1.कक्षा 9वीं में त्रिभुजों में असमता (Inequalities in Triangles in Class 9th)त्रिभुजों में असमता कक्षा 9 (Inequalities in Triangles Class 9):

Inequalities in Triangles in Class 9th

कक्षा 9वीं में त्रिभुजों में असमता (Inequalities in Triangles in Class 9th) के इस आर्टिकल में त्रिभुज की असमिकाओं पर आधारित कुछ विशिष्ट सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।

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2.कक्षा 9वीं में त्रिभुजों में असमता पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Inequalities in Triangles in Class 9th):

Example:1. \triangle ABC में यदि \angle A>\angle B  तथा \angle B>\angle C तो त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा का नाम लिखिए।

Inequalities in Triangles in Class 9th

Solution: \triangle ABC में

\angle A>\angle B
अतः BC>AC (बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है)  …… (1)

\angle B>\angle C
AC>AB (बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है)  …… (2)
(1) व (2) से:
BC>AC>AB
अतः AB सबसे छोटी भुजा है।
Example:2.एक \triangle PQR में \angle Q=35^{\circ} , \angle R=61^{\circ} तथा \angle QPR का अर्द्धक,QR को X बिन्दु पर काटता है तो PX,QX,RX लम्बाई के अनुसार अवरोही क्रम में लिखिए।

Inequalities in Triangles in Class 9th

Solution: \triangle PQR में 
\angle P+\angle Q+\angle R=180^{\circ} \\ \Rightarrow \angle P+35^{\circ}+61^{\circ}= 180^{\circ} \\ \Rightarrow \angle P+96^{\circ}=180^{\circ} \\ \Rightarrow \angle P=180^{\circ}-96^{\circ} \\ \Rightarrow \angle P=84^{\circ} \\ \angle QPX=\angle RPX=\frac{84}{2}=42^{\circ} \\ \angle QPX > \angle Q \\ \Rightarrow QX>PX (बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है)  …… (1)
\angle PRX > \angle RPX \\ PX>RX (बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है)  …… (2)
(1) व (2) से:
QX>PX>RX
Example:3.ABC एक त्रिभुज है जिसमें AB=AC
(i)यदि \angle A < 60^{\circ} तो सिद्ध कीजिए कि BC < AB
(ii)यदि \angle A > 60^{\circ} तो सिद्ध कीजिए कि BC > AB

Inequalities in Triangles in Class 9th

Solution: \triangle ABC में AB=AC
\angle B=\angle C (बराबर भुजा के अभिमुख कोण बराबर होते हैं।)
(i)\angle A>60^{\circ} \cdots(1) \\ \angle B=\angle C>60^{\circ} \cdots(2)
(1) व (2) से:
\angle A< \angle C
AB>BC  (बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है)
(ii) \angle A>60^{\circ}
तथा \angle B=\angle C
अतः \angle B=\angle C < \angle 60^{\circ} \cdots(2)
(1) व (2) से:
\angle A > \angle C
BC>AB (बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है)
Example:4. \triangle ABC में AB=AC,AD भुजा BC पर लम्ब है तथा किसी बिन्दु Y तक बढ़ाई जाती है।एक सरल रेखा YZX भुजा AB को बिन्दु Z पर तथा बढ़ाई गई CA को X पर मिलती है।सिद्ध कीजिए कि BY+YX>BA+AX

Inequalities in Triangles in Class 9th

Solution:दिया है (Given): \triangle ABC में AB=AC तथा AD \perp BC और AD को Y तक बढ़ाने पर YAB,AB को Z तथा बढ़ाई गई CA को X पर मिलती है।
सिद्ध करना है (To Prove):BY+YX>BA+AX
उपपत्ति (Proof): \triangle ABY में
\angle BAX=\angle ABY+\angle AYB \\ \Rightarrow \angle BAX > \angle AYB
अब \triangle AXY में
\angle YAX >\angle AYX \\ \Rightarrow YX > AX  (बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है)  …… (1)
90^{\circ}=\angle BDY > \angle BAY (बहिष्कोण अन्तराभिमुख कोण से बड़ा होता है)….. (2)
\triangle BDY \\ 30^{\circ}=\angle BDA > \angle AYB (बहिष्कोण अन्तराभिमुख कोण से बड़ा होता है)  …… (3)
(3) में से (2) घटाने पर:
0>\angle AYB-\angle BAY \\ \Rightarrow \angle BAY > \angle AYB
BY>AB   (बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है)  …… (4)
(1) व (4) को जोड़ने पर
YX+BY>AB+AX
Example:5.ABC एक समबाहु त्रिभुज है।भुजा BC को बिन्दु D तक इस प्रकार बढ़ाया जाता है कि CD=BC।बढ़ाई गई BC पर E कोई बिन्दु है।सिद्ध कीजिए कि \triangle DAB समकोण त्रिभुज है तथा ED+DC>EB.

Inequalities in Triangles in Class 9th

Solution:दिया है (Given): \triangle ABC में AB=BC=CA तथा BC=CD
सिद्ध करना है (To Prove): \triangle ABD समकोण त्रिभुज है।
उपपत्ति (Proof): \angle BAC= \angle B= \angle ACB=60^{\circ} (समबाहु त्रिभुज के कोण)
\angle ACD+ \angle ACB=180^{\circ} (रैखिक कोण युग्म)
\Rightarrow \angle ACD+60^{\circ}=180^{\circ} \\ \Rightarrow \angle ACD=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}
माना \angle CAD=\angle QDA=x (बराबर भुजा के अभिमुख कोण बराबर होते हैं)
\triangle ACD में
\angle ACD+\angle CAD+\angle CDA=180^{\circ} \\ \Rightarrow ACD+\angle CAD+\angle CDA= 180^{\circ} \\ \Rightarrow 120^{\circ}+x+x=180^{\circ} \\ \Rightarrow 2 x=180^{\circ}-120^{\circ} \\ \Rightarrow x=\frac{60^{\circ}}{2}=30^{\circ} \\ \angle BAD=\angle BAC+\angle CAD= 60^{\circ}+ 30^{\circ}=90^{\circ}
अतः \triangle ABD समकोण त्रिभुज है।
BC=CD ( दिया है)
BE+EC=CD \\ \Rightarrow CD>BE तथा CD>EC \\ \Rightarrow अतः CD+ED>EB
Example:6.ABCD एक चतुर्भुज है सिद्ध कीजिए कि:
AB+BC+CD+DA>AC+BD

Inequalities in Triangles in Class 9th

दिया है (Given):ABCD एक चतुर्भुज है।
सिद्ध करना है (To Prove):AB+BC+CD+DA>AC+BD
उपपत्ति (Proof): \triangle AOD में
OA+OD>AD  (त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होता है)…. (1)
इसी प्रकार \triangle AOB में
AO+OB>AB ….. (2)
तथा \triangle BOC में
OB+OC>BC  …… (3)
और \triangle COD में
OC+OD>CD  ……. (4)
(1),(2),(3) और (4) को जोड़ने पर:
AO+OD+AO+OB+OB+OC+OC+OD>AD+AB+BC+CD \\ \Rightarrow 2OA+2OB+2OC+2OD>AD+AB+BC+CD \\ \Rightarrow 2(OA+OB+OC+OD)>AD+AB+BC+CD \\ \Rightarrow 2(AC+BD)>AD+AB+BC+CD \\ \Rightarrow AD+AB+BC+CD>AC+BD
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कक्षा 9वीं में त्रिभुजों में असमता (Inequalities in Triangles in Class 9th)त्रिभुजों में असमता कक्षा 9 (Inequalities in Triangles Class 9) को समझ सकते हैं।

Inequalities in Triangles in Class 9th

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3.कक्षा 9वीं में त्रिभुजों में असमता (Inequalities in Triangles in Class 9th)त्रिभुजों में असमता कक्षा 9 (Inequalities in Triangles Class 9) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

कक्षा 9वीं में त्रिभुजों में असमता (Inequalities in Triangles in Class 9th) के इस आर्टिकल में
त्रिभुज की असमिकाओं पर आधारित कुछ विशिष्ट सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।