_{1} \\ \Rightarrow p=c_{1}\left(\frac{2 x^3-a}{x^2}\right) \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}=c_{1}\left(\frac{2 x^3-a}{x^2}\right)
पुनः समाकलन करने परः
\int d v=c_1 \int \frac{2 x^3-a}{x^2} d x+c_{2} \\ \Rightarrow y=c_1 x^{2}+c_1 \frac{a}{x}+c_2
अतः दिए हुए समीकरण का पूर्ण हल निम्न हैः
y=v x \\ \Rightarrow y=c_1 x^3+c_1 a+c_2 x
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा निरीक्षण द्वारा पूरक-फलन में विद्यमान समाकल ज्ञात करना (Integral Belonging to CF by Inspection),द्वितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations of Second Order) को समझ सकते हैं।
3.निरीक्षण द्वारा पूरक-फलन में विद्यमान समाकल ज्ञात करना पर आधारित सवाल (Questions Based on Integral Belonging to CF by Inspection):
निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
\text { (1.) }x y_2+(x-1) y_1-y=x^2 \\ \text { (2.) }(\sin x+\cos x) y_2-(x \sin x) y_1+y \sin x=x
उत्तर (Answers):(1.) y=c_{1} e^{-x}+c_2(x-1)+x^2-2 x+2
(2.) y=c_{1} x+c_2 \sin x+\cos x
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर निरीक्षण द्वारा पूरक-फलन में विद्यमान समाकल ज्ञात करना (Frequently Asked Questions Related to Integral Belonging to CF by Inspection),द्वितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations of Second Order) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.निरीक्षण द्वारा पूरक-फलन में विद्यमान समाकल ज्ञात करना (Integral Belonging to CF by Inspection),द्वितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations of Second Order) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः
प्रश्नः1.अवकल समीकरण का पूर्वग किसे कहते हैं? (What is the Primitive of Differential Equation Called?):
उत्तर:समीकरण को उसके हल से,अवकलन तथा दूसरी बीजगणितीय विधियों का प्रयोग करते हुए विलोपन द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।इसी कारण अवकल समीकरण के हल को अथवा समाकलन को उसका पूर्वग (Primitive) कहते हैं।
प्रश्न:2.निरीक्षण द्वारा पूरक फलन का एक भाग ज्ञात करने के सूत्र लिखो। (Write the Formula to Find a Part of the Complementary Function):
उत्तरःनिम्न परिणामों के आधार पर निरीक्षण द्वारा पूरक फलन का एक भाग ज्ञात करते हैंः
(1.)y=e^x पूरक फलन का एक भाग है यदि 1+P+Q=0
(2.)y=e^{-x} पूरक फलन का एक भाग है यदि 1-P+Q=0
(3.)y=e^{m x} पूरक फलन का एक भाग है यदि m^{2}+pm+Q=0
(4.)y=x पूरक फलन का एक भाग है यदि P+Qx=0
(5.)y=x^2 पूरक फलन का एक भाग है यदि 2+2Px+Qx^{2}=0
(6.)y=x^m पूरक फलन का एक भाग है यदि m(m-1)+Pmx+Qx^{2}=0
टिप्पणीःदिए गए समीकरण में का गुणांक सदैव इकाई लेते हैं।यदि वह इकाई नहीं हो तो इसके गुणांक से भाग देकर इसे मानक रूप के लिए इकाई बना लेते हैं।
प्रश्नः3.निरीक्षण द्वारा पूरक फलन में विद्यमान एक समाकल कैसे ज्ञात करते हैं? (How to Find One Integral Belonging to the Complementary Function by Inspection?):
उत्तरःमाना कि दिया हुआ समीकरण हैः
\frac{d^2 y}{d x^2}+P \frac{d y}{d x}+Q y=0 \cdots(1)
(1)माना कि y=e^{m x} समीकरण (1) के पूरक-फलन का एक भाग है
\therefore \frac{d y}{d x}+m e^{m x} \frac{d^2 y}{d x^{2}}=m^2 e^{m x}
इन मानों को (1) में प्रतिस्थापित करने परः
\left(m^2+p m+Q\right) e^{m x}=0 \\ \Rightarrow m^2+p m+Q=0 \left(\because e^{mx} \neq 0\right)
अतः e^{mx} पूरक-फलन का एक भाग है यदि m^2+P m +Q=0
विशेषतःयदि m=1 हो तो e^{x} पूरक-फलन का एक भाग है यदि
1+P+Q=0
इसी प्रकार यदि m=-1 हो तो e^{-x} पूरक-फलन का एक भाग है यद
1-P+Q=0
(2)माना कि y=x^{m} समीकरण (1) के पूरक-फलन का एक भाग हैः
\therefore \frac{d y}{d x}=m x^{m-1} ; \frac{d^2 y}{dx^2}=m\left(m-1\right) x^{m-2}
इन मानों को (1) में प्रतिस्थापित करने परः
m(m-1) x^{m-2}+p m x^{m-1}+Q x^m=0 \\ \Rightarrow\left[m(m-1)+P m x+Q x^2\right] x^{2 m-2}=0 \\ \Rightarrow m(m-1)+P m x+Q x^2=0\left(\because x^{m-2} \neq 0\right) \\ m(m-1)+P m x+Q x^2=0
विशेषतःयदि m=1 हो तो y=x पूरक-फलन का एक भाग है यदि
P+Qx=0
इसी प्रकार m=2 हो तो y=x^2 पूरक-फलन का एक भाग है यदि
2+2 p x+Q x^2=0
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा निरीक्षण द्वारा पूरक-फलन में विद्यमान समाकल ज्ञात करना (Integral Belonging to CF by Inspection),द्वितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations of Second Order) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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Integral Belonging to CF by Inspection
निरीक्षण द्वारा पूरक-फलन में विद्यमान समाकल ज्ञात करके
(Integral Belonging to CF by Inspection)
Integral Belonging to CF by Inspection
निरीक्षण द्वारा पूरक-फलन में विद्यमान समाकल ज्ञात करके (Integral Belonging to CF
by Inspection) अवकल समीकरण का पूर्ण हल ज्ञात किया जाता है।इसे निम्नलिखित
उदाहरणों द्वारा समझा जा सकता है।
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
